高中数学北师大版 (2019)必修 第一册4.1 一元二次函数同步训练题

1.4.1一元二次函数

一、单选题

1．函数的单调增区间（    ）

A． B． C． D．

2．函数，其中，则在该区间上的最小值是（    ）

A．1 B．4 C． D．0

3．若函数f（x）=x2 +2x+m，x∈R的最小值为0，则实数m的值是（    ）

A．9 B．5 C．3 D．1

4．设，，若，则（    ）

A． B． C． D．

5．已知一元二次方程的两根为与，则（    ）

A． B． C． D．

6．已知，二次函数，设时所对应的函数值分别为，若，则（    ）

A． B．

C． D．

7．将函数图象向左平移一个单位，得到的函数图象解析式为（    ）

A． B．

C． D．

8．函数的值域为 （    ）

A． B． C． D．

9．已知函数在区间上是减函数，则实数a的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

10．为了提高垃圾的资源价值和经济价值，力争做到物尽其用，国家向全民发出了关于垃圾分类的号召．为了响应国家号召，各地区采取多种措施，积极推行此项活动．一商家为某市无偿设计制作了一批新式分类垃圾桶，它近似呈长方体状，且其高为0.45米，长和宽之和为2.4米，现用铁皮制作该垃圾桶，按长方体计算，则使这个垃圾桶的容量最大时（不考虑损耗，不考虑桶盖），需耗费的铁皮的面积为（    ）平方米

A．3.6 B．3.84 C．4.8 D．6.25

二、填空题

11．函数的一个单调递增区间为___________.

12．若函数在区间上是严格减函数，则实数的取值范围为________.

13．函数的最大值为______.

14．二次函数的图形经过两点，，且函数的最大值是5，则函数的解析式是______.

三、解答题

15．已知一元二次方程的两个实数根为.

求值：（1）； 

（2）.

16．已知为二次函数，且满足，．

（1）求函数的解析式，并求图象的顶点坐标；

（2）在给出的平面直角坐标系中画出的图象；

参考答案

1．A

【分析】

根据抛物线的开口和对称轴与区间的关系即可得解.

【详解】

函数为开口向上的抛物线，对称轴为，

在上单调递增.

故选：A.

2．D

【分析】

求出二次函数的对称轴，根据单调性即可求解.

【详解】

为开口向上的抛物线，对称轴为，

所以在单调递减，在单调递增，

所以，

故选：D

3．D

【分析】

将原函数配方，求出最小值列方程求解即可.

【详解】

f（x）=x2 +2x+m，

当时，函数f（x）的最小值为，

所以，

故选：D.

4．B

【分析】

根据已知条件得到，通过构造函数法确定正确选项.

【详解】

因为，所以，所以，

因为函数，在上单调递增，且，所以.

故选:B

5．B

【分析】

利用根与系数关系求得的正确结果.

【详解】

依题意一元二次方程的两根为与，

所以，

所以.

故选：B

6．C

【分析】

利用二次函数的图像和性质求解即可

【详解】

解：因为，

所以抛物线的对称轴为，

所以，即，

因为，且对称轴为直线，

所以抛物线的开口向下，所以，

故选：C

7．D

【分析】

根据平移法则“左加右减”，即可解出．

【详解】

将函数的图象向左平移一个单位，得到的函数图象解析式为.

故选：D．

8．D

【分析】

作出函数的图像，根据图像判断函数的最值.

【详解】

已知函数的对称轴为，开口向上，作出函数图像如图所示，由图可知，，，所以值域为.

故选：D.

9．A

【分析】

根据函数在区间上是减函数，由求解.

【详解】

因为函数在区间上是减函数，

所以，解得，

所以实数a的取值范围是.

故选：A

10．A

【分析】

本题首先可设长为米，则宽为米，然后通过垃圾桶的容量最大得出，最后通过长方体的表面积计算公式即可得出结果.

【详解】

设长为米，则宽为米，

则垃圾桶的容量：

，，

即当时，垃圾桶的容量最大，

此时耗费的铁皮的面积为平方米，

故选：A.

11．，答案不唯一.

【分析】

根据二次函数的图象与性质，即可求得函数的一个单调递增区间，得到答案.

【详解】

由题意，函数表示开口向上的抛物线，且对称轴为，

根据二次函数的性质，可得函数的一个单调递增区间为.

故答案为：，答案不唯一.

12．

【分析】

根据二次函数的性质确定函数单调性，由此可确定不等关系求得结果.

【详解】

为开口方向向下，对称轴为的二次函数，

函数在上单调递增，在上单调递减，

在区间上是严格减函数，，

即实数的取值范围为.

故答案为：.

13．

【分析】

由结合二次函数的性质得出答案.

【详解】

故答案为：

14．

【分析】

根据点，在图象上，所以的图象关于直线对称，

又的最大值为5，可设二次函数顶点式，再代值即可得解.

【详解】

由于点，在图象上，

所以的图象关于直线对称，

又的最大值为5，

设，

由，得，所以，

因此，

故答案为：.

15．（1）；（2）.

【分析】

利用韦达定理可得，再对所求式子进行变行，即；；两根和与积代入式子，即可得到答案；

【详解】

解：因为一元二次方程的两个实数根为，所以由根与系数关系可知.

（1）；

（2）.

16．（1），顶点坐标为；（2）图象见解析.

【分析】

（1）设函数的解析式为，根据题意，列出方程组，求得的值，即可求解；

（2）令，求得解得或，结合对称性，即可求解.

【详解】

（1）设函数的解析式为

因为，可得，

解得，所以，

令，可得，即图象的顶点坐标为．

（2）由（1）知，令，即，

解得或，

可函数的图象如图所示：