第38-40讲 圆锥曲线-【高考艺术生专用】2022年高考数学一轮复习讲义（基础版，全国通用版）

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第40讲 抛物线1、抛物线的定义平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．2、抛物线的标准方程及几何性质图形标准方程顶点O（0，0）范围， ，，，对称轴轴轴焦点离心率准线方程焦半径 题型一：抛物线的定义1．（2021·山西平城·大同一中高二月考）若抛物线上一点到焦点的距离为8，则点的纵坐标为（    ）A．6 B． C．7 D．【答案】A【详解】设点，因为抛物线方程为x2=8y，所以其准线方程为，又因为抛物线上点P到焦点的距离为8，由抛物线的定义得：，交点，所以点P的纵坐标为6，故选：A2．（2021·绥德中学高二月考（文））已知抛物线上一点到焦点的距离与到轴的距离之差为1，则＝（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【详解】由题意到准线的距离减去到轴距离等于1，所以，．故选：B．3．（2021·全国高二课时练习）若点为抛物线上的动点，为抛物线的焦点，则的最小值为（    ）A．1 B． C． D．【答案】D【详解】由，得，∴，则，所以焦点，由抛物线上所有点中，顶点到焦点的距离最小，得的最小值为.故选：D．4．（2021·广西柳州·高三开学考试（理））已知是抛物线的焦点，直线是抛物线的准线，则到直线的距离为（    ）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【详解】由得，所以F到直线l的距离为故选：B5．（2021·广东南山·蛇口育才中学高三月考）若抛物线上的点到焦点的距离是4，则抛物线的方程为（　　）A． B．C． D．【答案】B【详解】由题得抛物线的准线方程为到准线的距离等于它到焦点的距离，则，所以，故抛物线方程为，故选：B．6．（2021·贵州贵阳·高三开学考试（文））已知抛物线：的焦点为，点在上且满足，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【详解】由抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离可知，故选：D7．（2021·北京西城·）在抛物线上，若横坐标为的点到焦点的距离为，则（    ）A． B．C． D．【答案】D【详解】由题知，抛物线的准线方程为，若横坐标为的点到焦点的距离为，则由抛物线的定义知，，解得.故选：D.8．（2021·全国高二课前预习）若抛物线上一点到该抛物线的焦点的距离，则点到轴的距离为（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】根据题意可知抛物线的准线方程为，∵到该抛物线的焦点的距离为，∴到准线的距离为，即，∴，代入抛物线方程求得，∴点到轴的距离为.故选：A题型二：抛物线标准方程1．（2021·全国高二课时练习）如果抛物线的准线是直线，那么它的焦点坐标为（    ）A．（1，0） B．（2，0） C．（3，0） D．【答案】D【详解】由于抛物线的准线是直线，所以它的焦点为.故选：D2．（2021·南昌市实验中学高三月考（理））抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是（    ）A． B． C． D．【答案】D【详解】抛物线的焦点为，双曲线的渐近线方程为，故焦点到渐近线的距离为，故选：D.3．（2021·贵州（文））已知抛物线：（）上一点到焦点的距离为8，则＝（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【详解】因为到焦点F的距离为8，所以，得.故选：D4．（2021·全国高二课时练习）已知抛物线的焦点为，，是抛物线上两个不同的点，若，则线段的中点到轴的距离为（    ）A．3 B． C．5 D．【答案】B【详解】由抛物线方程，得其准线方程为.设，，由抛物线的定义，得，即，所以线段中点的横坐标为，线段的中点到轴的距离为．故选：B.5．（2021·贵州凯里一中高三三模（文））已知抛物线：的焦点，准线为，点，线段的中点在上，则点到直线的距离为（    ）A． B． C． D．【答案】C【详解】焦点为，线段的中点为，将点代入得，解得，点到直线的距离为.故选：C6．（2021·浙江高二单元测试）已知抛物线上一点到焦点的距离为，则其焦点坐标为（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：抛物线上一点到焦点的距离为，由抛物线的定义知，即，所以，所以，抛物线的焦点坐标为，故选：A.7．（2021·安徽安庆·（文））顶点在坐标原点，焦点是双曲线的左焦点的抛物线标准方程是（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为，∴，∴，，∴，∴．故选：B．8．（2021·上海浦东新·高三二模）以圆的圆心为焦点的抛物线标准方程为（    ）A． B． C． D．【答案】C【详解】的圆心，圆心为焦点的抛物线标准方程为．故选：C．题型三：抛物线的弦长1．（2021·北京延庆·）设为坐标原点，抛物线的焦点为，为抛物线上一点．若，则的面积为（    ）A． B． C． D．【答案】D【详解】由题意可得点的坐标，准线方程为，因为为抛物线上一点，，所以点的横坐标为4，当时，，所以，所以 的面积为，故选：D2．（2021·四川遂宁·高三二模（文））若过抛物线：的焦点且斜率为2的直线与交于，两点，则线段的长为（    ）A．3. B．4 C．5 D．6【答案】C【详解】抛物线：的焦点所以直线的方程为，设，，由，消去并整理得，所以，.故选：C.3．（2021·广西浦北中学（理））已知抛物线的焦点在直线上，又经过抛物线的焦点且倾斜角为的直线交抛物线于两点，则（    ）A．12 B．14 C．16 D．18【答案】C【详解】解：因为直线与轴的交点为，所以抛物线的焦点坐标为，设，抛物线方程为，所以过焦点且倾斜角为的直线方程为，设，由，得，所以，所以，故选：C4．（2021·辽宁凌源·高三月考）已知抛物线：的焦点为，直线与抛物线交于点，，则（　　）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【详解】由点在抛物线上得，设，由直线过定点得，解得（舍去2），所以故选：C.5．（2021·河南（文））已知为的两个顶点，点在抛物线上，且到焦点的距离为，则的面积为（    ）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意，点在抛物线上，设，又由抛物线的准线方程为根据抛物线的定义知，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，即，解得，所以.故选：C.6．（2021·广西玉州·高二期中（文））已知抛物线的焦点为，为抛物线上的点，且.（1）求抛物线的方程；（2）若直线与抛物线相交于两点，求弦长.【答案】（1）；（2）.（1），所以，即抛物线C的方程.（2）设，由得所以，所以.7．（2021·黄冈天有高级中学高二月考）已知抛物线，其焦点到其准线的距离为，过焦点且倾斜角为的直线交抛物线于两点，（1）求抛物线的方程及其焦点坐标；（2）求.【答案】（1），焦点坐标为；（2）8.【详解】解：（1）抛物线的焦点到其准线的距离为，得，所以抛物线的方程为，焦点坐标为.（2）过焦点且倾斜角为的直线的方程为，设，联立方程组消去可得，则，所以.8．（2021·全国高二课时练习）已知动圆经过点，并且与直线相切（1）求动圆圆心的轨迹的方程；    （2）经过点(2,0)且倾斜角等于135°的直线与轨迹相交于两点，求【答案】（1）（2）16【详解】（1）设，则依题意可得，化简得，所以动圆圆心P的轨迹M的方程为（2）直线的方程为，即，联立，消去并整理得，设，，则，，由弦长公式可得.所以