高中数学北师大版 (2019)必修 第一册2.2 分层随机抽样习题

6.2.2分层随机抽样

一、选择题

1．已知某公司按照工作年限发放年终奖并且进行年终表彰．若该公司有工作10年以上的员工100人，工作5～10年的员工400人，工作0～5年的员工200人，现按照工作年限进行分层随机抽样，在公司的所有员工中抽取28人作为员工代表上台接受表彰，则工作5～10年的员工代表有(　　)

A.8人　　　B．16人　　　C．4人　　　D．24人

2．当前，国家正分批修建经济适用房以解决低收入家庭住房紧张的问题．已知甲、乙、丙三个社区现分别有低收入家庭360户、270户、180户．若第一批经济适用房中有90套住房用于解决这三个社区中90户低收入家庭的住房问题，先采用分层随机抽样的方法决定各社区户数，则应从甲社区中抽取低收入家庭的户数为(　　)

A.40    B．30      C．20     D．36

3．在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本．

方法1：采用简单随机抽样的方法，将零件编号00，01，02，…，99，用抽签法抽取20个．

方法2：采用分层随机抽样的方法，从一级品中随机抽取4个，从二级品中随机抽取6个，从三级品中随机抽取10个．

对于上述问题，下列说法正确的是(　　)

①不论采用哪种抽样方法，这100个零件中每一个零件被抽到的可能性都是；

②采用不同的方法，这100个零件中每一个零件被抽到的可能性各不相同；

③在上述两种抽样方法中，方法2抽到的样本比方法1抽到的样本更能反映总体特征；

④在上述抽样方法中，方法1抽到的样本比方法2抽到的样本更能反映总体的特征．

A.①②    B．①③    C．①④    D．②③

4．在1 000个球中有红球50个，从中抽取100个进行分析，如果用分层随机抽样的方法对球进行抽样，则应抽红球(　　)

A.33个    B．20个    C．5个    D．10个

5．为了保证分层随机抽样时每个个体等可能地被抽取，必须要求(　　)

A.每层不等可能抽样

B.每层抽取的个体数相等

C.每层抽取的个体可以不一样多，但必须满足抽取ni＝n(i＝1，2，…，k)个个体(其中i是层数，n是抽取的样本容量，Ni是第i层中个体的个数，N是总体的容量)

D.只要抽取的样本容量一定，每层抽取的个体数没有限制

二、填空题

6．某学院的A，B，C三个专业共有1 200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本．已知该学院的A专业有380名学生，B专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取________名学生．

7．一支田径队有男、女运动员98人，其中男运动员有56人．按男、女比例用分层随机抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员的人数是________．

8．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4，现用分层随机抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取________名学生．

三、解答题

9．一个单位有职工500人，其中不到35岁的有125人，35岁至49岁的有280人，50岁及50岁以上的有95人．为了了解这个单位职工与身体状态有关的某项指标，要从中抽取100名职工作为样本，职工年龄与这项指标有关，应该怎样抽取？

10．某高级中学共有学生3 000名，各年级男、女生人数如下表：

已知从全校学生中随机抽取1名学生，抽到高二年级女生的概率是0.18.

(1)问高二年级有多少名女生？

(2)现对各年级用分层随机抽样的方法从全校抽取300名学生，问应从高三年级抽取多少名学生？

11．某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测．若采用分层随机抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是(　　)

A.4　　　　B．5　　　　C．6　　　　D．7

12．厂家生产的1 200件产品是由三台机器生产的，其中甲机器生产240件，乙机器生产360件，丙机器生产600件，用分层随机抽样的方法抽取一个容量为30的样本检查这批产品的合格率，则丙机器生产的产品应抽取件数为   (　　)

A.6    B．9    C．15    D．10

13．有甲、乙两种产品共120件，现按一定的比例用分层随机抽样的方法共抽取10件进行产品质量调查，如果所抽取的甲产品的数量是乙产品的2倍还多1件，那么甲、乙产品的总件数分别为________、________．

14．某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1 200辆，6 000辆和2 000辆．为检验该公司的产品质量，现用分层随机抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取的辆数为_______．

15．某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工只能参加其中一组．在参加活动的职工中，青年人占42.5%，中年人占47.5%，老年人占10%；登山组的职工占参加活动总人数的，且该组中，青年人占50%，中年人占40%，老年人占10%.为了了解各组不同年龄层的职工对本次活动的满意程度，现用分层随机抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取容量为200的样本．试求：

(1)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例；

(2)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数．

参考答案

1.B　[依题意知，该公司的所有员工中工作10年以上、工作5～10年、工作0～5年的员工人数之比为1∶4∶2，故工作5～10年的员工代表有28×＝16人，故选B.]

2.A　[由题意可知90×＝40.]

3.B　[根据两种抽样的特点知，不论哪种抽样，总体中每个个体入样的可能性都相等，都是，故①正确，②错误．由于总体中有差异较明显的三个层(一级品、二级品和三级品)，故方法2抽到的样本更有代表性，③正确，④错误．故①③正确．]

4.C　[设应抽取红球x个，由＝，得x＝5.]

5.C　[A不正确．B中由于每层的容量不一定相等，每层抽同样多的个体数，显然从整个总体来看，各层之间的个体被抽取的可能性就不一样了，因此B也不正确．C中对于第i层的每个个体，它被抽到的可能性与层数无关，即对于每个个体来说，被抽取的可能性是相同的，故C正确．D不正确．]

6.40　[C专业的学生有1 200－380－420＝400(名)，由分层随机抽样原理，应抽取120×＝40(名).]

7.12　[抽取女运动员的人数为×28＝12.]

8.15　[高二年级学生人数占总数的，样本容量为50，则50×＝15.]

9.[解]　用分层随机抽样来抽取样本，步骤如下：

(1)分层．按年龄将500名职工分成三层：不到35岁的职工；35岁至49岁的职工；50岁及50岁以上的职工．

(2)确定每层抽取个体的个数．抽样比为＝，则在不到35岁的职工中抽取125×＝25(人)；

在35岁至49岁的职工中抽取280×＝56(人)；

在50岁及50岁以上的职工中抽取95×＝19(人).

(3)在各层分别按简单随机抽样的方法抽取样本．

(4)汇总每层抽样，组成样本．

10.[解]　(1)由＝0.18得x＝540，所以高二年级有540名女生．

(2)高三年级人数为：y＋z＝3 000－(487＋513＋540＋560)＝900.

∴×300＝90，故应从高三年级抽取90名学生．

11.C　[分层随机抽样中，分层抽取时都按相同的抽样比来抽取，本题中抽样比为＝，因此植物油类应抽取10×＝2(种)，果蔬类食品应抽取20×＝4(种)，因此从植物油类和果蔬类食品中抽取的种数之和为2＋4＝6.]

12.C　[因为三台机器生产的产品数量之比是240∶360∶600＝2∶3∶5，所以应该从丙机器生产的产品中抽取的件数是30×＝15.]

13.84　36　[设抽取乙产品x件，则抽取甲产品2x＋1件，由x＋(2x＋1)＝10，得x＝3.

∴2x＋1＝7.∴共有甲产品120×＝84(件)，乙产品120×＝36(件).]

14.6，30，10　[设三种型号的轿车依次抽取x辆，y辆，z辆，则有

解得故填6，30，10.]

15.[解]　(1)设登山组人数为x，游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为a，b，c，

则有＝47.5%，＝10%.

解得b＝50%，c＝10%.

故a＝1－50%－10%＝40%.

即游泳组中，青年人、中年人、老年人各占的比例分别为40%，50%，10%.

(2)游泳组中，抽取的青年人人数为200××40%＝60；

抽取的中年人人数为200××50%＝75；

抽取的老年人人数为200××10%＝15.