新疆乌鲁木齐地区2022届高三下学期第三次质量监测数学（文）试题（问卷）-

绝密★启用前

新疆乌鲁木齐地区2022届高三下学期第三次质量监测数学（文）试题（问卷）

试卷副标题

考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

请点击修改第I卷的文字说明

1．设集合，，则（       ）

A． B． C． D．

2．已知点，向量，则向量（       ）

A． B． C． D．

3．已知命题，则为（       ）

A． B．

C． D．

4．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（       ）

A． B． C． D．

5．等比数列满足，则（       ）

A．1 B． C． D．

6．已知，，则函数的图像与直线的交点个数为（       ）

A．2 B．3 C．4 D．5

7．设复数z满足，则的最小值为（       ）

A．1 B． C． D．

8．已知抛物线的焦点为F，准线为l，点A在抛物线上，点B在l上，若为等边三角形，则的面积为（       ）

A． B． C． D．

9．设函数为奇函数，满足，若，则（       ）

A． B． C．0 D．1

10．在三棱锥中，，平面平面，则三棱锥外接球的表面积为（       ）

A． B． C． D．

11．北京时间2022年4月16日9时56分，神州十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，全国人民都为我国的科技水平感到自豪某学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．如图，航天器按顺时针方向运行的轨迹方程为，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y轴为对称轴，为顶点的抛物线的一部分．已知观测点A的坐标，当航天器与点A距离为4时，向航天器发出变轨指令，则航天器降落点B与观测点A之间的距离为（       ）

A．3 B．2.5 C．2 D．1

12．设，，，则（       ）

A． B． C． D．

第II卷（非选择题）

请点击修改第II卷的文字说明

13．我国古代数学名著《数书九章》中有“米谷粒分”问题：“开仓受纳，有甲户米一千五百三十四石到廊．验得米内夹谷，乃于样内取米一捻，数计二百五十四粒，内有谷二十八颗．今欲知米内杂谷多少．”意思是：官府开仓接受百姓纳粮，甲户交米1534石到廊前，检验出米里夹杂着谷子，于是从米样粒取出一捻，数出共254粒，其中有谷子28颗，则这批米内有谷子约_____________石（结果四舍五入保留整数）；

14．为了保障广大人民群众的身体健康，在新冠肺炎防控期间，有关部门对辖区内15家药店所销售的口罩进行抽检，检测的100个口罩中有80个口罩的穿透率为0.02，有20个口罩的穿透率为0.03，则这100个口罩穿透率的平均值为______．

15．直线与双曲线交于A，B两点，将此平面沿x轴折成直二面角，则_______；

16．已知为单调递减的等差数列的前n项和，若数列前n项和，则下列结论中正确的有______．（填写序号）

①；②；③；④．

17．某班5名学生的数学和物理成绩如下：

(1)画出散点图，判断y与x之间是否具有相关关系；

(2)求物理成绩y关于数学成绩x的回归直线方程（结果保留两位小数）；

(3)平均地看，该班某名同学的数学成绩是60分，那么物理成绩大约是多少分？

（参考公式：）

18．在中，D为上一点，．

(1)求；

(2)求的面积．

19．如图，正方体的棱长为1，点E，F分别是，上的点，且，．

(1)证明平面：

(2)求三棱锥的体积．

20．已知，为的导函数，．

(1)求的单调区间；

(2)证明：当时，；

(3)求证：当时，成立．

21．已知椭圆的焦距为，且过点．

(1)求椭圆的方程；

(2)设分别为椭圆的右顶点和上顶点，点是椭圆上在第一象限的任意一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，与的面积分别为，求的取值范围．

22．在平面直角坐标系中，直线l过点，倾斜角为．曲线C的参数方程为（t为参数）．

(1)设，P，Q分别为直线l和曲线C上的两个动点，求的最小值；

(2)若直线l和曲线C交于M，N两点，且成等比数列，求的值．

23．设a，b，c均为正数，且，证明：

(1)；

(2)．

参考答案：

1．A

【解析】

【分析】

根据交集的运算求解即可

【详解】

由题，

故选：A

2．C

【解析】

【分析】

根据平面向量加法的坐标运算可得答案.

【详解】

，.

故选：C.

3．B

【解析】

【分析】

根据特称命题的否定为全称命题，可得出答案.

【详解】

命题，则为:对，

故选：B

4．C

【解析】

【分析】

根据题意可知该几何体是一个三棱锥，底面三角形为等腰直角三角形，侧面三角形为等腰直角三角形，且平面平面，根据三视图中的数据以及棱锥的体积公式即可求出结果.

【详解】

根据题意，可知该几何体是一个三棱锥，如图所示，

其中底面三角形为等腰直角三角形，侧面三角形为等腰直角三角形，其中,，平面平面，且三棱锥的高为，

所以这个几何体的体积为.

故选：C.

5．D

【解析】

【分析】

设等比数列的公比为，则由已知条件列方程组可求出，从而可求出，

【详解】

设等比数列的公比为，

因为，，

所以，得，

因为，所以，得，

所以，

故选：D

6．A

【解析】

【分析】

根据题意令，可得或，再根据范围对和取值，即可求出结果.

【详解】

令，所以或

所以或，

若，则；

若，则；

所以函数的图像与直线的交点个数为个.

故选：A.

7．B

【解析】

【分析】

根据复数的几何意义可求出结果.

【详解】

由可知，复数对应的点的轨迹是圆心为，半径为的圆，

表示复数对应的点与原点之间的距离，

因为，所以，即.

故选：B

8．C

【解析】

【分析】

先根据为等边三角形得到，再设，表示出 点坐标，再根据 列出关于 的方程，解出，求出三角形边长，利用面积公式写出答案即可

【详解】

如图所示                                                  

是等边三角形，

依题意有：

设 ，则

，解得

是边长为2的等边三角形

故选：C

9．B

【解析】

【分析】

根据奇函数的性质可得、，根据题意可得是以4为周期的函数，即可求出、，令求出即可.

【详解】

因为为R上的奇函数，所以，且，

由，得，

所以，即是以4为周期的函数，

有，，则；

令，则，解得，

所以.

故选：B.

10．D

【解析】

【分析】

如图，取BC的中点E，连接AE，DE，过作，垂足为，根据面面垂直的性质可知四边形为矩形，利用勾股定理求出，列出关于外接球半径R的方程，求出，结合球的表面积公式计算即可.

【详解】

由题意得，如图，取BC的中点E，连接AE，DE，

则外接圆圆心在DE上，且，

解得，设三棱锥外接球球心为O，

连接，，过作，垂足为，

由平面平面，得，故四边形为矩形，

因为，

所以，

且，

所以，设三棱锥外接球半径为R，

有，

又，

所以，解得，

所以三棱锥外接球的表面积为.

故选：D.

11．A

【解析】

【分析】

设点所在的抛物线方程为，代入点，求方程为，令，解得，根据，即可求解.

【详解】

由题意，设点所在的抛物线方程为，

又由抛物线与椭圆的交点，代入抛物线方程得，解得，

即抛物线的方程为，

令，可得，解得或（舍去），

所以，即航天器降落点B与观测点A之间的距离为.

故选：A.

12．A

【解析】

【分析】

设，由导数在函数单调性中的应用，可知函数在单调递减；又，，，根据单调性即可得到结果.

【详解】

设，则，

令，则，

所以当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

又，，，

又，

所以.

故选：A.

13．

【解析】

【分析】

求出米内夹谷的比例，再乘以即可得解.

【详解】

依题意可得米内夹谷的比例为，

所以这批米内有谷子石.

故答案为：.

14．##

【解析】

【分析】

根据平均值的定义计算即可

【详解】

这100个口罩穿透率的平均值

故答案为：

15．

【解析】

【分析】

先联立直线与双曲线的方程得出点的坐标，然后在翻折和的空间图形中分别过点作轴的垂线，垂足分别为,连接，分别求出的长度，由余弦定理可得答案.

【详解】

由 ，解得,所以

将此平面沿x轴折成直二面角，如图，分别过点作轴的垂线，垂足分别为,连接

则 面,又面,所以

则 , ,

所以

故答案为：

16．②

【解析】

【分析】

设等差数列的公差为，利用裂项相消法求得数列前n项和，结合已知求得首项和公差，从而可得数列通项及前项和，再逐一判断即可得解.

【详解】

设等差数列的公差为，

则，

故

，

所以，

则，

解得或（舍去），

所以，

故，故①错误；

，故②正确；

，故③错误；

，，

则当或时，取得最大值，

所以，故④错误.

故答案为：②.

17．(1)散点图见解析，y与x之间具有正线性相关关系；

(2)

(3)47.6分

【解析】

【分析】

（1）画出散点图，从而判断出y与x之间具有正线性相关关系；（2）根据公式求出，得到回归直线方程；（3）在第二问基础上进行计算即可.

(1)

从散点图中可以看出y与x之间具有正线性相关关系；

(2)

，，

，

所以物理成绩y关于数学成绩x的回归直线方程为；

(3)

平均地看，该班某名同学的数学成绩是60分，那么物理成绩大约是分.

18．(1)1

(2)

【解析】

【分析】

（1）由三角形的外角关系，求得，进而可求；

（2）中知两边一角，可通过余弦定理解三角形，求得面积.

(1)

如下图，，因为，可得为锐角，所以都是锐角，又，故可得，，所以;

(2)

如下图，根据（1）中所求值，由余弦定理得，代入已知得，解得或(舍去)，所以的面积.

19．(1)证明见解析

(2)

【解析】

【分析】

（1）取的中点，连接，连接交于点，连接，易证四边形为平行四边形，再根据中位线定理和平行线的传递性可得，再由线面平行的判定定理即可证明结果；

（2）由（1）可知，平面，可知到平面的距离与到平面的距离相等，即可得到，由此即可求出结果.

(1)

证明：取的中点，连接，连接交于点，连接，

因为在正方体中，，

，

所以四边形为平行四边形，

所以，

因为为中点，为中点，

所以在中，由中位线定理可得

所以，

又平面，平面，

所以平面.

(2)

解：由（1）可知，平面.

所以到平面的距离与到平面的距离相等.

所以.

20．(1)单调递增区间为，单调递减区间为

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【解析】

【分析】

（1）根据导数在函数单调性中的应用即可求出结果；

（2）要证当时，，即证,令，根据导数在函数最值中的应用，可证，由此即可证明结果；

（3）令，易证当时，，根据不等式放缩即可证明，可证在上单调递增，即可证明当时，，由此即可证明结果.

(1)

解：因为，所以，

所以当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

所以单调递增区间为，单调递减区间为；

(2)

证明：要证当时，，即证，即证,

令，则

所以在上单调递减，

又，所以在上恒成立，即

所以当时， ；

(3)

证明：令,

则，

令,

所以当时，，所以在上单调递增，

所以，

即当时，，

所以，

所以在上单调递增，

又，

所以当时，，故命题得证.

21．(1)

(2)

【解析】

(1)

（1）根据题意，利用待定系数法即可求出结果；

（2）设，利用点斜式求出直线和的方程，求出的坐标，根据题意求出，由此可知，再根据在椭圆上，可知，由此可得，再利用基本不等式即可求出的最小值，进而求出的范围.

(2)

解：设椭圆的焦距为

由题意可知:，解得，所以；

(2)设，

由题意可知，

所以直线方程为，直线方程为；

令代入直线方程，可得，

令代入直线方程，可得，

所以

所以

又，所以，

又，所以，当且仅当时等号成立.

所以，当且仅当时等号成立.

所以，即的取值范围.

【点睛】

关键点点睛：本题第二问解答关键是对变形成和，然后再对化简整理，利用基本不等式求解，这是解决本题的关键点和突破点.

22．(1)；

(2)或1.

【解析】

【分析】

(1)根据题意求出直线的斜率，利用直线的点斜式方程求出的方程，由点到直线的距离公式求得Q到直线的距离为，结合二次函数的性质求出即可；

(2)将直线的参数方程代入曲线的普通方程，设、，由韦达定理求出，结合参数的几何意义可知，根据等比中项的应用计算化简即可求出的值.

(1)

当时，直线的斜率，

则直线的方程为，即，

设，则Q到直线的距离为，

又，所以，

即的最小值为；

(2)

由(为参数)，得曲线的普通方程为，

由题意得直线的参数方程为(为参数)，

代入曲线的普通方程得，

，

由，得，

设，

则，

又，

同理，，因为成等比数列，

所以，即，

所以，即，

即，化简得，

即，解得或，

当时，，符合题意，

当时，，符合题意，

所以或.

23．(1)证明见解析

(2)证明见解析

【解析】

【分析】

（1）根据基本不等式得到三个同向不等式，再相加即可得证；

（2）根据均值不等式可证不等式成立.

(1)

因为，当且仅当时，等号成立，

，当且仅当时，等号成立，

，当且仅当时，等号成立，

所以，即，

即，当且仅当时，等号成立.

(2)

因为,

所以，当且仅当时，等号成立，

即，即，

所以，当且仅当时，等号成立.