第11讲 函数的对称性与周期性-【高考培优直通车】2022年高三数学大一轮复习精品讲义（上海专用）

第11讲-函数的对称性与周期性（原卷版）

                                                                        教学内容

1.设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集为________．

2．函数f(x)＝(x＋1)是________函数．(填“奇”“偶”或“非奇非偶”)

知识点一：函数的周期性

知识梳理

1、周期函数的定义

一般地，对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有，那么函数就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的一个周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。

显然，若T是函数的周期，则也是的周期。如无特别说明，我们后面一般所说的周期是指函数的最小正周期。

说明：周期函数不一定都有最小正周期。

2、关于函数周期性的一些常见结论

1.若，则是周期函数，是它的一个周期；

2.的周期为的周期为；

3.对于非零常数，若函数满足，则函数的一个周期为.

4.对于非零常数，若函数满足，则函数的一个周期为.

5.对于非零常数，若函数满足，则函数的一个周期为.

6. 对于非零常数，若函数满足，则的一个周期为.

若函数满足，则的一个周期为.

若函数满足，则的一个周期为.

若函数满足，则的一个周期为.

7. 对于非零常数，若函数满足，则的一个周期为.

例题精讲

题型一：利用周期性求函数值

例1.已知定义在R上的奇函数满足，则的值为 (      )

A、－1           B、0             C、1                 D、2

例2.已知奇函数满足的值为              .

题型二：利用周期性求解析式

例3.设奇函数的定义域为，且，当时，，求在上的表达式.

题型三：类周期函数

例4：已知函数f(x)对任意x∈R，都有f(x＋2π)＝f(x)，当x∈(0，π)时，f(x)＝2sin ，则f 等于(　　)

A.         B.        C．1        D.

例5：已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝－f(x＋2)，当x∈(0,2]时，f(x)＝2x＋log2x，则f(2 020)等于(　　)

A．5       B.      C．2       D．－5

巩固练习

1、已知函数f(x)＝是奇函数．

(1)求实数m的值；

(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．

2、设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.

(1)求证：f(x)是周期函数；

(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式．

3、设定义在R上的函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)，且当x∈[0,3)时，f(x)＝2x－x2＋1，则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 021)＝________.

知识点二：函数的对称性

知识梳理

一、对称性的概念及常见函数的对称性

1、对称性的概念

①函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。

②中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。

2、常见函数的对称性（所有函数自变量可取有意义的所有值）

⑴常数函数;⑵一次函数;⑶二次函数;⑷反比例函数;⑸幂函数;⑹正弦函数;⑺余弦函数;⑻正切函数;⑼正弦型函数;⑽耐克函数;⑾绝对值函数：这里主要说的是和两类。前者显然是偶函数，它会关于轴对称;后者是把轴下方的图像对称到轴的上方，是否仍然具备对称性，这也没

有一定的结论，例如就没有对称性，而却仍然是轴对称。⑿形如的图像是双曲线，其两渐近线分别直线(由分母为零确定)和直线(由分子、分母中的系数确定)，对称中心是点。

二、抽象函数的对称性

【此类问题涉及到了函数图象的两种对称性，一种是同一函数自身的对称性，我们称其为自对称；另一种是两个函数之间的对称性 ，我们称其为互对称。】

1、函数图象本身的对称性（自对称问题）

（1）轴对称

①的图象关于直线对称  

② 的图象关于直线对称.

特别地，函数的图像关于轴对称的充要条件是.

（2）中心对称        

①的图象关于点对称  

。

②   的图象关于点对称.

特别地，函数的图像关于原点对称的充要条件是.

2、两个函数图像的对称性（互对称问题）

（1）函数与图象关于直线对称。

（2）函数与图象关于直线对称

（3）函数与图象关于直线对称

（4）函数与图象关于直线对称即直线对称（注意不是 ）

（5）函数与图象关于轴对称。

（6）函数与图象关于轴对称。

（7）函数与图象关于直线成轴对称。

（8）函数与图象关于直线成轴对称。

（9）函数与的图像关于直线对称。

（10）函数与的图像关于直线对称。

（11）函数有反函数，则和的图像关于直线对称。

（12）函数与的图像关于点成中心对称。特别地，函数与图象关于原点对称。

例题精讲

例1.已知函数定义域为，且对于任意实数满足，当时，，则         .

例2.已知函数图象的对称中心是，则             .

例3.已知函数，则该函数的对称轴方程为              .      

例4.已知函数，函数与的图像关于轴对称，求函数在区间上的最值.

例5. 设，函数的图像与函数的图像关于点对称．求函数的解析式．

巩固练习

1、已知函数f(x)的定义域为R，对任意x都有f(2＋x)＝f(2－x)，且f(－x)＝f(x)，则下列结论不正确的是(　　)

A．f(x)的图象关于直线x＝2对称

B．f(x)的图象关于点(2,0)对称

C．f(x)的周期为4

D．y＝f(x＋4)为偶函数

2、已知函数f(x)的定义域为R，当x∈[－2，2]时，f(x)单调递减，且函数y＝f(x＋2)为偶函数，则下列结论正确的是(　　)

A．f(π)<f(3)<f()

B．f(π)<f()<f(3)

C．f()<f(3)<f(π)

D．f()<f(π)<f(3)

3、已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)为奇函数，其图象关于直线x＝2对称．当x∈[0,4]时，f(x)＝x2－4x，则f(2 022)＝________.

知识点三：函数的周期性和对称性综合

知识梳理

1、常见周期函数的函数方程：

（1）函数值之和定值型，即函数

对于定义域中任意满足，则有，故函数的周期是

特例：，则是以为周期的周期函数；

（2）两个函数值之积定值型，即倒数或负倒数型

若，则得，所以函数的周期是

（3）分式型，即函数满足

由得，进而得

，由前面的结论得的周期是

特例：

，则是以为周期的周期函数.

，则是以为周期的周期函数.

，则是以为周期的周期函数.

2、函数的对称性与周期性之间的联系：双对称性函数的周期性

具有多重对称性的函数必具有周期性。即，如果一个函数有两条对称轴（或一条对称轴和一个对称中心、或两个纵坐标相同的对称中心），则该函数必为周期函数。

相关结论如下：

结论1：两线对称型：如果定义在上的函数有两条对称轴、，即，且，那么是周期函数，其中一个周期

结论2：两点对称型：如果函数同时关于两点、（）成中心对称，即和，那么是周期函数，其中一个周期

结论3：一线一点对称型：如果函数的图像关于点（）成中心对称，且关于直线（）成轴对称，那么是周期函数，其中一个周期

下面给出结论3的证明：

证明：

推论1：如果偶函数的图像关于直线（）对称，那么是周期函数，其中一个周期

推论2：如果偶函数的图像关于直线（）对称，那么是周期函数，其中一个周期

推论3：如果奇函数的图像关于直线（）对称，那么是周期函数，其中一个周期

推论4：如果奇函数关于点（）成中心对称，那么是周期函数，其中一个周期

例题精讲

例1.设函数在上满足，，且在闭区间［0，7］上，只有．

（1）试判断函数的奇偶性；

（2）试求方程=0在闭区间［-2020，2020］上的根的个数，并证明你的结论．

例2.若函数在上是奇函数，且在上是增函数，且.

①求的周期；

②证明的图象关于点中心对称;关于直线轴对称, ;

③讨论在上的单调性；

例3.若定义在实数集上的奇函数的图像关于直线对称，且当时，，则方程在区间内的所有实根之和为________．       

例4. 已知集合是满足下列性质的函数的全体：存在实数、，对于定义域内的任意，均有成立，称数对为函数的“伴随数对”；

（1）判断函数是否属于集合，并说明理由；

（2）若函数，求满足条件的函数的所有“伴随数对”；

（3）若、都是函数的“伴随数对”，当时，；

当时，，求当时，函数的解析式和零点；

巩固练习

1.已知函数是以为周期的偶函数，当时，，令函数，则的反函数为______________________.

2.记函数的定义域为. 如果存在实数、使得对任意满足且的恒成立，则称为函数.

（1）设函数，试判断是否为函数，并说明理由；

（2）设函数，其中常数，证明：是函数；

（3）若是定义在上的函数，且函数的图象关于直线（为常数）对称，试判断是否为周期函数？并证明你的结论.

1.已知函数是定义在R上的偶函数，且对任意，都有，当的时候，，在区间上的反函数为，则______.  

2.若函数，则的值为______.       

3.已知定义在上的奇函数满足，且当时，；若对于任意，都有，则实数的取值范围是______.  

4.设函数的定义域为D，如果存在非零常数T，对于任意x∈D，都有，则称函数是“似周期函数”，非零常数T为函数的“似周期”．现有下面四个关于“似周期函数”的命题：

① 如果“似周期函数”的“似周期”为﹣1，那么它是周期为2的周期函数；

② 函数是“似周期函数”；

③ 函数是“似周期函数”；

④ 如果函数是“似周期函数”，那么“”．

其中是真命题的序号是　　　　　　．（写出所有满足条件的命题序号）

5. 定义在上的函数满足：对任意的实数，存在非零常数，都有成立.

（1）若函数，求实数和的值；

（2）当时，若，，求函数在闭区间上的值域；

（3）设函数的值域为，证明：函数为周期函数.

6. 已知函数定义域为，对于任意恒有；

（1）若，求的值；

（2）若时，，求函数的解析式及值域；

（3）若时，，求在区间上的最大值与最小值.

笔耕不辍