第15讲 解三角形-【高考培优直通车】2022年高三数学大一轮复习精品讲义（上海专用）

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第15讲-解三角形(教师版)
学习目标：
正弦定理与余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，
1：熟练运用边、角、面积的计算
2：熟练运用三角化简
3：熟练运用最值问题

教学内容

1.在△ABC中，cos ＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝(　　)
A.4 B. C. D. 2
解析：因为cos ＝，所以cos C＝2cos2 －1＝2×－1＝－.
于是，在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos C＝52＋12－2×5×1×＝32.所以AB＝4.答案　A
2．在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则sin A＝(　　)
A. B . C. D.
D　解析：设BC边上的高线为AD，则BC＝3AD，DC＝2AD.所以AC＝＝AD.由正弦定理知，＝，即＝.解得sin A＝.故选D.
3．已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为，b，c,23cos2A＋cos 2A＝0，＝7，c＝6，则b＝(　　)
A．10 B．9 C．8 D．5
解析：23cos2A＋cos 2A＝25cos2A－1＝0，cos A＝或cos A＝－(舍)，2＝b2＋c2－2bccos A,49＝b2＋36－12b×，5b2－12b－65＝0，(5b＋13)(b－5)＝0，且b>0，所以b＝5. 故选D









知识点一：正弦定理、余弦定理的运用
知识梳理

1.正弦定理
在△ABC中，＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆半径)；
变形：＝2Rsin A，sin A＝，
∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C等.
2.余弦定理
在△ABC中，2＝b2＋c2－2bccos A；
变形：b2＋c2－2＝2bccos A，cos A＝.

例题精讲
例1、△ABC的内角A、B、C的对边分别为、b、c．已知，，c=，则( )
A． B． C． D．

【解析】因为，，
所以，又，所以，，又，所以，又a=2，c=，由正弦定理得,即．又，所以，
故选B．

例2、的内角的对边分别为．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【解析】选D ．由余弦定理得，即，
整理得，解得．故选D．

例3、在平面四边形中,
（1） 求；
（2） 若，求.
【解析】（1）∵∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．
∴由正弦定理得：=，即=，
∴sin∠ADB==，
∵AB＜BD，∴∠ADB＜∠A，
∴cos∠ADB==．
（2）∵∠ADC=90°，∴cos∠BDC=sin∠ADB=，
∵DC=2，
∴BC=
==5．

巩固练习
1、如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°.

(1)若PB＝，求PA；(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA.


【解析】(1)由已知得∠PBC＝60°，所以∠PBA＝30°.
在△PBA中，由余弦定理得PA2＝，故PA＝.
(2)设∠PBA＝α，由已知得PB＝sin α，在△PBA中，由正弦定理得，
化简得cos α＝4sin α，所以tan α＝，即tan∠PBA＝.
2、在中，，，，求：
（1） 角；
（2） 边上的高。
【答案】（1） （2）
【解析】（1）由且得且为钝角；
由正弦定理可得：；
由且，故。
（2），
设边上的高为，则
知识点二：三角形面积公式的运用
知识梳理
三角形面积公式
S△ABC＝bsin C＝bcsin A=csin B=(其中R其外接圆半径)



例题精讲
例1、已知分别为内角的对边，．
（1）若，求；（2）设，且，求的面积．
【解析】（1）由正弦定理得，．又，
所以，即．则．
（2）解法一：因为，所以，
即，亦即．
又因为在中，，所以，
则，得．
所以为等腰直角三角形，得，所以．
解法二：由（1）可知，①
因为，所以，②
将代入得，则，所以．
解：(Ⅰ) 因为sin2B=2sinAsinC． 由正弦定理可得b2=2ac．
又a=b，可得a=2c， b=2c，由余弦定理可得．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知b2=2ac． 因为B=90°，所以a2+c2=b2=2ac．
解得a=c=． 所以ΔABC的面积为1．

例2、已知三角形中，三个内角、、的对应边分别为、、，且，.
（1）若，求；
（2）设点是边的中点，若，求三角形的面积.
【答案】（1）（2）
【解析】(1)（解法一）由余弦定理，

（解法二）由正弦定理，

（2）（解法一）设则由
知 解得，
故，
三角形的面积

（解法二）设则.
因此,解得.
故，从而
因而三角形的面积
（解法三）延长至.使,则四边形是平行四边形
因而三角形的面积与三角形的面积相等

而三角形的三边长分别为,根据公式，
其面积为
因此三角形的面积为.


例3、已知函数．
（1）当的最小正周期为时，求的值；
（2）当时，设的内角对应的边分别为，已知，且，求的面积．
【答案】（1）（2）或
【解析】 1）.
因为的周期为，且，所以，解得.
（2）由（1）得.因为，所以.
由，知，解得，所以.
由余弦定理知，即，
所以或.
所以或．

巩固练习
1、的内角的对边分别为，已知．
（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，的面积为，求的周长．
【解析】⑴ ，由正弦定理得：
，∵，，∴
∴，，∵，∴
⑵ 由余弦定理得：，，
，∴，∴，
∴周长为

知识点三：解三角形中的最值
例题精讲
例1、已知分别为的三个内角的对边，=2，
且，则面积的最大值为 .
【解析】：由且 ，即，由及正弦定理得：，∴，故，∴，∴，，∴，
例2、在中，边满足，，则边的最小值为___________．
【答案】
【解析】由余弦定理可得，则，所以，当且仅当时等号取得。

例3、在△中，、、分别是角、、的对边，且.
（1）若，求△的面积；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1） （2）
【解析】（1）由，可得，
即，故，
又，故，因，故． 　
因为，所以，得， 　
△ABC的面积为．
（2）由，可得，
所以 　　 　
，　
又，故，即，所以，
所以．
即的取值范围是．
例4、已知等边的边长为，点是其外接圆上的一个动点，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】由正弦定理可得外接圆半径，令外接圆圆心，则，设，则 ，.





巩固练习
1、在中，，则的最大值为 ．
【解析】,,
；
，故最大值是
2、在△中，，，则△面积的最大值
是
【解析】，，=，
，，
3、在中，内角的对边分别为，若，则=____
【答案】
【解析】




知识点四：应用举例
例题精讲
例1、如图所示，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点．从点测得点的仰角，点的仰角以及
；从点测得．
已知山高，则山高 ．

【解析】在RtΔABC中，由条件可得，
在ΔMAC中，∠MAC=45°；由正弦定理可得，故，在直角RtΔMAN中，MN=AMsin60°=150．

例2、某人驾驶一艘小游艇位于湖面处，测得岸边一座电视塔的塔底在北偏东方向，且塔顶的仰角为，此人驾驶游艇向正东方向行驶1000米后到达处，此时测得塔底位于北偏西方向，则该塔的高度约为 （ ）
【A】265米 【B】279米 【C】292米 【D】306米
【答案】C
【解析】米.




例3、某居民小区为解决业主停车难的问题，拟对小区内一块扇形空地进行改建。如图所示，平行四边形区域为停车场，其余部分建成绿地，点在围墙 弧上，点和点分别在道路与道路上，且米，，设。
（1）求停车场面积关于的函数关系式，并指出的取值范围；
（2）当为何值时，停车场面积最大，并求出最大值（精确到0.1平方米）

【答案】（1），的取值范围为
（2）
【解析】（1）由平行四边形得，在中，,,
则，即，
即，，
则停车场面积，
即，其中
（2）由（1）得，
即，
则
因为，所以，
则时，平方米.
故当时，停车场最大面积为平方米

例4、某地实行垃圾分类后，政府决定为、、三个校区建造一座垃圾处理站，集中处理三个小区的湿垃圾，已知在的正西方向，在的北偏东30°方向，在的北偏西20°方向，且在的北偏西45°方向，小区与相距2，与相距3.
（1）求垃圾处理站与小区之间的距离；
（2）假设有大、小两种运输车，车在往返各小区、处理站之间都是直线行驶，一辆大车的行车费用为每公里元，一辆小车的行车费用为每公里元（其中为满足是199内的正整数），现有两种运输湿垃圾的方案：
方案1：只用一辆大车运输，从出发，依次经、、再由返回到；
方案2：先用两辆小车分别从、运送到，然后并各自返回到、，一辆大车从直接到再返回到；试比较哪种方案更合算？请说明理由.
（结果精确到小数点后两位）
【答案】（1）（2）第一种方案：，第二种方案：；
当，选择方案二，当，选择方案一。
【解析】（1）由题意可知：


（2）第一种方案：
第二种方案：
当
第一种方案：，第二种方案：；
当，选择方案二，当，选择方案一。
例5、如图，某城市有一矩形街心广场ABCD，其中百米，百米。现将挖掘一个三角形水池种植荷花，其中点在边上，点在边上，要求.
(1) 若百米，判断是否符合要求，并说明理由；
(2) 设,求的面积关于的表达式，并求出的最小值。
【答案】（1）不符合 （2）见解析
【解析】
（1）
所以不符合要求。
（2） 在中，，

当时，



巩固练习
1.如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为，，于水面C处测得B点和D点的仰角均为，AC＝0.1km。试探究图中B，D间距离与另外哪两点距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01km，1.414，2.449）
【解析】：在中，＝30°，＝60°－＝30°，
所以CD＝AC＝0.1
又＝180°－60°－60°＝60°，
故CB是底边AD的中垂线，所以BD＝BA
在中，，
即AB＝
因此，
故B、D的距离约为0.33km。
2、如图，某市郊外景区内一条笔直的公路经过三个景点、、，景区管委会又开发了风景优美的景点，经测量景点位于景点的北偏东30°方向8处，位于景点的正北方向，还位于景点的北偏西75°方向上，已知.
（1）景区管委会准备由景点向景点修建一条笔直的公路，不考虑其他因素，求出这条公路的长；（结果精确到0.1）
（2）求景点与景点之间的距离.（结果精确到0.1）
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）设，则由余弦定理，即，
解得，
舍去，所以，这条公路的长约为
（2）在中，由正弦定理得，
所以，在，，
由正弦定理得。
景点与景点之间的距离为。
3、东西向的铁路上有两个道口,铁路两侧的公路分布如图，位于的南偏西，且位于的南偏东方向，位于的正北方向，,处有一辆救护车欲通过道口前往处的医院送病人，发现北偏东方向的处（火车头位置）又一列火车自东向西驶来，若火车通过每个道口都需要1分钟，救护车与火车的速度均为。
（1）判断救护车通过道口是否会受到火车影响，并说明理由
（2）为了尽快将病人送到医院，救护车应该选择中的哪个道口？通过计算说明
【答案】（1）会受影响，见解析 （2）从道口走，见解析
【解析】（1）中，

救护车到达道口需要
火车通过道口A需要
所以，救护车通过道口会受影响
（2）在中，

火车通过道口的时间为，救护车通过道口的时间为2min
救护车通过道口时火车尚未到达，可以直接通过
中，
经道口到达医院的总时间为
由（1）得，救护车从道口走，通过时间为火车通过A道口的时间
经A道口到达医院的总时间为
所以，从道口去医院更快


1.已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,23cos2A＋cos 2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝(　　)．
A．10 B．9 C．8 D．5
【解析】选D．由23cos2A＋cos 2A＝0，得cos2A＝．∵A∈，∴cos A＝．
∵cos A＝，∴b＝5或(舍)．
2.△ABC的内角A，B，C的对边分别为，b，c．已知，，则△ABC的面积为　 　．
【解析】△ABC的内角A，B，C的对边分别为，b，c．
，
利用正弦定理可得+=，
由于0＜B＜π，0＜C＜π，所以≠0，
所以，则或
由于，则:
①当时，，解得，所以
②当时，，
解得（不合题意），舍去．故：．
故答案为：．
3、在平面四边形中，，，则的取值范围是 .
【解析】 如图所示，延长，交于，平移，当与重合于点时，最长，在中，，，，由正弦定理可得，解得=；平移，当与重合时，最短，此时在中，，，由正弦定理知 ，解得，所以的取值范围为.
4、在△中，，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】由题意,所以
5、设的内角、、的对边分别为、、，若，，，则
【答案】
【解析】

解得

解得

6、已知，，分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，．
（1）求A；
（2）若，△ABC的面积为，求，．
【解析】（1）根据正弦定理，得， ，
因为，
所以，
化简得，
因为，所以，即，
而，，从而，解得．
（2）若，△ABC的面积为，又由（1）得，
则，化简得，
从而解得，．
7、△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为
（1）求sinBsinC；（2）若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周长
【解析】（1）面积．且，，
，由正弦定理得，由得．
（2）由（1）得，，，
，
又，，，，由余弦定理得 ①
由正弦定理得，， ②
由①②得，，即周长为．

8、已知，，分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，．
（1）求A；（2）若，△ABC的面积为，求，．
【解析】（1）根据正弦定理，得，，，
因为，
所以，
即，（1）
由三角形内角和定理，得，
代入（1）式得，
化简得，
因为，所以，即，
而，，从而，解得．
（2）若，△ABC的面积为，又由（1）得，
则，化简得，

从而解得，．


9、已知函数
（1）求的最大值和最小正周期
（2）在中，内角所对边分别为，已知，且，求面积的最大值.
【答案】（1）；（2）
【解析】
（1）
（2） ∴，

（2）由 得
因为 ，所以，得 ，
因为，由余弦定理，得 ，
由 得 ，当且仅当时取得等号
∴面积，
∴面积的最大值为








10、某开发商欲将一块如图所示的四边形空地沿着边界用固定高度的板材围成一个封闭的施工区域，经测量，边界与的长都是2千米，，.
（1）如果，求的长（结果精确到0.001千米）；
（2）围成该施工区域至多需要多少千米长度的板材？（不计损耗，结果精确到0.001千米）






【答案】（1） 千米（2）千米
【解析】（1）联结BD，则在中
由，
得：
所以的长约为1.633千米
（2）方法一：设，则
在中，由，
得：
所以
所以当时，取得最大值，
此时围成该施工区域所需的板材长度最长，为千米，约为6.309千米



11、某公园计划在矩形空地上建造一个扇形花园，如图1所示，矩形的边与边的长分别为48米与40米，扇形的圆心为中点，扇形的圆弧端点、分别在与上，圆弧的中点在上.
（1）求扇形花园的面积（精确到1平方米）；
（2）若在扇形花园内开辟出一个矩形区域为花卉展览区，如图2所示，矩形的四条边与矩形的对应边平行，点、分别在、上，点、在扇形的弧上，某同学猜想：当矩形面积最大时，两矩形与的形状恰好相同（即长与宽之比相同），试求花卉展览区面积的最大值，并判断上述猜想是否正确（请说明理由）.


【答案】（1）扇形花园的面积为1030平方米；（2）花卉展览区面积的最大值为平方米，该同学的猜想是正确的.

【解析】 （1）设，则，在直角中，，
，，， 可得扇形的面积平方米，
所以扇形花园的面积约为平方米.
（2）在图2中，连，设，
则在中，由，可得，
又，，
所以矩形的面积

，
当且仅当，即时，取最大值，
的最大值为，所以花卉展览区面积的最大值为平方米.
当的面积最大时，，
此时，从而两矩形长和宽之比相等，
所以两矩形的形状相同，即该同学的猜想是正确的.

12、某地为庆祝中华人民共和国成立七十周年，在一个半径为米、圆心角为的扇形OAB草坪上，由数千人的表演团队手持光影屏组成红旗图案. 已知红旗图案为矩形，其四个顶点中有两个顶点M、N在线段OB上，另两个顶点P，Q分别在弧AB、线段OA上．
P
O
A
B
Q
M
N
（1）若，求此红旗图案的面积；
（2）求组成的红旗图案的最大面积．
【答案】答案见解析
【解析】
（1）由题意知，

（平方米）-

（2）设

红旗图案面积



-
当时，（平方米）
组成的红旗图案最大面积为平方米.

笔耕不辍