广东省惠州市2022届高三下学期第二次模拟数学试题-

绝密★启用前

广东省惠州市2022届高三下学期第二次模拟数学试题

试卷副标题

考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

请点击修改第I卷的文字说明

1．若复数（其中i为虚数单位），则复数在复平面上对应的点位于（       ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．设集合，，则（       ）

A． B． C． D．

3．在中，，，，则（       ）

A． B． C． D．15

4．已知为三条不同的直线，为三个不同的平面，则下列说法正确的是（       ）

A．若，则

B．若且，则

C．，，则

D．若且，则

5．函数有（       ）

A．最大值 B．最小值 C．最大值2 D．最小值2

6．函数的图像与函数的图像的交点个数为（       ）

A．2 B．3 C．4 D．0

7．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是

A．中位数 B．平均数

C．方差 D．极差

8．已知、为双曲线：的左、右焦点，以线段为直径的圆与双曲线的右支交于、两点，若，其中为坐标原点，则的离心率为（       ）

A． B． C． D．

9．已知为等差数列，其前项和，若，，则（       ）

A．公差 B．

C． D．当且仅当时

10．某地建立了农业科技图书馆，供农民免费借阅，收集了近5年的借阅数据如下表：

根据上表，可得y关于x的线性回归方程为，则（       ）A．

B．估计近5年借阅量以0.24万册/年的速度增长

C．y与x的样本相关系数

D．2021年的借阅量一定不少于6.12万册

11．已知函数的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（       ）

A．的最小正周期为 B．

C．在上单调递增 D．为奇函数

12．已知正四棱台的上下底面边长分别为4，6，高为，是的中点，则（       ）

A．正四棱台的体积为

B．平面平面

C．平面

D．正四棱台的外接球的表面积为

第II卷（非选择题）

请点击修改第II卷的文字说明

13．若，，则______.

14．在一次教学质量调研测试中，某学校高三有1200名学生，全部学生的数学成绩服从正态分布，若，且，则本次测试数学成绩在80到120之间的学生约有______人.

15．探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点，已知灯口直径是，灯深，则光源到反射镜顶点的距离是___________.

16．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是______．

17．已知正项等比数列的前项和为，，且，，成等差数列.

(1)求数列的通项公式；

(2)设数列满足，求数列的前项和

18．在中，，，是角，，所对的边，，有三个条件：①；②；③，现从上面三个条件中选择两个条件，使得三角形存在.

（1）两个条件中能有①吗？说明理由；

（2）请指出这两个条件，并求的面积.

19．如图，在直三棱柱中，，，直线与平面所成角为

(1)求证：平面平面；

(2)求二面角的余弦值.

20．2019年4月，江苏省发布了高考综合改革实施方案，试行“”高考新模式.为调研新高考模式下，某校学生选择物理或历史与性别是否有关，统计了该校高三年级800名学生的选科情况，部分数据如下表：

（1）根据所给数据完成上述表格，并判断是否有99.9%的把握认为该校学生选择物理或历史与性别有关；

（2）该校为了提高选择历史科目学生的数学学习兴趣，用分层抽样的方法从该类学生中抽取5人，组成数学学习小组.一段时间后，从该小组中抽取3人汇报数学学习心得.记3人中男生人数为X，求X的分布列和数学期望.

附：

21．已知椭圆的左、右焦点分别为右顶点为过右焦点且垂直于轴的直线与椭圆相交于两点，所得四边形为菱形，且其面积为.

（1）求椭圆的方程；

（2）过左焦点的直线与椭圆交于两点，试求三角形面积的最大值.

22．已知函数（）.

（1）当时，试求函数图像在点处的切线方程；

（2）若函数有两个极值点、（），且不等式恒成立，试求实数的取值范围.

参考答案：

1．A

【解析】

【分析】

由复数除法运算求得，得其对应点坐标，从而得所在象限．

【详解】

，对应点坐标为，在第一象限．

故选：A．

2．B

【解析】

【分析】

解一元二次不等式得集合，然后由集合的运算法则计算．

【详解】

由题意，，

所以．

故选：B．

3．C

【解析】

【分析】

根据向量的数量积的定义计算．

【详解】

．

故选：C

4．D

【解析】

【分析】

根据空间直线与平面的位置关系判断．

【详解】

对于A，或m与n异面，∴A错误；

对于B，若或m，n异面，∴B错误；

对于C，若或，∴C错误；

对于D，∵，∵．

∵，∴．∴D正确．

故选：D．

5．D

【解析】

【分析】

分离常数后，用基本不等式可解.

【详解】

（方法1），，则，当且仅当，即时，等号成立.

（方法2）令，，，.

将其代入，原函数可化为，当且仅当，即时等号成立，此时.

故选：D

6．C

【解析】

【分析】

作出两个函数的图像，由图像可得交点个数．

【详解】

在上是增函数，在和上是减函数，在和上是增函数，，，，

作出函数的图像，如图，由图像可知它们有4个交点．

故选：C．

7．A

【解析】

【分析】

可不用动笔，直接得到答案，亦可采用特殊数据，特值法筛选答案．

【详解】

设9位评委评分按从小到大排列为．

则①原始中位数为，去掉最低分，最高分，后剩余，

中位数仍为，A正确．

②原始平均数，后来平均数

平均数受极端值影响较大，与不一定相同，B不正确

③

由②易知，C不正确．

④原极差，后来极差可能相等可能变小，D不正确．

【点睛】

本题旨在考查学生对中位数、平均数、方差、极差本质的理解.

8．D

【解析】

【分析】

根据双曲线的性质得到，再根据，即可得到，在中，，设双曲线的半焦距为，即可得到，，再根据双曲线的定义及离心率公式计算可得；

【详解】

解：依题意由双曲线的对称性可知，又，

所以，所以，在中，，

设双曲线的半焦距为，所以，，

则其离心率；

故选：D

9．ABC

【解析】

【分析】

根据题意，结合等差数列前项和的公式和性质，一一判断即可.

【详解】

由，得，即.

因，所以，且，故选项AB正确；

因，且，故时，最大，即，故选项C正确；

由，得，即，故D错.

故选：ABC.

10．ABC

【解析】

【分析】

根据回归方程过样本中心点得，可判断A；由的意义可判断BC；根据的意义可判断D.

【详解】

，，代入，可得，所以A正确；因为，所以估计每年借阅量的增长量为0.24万册，所以B正确；因为，所以y与x正相关，，所以C正确；把代入得，而6.12万册是预测值，不是精确值，所以D错误.

故选：ABC.

11．ABD

【解析】

【分析】

首先根据函数的图象求A的值；然后根据求的值；根据图象过点和求出，从而可求出函数，然后再逐个判断选项即可.

【详解】

由图知，由，得，又因为，所以，

由得，又，所以，所以，

所以.

故，选项A正确；

又，所以为函数的一条对称轴，故选项B正确；

由，得，

由，得，

在上单调递减，在上单调递增，故C错误；

为奇函数，故D正确.

故选：ABD.

12．BCD

【解析】

【分析】

A.由题意，利用棱台体积公式求解； B.利用线面垂直和面面垂直的判定定理判断； C.取的中点，连接，且，连接，易知四边形是平行四边形，得到，再由，利用面面平行的判定定理判断； D. 由球心O在上，分外接球的球心O在正四棱台的内部和外部判断.

【详解】

如图所示：

连接交于点，连接交于点，

A.正四棱台的体积为，故错误；

B.易知，又，则平面，又平面，所以平面平面，故正确；

C.如图所示：

 取的中点，连接，且，连接，易知，，

所以四边形是平行四边形，则，

又平面，平面，则平面，

又，平面，平面，则平面，

又，所以平面平面，则平面，故正确；

D. 如图所示：

若外接球的球心O在正四棱台的内部，则O在上，

因为，上下底面边长分别为4，6，

则，

所以，

即无解，

则若外接球的球心O在正四棱台的外部，如图所示：

所以，解得，

所以外接球的表面积为，故正确；

故选：BCD

13．

【解析】

【分析】

由正切值求得角，再计算其他三角函数值．

【详解】

因为，，所以，

所以．

故答案为：．

14．720

【解析】

【分析】

根据正态分布曲线的对称性求得概率后可得人数．

【详解】

由题意，

所以．人数为．

故答案为：720．

15．##

【解析】

【分析】

以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线在顶点处的切线为轴、抛物线的对称轴所在直线为轴建立平面直角坐标系，设抛物线的标准方程为，分析可知点在该抛物线上，求出的值，即可得解.

【详解】

以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线在顶点处的切线为轴、抛物线的对称轴所在直线为轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

设抛物线的标准方程为，则点在该抛物线上，

所以，，解得，

所以，光源到反射镜顶点的距离为.

故答案为：.

16．

【解析】

【分析】

求出导函数，利用，用分离参数法即可求出a的范围.

【详解】

因为，所以，

又函数在上单调递增，

所以在恒成立，

分离参数可得在恒成立，

令，，

所以在上单调递增，

所以，所以，

故答案为：.

17．(1)；

(2)．

【解析】

【分析】

（1）设的公比为，根据等差数列的性质列方程求得后可得通项公式；

（2）写出，由分组求和法求和．

(1)

设的公比为（），

因为，且，，成等差数列，

所以，即，解得，

所以；

(2)

由（1），

．

18．（1）不能有①，理由见解析；（2）只能选择②和③，.

【解析】

【分析】

（1）根据正弦定理由，可得，解得，若条件中有①，可得，则与矛盾；

（2）只能选择②和③，由余弦定理得，由，可得，即可得解.

【详解】

（1）∵ ，

∴由正弦定理得.

∵，∴，∵，∴.

∵，∴.

假设两个条件中有①，则会推出矛盾.过程如下：

∵，∴，此时，

.

（2）只能选择②和③.

∵∴由余弦定理得，即，

而，∴

此时，解得或，所以存在，

∴.

19．(1)证明见解析；

(2)．

【解析】

【分析】

（1）证明，然后由线面垂直的判定定理得平面，然后可得面面垂直；

（2）首先由线面角的定义得是直线与平面所成的角，即，可求得，过作于点，过作于点，则等于二面角的大小，由平方可求得结论．

(1)

由平面，平面，得，

又，，平面，

所以平面，又平面，所以平面平面；

(2)

由平面，得是直线与平面所成的角，所以，

而，所以，，

由平面，平面，得，

过作于点，过作于点，

则等于二面角的大小．

直角中，，，

，，所以是等腰直角三角形，

，，

所以，

注意到，，

又，

即，．

所以二面角的余弦值为．

20．（1）表格答案见解析，有99.9%的把握认为该校学生选择物理或历史与性别有关；（2）分布列答案见解析，数学期望：.

【解析】

（1）补全列联表，计算出后可得结论；

（2）由分层抽样得抽取男生2人，女生3人，随机变量X的所有可能取值为0，1，2.，计算出概率得分布列，由分布列计算期望．

【详解】

（1）

因为，

所以有99.9%的把握认为该校学生选择物理或历史与性别有关.

（2）按照分层抽样的方法，抽取男生2人，女生3人.

随机变量X的所有可能取值为0，1，2.

所以，，.

所以X的分布列为

所以.

答：x的数学期望为.

21．（1）；（2）

【解析】

(1)由椭圆的对称性及四边形为菱形知，可得的纵坐标为，四边形的面积为，结合的关系求解出，即可得到得答案.

(2) 设，设直线的方程为:由直线方程与椭圆方程联立，得到的表达式，求出三角形面积的表达式，再求其最大值.

【详解】

（1）如图，因椭圆的对称性及四边形为菱形知，

即，即①

令，得点的纵坐标为

由四边形的面积为

故

即

又③

联立得:

故椭圆方程为

（2）由知:

设直线的方程为:

假设.

由得:

即

由得:

，故.

令

则

设

由可知: 单调递增，

故

【点睛】

本题考查求椭圆方程和直线与椭圆的位置关系，考查三角形的面积的最值，属于中档题.

22．（1）；（2）

【解析】

【分析】

（1）时，，再求导，利用导数的几何意义求切线方程即可；

（2）由函数在 上有两个极值点，求导，根据判别式可得，不等式恒成立即为 ，求得，令求出导数，判断单调性，即可得到的范围，即可求得的范围．

【详解】

（1）时，，故.

故，又，故函数图像在点处的切线方程为，即

（2）函数在上有两个极值点，.

由得，

当时，因为，故此时，，，，则可得，，

，

令，则，

因为,，，又.

所以，即时，单调递减，所以，即，

故实数的取值范围是.