陕西省西安市临潼区2022届高三下学期二模理科数学试题-c

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陕西省西安市临潼区2022届高三下学期二模理科数学试题

试卷副标题

考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

请点击修改第I卷的文字说明

1．设，，则（       ）

A． B．

C． D．

2．2022年1月，中科大潘建伟团队和南科大范靖云团队发表学术报告，分别独立通过实验，验证了虚数i在量子力学中的必要性，再次说明了虚数i的重要性．对于方程，它的两个虚数根分别为（       ）

A． B．

C． D．

3．以边长为2的正方形一边所在直线为轴旋转一周，所得到的几何体的体积为（       ）.

A． B． C． D．

4．下列说法正确的是（       ）

A．“A与B是互斥事件”是“A与B互为对立事件”的充分不必要条件

B．设具有线性相关关系的两个变量x，y的相关系数为r，则越接近于0，x，y之间线性相关程度越强

C．已知随机变量X的方差为，则

D．若，，则

5．已知是单位向量，且，若向量，则与的夹角为（       ）

A． B． C． D．

6．设x∈（0，），则事件“2sinx＞tanx”发生的概率为（       ）

A． B． C． D．

7．如图，圆柱的轴截面是正方形，D，E分别是边和的中点，C是的中点，则经过点C，D，E的平面与圆柱侧面相交所得到曲线的离心率是（       ）

A． B． C． D．2

8．若，，则（       ）

A． B． C． D．

9．各种不同的进制在我们生活中随处可见，计算机使用的是二进制，数学运算一般用的十进制.通常我们用函数表示在x进制下表达M（M>1）个数字的效率，则下列选项中表达效率最高的是（       ）

A．二进制 B．三进制 C．八进制 D．十进制

10．已知一个平放的各棱长为4的三棱锥内有一个小球，现从该三棱锥顶端向锥内注水，小球慢慢上浮.当注入的水的体积是该三棱锥体积的时，小球恰与该三棱锥各侧面及水面相切（小球完全浮在水面上方），则小球的表面积等于.

A． B． C． D．

11．阿基米德（公元前287年-公元前212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号．抛物线上任意两点A，B处的切线交于点P，称三角形PAB为“阿基米德三角形”.已知抛物线C：的焦点为F，过A，B两点的直线的方程为，关于“阿基米德三角形”△PAB，下列结论不正确的是（       ）

A． B．

C． D．点P的坐标为

12．已知函数(为自然对数的底数) ，若函数恰好有两个零点，则实数等于（       ）

A． B． C． D．

第II卷（非选择题）

请点击修改第II卷的文字说明

13．已知，方程表示圆，则圆心坐标是______．

14．设，则…______．

15．2022年北京冬奧会开幕式始于24节气倒计时，它将中国人的物候文明传承久远的诗歌、现代生活的画面和谐统一起来．我国古人将一年分为24个节气，如图，相邻两个节气的日晷长变化量相同，冬至日晷长最长，夏至日晷长最短，周而复始．已知冬至日晷长为13.5尺，芒种日晷长为2.5尺，则一年中秋分到大雪的日晷长之和为___________尺．

16．已知函数，若函数的部分图象如图，函数，则下列结论正确的是___________．（填序号）

①函数的图象关于直线对称；

②函数的图象关于点对称；

③将函数的图象向左平移个单位长度可得到函数的图象；

④函数在区间上的单调递减区间为．

17．已知数列满足 ，

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）求数列的前项和．

18．如图①所示，平面五边形ABCDE中，四边形ABCD为直角梯形，∠B=90°且AD∥BC，若AD=2BC=2，AB=，△ADE是以AD为斜边的等腰直角三角形，现将△ADE沿AD折起，连接EB，EC得如图②的几何体．

图①                                                     图②

（1）若点M是ED的中点，求证：CM∥平面ABE；

（2）若EC=2，在棱EB上是否存在点F，使得二面角E-AD-F的大小为60°？若存在，求出点F的位置；若不存在，请说明理由．

19．甲､乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为.假设两人射击是否击中目标，互不影响；每次射击是否击中目标，互不影响.

(1)记甲击中目标的次数为X，求X的分布列；

(2)在①甲恰好比乙多击中目标2次，②乙击中目标的次数不超过2次，③甲击中目标3次且乙击中目标2次这三个条件中任取一个，补充在横线中，并解答问题.求___________事件的概率.

（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）

20．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，．椭圆C的长轴长与焦距比为，过的直线l与C交于A、B两点．

(1)当l的斜率为1时，求的面积；

(2)当线段AB的垂直平分线在y轴上的截距最小时，求直线l的方程．

21．已知函数，其中且．

(1)当时，求函数在处的切线方程；

(2)若函数在上恰有两个极小值点，求a的取值范围．

22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）写出曲线的直角坐标方程；

（2）若直线与曲线交于、两点，且的长度为，求直线的普通方程．

23．已知关于的不等式对恒成立．

（1）求实数的最小值；

（2）若，，为正实数，为实数的最小值，且，求证：

参考答案：

1．D

【解析】

【分析】

解对数不等式确定集合，解一元二次不等式确定集合，然后由集合的运算法则计算．

【详解】

由题意，，，

所以，

故选：D．

2．A

【解析】

【分析】

根据方程根的定义进行验证．

【详解】

首先实系数多项式方程的虚数根成对出现，它们互为共轭复数，因此排除CD，

A选项，，

因此选项A正确，则选项B错误（因为3次方程只有3个根（包括重根））．

故选：A．

3．B

【解析】

【分析】

根据给定条件结合几何体是圆柱，再由圆柱的体积公式直接计算作答.

【详解】

以边长为2的正方形一边所在直线为轴旋转一周所得几何体是以2为底面圆半径，高为2的圆柱，

由圆柱的体积公式得：，

所以所得到的几何体的体积为.

故选：B

4．D

【解析】

【分析】

根据互斥事件与对立事件的定义可判断A；根据相关系数的意义可判断B；可判断 C；利用 ， ，可判断D.

【详解】

A与B是互斥事件，但A与B不一定互为对立事件，若A与B互为对立事件，则A与B是互斥事件，所以“A与B是互斥事件”是“A与B互为对立事件”的必要不充分条件，故A错误；

设具有线性相关关系的两个变量x，y的相关系数为r，则越接近于1，x，y之间线性相关程度越强，故B错误；

已知随机变量X的方差为，则，故 C错误；

若，则，，则，故D正确.

故选：D,

5．B

【解析】

【分析】

从目标分析，需要求得，，故先从两边平方，求得，进而求得，然后计算，即可得到所求.

【详解】

由，两边平方，得：，

因为，是单位向量，所以，得，

则，

，所以，

所以与的夹角为.

故选B

6．C

【解析】

【分析】

先求出事件“2sinx＞tanx”对应的，利用几何概型的概率公式直接求解.

【详解】

由且，得，解得，得.

故选：C.

7．B

【解析】

【分析】

由题意可得且，则经过点C，D，E的平面与圆柱侧面相交所得到曲线为以CF为长轴、DE为短轴的椭圆．

【详解】

连接CO并延长交圆O于点M，过M作圆柱的母线MF，连接CF、DE

取DE的中点N，则NO∥BE

∵BE∥MF，则NO∥MF

可知N为CF的中点，即

∴C，D，E，F四点共面

∵，则平面，则

根据题意不妨设底面圆的半径为1，则

则经过点C，D，E的平面与圆柱侧面相交所得到曲线为以CF为长轴、DE为短轴的椭圆

，即

∴离心率

故选：B．

【点睛】

8．B

【解析】

【分析】

本题利用和倍角公式进行整理，同时注意，化简整理得，再利用求．

【详解】

∵，则

∴，整理得，则

故选：B．

9．B

【解析】

【分析】

根据效率的定义，结合的单调性，即可判断和选择.

【详解】

因为，

令，得易知在上单调递增，在上单调递减，

故只需比较与的大小，而，

故可得.

则效率最高的是三进制.

故选：.

10．C

【解析】

【详解】

由题意，没有水的部分的体积是正四面体体积的，

∵正四面体的各棱长均为4，∴正四面体体积为，

∴没有水的部分的体积是，

设其棱长为，则，∴，

设小球的半径为，则，∴，

∴球的表面积，故选C.

点睛：本题考查球的表面积，考查体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，正确求出半径是关键；先求出没有水的部分的体积是，再求出棱长为2，可得小球的半径，即可求出球的表面积.

11．D

【解析】

【分析】

联立方程可解得，则，根据导数可得，可判断，利用点斜式可求得两条切线方程和，联立求P，再求，可判断．

【详解】

联立方程，消去得：，解得或

即，则，A正确；

∵，即

对于，切线斜率分别为

∴，即，B正确；

在点A的切线方程为，即

同理可得在点B的切线方程为

联立方程，解得，即P，D不正确；

∵，则，

∴，即，C正确；

故选：D．

12．C

【解析】

画出函数和的图像，在恒有一个零点，故与在时相切，计算得到答案.

【详解】

，即，如图所示：画出函数和的图像，

，即，，且，

故在时有且仅有一个零点，故与在时相切.

当，设切点为，，，，

，解得，.

故选：.

【点睛】

本题考查了函数的零点问题，画出图像确定相切是解题的关键.

13．

【解析】

【分析】

先利用方程得到，求出或，然后分别求解即可．

【详解】

方程表示圆，

所以，解得或，

当时，方程，配方可得，所得圆的圆心坐标为；

当时，方程，即，此时，方程不表示圆．

综上所述，圆心坐标是．

故答案为：．

14．1

【解析】

【分析】

先，可得，再令，可得答案.

【详解】

由题意令，可得

令，可得

所以

故答案为：1

15．60

【解析】

【分析】

用数列表示各节气的日晷长，它由两个等差数列组成，求出数列的首项和公差后，利用等差数列的前项和公式计算

【详解】

记夏至日晷长为，依次到冬至日晷长为，芒种日晷长为，为等差数列，设分差为，相应的也是等差数列，公差为，

，解得，

秋分日晷长为，大雪的日晷长为，

．

故答案为：60．

16．③

【解析】

【分析】

由函数的图象确定的最大值和最小值，有两种情形，不论哪一种都有最大值与最小值的差为4，从而得，再由求得得函数解析式，然后根据余弦函数的性质判断各选项．

【详解】

由函数的部分图象知的最大值是1，最小值是－3，或最大值是3，最小值是－1，不论哪种情形都有，，

若，则，，无解，

若，则，，又，所以，

，

时，，①错；

时，，②错；

的图象向左平移个单位长度可得到

的图象，③正确；

时，，，先减后增，④错．

故答案为：③．

17．（Ⅰ）；（Ⅱ） ．

【解析】

【分析】

（Ⅰ）由可得，两式相减得到，最后验证满足上式，进而得到通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，于是，故利用裂项相消法可求出．

【详解】

（Ⅰ）∵

∴，

两式相减得，

∴．

又当时，满足上式，

∴．

∴数列的通项公式．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，

∴

∴

．

【点睛】

（1）求数列的通项公式时要根据条件选择合适的方法，如本题属于已知数列的和求通项的问题，故在求解时利用仿写、作差的方法求解，容易忽视的地方是忘记对时的情况的验证．

（2）裂项相消法求和适用于数列的通项公式为分式形式的数列，裂项相消后得到的结果具有对称性，即相消后前面剩几项，后面就剩几项；前面剩第几项，后面就剩第几项．

18．（1）证明见解析；（2）存在；点为的中点．

【解析】

【分析】

（1）作出辅助线，证得，结合线面平行的判定定理即可证出结论；

（2）证出面，建立空间直角坐标系，假设存在点，然后利用空间向量的夹角公式建立方程，解方程即可判断.

【详解】

（1）证明：取的中点为，连接，，∵是的中点，，

∴是的中位线，

∴且，

所以为平行四边形，∴，

因为面，面，所以平面．

（2）解：取的中点为，连接，，其中，，

由可得，显然面，

故以为坐标原点，分别以，，所在的直线为轴，轴，轴；

如图建立空间直角坐标系，

则，，，，

设存在点，

，，，

易知面的法向量可取，

另外，，

设面的一个法向量为，则

，

可取一个法向量为，

则，为的中点．

故存在点为的中点．

19．(1)分布列见解析；

(2)答案见解析.

【解析】

【分析】

（1）确定X的可能取值，利用二项分布求X的分布列；

（2）根据所选的条件，利用独立事件乘法公式、互斥事件加法公式及对立事件概率求法求概率.

(1)

由题意知：X的取值范围是，

，，

，.

故X的分布列为：

(2)

选择①：设甲恰好比乙多击中目标2次为事件A，

甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标0次为事件，

甲恰好击中目标3次且乙恰好击中目标1次为事件，

则，又和为互斥事件，

则.

所以甲恰好比乙多击中目标2次的概率为.

选择②：记乙击中目标的次数为Y，而的对立事件为，

由，故.

选择③：甲击中目标与乙击中目标为相互独立事件，

所以甲击中目标3次且乙击中目标2次的概率为.

20．(1)12

(2)

【解析】

【分析】

（1）由题意有，再利用求得，从而求出，得椭圆方程，设、，写出直线方程与椭圆方程联立方程组求得两点纵坐标后，由计算面积．

（2）设直线l的斜率为k，由题意可知，写出直线方程，代入椭圆方程后，由韦达定理得，设线段AB的中点，从而得中点坐标，设线段AB的垂直平分线与y轴的交点为，由，可求得为的函数，利用基本不等式得最小值，从而得出直线方程．

(1)

依题意，因，又，得，

∴椭圆C的方程为，

设、，

当时，直线l：，

将直线与椭圆方程联立，消去x得，，

解得，，，

∴．

(2)

设直线l的斜率为k，由题意可知，直线方程为，

由，消去y得，

恒成立，，

设线段AB的中点，

则，，

设线段AB的垂直平分线与y轴的交点为，

则，得，

整理得：，

，

等号成立时．

故当截距m最小为时，，

此时直线l的方程为．

21．(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）根据导数得几何意义，利用点斜式求切线方程；（2）可以判断为偶函数，函数在内恰有一个极小值点，利用导数处理极值点问题，注意讨论的符号分析理解．

(1)

当时，，则．切线斜率，，

∴切线方程为，即．

(2)

∵，则是上的偶函数．

∴函数在上恰有两个极小值点等价于函数在内恰有一个极小值点，即在内有零点

构建，则在上单调递增

则

①当即时，当时恒成立，

∴在上单调递减，则，

∴在上单调递减

则不合题意，舍去

②当即时，当时恒成立

∴在上单调递增，则

∴在上单调递增

则不合题意，舍去

③当且时，则

则存在，使

当时，，当时，

则在上单调递减，在上单调递增，且，

∵在内有零点，则，即

当时，由零点存在定理则存在，使得．

当时，；当时，．

∴在上单调递减，在上单调递增．

则函数在上恰有一个极小值点．即函数在上恰有两个极小值点．

综上所述：

22．（1）；（2）和.

【解析】

【分析】

（1）将代入曲线极坐标方程，化简后可求得对应的直角坐标方程；

（2）将直线的参数方程代入曲线方程，利用弦长公式列方程，解方程求得直线的倾斜角或斜率，由此求得直线的普通方程.

【详解】

（1）将代入曲线极坐标方程得曲线的直角坐标方程为，即；

（2）将直线的参数方程代入曲线方程：，

整理得

设点、对应的参数为、，解得，，

则，

得，

因为，得或，直线的普通方程为和.

【点睛】

本题主要考查极坐标方程和直角坐标方程互化，考查利用直线的参数方程来求弦长有关的问题，属于中档题.

23．（1）；（2）证明见解析.

【解析】

【分析】

（1），由此能求出最小值．

（2）由（1）知，由此利用均值不等式能证明．

【详解】

解：（1），

不等式对恒成立，

，

最小值为1．

（2）由（1）知，

即，

．

当且仅当时等号成立，

．