2021-2022学年江西省景德镇市乐平市八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年江西省景德镇市乐平市八年级（下）期中数学试卷

副标题

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）

1. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是

A.  B.
C.  D.

2. 若，是任意一个不为的实数，则下列不等式成立的是

A.  B.  C.  D.

3. 把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是

A.  B.
C.  D.

4. 如图，已知，，则≌的理由是

A.
B.
C.
D.

5. 如图，在中，，，，平分交于点，，则的长为

A.
B.
C.
D.
 

6. 如图，在中，，，直线垂直平分垂足为点，交于点，连接，则的度数为

A.
B.
C.
D.

7. 如图，将沿方向向右平移到的位置，连接已知的周长为，四边形的周长为，则这次平移的平移距离为

A.  B.  C.  D.

8. 如图，在长方形中，点、分别在、边上，沿将折叠，点落在边上的点处，连接，已知结论：；；是等边三角形；垂直平分其中正确的结论个数有

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

9. 一辆客车上标明“限载人”，如果用人表示载客数，应满足不等式：______．
10. 在等腰中，，顶角的度数是，则它的一个底角的度数为______．
11. 如图，平分，点在上，于，，点是射线上的动点，则的最小值为______．

12. 如图，，为上一点，射线经过点，若，则______．
     

13. 如图，直线与交点的横坐标为，则关于不等式的解集为______．
    
    
     

14. 如图，在中，，将绕点逆时针方向旋转到的位置，点的对应点在边上，则的度数为______．
15. 如图，在中，，，，将沿向右平移到的位置，、、的对应点分别为、、，连接，若是等边三角形，则平移距离是______．
16. 某种商品的进价为元，出售时标价为元，由于销售情况不好，商店准备降价出售，但要保证利润率不低于，那么商店可降价多少元出售此商品？设商店降价元出售此商品．列出的不等式为______．

三、解答题（本大题共10小题，共72.0分）

17. 解不等式：
    ；
    ．
18. 解一元一次不等式组并写出所有的整数解．
19. 如图，已知线段、相交于点，，经过适当平移至的位置．连接、．
    由“平移至”：
    根据平移距离相等可得______填相等的线段；
    根据平移前和平移后对应线段平行且相等得______．
    当，求证：是等边三角形中的结论可以直接用．
20. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点，，于点，求的长．

21. 已知，均为常数，若不等式组的解集是解不等式．
22. 如图，在中，，点在边上，且．
    当时，的度数为______；当时，的度数为______；当时，的度数为______．
    猜想与的大小关系，并写出这两个角的一个等量关系式，并证明你的猜想．
23. 如图，点是正方形内部一点，，，，的延长线交于点将绕点顺时针方向旋转至的位置．连接．
    试说明是等腰直角三角形；
    求的度数．
     

24. 某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克元，售价每千克元；乙种蔬菜进价每千克元，售价每千克元．
    该超市购进甲种蔬菜千克和乙种蔬菜千克需要元；购进甲种蔬菜千克和乙种蔬菜千克需要元，求，的值．
    该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共千克，且投入资金不少于元又不多于元，设购买甲种蔬菜千克为正整数，求有哪几种购买方案．
    在的条件下，超市在获得的利润取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出元，乙种蔬菜每千克捐出元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于，求的最大值．
25. 如图是等边三角形，将它绕点顺时针旋转至等边的位置．平分，连接、，
    求度数；
    求证：．
     

26. 如图，在中，，于点，于点交于点，点为边的中点，作交直线于点．
    如图，当，时，______，______．
    如图，当时，试探索与的数量关系，并证明．
    如图，当时，中与的数量关系______成立填“仍然”或“不再”，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
C.是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

2.【答案】

【解析】解：，
，故A不符合题意；
B.，当时，，故B不符合题意；
C.，当时，，故C不符合题意；
D.，
，故D符合题意；
故选：．
根据不等式的性质，不等式两边同加同减一个实数，不等号方向不变，同乘或同除大于的数，不等号方向不变，同乘或同除一个负数，不等号方向改变，可得答案．
本题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解题关键．
 

3.【答案】

【解析】解：不等式组的解集在数轴上表示为：

故选：．
先把不等式组的解集在数轴上表示出来，再找出符合条件的选项即可．
本题考查的是在数轴上表示不等式组的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来向右画；，向左画，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示．
 

4.【答案】

【解析】证明：，，
，
在和中，
，
≌．
故选：．
利用直角三角形的判定方法进行判断．
本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
 

5.【答案】

【解析】解：设为，
，
，
，
，
，，
平分，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
解得：，
，
故选：．
由，可得，由可得，设为，可得，，由角平分线的性质可得，即可得出，进而得到，再求得，在中，利用勾股定理求出，即可求解．
本题考查了角平分线的性质，直角三角形两锐角互余的性质，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键．
 

6.【答案】

【解析】解：，
，
垂直平分，
，
，
．
故选：．
先根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，再根据线段垂直平分线的性质得到，则，然后计算即可．
本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两个底角相等．也考查了线段垂直平分线的性质．
 

7.【答案】

【解析】解：由题意得：平移的距离为或的长度，且，
将沿方向向右平移到的位置，
，
的周长为，四边形的周长为，
，
，
，
则，
解得：，
故选：．
由题意可得平移的距离为：，由平移的性质得，再利用已知的周长即可求解．
本题主要考查平移的性质，解答的关键是熟记平移的性质并灵活运用．
 

8.【答案】

【解析】解：在中，，
，，
沿将折叠，点落在边上的点处，
，故正确，
，，
，
，，故错误；
，
，
是等边三角形，故正确，
，，
垂直平分，故正确，
正确的有：三个，
故选：．
在中，，可得，，根据沿将折叠，点落在边上的点处，即可判断正确；因，可得，即可判断错误；而，，可判断正确，由，，可判断正确．
本题考查矩形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质，熟练应用含角的直角三角形三边关系．
 

9.【答案】

【解析】解：由题意得：，
故答案为：．
根据题意可得载客数不超过，再列不等式即可．
此题主要考查了有实际问题一元一次不等式，正确理解题意，抓住关键词，选准不等号是解决问题的关键．
 

10.【答案】

【解析】解：，顶角的度数是，
，
故答案为：．
根据三角形的内角和顶角的度数求得底角的度数即可．
考查了等腰三角形的性质，解题的关键是了解等腰三角形的两个底角相等，难度不大．
 

11.【答案】

【解析】解：过点作于，如图，
平分，，，
，
点是射线上的动点，
的最小值为．
故答案为：．
过点作于，如图，根据角平分线的性质得到，然后根据垂线段最短求解．
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了垂线段最短．
 

12.【答案】

【解析】解：，，
，
．
，
．
故答案为：．
由三角形外角的性质得出的度数，利用平行线的性质即可得出结论．
本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同位角相等是解答此题的关键．
 

13.【答案】

【解析】解：如图，直线与交点的横坐标为，则关于不等式的解集为．
故答案为：．
根据函数图象，写出直线不在直线的上方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
 

14.【答案】

【解析】解：将绕点逆时针方向旋转到的位置，
，，
，
，
故答案为：．
由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求解．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
 

15.【答案】

【解析】解：在中，，，，
，
由平移得，
是等边三角形，
，
，
平移距离是，
故答案为：．
根据含角的直角三角形的性质得，由平移得，由是等边三角形可得，可得出，即可求解．
本题考查含角的直角三角形的性质、平移的性质，等边三角形等知识，熟练掌握含角的直角三角形的性质是解题的关键．
 

16.【答案】

【解析】解：设商店降价元出售此商品，
根据题意，得：．
故答案是：．
设商店降价元出售此商品，则降价出售获得的利润是元，再根据利润率不低于，列出不等式即可．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解．
 

17.【答案】解：去括号得：，
移项得：，
解得：；
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并得：，
解得：．

【解析】不等式去括号，移项，合并，把系数化为，即可求出解集；
不等式去分母，去括号，移项，合并，把系数化为，即可求出解集．
此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．
 

18.【答案】解：，
由得：，
由得：，
原不等式组的解集为：，
不等式组的所有的整数解为，，．

【解析】先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集，即可得出答案．
本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，解此题的关键是能求出不等式的解集，难度适中．
 

19.【答案】  ，

【解析】解：根据题意，可知点平移到点，点平移到点，
根据平移距离相等，可得，
故答案为：；
根据平移前后对应线段平行且相等，得，，
故答案为：，；
，，
，
，，
，
是等边三角形．
根据平移的性质即可解决；
根据中，可得，再证明，即可得证．
本题考查了平移的性质和等边三角形的判定，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
 

20.【答案】解：连接，
的垂直平分线交于点，
，，
，
，
，
，
．

【解析】首先作出辅助线连接，再利用线段垂直平分线的性质计算．
本题考查了线段垂直平分线的性质，解直角三角形，本题关键是作出辅助线提示：连接考查的是线段垂直平分线的性质垂直平分线上任意一点，和线段两端点的距离相等有关知识．
 

21.【答案】解：，
解不等式，得，
解不等式，得，
所以不等式组的解集是，
不等式组的解集是，
，，
解得：，，
，
，
，
．

【解析】先求出不等式的解集，再根据不等式组的解集满足得出，，求出，，最后代入，再求出所得的不等式的解集即可．
本题考查了解一元一次不等式组和解一元一次不等式，能求出、的值是解此题的关键．
 

22.【答案】   

【解析】解：，
，
，
，
，
当时，，
当时，，
当时，，
故答案为：，，；

猜想：，
证明：，
，
，
，
．
先根据等边对等角可得，再根据三角形的内角和定理可得的度数，从而可得，分别代入，，可得对应的度数；
由可得结论．
本题考查了直角三角形的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握等边对等角并结合三角形的内角和定理表示和的度数是本题的关键．
 

23.【答案】解：将绕点顺时针方向旋转至的位置，
，，
是等腰直角三角形；
将绕点顺时针方向旋转至的位置，
，
是等腰直角三角形，
，，
，，
，
，
．

【解析】由旋转的性质可得，，可得结论；
由勾股定理的逆定理可求，即可求解．
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质等知识，掌握旋转的性质是解题的关键．
 

24.【答案】解：依题意，得：，
解得：．
答：的值为，的值为．
依题意，得：，
解得：．
又为正整数，
可以为，，，
共有种购买方案，方案：购进千克甲种蔬菜，千克乙种蔬菜；方案：购进千克甲种蔬菜，千克乙种蔬菜；方案：购进千克甲种蔬菜，千克乙种蔬菜．
购买方案的总利润为元；
购买方案的总利润为元；
购买方案的总利润为元．
，
利润最大值为元，即售出甲种蔬菜千克，乙种蔬菜千克．
依题意，得：，
解得：．
答：的最大值为．

【解析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
根据“购进甲种蔬菜千克和乙种蔬菜千克需要元；购进甲种蔬菜千克和乙种蔬菜千克需要元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
根据总价单价数量结合投入资金不少于元又不多于元，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合为正整数即可得出各购买方案；
求出中各购买方案的总利润，比较后可得出获得最大利润时售出甲、乙两种蔬菜的重量，再根据总利润每千克利润销售数量结合捐款后的利润率不低于，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
 

25.【答案】解：是等边三角形，
，，
绕点顺时针旋转至等边的位置，
，，
，，
；
证明：，，
，
平分，
，
，，
，，
≌，
，
，
．

【解析】由旋转性质得，，即可得；
由平分，可证明，根据≌，即得，从而可证明．
本题考查等边三角形中的旋转变换，解题的关键是掌握旋转的性质，熟练应用全等三角形判定定理．
 

26.【答案】    仍然

【解析】解：，，
是等边三角形，，
垂直平分，，
，
，
，
，
，，
，
故答案为：，；
，
理由如下：连接，

，，
，
，
，
，
，
≌，
，
，
，
，
，
，，
≌，
，
，，
是的垂直平分线，
，
；
仍然成立，
理由如下：连接，

由同理可得，∽，
，
，
，
，
，
由同理可得，≌，
，
，，
是的垂直平分线，
，
，
故答案为：仍然．
根据等边三角形的性质可得，再说明，可得答案；
连接，首先利用证明≌，得，则，再证明≌，得，从而证明结论；
连接，首先证明∽，得，则有，由同理可得，≌，从而解决问题．
本题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，证明≌是解题的关键．