第10讲 函数的奇偶性和单调性-【高考培优直通车】2022年高三数学大一轮复习精品讲义（上海专用）

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第10讲-函数的奇偶性和单调性（原卷版）
学习目标：
1．掌握函数的奇偶性和图像的性质；能判断一些简单函数的奇偶性；能判断分段函数、抽象函数的奇偶性；
2．会运用函数的奇偶性求有关函数的值和解析式；
3．会运用函数的奇偶性研究函数的其他性质；
4．掌握函数的单调性的相关概念，熟练应用定义法证明函数的单调性；
5．掌握奇偶性与单调性的联系以及复合函数单调性法则，并会灵活应用

教学内容


1.给出下列函数:
（1）； （2）； （3）；　
（4） （5）
其中不存在反函数的是__________________.
2.求下列函数的反函数：
（1）； （2）；


3. 若既在的图象上，又在它反函数图象上，求的值





知识点一：函数奇偶性
知识梳理
1．偶函数和奇函数

偶函数
奇函数
定义
条件
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有
f(－x)＝f(x)
f(－x)＝－f(x)
结论
函数f(x)叫作偶函数
函数f(x)叫作奇函数
图象特征
图象关于y轴对称
图象关于原点对称
2．奇偶函数的性质
(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．
(2)在公共定义域内
①两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数．
②两个偶函数的和函数、积函数都是偶函数．
③一个奇函数、一个偶函数的积函数是奇函数．
即：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇；（记忆窍门：奇(－)偶(＋)）
(3)若f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)＝0.
(4)若g(x)是偶函数函数，那么y=f(g(x))一定是偶函数.（复合函数奇偶性口诀：内偶则偶，内奇同外）
3．判断函数奇偶性的方法
(1)定义法

注：①对于较复杂的解析式，可先对其进行化简，再利用定义进行判断，同时应注意化简前后的等价性．②所给函数的定义域若不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性．
(2)图象法

(3)性质法：
①设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇；
②若某奇函数若存在反函数，则其反函数必是奇函数

例题精讲
一、函数的奇偶性
（一）判断函数奇偶性
【例1】设是上的任意函数，则下列叙述正确的是（ ）
A．是奇函数 B．是奇函数
C．是偶函数 D．是偶函数
【例2】判断函数的奇偶性：
⑴； ⑵； ⑶；




⑷； ⑸； ⑹．




【例3】是非奇非偶函数，证明如下： ，这种证法正确吗？若正确，说明理由；若不正确，请给出正确的证法．



【例4】如图，在直角坐标平面内有一个边长为、中心在原点的正六边形，. 直线与正六边形交于M、N两点，记的面积为，则函数的奇偶性为（ )
x
L
N
M
O
F
E
D
C
B
A
y
A．偶函数 　　　　　　　　　 B．奇函数
C．不是奇函数，也不是偶函数 　　　 D．奇偶性与有关[来





【例5】已知函数，其中.根据的不同取值，讨论的奇偶性，并说明理由．


【例6】若函数为偶函数且非奇函数，则实数的取值范围为_____．


【例7】已知函数对一切，都有．求证：为奇函数．



（二）利用函数奇偶性
【例8】定义在上的函数是奇函数，则常数___,____
【例9】、设，是定义在上的函数，，则“，均为偶函数”是“为偶函数”___ 的条件。
充分而不必要
【例9】（1）已知是奇函数,且.若,则_______ .
（2）已知定义在R上的奇函数和偶函数满足，若， 则



x
0
y
1
2
3
y=f(x)
y=g(x)

13、已知是偶函数，是奇函数，它们的定义域均为[-3，3]，且它们在上的图像如图所示，则不等式的解集是_________.





【例10】设为定义在上的奇函数,且时,,则函数在上的零点个数为（　　）
A． B． C． D．
【例11】已知函数()，如果（），那么的值是（　　）
A． B．3 C．5 D．


【例12】设是函数的图象上一点，向量，，且.数列是公差不为0的等差数列，且，则_____．



【例13】设为实常数,是定义在R上的奇函数,当时,,若对一切成立,则的取值范围为___________．




【例14】已知定义在上的函数(为实常数)，
（1）当时，证明：不是奇函数；
（2）设是奇函数，求与的值；
（3）当是奇函数时，证明对任何实数，都有成立．











巩固练习
1、判断下列函数的奇偶性：
（1） （2） （3）


2、函数是偶函数的充要条件是___________
3、为上的奇函数，当时，，则当时,= 。



4．设函数，其中、（，）为已知实常数，.
下列关于函数的性质判断正确的命题的序号是_______________．
① 若，则对任意实数恒成立；
② 若，则函数为奇函数；
③若，则函数为偶函数；
5．已知，，且，，
则=_____．


6．设函数是定义域为的奇函数，，，求的值．



7．已知函数，，，且与的图像在轴上的截距相等．
（1）求的值；
（2）若，，试讨论函数的奇偶性．












8．
已知函数，（为正常数），且函数与的图像在轴上的截距相等．
（1）求的值；
（2）若（为常数），试讨论函数的奇偶性．











知识点二：函数单调性
知识梳理
1．单调函数的定义

增函数
减函数
定
义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2
当x1