第28讲-双曲线-【高考培优直通车】2022年高三数学大一轮复习精品讲义（上海专用）

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第28讲-双曲线（解析版）
学习目标：
1. 掌握双曲线的定义
2. 掌握双曲线的几何图形、标准方程
掌握双曲线的几何性质

教学内容

1．平面内有两定点A，B及动点P，设命题甲：“是定值”，命题乙：“点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆”。那么甲是乙成立的( B )
A.充分不必要条件 B．必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】:此题简单，根据定义即可判断。
2．若椭圆过点，则其焦距为( C )
A.； B； C D．
【解析】把点的坐标代入方程得，所以，所以；故焦距为。
3．如图，F1，F2是双曲线－＝1(a>0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线交于点A，B，若△ABF2为等边三角形，则双曲线的标准方程为________________，△BF1F2的面积为________．

【解析】由|AF1|－|AF2|＝|BF1|＝2a，|BF2|－|BF1|＝2a，得|BF2|＝4a，在△AF1F2中，|AF1|＝6a，|AF2|＝4a，
|F1F2|＝2c，∠F1AF2＝60°，由余弦定理得4c2＝36a2＋16a2－2×6a×4a×，化简得c＝a，由a2＋b2＝c2得，a2＋24＝7a2，解得a＝2，则双曲线的方程为－＝1，△BF1F2的面积为|BF1|·|BF2|sin∠F1BF2＝×2a×4a×＝8.
答案：－＝1　8





知识点一：双曲线的定义
知识梳理
平面内动点P与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为常数2a (2a0，c>0：
(1)当 ac 时，P点不存在

例题精讲
例题：已知动圆:M与圆外切，与圆内切，求动圆M的圆心M的轨迹方程.
【答案】动圆M的圆心M的轨迹方程是
【解析】如图，

设动圆M的半径为R，则
所以，
即动点M的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，
设动圆圆心M的轨迹方程为，
则，所以。
所以动圆M的圆心M的轨迹方程是
【反思小结】双曲线有两支，分析具体问题时要注意是一支还是两支。



巩固练习
1：已知是双曲线：的右焦点，是左支上一点，，当
周长最小时，该三角形的面积为 ．
【答案】
【解析】
由题意，双曲线：的右焦点为，实半轴长，左焦点为，因为在的左支上，所以的周长
=，当且仅当三点共线且在中间时取等号，此时直线的方程为，与双曲线的方程联立得的坐标为，此时，的面积为．



知识点二：双曲线的标准方程
知识梳理


例题精讲
例题1.已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1
【解析】由题设知＝，①
又由椭圆＋＝1与双曲线有公共焦点，
易知a2＋b2＝c2＝9，②
由①②解得a＝2，b＝，则双曲线C的方程为－＝1.故选B

例题2. (1)已知焦点:，双曲线上的一点的距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程；
(2)求与椭圆共焦点且过点的双曲线的标准方程。
【答案】(1)双曲线的方程为
(2)双曲线的标准方程为。


【解析】(1)因为双曲线的焦点在上，
所以设它的标准方程为。
因为，所以，所以
所以所求双曲线的方程为。
(2)椭圆的焦点为．
设双曲线的方程为，则
又因为双曲线过点所以
由①②得，所以所求双曲线的标准方程为。
【反思小结】第(1)问依据双曲线的定义即可求解，第(2)问由已知椭圆的方程确定双曲线的焦点，再找到基本量之间的关系即可获解．



巩固练习
1：已知双曲线的焦点在轴上，并且双曲线上两点的坐标分别为，则该双曲线标准方程为
【解析】因为双曲线的焦点在轴上，所以设所求双曲线的标准方程为
因为点在双曲线上，所以点的坐标适合万程．
将分别代入方程中，
得方程组。将看成整数，解得。
所以。故该双曲线的标准方程为。

知识点三：双曲线的性质
例题精讲
例题1.已知双曲线的实轴与虚轴长度相等，则的渐近线方程是 。
【答案】
【解析】由题意知，，所以。
例题2.双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是__________．
【答案】
【解析】双曲线的焦点为，渐近线方程为，由点到直线距离公式得距离.
例题3.已知双曲线的一条渐近线方程为，则实数 .
【答案】
【解析】的渐近线方程为：，
例题4.已知双曲线（，）的一条渐近线平行于直线，
双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的方程为
【答案】
【解析】

巩固练习
1.已知双曲线的渐近线方程为，且右焦点与抛物线的焦点重合，则这个双曲线的方程是____________.
【答案】
【解析】抛物线的焦点为，设双曲线的方程为，即，则，所以双曲线的方程是
2.设是双曲线上的动点，直线为参数与圆相交与,两点，则的最小值是
【答案】
【解析】如图所示，运用极化恒等式有：


3.若双曲线的渐近线方程为，它的焦距为，则该双曲线的标准方程为____________.
【答案】
【解析】根据双曲线的渐近线方程为，可知或；由焦距为得出，，求得的值

4.已知双曲线C：﹣y2=1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条
渐近线的交点分别为M，N．若△OMN为直角三角形，则|MN|=（　　）
A． B．3 C．2 D．4
【解析】双曲线C：﹣y2=1的渐近线方程为：y=，渐近线的夹角为：60°，不妨设过F（2，0）的直线为：y=，
则：解得M（，），
解得：N（），
则|MN|==3．故选：B．



5.在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py(p＞0)交于A，B两点，若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________.
【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立方程：消去x得a2y2－2pb2y＋a2b2＝0，
由根与系数的关系得y1＋y2＝p，
又∵|AF|＋|BF|＝4|OF|，
∴y1＋＋y2＋＝4×，即y1＋y2＝p，
∴p＝p，即＝＝.
∴双曲线渐近线方程为y＝±x.
答案　y＝±x
6.已知、为双曲线的左、右顶点，点在上，为等腰三角形，且顶角为，则的两条渐近线的夹角为___________.
【答案】
【解析】由题意可知代入双曲线方程得则渐近线方程为，故夹角为。





7.如图，、分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的两条渐近线分别交于、两点，若，，则双曲线的焦距为
【答案】
【解析】由，可知
得为的中点，为的中点，所以为三角形的中位线，

渐近线为
8.设双曲线的两个焦点为，点在双曲线上，若，则点到坐标原点的距离的最小值为________.
【答案】
【解析】,时，可知


9.已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，且过点
（1）求双曲线的方程；
(2)若点在双曲线上，求证
【解析】 (1)设等轴双曲线的方程为．
因为该双曲线过点，所以，所以
所以双曲线的方程为。
(2)证明：由(1)知，又，
所以，
所以
因为点在双曲线上，所以，即。所以
知识点四：综合问题
知识梳理

例题精讲
例1．已知动圆过点并且与圆相外切，动圆圆心的轨迹为．
（1）求曲线的轨迹方程；
（2）过点的直线与轨迹交于、两点，设直线，设点，直线交于，求证：直线经过定点．
【解析】（1）由已知，，
轨迹为双曲线的右支，，，，
曲线标准方程．
（2）由对称性可知，直线必过轴的定点，
当直线的斜率不存在时，，，，知直线经过点，
当直线的斜率存在时，不妨设直线，，，
直线，当时，，，
得，，，
下面证明直线经过点，即证，即，
即，由，，
整理得，，即
即证经过点，直线过定点．
总结：
1．过定点问题的两大类型及解法
(1)动直线l过定点问题．解法：设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝mk，得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－m,0)．
(2)动曲线C过定点问题．解法：引入参变量建立曲线 C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．
例2、已知曲线，过点作直线和曲线交于两点.
（1）求曲线的焦点到它的渐近线之间的距离；
（2）若，点在第一象限，轴，垂足为，连结.求直线倾斜角的取值范围；
（3）过点作另一条直线，和曲线交于两点. 问是否存在实数，使得和同时成立.如果存在，求出满足条件的实数的取值集合；如果不存在，请说明理由.
【答案】
【解析】（1）曲线 的焦点为 ，渐近线方程 ，分
由对称性，不妨计算 到直线的距离， .
（2） 设 ，，从而
又因为点在第一象限，所以 ， 8分
从而 ，
所以直线倾斜角的取值范围是
（3）当直线 ，直线 ，
当直线 ，直线 时， （根据对称性，这种不讨论不扣分）不妨设， 与双曲线联立可得，
由弦长公式，
将 替换成 ，可得
由，可得 ，解得 ，此时 成立．
因此满足条件的集合为










例题3、已知双曲线的焦距为4，直线与交于不同的点，且时与的两条渐近线所围成的三角形恰为等边三角形.
（1）求双曲线的方程；
（2）若坐标原点在线段为直径的圆的内部，求实数的取值范围；
（3）设分别是的左、右两顶点，线段的垂直平分线交直线于点，交直线于点，求证：线段在轴上的射影长为定值.
【答案】（1）
（2）
（3）见解析
【解析】（1）当直线与的两条渐近线围成的三角形恰为等边三角形，由根据双曲线的性质得，，又焦距为，则，
解得，，则所求双曲线的方程为
（2）设，，由，得，
则，，且，
又坐标原点在以线段为直径的圆内，则，即，
即，即，
则，
即，则或，
即实数的取值范围
（3）线段在轴上的射影长是. 设，由（1）得点，
又点是线段的中点，则点，
直线的斜率为，直线的斜率为 ，又，
则直线的方程为，即，
又直线的方程为，联立方程，
消去化简整理，得，又，
代入消去，得，
即，则，
即点的横坐标为，
则. 故线段在轴上的射影长为定值




巩固练习
1、直线上的动点到点的距离是它到点的距离的3倍.
（1）求点的坐标；
（2）设双曲线的右焦点是，双曲线经过动点，且，求双曲线
的方程；
（3）点关于直线的对称点为，试问能否找到一条斜率为（）的直线与（2）中的双曲线交于不同的两点、，且满足，若存在，求出斜率的取值范围，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）（2）（3）
【解析】（1）

解出
（2） 所以
得，解得
所以双曲线的方程是
（3）假设存在满足题意的直线，设为
由得，

得出且
所以
设、，线段的中点，
即，得
因为，所以，
得化简得
所以或，所以，或， 找到一条斜率为的直线 ，

2、已知双曲线（），经过点的直线与该双曲线交于、两点.
（1）若与轴垂直，且，求的值；
（2）若，且、的横坐标之和为，证明：；
（3）设直线与轴交于点，，，求证：为定值.
【答案】（1）（2）见解析（3）
【解析】（1）直线的方程为，双曲线关于轴对称，由题意可知两交点中在第一限象的点的坐标为，代入方程，得，即，.
（2）此时双曲线，
直线，斜率不存在时，，不符合题意；
所以直线斜率存在时，
设： ，联立，设
即，
，，
即.
（3）显然直线斜率存在，设直线：，点、点，
当时，，则，，
，，，
又点在双曲线:上，
化简得 ，同理可得，
故、是方程的两根，则为定值.








1、双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m＝ －
【解析】由题意知a2＝1，b2＝－，则a＝1， b＝.
∴ ＝2，解得m＝－.
2、双曲线方程：＋＝1，那么k的取值范围是 (－2,2)∪(5，＋∞) ．
【解析】由题意知(|k|－2)(5－k)0，b>0)的左，右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知直线与双曲线的右支交于M、N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使,求t的值及点D的坐标．
【解析】(1)由题意知a＝2，∴一条渐近线为y＝x，即bx－2y＝0，∴＝，
∴b2＝3，∴双曲线的方程为－＝1.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，
则x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0，
将直线方程代入双曲线方程得x2－16x＋84＝0，则 x1＋x2＝16，y1＋y2＝12，
∴　∴
∴t＝4，点D的坐标为(4，3)．
10、设双曲线的左顶点为，且以点为圆心的圆（）与双曲线分别相交于点、，如图所示.
（1）求双曲线的方程；
（2）求的最小值，并求出此时圆的方程；
（3）设点为双曲线上异于点、的任意一点，且直线、分别与轴相交于点、，求证：为定值（其中为坐标原点）.

【答案】（1） （2），此时圆的方程为
（3）为定值
【解析】（1）由条件知：双曲线C的左焦点为于是
故双曲线C的方程为：
（2）易知点A, B关于轴对称，设则由点A在双曲线C上，得
由于
所以

因故当
此时
所以当取最小值时，圆D的方程为
（3）设则直线AP的方程为

令，得
同理，可得
因点A , M在在双曲线C上，故于是

因此


笔耕不辍