专题01子集、交集、并集、补集之间的关系式-【二级结论速解】备战2022年高考数学必备考试技能高分领先方案

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专题01  子集、交集、并集、补集之间的关系式一、结论1、子集、交集、并集、补集之间的关系式：(其中为全集)（1）当时，显然成立（2）当时，图如图所示，结论正确.2、子集个数问题：若一个集合含有（）个元素，则集合的子集有个，非空子集有个.真子集有个，非空真子集有个.理解：的子集有个，从每个元素的取舍来理解，例如每个元素都有两种选择，则个元素共有种选择，该结论需要掌握并会灵活应用.二、典型例题（高考真题+高考模拟）1．（2012·湖北·高考（文））已知集合，则满足条件的集合的个数为（   ）A．1 B．2 C．3 D．4【解析】求解一元二次方程，得，易知.因为，所以根据子集的定义，集合必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4，原题即求集合的子集个数，即有个，故选D.【反思】本题考查子集的概念，不等式，解一元二次方程.本题在求集合个数时，由于集合元素个数少，也可采用列举法，列出集合的所有可能情况，再数个数即可.2．（2021·全国·模拟预测）已知集合，，若，则实数的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】解不等式，得，所以.由，得，画出数轴：∴，解得﹒故选：B【反思】在利用数轴求包含关系时，特别注意最后答案区间的开闭细节问题；解此类题目时可以遵循两步法原则：①先确定大方向：由，结合数轴可以得到：注意此时不要把等号写上去，所谓先确定大方向，就是只确定与的大小，与的大小；②再确定个别点：经过上述步骤再确定不等式组中等号是否可以取到等号；假设；则由数轴可以观察出几何中左端是开区间；而集合左端是闭区间，结合数轴假设不成立；同理假设，也不成立；故本题最后得到的关系式为.三、针对训练 举一反三1．（2013·福建·高考真题（文））若集合的子集个数为A．2 B．3 C．4 D．16【答案】C其子集个数为个.2．（2011·安徽·高考真题（理））设集合则满足且的集合的个数为A．57 B．56 C．49 D．8【答案】B集合的非空子集的个数为个，集合的非空子集的个数为，所以集合的个数为．3．（2022·安徽黄山·一模（文））已知集合，，则的真子集的个数是（       ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【详解】∵,,∴,∴的真子集个数为，故选：.4．（2022·全国·模拟预测）已知，则的子集的个数为（       ）A． B． C． D．【答案】D【详解】由，得：，∴，∴其子集个数为个.故选：D.5．（2022·重庆实验外国语学校一模）已知集合，则集合的所有非空子集的个数为（       ）A．5个 B．6个 C．7个 D．8个【答案】C【详解】由题设，，即8可被整除且，，∴，故集合的所有非空子集的个数为.故选：C6．（2021·全国·模拟预测）已知集合，，若，则（       ）A．－1 B．－1或0 C．±1 D．0或±1【答案】A【详解】依题意，．由，可知：，又，则.故选：A．7．（2021·江西·新余市第一中学模拟预测（理））已知集合，集合，且，则实数的取值集合为（       ）A． B．C． D．【答案】A【详解】由题意知集合，对于方程，解得，.因为，则.①当时，即时，成立；②当时，即当时，因为，则，解得.综上所述，的取值集合为.故选：A.8．（2021·全国全国·模拟预测）已知集合，且，则满足条件的集合P的个数是（       ）A．8 B．9 C．15 D．16【答案】D【详解】解：，所以，又，则满足题意的集合P的个数为24=16，故选：D.9.（2021·辽宁实验中学二模）已知非空集合、、满足：，．则（       ）．A． B．C． D．【答案】C【详解】解：因为非空集合、、满足：，，作出符合题意的三个集合之间关系的venn图，如图所示，所以．故选：D．10．（2021·湖南·雅礼中学高一期中）定义，设集合，，，则集合的所有子集中的所有元素之和为_________．【答案】72【详解】因为，，所以，又因为，所以，的所有子集为：，，，，，，，，所有子集元素之和为.故答案为：11．（2022·全国·高三专题练习）集合，是的一个子集，当时，若有且，则称为的一个“孤立元素”，那么的元子集中无“孤立元素”的子集个数是__________．【答案】个【详解】由孤立元素的定义可得：，1，2，3，4，中不含“孤立元素”的集合4个元素有：，1，2，，，1，3，，，1，4，，，2，3，，，2，4，，，3，4，，所以中无“孤立元素”的4个元素的子集的个数是6个．故答案为6个．12．（2022·天津西青·高三期末）若集合，则集合的所有子集的个数是_________.【答案】16-【详解】由题,逐个代入可得集合中,故集合,一共有4个元素,故集合的所有子集的个数为.故答案为16.13．（2021·江西·模拟预测）设全集，集合，.(1)当时，求；(2)若，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)(1)解：当时，，所以又全集所以(2)解：由（1）知，， 由可得：，则，解得：所以实数的取值范围为：14．（2021·江西·模拟预测）设全集，集合，.(1)当时，求；(2)若，求实数的取值范围.【答案】(1)或(2)(1)当时，可得：，又={x|-1＜x＜3}，所以=或，所以=或．(2)由，则A⊆B，当A=时，则有，解得，当时，由A⊆B可得，解得.综上，实数的取值范围.15．（2021·陕西·高新一中高一期中）已知集合或，其中．(1)求；(2)若，求实数的取值范围．【答案】(1)；(2)，．(1)解：集合，或，.(2)解：或，，其中．因为，，，，，解得，实数的取值范围是，．16．（2021·安徽·芜湖一中高一阶段练习）已知集合.(1)当时，求的非空真子集的个数；(2)若，求实数的取值范围；(3)若，求实数的取值范围.【答案】(1){m|m≤3}(2)254(3){m|m<2或m>4}(1)当x∈Z时，A＝{x∈Z|－2≤x≤5}＝{－2，－1，0，1，2，3，4，5}，共有8个元素，所以A的非空真子集的个数为28－2＝254.（2）因为A∪B＝A，所以B⊆A，当B＝∅时，由m＋1>2m－1，得m<2，符合；当B≠∅时，根据题意，可得，解得2≤m≤3.综上可得，实数m的取值范围是{m|m≤3}.（3）当B＝∅时，由（1）知m<2；当B≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，可得或解得m>4.综上可得，实数m的取值范围是{m|m<2或m>4}.