重庆市第八中学校2022届高考全真模拟数学试题

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重庆市第八中学校2022届高考全真模拟数学试题

试卷副标题

考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

请点击修改第I卷的文字说明

1．已知集合，则（       ）

A． B． C． D．

2．若复数在复平面对应点在第三象限，则a，b满足（       ）

A． B．

C． D．

3．若随机事件A，B满足，则（       ）

A． B． C． D．

4．已知体积公式中的常数k称为“立圆率”．对于等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱）、正方体、球体均可利用公式求体积（在等边圆柱中，D表示底面圆的直径；在正方体中，D表示棱长；在球体中，D表示直径）．假设运用此体积公式求得等边圆柱（底面圆的直径为a）、正方体（棱长为a）、球（直径为a）的“立圆率”分别为，则（       ）

A． B．

C． D．

5．若函数在区间内恒有，则的单调递增区间是（       ）

A． B． C． D．

6．已知1，这5个数的平均数为3，方差为2，则这4个数的方差为（       ）

A．1 B． C． D．2

7．如图，在平行四边形中，E是的中点，，与相交于O．若，，则的长为（       ）

A．2 B．3 C．4 D．5

8．定义域为的偶函数，满足．设，若是偶函数，则（       ）

A． B． C．2021 D．2022

9．已知函数，则下列说法正确的是（       ）

A．该函数的最大值为2

B．该函数的最小正周期为

C．是该函数的一个对称中心

D．该函数的对称轴为

10．曲线C的方程为，则下列说法正确的是（       ）

A．存在实数使得曲线C的轨迹为圆

B．存在实数使得曲线C的轨迹为椭圆

C．存在实数使得曲线C的轨迹为双曲线

D．无论（且）取何值，曲线C的焦距为定值

11．设函数的定义域为，是的极小值点，以下结论一定正确的是（       ）

A．是的最小值点

B．是的极大值点

C．是的极大值点

D．是的极大值点

12．如图，一只蚂蚁从正方形的顶点A出发，每一次行动顺时针或逆时针经过一条边到达另一顶点，其中顺时针的概率为，逆时针的概率为，设蚂蚁经过n步到达B，D两点的概率分别为．下列说法正确的有（       ）

A． B．

C． D．

第II卷（非选择题）

请点击修改第II卷的文字说明

13．已知分别为椭圆的左、右焦点，直线与椭圆交于P，Q两点，则的周长为______．

14．在等差数列中，，则数列的前13项和为______．

15．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑如图，三棱锥为一个鳖臑，其中平面，，，，M为垂足，则三棱锥的外接球的表面积为________．

16．已知锐角三角形的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，若，则的取值范围为_______．

17．在等比数列中，分别是下表第一，第二，第三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表的同一列．

(1)写出，并求数列的通项公式；

(2)若数列满足，求数列的前项和．

18．已知函数的部分图象如图所示．

(1)求函数的解析式；

(2)将函数的图象上所有的点向右平移个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象．当时，方程恰有三个不相等的实数根，求实数a的取值范围和的值．

19．规定抽球试验规则如下：盒子中初始装有白球和红球各一个，每次有放回的任取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮．如果每一轮取到的两个球都是白球，则记该轮为成功，否则记为失败．在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止；否则，在盒子中再放入一个红球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功．

(1)某人进行该抽球试验时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止抽球，记其进行抽球试验的轮次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望；

(2)为验证抽样试验成功的概率不超过，有1000名数学爱好者独立的进行该抽球试验，记t表示成功时抽球试验的轮次数，y表示对应的人数，部分统计数据如下表：

求y关于t的回归方程，并预测成功的总人数（四舍五入精确到1）．

附：经验回归方程系数：，；

参考数据：，，（其中，）．

20．如图，在直三棱柱中，，M为的中点．

(1)若，证明：平面；

(2)若是正三角形，P为线段上的动点，求与平面所成角的正弦值的取值范围．

21．设函数，已知是函数的极值点．

(1)求a的值，并求函数的单调区间；

(2)若，求证：．

22．已知抛物线的焦点为F，不过原点的直线l交抛物线C于A，B两不同点，交x轴的正半轴于点D．

(1)当为正三角形时，求点A的横坐标；

(2)若，直线，且和C相切于点E；

①证明：直线过定点，并求出定点坐标；

②的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．

参考答案：

1．B

【解析】

【分析】

先化简集合B，并求得，再去求即可解决.

【详解】

方程有二根或，则由，可得

则，或

则或

故选：B

2．D

【解析】

【分析】

根据复数的除法运算求出复数，再根据复数的几何意义即可得出答案.

【详解】

∵，

又因为复数在复平面对应点在第三象限，

所以，解得.

故选：D.

3．B

【解析】

【分析】

先由题意计算出，再根据条件概率求出即可.

【详解】

解：由题意知：，得，

故.

故选：B.

4．C

【解析】

【分析】

计算出等边圆柱、正方体、球的体积，再利用公式求解出、、，即可求得答案.

【详解】

设等边圆柱、正方体、球的体积分别为，

所以，

所以，，，

因为，所以，

故选：C.

5．D

【解析】

【分析】

先求出的范围，再由条件判断出的范围，再根据复合函数“同增异减”原则求单调区间．

【详解】

解：当时，，因为函数在区间内恒有，

，

函数，由和复合而成，

因为时，在上是增函数，所以只要求的单调增区间．

的单调递增区间为，

的单调增区间为，

故选：．

6．B

【解析】

【分析】

利用平均数，方差公式即得.

【详解】

∵1，这5个数的平均数为3，方差为2，

∴，即，

∴这4个数的平均数为，

∴，即，

∴这4个数的方差为.

故选：B.

7．C

【解析】

【分析】

先以为基底表示，再利用向量的数量积把转化为关于的方程，即可求得的长

【详解】

在平行四边形中，E是的中点，，与相交于O．

设，

则

由，可得

则，解之得，则

则

又，则，解之得，即的长为4

故选：C

8．C

【解析】

【分析】

由题可得，结合条件可得函数周期为4，进而可得，即得.

【详解】

∵，

∴，又为偶函数，

∴，即，

∴，又是定义域为R偶函数，

∴，

∴周期为4，又，

∴，

∴.

故选：C.

9．BCD

【解析】

【分析】

由正弦的二倍角公式化简函数，以及求得函数的定义域，再由正弦函数的性质逐一判断可得选项.

【详解】

解：函数，且函数，即，

对于A，当时，取得最大值2，但函数中，故A不正确；

对于B，因为，其中，所以该函数的最小正周期为，故B正确；

对于C，因为，所以是该函数的一个对称中心，故C正确；

对于D，因为当时，取得最值，所以该函数的对称轴为，故D正确，

故选：BCD.

10．BCD

【解析】

【分析】

对于A，由可判断；对于B，当时，表示椭圆；对于C，当时，表示双曲线；对于D，当时，椭圆的，当时，双曲线的，由此可判断.

【详解】

解：对于A，因为，所以不存在实数使得曲线C的轨迹为圆，故A不正确；

对于B，当且时，即时，表示椭圆，所以存在实数使得曲线C的轨迹为椭圆，故B正确；

对于C，当，即时，表示双曲线，故C正确；

对于D，当时，表示椭圆，此时椭圆的，所以曲线C的焦距为定值；

当时，表示双曲线，此时双曲线的，所以曲线C的焦距为定值；故D正确，

故选：BCD.

11．BD

【解析】

【分析】

根据极值的定义、极值的性质和图象变换逐项判断后可得正确的选项.

【详解】

对A，是的极小值点，不一定是最小值点，故A错误；

对B，因函数与函数的图象关于x轴对称，故应是的极大值点，故B正确；

对C，因函数与函数的图象关于y轴对称，故应是的极小值点，故C错误；

对D，因函数与函数的图象关于原点对称，故是的极大值点，故D正确.

故选：BD.

12．ACD

【解析】

【分析】

有四种情形：，求其概率可判断A；从顶点A出发经过2n步到达B、D两点为不可能事件，所以可判断B；对于C，当为偶数时，当为奇数时，先计算从点或点出发经过两步到达点的概率，再讨论从顶点出发经过步到达点的两种情形：①从顶点出发经过步到达点，再经过两步到达点的概率为，②从顶点出发经过步到达点，再经过两步到达点的概率为，可得可判断C；

利用可判断D；

【详解】

对于A，有四种情形：，其所求的概率为，故A正确；

对于B，当为偶数时，从顶点出发，只能到达点或点，此时，

当为奇数时，从顶点出发，只能到达点或点，此时，即从顶点A出发经过2n步到达B、D两点为不可能事件，所以，故B错误；

对于C，当为偶数时，当为奇数时，先计算从点或点出发经过两步到达点的概率，分别为，，现讨论从顶点出发经过步到达点的两种情形：①从顶点出发经过步到达点，再经过两步到达点的概率为，②从顶点出发经过步到达点，再经过两步到达点的概率为，故，可得，又，所以，故C正确；

对于D，

，所以

，故D正确；

故选：ACD.

13．

【解析】

【分析】

首先得到椭圆的焦点坐标，即可判断直线过左焦点，再根据椭圆的定义计算可得；

【详解】

解：椭圆，所以，即、，

直线过左焦点，所以，，，

所以；

故答案为：

14．

【解析】

【分析】

由等差数列的通项公式得，再代入求和公式可求得答案.

【详解】

解：设等差数列的公差为d，因为，

，

，

则，

故答案为：．

15．

【解析】

【分析】

取AC的中点O，连接MO、BO，则点O就是三棱锥的外接球的球心，解三角形和运用球的表面积公式可计算得答案．

【详解】

解：取AC的中点O，连接MO、BO，则，，所以，

则，

又，所以，所以点O就是三棱锥的外接球的球心，所以三棱锥的外接球的球半径为，

所以三棱锥的外接球的表面积为，

故答案为：．

16．

【解析】

【分析】

由题可得，将用含的式子表示，然后根据角的范围，求的取值范围.

【详解】

∵，

∴，即，

∵又，且都为锐角，故，，

又，

所以

又，所以，

得，，

所以，

故.

故答案为：.

17．(1)；

(2).

【解析】

【分析】

（1）先得到，，，从而求出等比数列的通项公式；

（2）求出，利用分组求和法即得.

(1)

由题意知：，，，

因为是等比数列，所以公比为2，

所以数列的通项公式．

(2)

∵，

∴

,

18．(1)

(2)，

【解析】

【分析】

(1) 根据图示，即可确定A和的值，再由周期确定，最后将点带入；即可求出答案.

(2) 先根据题意写出，再根据的取值范围求出的取值范围.即可根据的对称性求出与的值.即可求出答案.

(1)

解：由图示得：，

又，所以，所以，所以，

又因为过点，所以，即，

所以，解得，又，所以，

所以；

(2)

解：由已知得，

当时，，令，则，

令，则

，，，，

所以，

因为有三个不同的实数根，则，

所以，即，

所以．

19．(1)分布列见解析，数学期望为；

(2)，预测成功的总人数为465.

【解析】

【分析】

(1) X的取值可能为1，2，3，分别求得随机变量取每一值的概率，得出分布列，由此可得数学期望；

(2) 令，则，由公式求得其回归方程并可得预测成功的人的总人数.

(1)

解：X的取值可能为1，2，3，所以

；

，

所以X的分布列为：

所以数学期望为：；

(2)

解：令，则，由题知：，所以

，

所以，，

故所求的回归方程为：，

所以估计时，；估计时，，估计时，；

预测成功的人的总人数为.

20．(1)证明见解析

(2)

【解析】

【分析】

（1）由线面垂直的性质得到，再由，即可得到平面，从而得到，再由勾股定理逆定理得到，从而得证；

（2）取的中点为，连接，取的中点，连接，由面面垂直的性质得到平面，建立如图所示空间直角坐标系，设，，与平面所成角为，利用空间向量法求出线面角的正弦值，

(1)

证明：在直三棱柱中，平面，平面，所以，

又，，平面，所以平面，

又平面，所以，

又在矩形中，，，即，

所以，

因为，平面，所以平面，

(2)

解：取的中点为，连接，所以，

又平面平面，平面平面，平面，

所以平面，取的中点，连接，同理可得平面，

如图建立空间直角坐标系，则，，，，设，，则，

易知平面的法向量为，设与平面所成角为，设，

所以

当时，

当时，，因为在上单调递减，

所以关于单调递减，

故，

综上可得

21．(1)，函数的减区间为，增区间为

(2)证明见解析

【解析】

【分析】

（1）由已知得，，由此可求得，再运用导函数，分析导函数的符号，从而可得函数的单调区间；

（2）由已知将不等式等价于，令，运用导函数得出函数的单调性，分，分别证明即可.

(1)

解：由已知得，所以，

又是函数的极值点，所以，解得，

所以，则，

令，则，

因为，所以，所以在上单调递增，即在上单调递增，

又，所以当时，，当时，，

所以函数的减区间为，增区间为；

(2)

证明：因为，所以，所以不等式等价于，

又，所以，所以不等式等价于，

令，则，

令，则，

所以当时，，当时，，

所以函数在单调递增，在上单调递减，

即函数在单调递增，在上单调递减，

所以，所以函数在上单调递减，

所以当时，，，即，

所以，所以；

当时，，，即，

所以，所以，

所以当时，，不等式得证．

【点睛】

方法点睛：1、利用导数证明不等式或解决不等式恒成立问题,关键是把不等式变形后构造恰当的函数，然后用导数判断该函数的单调性或求出最值，达到证明不等式的目的；2、利用导数解决不等式恒成立问题，应特别注意区间端点是否取得到；3、学会观察不等式与函数的内在联系，学会变主元构造函数再利用导数证明不等式.总之，无论是证明不等式，还是解不等式，我们都可以构造恰当的函数，利用到函数的单调性或最值，借助导数工具来解决，这种解题方法也是转化与化归思想在中学数学中的重要体现.

22．(1)3

(2)证明见解析，定点为（1,0），最小值为16

【解析】

【分析】

（1）根据抛物线C的方程，可以求得焦点坐标，由 是正三角形，设点A和D的坐标，可以求解；

（2）过点A，作准线的垂线，得垂足P，构造平行四边形，设A点的坐标，以A点的纵坐标为参变量，分别计算直线，AE，AB的方程 以及三角形AEB的面积即可.

(1)

∵ ，∴抛物线焦点坐标F（1,0），准线方程为x=-1，

设A(a，t)，D(m，0)，因为 是正三角形，必有，解得 ，

即A点横坐标为3；

(2)

如图，设A点在第一象限，过A点作准线x=-1的垂线，得垂足P，连接PF， ， ，

∴四边形APFD是平行四边形， ，

设A(a，t) ，则P(-1，t)，直线PF的斜率为 ，

设 的方程为 ，联立方程，

消去x得： ，因为是抛物线C的切线， ，

， ， ，

即E点的坐标为 ，

直线AE的方程为：     ，其中 ，

化简得：，故AE过定点F（1，0）；

直线l的方程为： ，化简得： ，

联立方程，消去x得 ，

， ，

即A，B两点的纵坐标之差的绝对值为 ，

过E点作x轴的平行线交l于H点，则 ，

，用铅垂高水平底的方法计算三角形AEB的面积，

，

当且仅当t=2时等号成立， 的最小值为16；

综上，A点的横坐标为3，直线AE过定点F（1,0），三角形AEB的面积最小值为16.

【点睛】

本题的核心观察到四边形APFD是平行四边形，设点A的纵坐标为参数，这样计算会简便一些，计算三角形AEB的面积用初中的方法——水平底铅垂高比较方便，便于使用韦达定理.