第05讲-基本不等式-【高考培优直通车】2022年高三数学大一轮复习精品讲义（上海专用）

第05讲-基本不等式（解析版）

                                                                        教学内容

1、解下列不等式

（1）；

【答案】

（2）；

【答案】

（3）。

【答案】

2、已知函数其中

（1）解关于的不等式；

（2）求的取值范围，使在区间上是单调减函数.

【答案】（1）见解析（2）当时，在区间上是单调减函数

【解析】解：（1）不等式即为     

当时，不等式解集为；  

当时，不等式解集为；           

当时，不等式解集为    

（2）任取则

所以要使在递减即只要即

故当时，在区间上是单调减函数.

知识点一：基本不等式

知识梳理

知识点1：基本不等式

1．基本不等式：≤

(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.

(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．

(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数．

2．几个重要的不等式

(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．

(2)ab≤2(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．

(3)≥2(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．

(4)＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号．

3、不等式链：当为正数时,  （当且仅当时取“”号），即平方平均数≥算术平均数≥几何平均数≥调和平均数；

4、利用基本不等式求最值

基本不等式可以用来求最值，但要注意条件的满足：一正、二定、三相等；

如：若变数，则若（常数），则当且仅当时，有最小值；

若（常数），当且仅当时，有最大值.

知识点2：耐克函数

1、函数图象及性质

（1）函数图象如右图所示：

（2）函数性质：

①值域：；

②单调递增区间：；单调递减区间：．

题型一：基本不等式概念辨析

例题精讲

例1、条件“且”是结论“”成立的          条件。

【答案】充分非必要条件

【解析】必要性不满足，反例：

例2、已知实数、，判断下列不等式中哪些一定是正确的？

（1） ；  （2）；   （3）；   （4）

（5）；      （6）         （7）

【答案】（2）（3）（6）（7）

【解析】（1）错误。、为负实数时不正确

   （2）正确

   （3）正确

   （4）错误。、为负实数时不正确

   （5）错误。、为负实数时不正确

   （6）正确

   （7）正确

例3、如果正数满足，那么（  ）

（A），且等号成立时的取值唯一

（B），且等号成立时的取值唯一

（C），且等号成立时的取值不唯一

（D），且等号成立时的取值不唯一

【答案】A

【解析】

 巩固练习 

1、设a>0 ，b>0 则下列不等式中不成立的是（   ）

A．a+b+≥2     B (a+b)( +)≥4

C ≥a+b         D ≥

【答案】D

【解析】  A,B显然满足，而C中，

2、若，，且，则在中最大的一个是_____________。

【答案】

【解析】已知若，，则

题型二：利用基本不等式求最值

例题精讲

例1、设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为________．

【答案】81

【解析】，当且仅当x＝y＝9时等号成立．

例2、设a＞0，b＞0.若a＋b＝1，则＋的最小值是________．

【答案】4

【解析】由题意＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当＝，即a＝b＝时，取等号，所以最小值为4.

例3、已知，且，则的最小值                     。

【答案】5

【解析】

例4、求的最小值.

【答案】9

【解析】方法一：当时，，

当且仅当即时取等号.

方法二：设，则，原式

当且仅当即时取等号.

例5、已知，求的最大值.

【答案】

【解析】，由于，，

所以，，

当且仅当即时取等号.

例6、当时，求的最大值．

【答案】8

【解析】，当，即时取等号，∴当时，的最大值为8．

例7、已知，求的最大值.

【答案】1

【解析】 ，当且仅当，即时取等，所以y得最大值为1.

例8、设为实数，若，则的最大值是          ．

【答案】

【解析】，可解得的最大值为．

例9、已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，求函数W＝＋的最值．

【答案】2

【解析】法一：＋ ≤＝＝2．

法二：W＞0，W2＝3x＋2y＋2·＝10＋2·≤10＋()2·()2 ＝10＋(3x＋2y)＝20，∴W≤＝2．

例10、已知且，求的最小值.

【答案】

【解析】

.

例11、若已知，则的最小值为            ．

【答案】

【解析】时可取得函数的最小值，此时，此时，最小值为．

 巩固练习 

1、已知：求的最小值。

【答案】25

【解析】＝（）（4＝

    当且仅当4时，得：

2、设，求函数的最大值．

【答案】

【解析】∵，∴，∴，当且仅当，即时等号成立．

3、的最小值____________.

【答案】3

【解析】由得，代入　得，

当且仅当＝3 时取“＝”．

4、已知a，b都是负实数，则的最小值是________.

【答案】

【解析】

5、求函数的最大值．

【答案】

【解析】注意到与的和为定值．

，又，，当且仅当=，即时取等号，故．

6、若实数满足，则的最大值是          ．

【答案】．

【解析】即

7、已知，且，则的最大值为.

【答案】

【解析】方法一（直接法）：由  ，即；

方法二（消元法）：，由于，所以，

下面转化为求二次函数在区间上的最大值，不难求得最大值为.

8、已知为正实数，且，求的最大值.

【答案】

【解析】由于，，又

所以.

9、设是不全为零的实数，求的最大值．

【答案】

【解析】显然我们只需考虑的情形，但直接使用基本不等式是不行的，我们假设可以找到相应的正参数满足：故

依据取等号的条件得，，参数就是我们要求的最大值．消去我们得到一个方程，此方程的最大根为我们所求的最大值，得到．

10、已知，则的最小值是__________.

【答案】4

【解析】，

 ，当且仅当即时取等号。

题型三：利用基本不等式证明不等式

例题精讲

例1、已知求证.

【答案】略

【解析】当且仅当时等号成立，当且仅当时等号成立，当且仅当时等号成立，

∴，即．当且仅当时等号成立

例2、已知，且，求证：．

【答案】略

【解析】

当且仅当时，等号成立．

 巩固练习 

1、已知a、b、c∈(0，＋∞)且a＋b＋c＝1，求证：(－1)(－1)(－1)≥8.

【答案】略

【解析】

∵a、b、c∈(0，＋∞)且a＋b＋c＝1，

∴(－1)(－1)(－1)＝

＝≥＝8.

当且仅当a＝b＝c＝时取等号．

题型四：基本不等式的实际应用

例题精讲

例1、为了提高产品的年产量，某企业拟在2020年进行技术改革．经调查测算，产品当年的产量x万件与投入技术改革费用万元(≥0)满足 (k为常数)．如果不搞技术改革，则该产品当年的产量只能是1万件．已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元．由于市场行情较好，厂家生产的产品均能销售出去．厂家将每件产品的销售价格定为每件产品生产成本的1.5倍(生产成本包括固定投入和再投入两部分资金)．

(1)将2020年该产品的利润y万元(利润＝销售金额－生产成本－技术改革费用)表示为技术改革费用m万元的函数；

(2)该企业2020年的技术改革费用投入多少万元时，厂家的利润最大？

【答案】(1) (元)( )．(2)3.

【解析】(1)由题意可知，当时， (万件)，∴，∴＝2，∴，

每件产品的销售价格为1.5× (元)，

∴2010年的利润(元)( )．

 (2)∵，∴，

∴，

当，即，.

∴该企业2010年的技术改革费用投入3万元时，厂家的利润最大．

 巩固练习 

1、如图3-4-1，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成.

图3-4-1

（1）现有可围36 m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？

（2）若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小？

【答案】见解析

【解析】（1）设每间虎笼长为x m，宽为y m，则由条件,知4x+6y=36，即2x+3y=18.

设每间虎笼的面积为S，则S=xy.

由于2x+3y≥2=2,

∴2≤18,得xy≤，即S≤.

当且仅当2x=3y时等号成立.

由解得

故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使面积最大。

(2)由条件知S=xy=24.

设钢筋网总长为l,则l=4x+6y.

由xy=24，得x=.

∴l=4x+6y=+6y=6(+y)≥6×2=48,当且仅当=y，即y=4时，等号成立，此时x=6.

故每间虎笼长6 m,宽4 m时，可使钢筋总长最小.

题型五：基本不等式的综合运用

例题精讲

例1、关于的不等式≤＋4的解集是M，则对任意实常数，总有（   ）

A.2∈M，0∈M；      B.2M，0M；     C.2∈M，0M；     D.2M，0∈M．

【答案】A

【解析】方法1：代入判断法，将分别代入不等式中，判断关于的不等式解集是否为；

           方法2：求出不等式的解集：≤＋4

；

例2、已知关于x的不等式2x＋≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值为____．

【答案】

【解析】因为x>a，所以2x＋＝2(x－a)＋＋2a≥2 ＋2a＝2a＋4，即2a＋4≥7，所以a≥，即a的最小值为.   

答案：

例3、已知a、b满足，若恒成立，则实数c的取值范围是。

【答案】

【解析】法1：由题意，得：。因为，所以，，即（此时，），所以。

法2：设，则，（下同）

例4、若不等式对恒成立，求实数m的取值范围。

【答案】

【解析】因为，所以恒成立，因此。

而函数在单调递增，在单调递减，，，所以，即，所以实数m的取值范围是。

例5、

【答案】4

【解析】

例6、关于x的不等式在上恒成立，求实数a的取值范围。

【答案】

【解析】因为，所以在恒成立，

因此。又因为，当且仅当时等号成立，

，当且仅当或时等号成立，所以当时，取最小值10，因此，实数a的取值范围是。

例7、某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为400m2的三级污染水处理池，由于受场地限制，长、宽不能超过25m.池外圈建造单价每米为200元，中间两条隔墙建造单价每米为250元，池底建造单价每平方米为80元(池壁的厚度忽略不计，且池无盖)．

(1)设污水处理池和隔墙垂直一边长为x(m)，写出总造价y(元)与x的函数关系式，并指出其定义域；

(2)求污水处理池的两邻边长各为多少米时，池的总造价最低，并求出最低总造价．

【答案】见解析

【解析】（1）∵污水处理池的一边长为xm，∴它的邻边长为m，隔壁长也为m.

根据题意得，y＝200＋250××2＋80×400，即y＝400＋32000.

由得定义域为，{x|16≤x≤25}．

(2)y＝f(x)＝400＋32000≥800＋32000＝24000＋32000＝56000，当且仅当x＝(x>0)，即x＝30时取等号，但由(1)知x≤25，即x＝30不在[16,25]上，因此y的最小值不能是56000.

不妨研究f(x)的单调性，对任意的x1，x2∈[16,25]，设x1<x2，

∵f(x2)－f(x1)＝400

＝400(x2－x1)，而x2－x1>0，

又x1x2<252<900，故1－<0.∴f(x2)－f(x1)<0.

故f(x)在[16,25]上是减函数．

于是y＝f(x)≥f(25)＝400×＋32000＝56000＝56400(元)．

巩固练习

1、判断正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)当a≥0，b≥0时，≥.(　　)

(2)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的．(　　)

(3)函数y＝x＋的最小值是2.(　　)

(4)函数f(x)＝sin x＋的最小值为2.(　　)

(5)x＞0且y＞0是＋≥2的充要条件．(　　)

【答案】(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×

【解析】

(2)不等式a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R；

不等式≥成立的条件是a≥0，b≥0.

(3)函数y＝x＋值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)，没有最小值．

(4)函数f(x)＝sin x＋的最小值为－5.

(5)x>0且y>0是＋≥2的充分条件．

2、已知x、yR+，求使恒成立的实数t的取值范围。

【答案】

【解析】由题意，得：恒成立，因此恒成立，

所以。又因为x、y∈R+，所以，即，从而，，即实数t的取值范围是。

3、若，则的大小关系是      ．

【答案】R>Q>P．

【解析】∵ ∴，（，，∴R>Q>P．

1、求函数的最小值时，指出当为______取得最小值。

【答案】

【解析】当且仅当时，有最小值为

2、已知为正实数，，求函数的最小值______.

【答案】

【解析】由于为正实数，，而代入不等式,

即得，解得，即.

3、已知，则的最小值为_________

【答案】64

【解析】。

当且仅当时，即，上式取“=”，故。

4、若实数、满足，则的取值范围是_________.       

【答案】

【解析】 方法一：，则的取值范围是

法二：参数方程

5、己知，，，且，则的最小值为       ．

【答案】．

【解析】由题意得，，

当且仅当时等号成立，∴

，当且仅当时，等号成立，综上，即所求最小值为．

6、已知不等式对任意正实数恒成立,则正实数的最小值为(   )

【A】2             【B】4             【C】6              【D】8

【答案】B

【解析】不等式对任意正实数恒成立，则，

∴ 或舍去)，所以正实数的最小值为4，选B．

7、已知, , 当取到最小值时, _________.

【答案】

【解析】, , ，当时取等号，

，（当且仅当取等号）解得

8、

【答案】

【解析】

一正二定三相等再次忽略。

，

9、某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为、（单位：m）的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8 m，问、分别为多少时用料最省？（精确到0.001m）

【答案】为m，为2.828m时,用料最省.

【解析】由题意得，∴ ，

  于是框架用料长度为，

       当，即=8－4时等号成立.

       此时， ,=2≈2.828.

       故当为m，为2.828m时,用料最省.

10、围建一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图所示．已知旧墙的维修费用为45 元/m，新墙的造价为180 元/m。设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)．(1)将y表示为x的函数；

(2)试确定x使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．

【答案】(1) ;10440元.

【解析】(1)设矩形的另一边长为 m.

则.

由已知，得，

所以．

(2)∵，

∴.

∴.当且仅当时，等号成立．

即当 m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．

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