2020-2021学年4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较练习题

4.4指数函数、幂函数、对数函数增长的比较

一、单选题

1．方程的解集为（    ）

A． B． C． D．

2．若，则x的取值范围是

A． B．

C． D．

3．已知，，则（    ）

A． B．

C． D．

4．已知，，的大小关系是（    ）．

A． B． C． D．

5．下面给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是（    ）

A．指数函数：y＝2t B．对数函数：y＝log2t

C．幂函数：y＝t3 D．二次函数：y＝2t2

6．已知函数，若，则（    ）

A． B． C．0 D．或

7．专家对某地区新型流感爆发趋势进行研究发现，从确诊第一名患者开始累计时间（单位：天）与病情爆发系数之间，满足函数模型：，当时，标志着疫情将要局部爆发，则此时约为（参考数据：）（    ）

A． B． C． D．

8．下列命题中是假命题的是（    ）

A．, B．,

C．, D．,

9．已知幂函数的图象过点，则的值为（    ）

A． B． C． D．

10．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……，这样一个细胞分裂__________次以后，得到的细胞个数是128个.

A．5 B．6 C．7 D．8

二、填空题

11．方程的解___________．

12．已知函数 （，且）．若的反函数的图像经过点，则_____________．

13．已知,则______.

14．将，，1按从小到大的顺序排列为______.

三、解答题

15．已知函数且,

（1）求函数的定义域；

（2）判断函数的奇偶性，并说明理由．

16．20世纪30年代，里克特()制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大.这就是我们常说的里氏震级，其计算公式为，这里是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差).

（1）若一次地震中，一个距离震中的测震仪记录的地震最大振幅是，此时标准地震的振幅是，计算这次地震的震级(精确到0.1)；

（2）计算里氏8级地震的最大振幅是里氏6级地震最大振幅的多少倍？(附：)

参考答案

1．D

【分析】

根据指对数的关系解方程，即可求解集.

【详解】

由得：，

故选：D.

2．B

【分析】

根据对数概念转化对数方程，结合限制条件列不等式组，解得结果.

【详解】

且

故选：B

【点睛】

本题考查对数方程、对数概念，考查基本分析化简求解能力，属基础题.

3．C

【分析】

根据指对幂函数的单调性对选项依次分析即可.

【详解】

对A，因为，所以在上单调递减，又，所以，故A错误；

对B，因为，所以在第一象限上单调递增，

因为，所以，所以，故B错误；

对C，在第一象限上单调递增，又，所以，故C正确；

对D，由换底公式，，，

因为，所以在上单调递减，所以，

即，故D错误.

故选：C

【点睛】

本题主要考查指对幂函数的单调性和对数函数的换底公式，属于基础题.

4．C

【分析】

根据幂函数，指数函数，对数函数的单调性，确定各数的大致范围，从而比较各数的大小.

【详解】

,得；

，得；

， ，即,

得.

故选：C．

【点睛】

本题考查了幂函数，指数函数，对数函数的单调性，确定各数的大致范围是解决此类问题的关键，属于容易题.

5．A

【分析】

从所给的散点图可知，图象大约过，依此可判断出结果.

【详解】

从所给的散点图可知，图象大约过，所以该函数模型应为指数函数．

故选：A

【点睛】

本题主要考查函数模型的选择，解题的关键是看出函数的变化趋势和所过的特殊点，属于基础题.

6．D

【分析】

根据分段函数的解析式，分段求解相应的对数方程和指数方程即得.

【详解】

当时，,解得;

当时，,解得,

故选：D.

7．A

【分析】

根据列式，并根据给出参考数据，结合指数函数的性质解相应的指数方程，即可得答案.

【详解】

解：因为，，

所以，即，

所以，由于，故，

所以，所以，解得.

故选：A.

8．D

【解析】

【分析】

通过特殊值判断A、B的正误；正弦函数的最值判断C的正误；利用反例判断D是假命题．

【详解】

解：当x=0时，lgex=0，所以A是真命题；

x=0时，tanx=x，所以B是真命题；

因为sinx≤1，当x=时，sinx=1，所以，sinx＜1，C是真命题；

x=0时，ex=x+1，所以∀x∈R，ex＞x+1不正确，所以D是假命题；

故选D．

【点睛】

本题考查命题的真假的判断与应用，是基本知识的考查．

9．B

【分析】

利用待定系数法求出的表达式即可．

【详解】

解：设，
则，解得，
则，
则．
故选B．

【点睛】

本题主要考查函数值的计算以及幂函数解析式的求解，利用待定系数法是解决本题的关键．

10．C

【分析】

由题意，次分裂后，共有个，故可得方程，从而得解．

【详解】

由题意，次分裂后，共有个，所以有，

∴，故选C.

【点睛】

本题主要考查指数函数的运用，考查由实际问题选择函数类型，属于基础题．

11．4

【分析】

根据对数的定义可得．

【详解】

由得，所以．

故答案为：4．

12．

【分析】

函数与其反函数图象关于直线对称，则在已知函数图象上，代入求解.

【详解】

与其反函数图象关于直线对称，的反函数的图像经过点，

则的图像经过点，所以，

 即，解得.

故答案为：.

【点睛】

函数与其反函数的图象关于直线对称.

13．2

【分析】

平方化简后即可得到答案。

【详解】

因为,则

所以

故答案为：2

【点睛】

此题考查对式子的平方的处理，平方是一种常用的式子处理方法注意掌握，属于简单题目。

14．

【分析】

构造函数，利用其单调性比较大小。

【详解】

解：构造函数，

在上单调递增，又，

即，

故答案为：

【点睛】

本题考查利用函数单调性比较大小，根据式子特点找到函数是关键，是基础题。

15．（1）； （2）见解析.

【分析】

（1）根据对数函数的真数大于0即可（2）首先判断定义域，再计算与的关系.

【详解】

（1）由，所以令

因此函数需满足：，所以函数定义域为:

（2）由（1）得函数定义域为，因为,所以函数为偶函数.

【点睛】

本题主要考查了函数定义域的求法以及函数奇偶性的判断，属于基础题.

16．（1）4.6级；（2）100倍.

【分析】

（1）根据，,计算即可得出结果；

（2）由，化简计算求得即可得出结果.

【详解】

（1）由题设可知：

因此，该次地震的震级约为里氏4.6级.

（2）设里氏8级和里氏6级地震的最大振幅分别为，.

由题设可得：

∴

因此，里氏8级地震的最大振幅是里氏6级地震最大振幅的100倍.