第18讲-等差数列-【高考培优直通车】2022年高三数学大一轮复习精品讲义（上海专用）

第18讲-等差数列（原卷版）

                                                                        教学内容

1、函数的最大值为________

2、 已知、、成等差数列，、、成等比数列.

（1）若，求；（2）求的值.

知识点一：等差数列的概念和公式

知识梳理

一、等差数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列叫做等差数列，常数称为等差数列的公差；

二、通项公式：，为首项，为公差；

三、等差数列的判断方法：

（1）定义法：（，是常数）是等差数列；

（2）中项法：是等差数列；

四、等差数列的前项和公式：；若，表示是的二次函数，且常数项为零；若，表示；

例题精讲

【例1】已知数列是一个等差数列，且；

（1）求的通项；（2）求前项和的最大值；

【例2】已知公差大于零的等差数列的前项和为，且满足：；

（1）求数列的通项公式；（2）若数列是等差数列，且，求非零常数；

【例3】在等差数列中，，从第项开始为正数，则公差的取值范围是______；

【例4】设正项数列的前项和为，若和都是等差数列，且公差相等，则__________；

【例5】在公差为的等差数列中，已知，且成等比数列；

（1）求；（2）若，求；

【例6】已知数列满足；其中是不为0的常数，令；

（1）求证：数列是等差数列；（2）求数列的通项公式；

巩固练习

1、（2020虹口一模5）设等差数列的前项和为，则____．

2、（2019青浦一模10）设等差数列满足，其前项和为，若数列也为等差数列，则             ．

3、（2019徐汇一模16）已知数列是公差不为的等差数列，前项和为.若对任意的，都有，则的值不可能为（    ）

【A】2                     【B】                     【C】                             【D】

4、（2020宝山一模11）已知，均是等差数列，，若的前三项是，则＿＿＿＿．

知识点二：等差数列的性质

知识梳理

五、等差数列的常用性质：

（1）等差中项：如果成等差数列，那么叫做与的等差中项；

即：是与的等差中项成等差数列；

（2）；；

（3）若，则；

特别的，当时，；

（4）；

（5）在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即为等差数列，公差为；

（6）数列是等差数列，则数列（是常数）都是等差数列；

（7）数列是等差数列，则也是等差数列；

六、等差数列的最值问题：

若是等差数列，求前n项和的最值时，

     （1）若>0，d>0,且满足，前n项和最大；

     （2）若<0，d>0，且满足，前n项和最小；

     （3）除上面方法外，还可将的前n项和的最值问题看作关于n的二次函数最值问题，利用二次函数的图象或配方法求解，注意.

例题精讲

【例1】（1）等差数列的前n项和的最大值只有，且，则使的n最大值为____；

(2)等差数列中，，则取最大值时n＝_________________；

(3)已知数列的通项公式是，当前n项和取到最小值时，．

【例2】已知是等差数列的前项和，且，有下列四个命题，假命题的是（  ）

A．公差    B．在所有中，最大

C．满足的的个数有11个    D．

【例3】在等差数列中，若，求的值；

【例4】（2018奉贤一模15）等差数列中，，若存在正整数满足时有成立，则（     ）．

A．；                               B．；  

C．由等差数列的公差的值决定；         D．由等差数列的首项的值决定；

【例5】若一个等差数列前3项和为34，后3项和为146，且所有项的和为390，求这个数列项数；

【例6】已知等差数列的前项和为，前项和为，求其前项的和；

【例7】等差数列的前项和为，若，则__________；

【例8】两等差数列、的前项和的比，则的值是（  ）

A．    B．    C．    D．

【例9】（2018闵行一模15）无穷等差数列的首项为，公差为，前项和为（），则“”是“为递增数列”的（          ）条件.

   A. 充分非必要；     B. 必要非充分；     C. 充要；     D. 既非充分也非必要.

巩固练习

1、（2019黄浦一模4）记等差数列()的前项和为．若，则      ．

2、等差数列的前n项和为若，则下列结论：（1），其中正确结论是__________________．

3、（2019松江一模4）已知等差数列的前和为，则=        .

4、已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数是__________；

5、设是等差数列的前项和，，则等于（  ）

A．15    B．16    C．17    D．18

知识点三：等差数列的综合应用

例题精讲

【例1】数列是等差数列，和是方程的两根，则数列的前项的和为__________．

【例2】公差为，各项均为正整数的等差数列中，若，则的最小值等于__________；

【例3】古代印度数学家婆什迦罗在其所著的《莉拉沃蒂》中有如下题目：“今有人拿钱赠人，第一人给3元，第二人给4元，第三人给5元，其余依次递增，分完后把分掉的钱全部收回，再重新分配，每人恰分得100元，则一共__________人；

【例4】天干地支纪年法，源于中国．中国自古便有十天千与十二地支．

十天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；

十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．

天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，

天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推．排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推．已知2016年为丙申年，那么到改革开放100年时，即2078年为        年．

【例5】设函数，是公差为的等差数列，，则__________；

【例6】美国某公司给员工加工资有两个方案：一是每年年末加1000美元；二是每半年结束时加300美元；问：

（1）从第几年开始，第二种方案比第一种方案总共加的工资多？

（2）如果在该公司干10年，问选择第二种方案比选择第一种方案多加工资多少美元？

（3）如果第二种方案中每半年加300美元改为每半年加a美元，问a取何值时，总是选择第二种方案比第一种方案多加工资？

【例7】（2019宝山一模21）如果数列对于任意，都有，其中为常数，则称数列是“间等差数列”，为“间公差”.若数列满足，，.

（1）求证：数列是“间等差数列”，并求间公差；

（2）设为数列的前项和，若的最小值为，求实数的取值范围；

（3）类似地：非零数列对任意的，都有，其中为常数，则称数列是“间等比数列”，为“间公比”。已知数列中，满足，，，试问数列是否为“间等比数列”，若是，求最大的整数使得对于任意，都有；若不是，请说明理由.

巩固练习

1、（2017浦东一模15）设是等差数列，下列命题中正确的是（    ）

   A. 若，则         B. 若，则        

C. 若，则         D. 若，则

2、（2019奉贤一模16）若三个非零且互不相等的实数，，成等差数列且满足，则称，，成“等差数列”．已知集合，则由中的三个元素组成的所有数列中“等差数列”的个数为（   ）．

【】          【】            【】              【】

3、（2019松江一模19）某科技创新公司投资400万元研发了一款网络产品，产品上线第1个月的收入为40万元，预计在今后若干月内，该产品每月的收入平均比上一月增长50%。同时，该产品第1个月的维护费支出为100万元，以后每月的维护费支出平均比上一个月增加50万元.

（1）分别求出第6个月该产品的收入和维护支出，并判断第6个月该产品的收入是否够支付第6个月的维护支出？

（2）从第几个月起，该产品的总收入首次超过总支出？（总收入包括维护费支出和研发投资支出）

4．已知是公差为的等差数列，它的前项和为，，；

（1）求公差的值；

（2）若，求数列中的最大项和最小项的值；

（3）若对任意的，都有成立，求的取值范围；

一、基础过关

1．已知{an}是等差数列，且a2＋a5＋a8＋a11＝48，则a6＋a7等于(　　)

A．12            B．16           C．20            D．24

2．数列{an}的前n项和Sn＝n(2n－1)，若k－l＝4(k，l∈N*)，则ak－al等于(　　)

A．4            B．8             C．16             D．32

3．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝ran＋r(n∈N*，r∈R，r≠0)，则“r＝1”是“数列{an}为等差数列”的(　　)

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件

C．充要条件   D．既不充分也不必要条件

4．我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中间四人未到者，亦依次更给，问各得金几何？”则在该问题中，等级较高的一等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金(　　)

A．多斤   B．少斤

C．多斤   D．少斤

5．已知数列{an}是公差不为0的等差数列，前n项和为Sn，满足a1＋5a3＝S8，给出下列结论：

①a10＝0；②S10最小；③S7＝S12；④S20＝0.

其中一定正确的结论是(　　)

A．①②          B．①③④              C．①③                D．①②④

6．已知数列{an}满足：an＋1＝(a∈R，n∈N*)，且a1＝，则下列说法错误的是(　　)

A．存在a∈R，使得为等差数列

B．当a＝－1时，a2 021＝

C．当a＝2时，a1<a2<a3<…<an<

D．当a＝4时，是等比数列

7．若Sn是等差数列{an}的前n项和，且S8－S3＝20，则S11＝________.

8．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，S3＝a5，am＝2 021，则m＝________.

10．已知在数列{an}中，a6＝11，且nan－(n－1)an＋1＝1，则an＝________；的最小值为________．

11．在数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2－2an＋1＋an＝0(n∈N*)．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn.

12．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，S2＝2，S3＝－6.

(1)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn；

(2)是否存在正整数n，使Sn，Sn＋2＋2n，Sn＋3成等差数列？若存在，求出n；若不存在，请说明理由．

二、技能提升

1．已知数列{an}是等差数列，若a9＋3a11<0，a10·a11<0，且数列{an}的前n项和Sn有最大值，那么Sn取得最小正值时n等于(　　)

A．20         B．17          C．19             D．21

2．已知数列{an}满足a1＝2，a2＝3，且an＋2－an＝1＋(－1)n，n∈N*，则该数列的前9项之和为________．

三、拓展冲刺

1．已知数列{an}的奇数项依次构成公差为d1的等差数列，偶数项依次构成公差为d2的等差数列(其中d1，d2为整数)，且对任意n∈N*，都有an<an＋1，若a1＝1，a2＝2，且数列{an}的前10项和S10＝75，则d1＝________，a8＝________.

2．在等差数列{an}中，a3＋a4＝4，a5＋a7＝6.

(1)求{an}的通项公式；

(2)设{bn}＝[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，

如[0.9]＝0，[2.6]＝2.