第32讲-复数-【高考培优直通车】2022年高三数学大一轮复习精品讲义（上海专用）

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第32讲-复数（解析版）学习目标： 1.掌握复数的概念和复数的运算性质；2.理解复数的几何意义；3.掌握实系数的一元二次方程.                                                                          教学内容1.已知，若是纯虚数，则m的值为（ ）A．0 B．-1 C．1 D．2 2．i是虚数单位.若复数为纯虚数，则复数i在复平面内对应的点位于（    ）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限       知识点一：复数的相关概念知识梳理1.理解复数的有关概念（1）虚数单位:它的平方等于-1，即.（2）复数的定义与表示：形如的数叫复数，叫复数的实部，记作；叫复数的虚部，记作；全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示.复数的代数形式: 复数通常用字母z表示，即，把复数表示成的形式，叫做复数的代数形式.（3）复数的分类以及复数与实数、虚数、纯虚数及的关系： 对于复数，当且仅当时，复数是实数，；当时，复数叫做虚数；当且时，叫做纯虚数；当且仅当时，就是实数0.           （4）两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等. 这就是说，如果、、、，那么【注意】一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小，只有当两个复数全是实数时才能比较大小.（5）复数集与其它数集之间的关系：. （6）共轭复数：实部相等而虚部互为相反数的两个复数，叫做共轭复数，也称这两个复数互相共轭.复数的共轭复数用表示，也就是当时，.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.　【注意】共轭复数的几何与代数特征:①几何特征：非零复数互为共轭复数对应点（或对应向量，）关于实轴对称.②代数特征：①为纯虚数或零； 　　②. （7）复数的模：复数在复平面内所对应的点到坐标原点的距离叫做复数的模，记作.由模的定义，可知. 2.理解复数的有关运算及性质（1）复数的四则运算：设，则①加减：；     ②乘法：；③除法：.【特别提醒】（1）对于代数形式的四则运算法则，要特别注意除法可以用“分母实数化”理解；　　（2）复数的加减法满足交换律、结合律；　　（3）复数的乘除法满足交换律、结合律及对加法的分配律；　　（4）复数的混合运算顺序是先乘方，再乘除，最后加减，有括号要先算括号里面的；（5）复数加、减法几何意义，即是向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则. （2）共轭复数的运算：①；  ② ；　③；  ④；⑤；  ⑥； ⑦若z为纯虚数且且；⑧.  （3）模的运算：　① ； ②； ③；  ④；　⑤（当z≠0时，）； 　⑥；　⑦；　⑧非零复数，，对应向量（矩形的对角线相等）.【注意】(1)性质⑥通常叫做三角形不等式，其几何意义为三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边（不作要求）；(2)性质⑦的几何意义为平行四边形两对角线平方和等于四条边的平方和. （4） 重要结论：①对复数和自然数有；② ，，，；，，，；③ ，；④ ； 例题精讲例1.已知复数可以写成，这种形式称为复数的三角式，其中叫复数z的辐角，．若复数，其共扼复数为，则下列说法①复数z的虚部为；②；③z与在复平面上对应点关于实轴对称；④复数z的辐角为；其中正确的命题个数为（    ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例2.已知复数，且，求的值.例3.已知复数zC，且，C，且，求的值。例4.在复平面内，复数（i为虚数单位）对应的点位于（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限例5.已知复数满足且为实数，求．例6.已知为复数，为纯虚数，，且．求复数．例7.求同时满足下列两个条件的所有复数z；   （1），且；（2）的实部与虚部都是整数． 巩固练习1.己知，下列结论正确的是（     ）.A.若，则       B. 若，则 C.若 ，则               D. 若（为复数的共轭复数），则纯虚数.2.若复数满足：，则＿＿＿＿＿.3．若复数满足为虚数单位)，则的实部为（    ）A． B． C． D．知识点二：复数的几何意义知识梳理理解复数的几何意义(1）复平面的有关概念：实轴是轴,虚轴是轴；与复数 一一对应的点是； 非零复数与复平面上自原点出发以点为终点的向量一一对应；复数模的几何意义是:复数对应复平面上的点到原点的距离.【特别提醒】(1)虚轴上的原点对应的有序实数对为， 它所确定的复数是表示是实数故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.(2)复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，这就是复数的一种几何意义,也是复数的另一种表示方法，即几何表示法. (2）另外，要熟悉如下复数式的几何意义：①两点间的距离公式：；　   　②线段的中垂线：； 　　 ③圆的方程：（以点为圆心，为半径）； 　④圆的内部：（以点为圆心，为半径）； 　⑤闭圆环：（以点为圆心，为半径）；⑥椭圆： （为正常数，）；   线段:  （为正常数，）；   无轨迹:（为正常数，）；⑦双曲线：（为正常数，）；  射线:  （为正常数，）；   无轨迹: （为正常数，）.  例题精讲例1.已知为虚数单位，，则复平面上对应的点在（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限例2.若复数满足,则_________________.例3. 设复数，满足.求:（1）的最大值和最小值；             （2）的最大值和最小值.    例4.（1）设，且有，求表示的点的轨迹；（2）复数满足，求在复平面内对应点的轨迹；（3）复数满足，求复数在复平面内对应点的轨迹；      例5.已知复数（i为虚数单位，）为纯虚数，和b是关于x的方程的两个根.（1）求实数a，b的值；（2）若复数z满足，说明在复平面内z对应的点Z的集合是什么图形？并求该图形的面积.    巩固练习1.复数z满足，则的最大值为（    ）A．1 B． C．3 D． 2.已知复数．（1）若复数是实数，则实数________________；（2）若复数对应的点位于复平面的第二象限，则实数的取值范围为________________． 3.若表示的动点的轨迹是椭圆，则的取值范围是＿＿＿.4.为虚数单位，设复数满足，则的最大值为  (     )    A．           B．         C．         D．   知识点三：复数的根和实系数的一元二次方程知识梳理（1）复数的平方根与立方根：如果复数和满足：，则称是的一个平方根．因为，所以，也是的平方根；如果复数和满足：，则称是的一个立方根．【注意】关于复数有如下性质：①为1的立方虚根，即；②满足以下等式：,；，；，，；，. 【注意】-1的立方根是-1，（2）实系数的一元二次方程在复数集中解的情况：设一元二次方程 ，①原方程可变形为 ，即 ，当 时，原方程有两个不等的实数根；当时，原方程有两个相等的实数根 ；当时，原方程有两个不等的虚数根，它们互为共轭虚数．②韦达定理：无论还是，总有.　 ③虚根成对出现的性质：当＜0时，且.【注意】（1）在复数集中的一元二次方程的求根公式和韦达定理仍适用，但根的判别式仅   在实数集上有效；（2）实系数一元二次方程在复数集中一定有根，若是虚根则一定成对出现；（3）齐二次实系数二次方程，将等式两端除以后，将得到一个关于得实系数一元二次方程；（4）虚系数一元二次方程至少有一个为虚数）　　①判别式判断实根情况失效；　　②虚根成对出现的性质失效；　  如，虽然，但该方程并无实根，不过韦达定理仍适用. 例题精讲例1．已知，求的值.例2．已知方程的两个根在复平面上对应的点分别为、，则的面积为（    ）A． B． C．2 D．4例3．若为虚数且为实系数一元二次方程的两个根，且，求的值．   例4．设为实系数一元二次方程两虚根，且，求的值。   例5． 已知关于x的方程（R）的两根分别为、，若，求实数p的值.     例6．设关于的方程的两根为、，且，求实数的值.     例7．方程至少有一实根，求实数m的值和这方程的解．   例8．已知关于x的方程至少有一个模为1的复数根，求实数a的值。         巩固练习1.已知方程有两个根，.若，求实数的值.   2.已知是模为的虚数，且是方程的实数根，求实数的取值范围. 3.方程的解集是（    ）A． B． C． D． 1.下列命题：①是的一个平方根；②是一个负数；③如果，则.其中正确的命题的个数是（    ）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个2.复数的共轭复数为（    ）A． B． C． D．3．已知复数满足，，则正数（    ）A．1 B．2 C． D．4．复数满足，则（    ）A． B． C． D．5. 设实数，如果复平面上的动点满足，则动点的轨迹是（     ）．焦距为4的椭圆  ．焦距为的椭圆  ．焦距为2的椭圆   ．焦距为的椭圆6. 设为关于的方程的虚根，为虚数单位.（1）当时，求的值（2）若，在复平面上，设复数所对应的点为，复数所对应的点为，试求的取值范围.      7.设复数满足.(1)若，求；
(2)若，是否存在常数，使得等式恒成立，若存在，试求出；若不存在，请说明理由.        8. 设复数，其中，，为虚数单位，，，复数在复平面上对应的点为．（1）求复数，，的值；（2）是否存在正整数使得∥？若存在，求出所有满足条件的；若不存在，请说明理由；（3）求数列的前项之和．    笔耕不辍