第05讲 函数及其表示-【高考艺术生专用】2022年高考数学一轮复习讲义（基础版，全国通用版）

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第05讲 函数及其表示1、函数与映射的概念 函数映射两个集合A、B设A、B是两个非空数集设A、B是两个非空集合对应关系按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数称f：A→B为从集合A到集合B的一个映射记法y＝f(x)，x∈Af：A→B注意：判断一个对应关系是否是函数关系，就看这个对应关系是否满足函数定义中“定义域内的任意一个自变量的值都有唯一确定的函数值”这个核心点．2、函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．3、构成函数的三要素函数的三要素为定义域、值域、对应关系.4、函数的表示方法函数的表示方法有三种：解析法、列表法、图象法.解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域；列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；图象法：注意定义域对图象的影响.5、函数的定义域函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见基本初等函数定义域的要求为：(1)分式函数中分母不等于零.(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.(4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}.(5)y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sinx，y＝cosx的定义域均为R.(6)y＝logax(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞).(7)y＝tanx的定义域为.考点一  函数的定义域1．（2021·邵东市第一中学高三月考）函数的定义域是（    ）A．           B． C．           D．【答案】B【详解】解：，故，解得：，故选：B2．（2021·浙江高三学业考试）函数的定义域是（    ）A． B．C． D．【答案】C【详解】根据题意可得，所以.故选：C.3．（2021·陕西高三月考（文））函数的定义域是（    ）A． B．C． D．【答案】B【详解】由题意可得，解得或．因此，函数定义域为.故选：B.4．（2021·江西鹰潭市·鹰潭一中高三月考（文））函数的定义域是（　　）A． B． C． D．R【答案】A【详解】要使f(x)有意义，则满足，得到x>0.故选A.5．（2021·河南高二期末（文））已知集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【详解】函数有意义，必有，即，于是得，而，所以.故选：C6．（2021·浙江师范大学附属东阳花园外国语学校）函数的定义域是（    ）A． B． C． D．【答案】D【详解】由解析式有意义可得，故，故函数的定义域为故选：D.7．（2021·怀化市辰溪博雅实验学校高二月考）函数的定义域为（    ）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：要使函数有意义，则，即，解得或.所以函数的定义域为故选：D考点二  抽象函数定义域1．（2021·沙坪坝·重庆八中高三开学考试）已知函数定义域为，则函数定义域为（    ）．A． B．C． D．【答案】A【详解】函数需满足，解得．故选：A2．（2021·巴楚县第一中学高二月考（文））已知函数定义域是，则的定义域是（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题意，解得．故选：A．3．（2021·河南开封·高一期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：由题意可知，，解得，即函数的定义域为；故选：A4．（2021·安徽蚌埠·）已知函数的定义域是，则函数的定义域是（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为函数的定义域是，所以有：.故选：A5．（2021·全国）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ）A． B．C． D．【答案】B【详解】由于函数的定义域为，对于函数，有，解得.因此，函数的定义域为.故选：B.6．（2021·江苏高一）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为函数的定义域为且分式的分母不等于零，所以，解得，故函数的定义域为，，故选：．7．（2021·全国高一）已知函数的定义域为，则的定义域是（    ）A． B．C． D．【答案】D【详解】由题意可得： ，解得：且，故的定义域是，故选：D8．（2021·全国高一课时练习）已知函数定义域是，则的定义域是（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】函数y=f（x+1）定义域是[-2，3]，则，所以，解得，所以函数的定义域为[0，].故选：A9．（2021·全国高一课时练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ）A． B．C． D．【答案】C【详解】∵的定义域为[－1，2)，∴－1≤x<2，由抽象函数的定义域求法可得：－1≤x－1<2，解得0≤x<3，∴的定义域为[0，3)，故选：C.10．（2021·全国）已知的定义域为，则函数的定义域为 A． B． C． D．【答案】B【详解】试题分析：因为函数的定义域为，故函数有意义只需即可，解得，选B．  考点三  函数的解析式1．（2021·新疆五家渠市兵团二中金科实验中学高一开学考试）已知是一次函数，，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意，设函数，因为，可得，解得，所以.故选：B.2．（2021·全国高一专题练习）已知是一次函数，且，则（   ）A． B． C． D．【答案】A【详解】设一次函数，则，由得，即，解得，.故选：A．3．（2021·全国）一次函数g(x)满足，则的解析式是（    ）A．B．C．或D．【答案】C【详解】因为g(x)是一次函数，所以设g(x)=kx+b(k≠0)，所以g[g(x)]=k(kx+b)+b，又因为g[g(x)]=9x+8，所以解得或所以g(x)=3x+2或g(x)= -3x – 4.故选：C4．（2021·全国高一课时练习）已知一次函数的图象过点(1，0)和(0，1)，则此一次函数的解析式为（    ）A． B．C． D．【答案】D【详解】设f(x)=ax+b(a≠0)，则有所以a= -1，b=1，所以f(x)= -x+1．故选：D5．（2020·全国高一课时练习）若函数y=的图象经过点(2，3)，则该函数的图象一定经过A．(1，6) B．(–1，6)C．(2，–3) D．(3，–2)【答案】A【详解】将代入函数解析式得，故，也即，经验证知A选项正确，故选A.6．（2021·江西省靖安中学高一月考）二次函数满足，且，（1）求的解析式；【答案】（1）；【详解】（1）由题设∵∴又∴∴∴，∴∴7．（2021·江西高安中学高一月考）已知二次函数满足，且，（1）求二次函数的解析式；【答案】（1）；【详解】（1）设二次函数．∵，∴．把的表达式代入，有．∴．∴，．∴．（2）的单调增区间为，函数的值域为．8．（2021·全国高一课时练习）已知为二次函数，且，求的表达式．【答案】【详解】由题意可设，则，，于是，又，所以解得所以．  考点四 抽象函数解析式1．（2021·全国高三专题练习）已知函数满足，则A． B．C． D．【答案】C【详解】由,可得(2),将(1)+(2)得:,故选C．2．（2021·全国高一课时练习）若对于任意实数恒有，则A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，所以，解得选A.3．（2020·重庆市巫山中学高一月考）若函数对于任意实数恒有，则等于（　　）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，所以，联立方程组，解得，故选A.4．（2021·全国高一专题练习）（1）已知，求的解析式．【答案】（1）；【详解】（1）由，把代替代入可得，联立消去可得：．5．（2021·上海）（1）已知，求.（2）已知函数满足，求.【答案】（1）；（2）.【详解】（1）令则..（2）①②.联立①式，②式则.6．（2021·全国高一课时练习）（1）已知，求的解析式；（2）已知，求的解析式．【答案】（1）；（2）【详解】（1）由题意得：定义域为设，则    （2）由…①得：…②①②联立消去得： 考点五  分段函数1．（2021·荆门市龙泉中学高一月考）已知函数，则的值为（    ）A． B． C．3 D．0【答案】D【详解】故选：D.2．（2021·黑龙江大庆中学高一月考）已知函数，则（    ）A． B． C． D．1【答案】D【详解】由题意，函数，可得，所以．故选：D．3．（2021·全国高三开学考试（文））已知函数，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，则.故选：D．4．（2021·全国高一专题练习）函数则等于（    ）A．－1 B．0 C．1 D．2【答案】A【详解】当x=2 时，则．故选：A.5．（2021·全国高一课前预习）已知函数，若，则实数的值等于（    ）A．1 B． C．或1 D．或3【答案】B【详解】解：函数，若，可得，由，知，解得（舍）；若，可得，由，知，解得（舍）或，符合题意.综上，.故选：B.6．（2021·全国高一专题练习）设函数则（    ）A．0 B．1 C．2 D．【答案】B【详解】由题意，，故选B．