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    2021-2022学年福建省厦门市思明区双十中学八年级(下)期中数学试卷
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    2021-2022学年福建省厦门市思明区双十中学八年级(下)期中数学试卷

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    这是一份2021-2022学年福建省厦门市思明区双十中学八年级(下)期中数学试卷,共25页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    2021-2022学年福建省厦门市思明区双十中学八年级(下)期中数学试卷
    一、选择题(共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合要求)
    1.(4分)二次根式中字母x的取值可以是(  )
    A.x=5 B.x=3 C.x=2 D.x=1
    2.(4分)以下各数是最简二次根式的是(  )
    A. B. C. D.
    3.(4分)化简的结果是(  )
    A.7 B.﹣7 C.±7 D.49
    4.(4分)△ABC的三个顶点A,B,C所对的边分别为a,b,c,若满足a2=b2﹣c2,则下面结论成立的是(  )
    A.∠A=90° B.∠B=90°
    C.∠C=90° D.△ABC不是直角三角形
    5.(4分)如图,在四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是(  )

    A.AB∥DC,AB=DC B.AB=DC,AD=BC
    C.AB∥DC,AD=BC D.OA=OC,OB=OD
    6.(4分)命题“如果两个数相等,那么这两个数的绝对值相等”的逆命题是(  )
    A.如果两个数不相等,那么这两个数的绝对值不相等
    B..如果两个数绝对值不相等,那么这两个数不相等
    C.如果两个数绝对值相等,那么这两个数不一定相等
    D..如果两个数绝对值相等,那么这两个数相等
    7.(4分)如图,四边形ABCD为菱形,若CE为边AB的垂直平分线,则∠ADB的度数为(  )

    A.20° B.25° C.30° D.40°
    8.(4分)在▱ABCD中,AC,BD交于点O,若∠BOC+2∠DBC=180°,则下列说法正确的是(  )
    A.BO=BC B.OC=BC
    C.四边形ABCD是菱形 D.四边形ABCD是矩形
    9.(4分)如图,将正方形ABCD分别沿BE,BG折叠,使边AB,BC在BF处重合,折痕为BE,BG.若正方形ABCD的边长为6,E是AD边的中点,则CG的长是(  )

    A.3 B.2.5 C.2 D.1
    10.(4分)如图,平面内4条直线l1、l2、l3、l4是一组平行线,相邻2条平行线的距离都是1个单位长度,正方形ABCD的4个顶点A、B、C、D都在这些平行线上,则这个正方形的面积不可能是(  )

    A.1 B.3 C.5 D.9
    二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分)
    11.(4分)在▱ABCD中,若∠B=140°,则∠D=   度.
    12.(4分)如图,为测量BC两地的距离,小明在池塘外取点A,得到线段AB,AC,并取AB,AC的中点D,E,连结DE.测得DE的长为6米,则B,C两地相距    米.

    13.(4分)如图,将有一边重合的两张直角三角形纸片放在一起,若AC=BC=BD=1,则线段AD的长度为    .

    14.(4分)已知:如图所示,E为正方形ABCD外一点,AE=AD,∠ADE=75°,则∠AEB=   .

    15.(4分)将一组数,,3,2,,…,,3,按下面的方式进行排列:
    ,,3,2,,
    3,,2,3,,

    按这样的方式进行下去,将2所在的位置记为(1,4),所在的位置记为(2,5),那么在(4,1)的位置上的数是    (结果写成最简二次根式的形式).
    16.(4分)如图,菱形ABCD中,∠BAD=60°,AC与BD交于点O,E为CD延长线上一点,且CD=DE,连结BE,分别交AC,AD于点F、G,连结OG,则下列结论:①OGAB;②S四边形ODGF>S△ABF;③由点A、B、D、E构成的四边形是菱形;④S△ACD=4S△BOG;其中正确的结论是    .(请填写正确的序号)

    三、解答题(本题有9小题,共86分)
    17.(12分)(1)计算:();
    (2)当x2,y2时,求代数式x2﹣y2+xy的值.
    18.(8分)如图,已知四边形ABCD是平行四边形,对角线AC、BD相交于点O,点E、F在AC上,AE=CF.
    求证:BE=DF.

    19.(8分)如图,货船和轮船从码头A同时出发.其中,货船沿着北偏西54°方向以12海里/小时的速度匀速航行,轮船沿着北偏东36°方向以16海里/小时的速度航行.1小时后,两船分别到达B、C点,求B、C两点之间的距离.

    20.(8分)如图,AE∥BC,AC平分∠BAE.
    (1)尺规作图:在直线AE上取一点D,使得DA=DC;(保留作图痕迹,不写作法)
    (2)在(1)的图形中,连接CD.求证:四边形ABCD是菱形.

    21.(8分)(1)用“=”、“>”、“<”填空.
       2;6+3   2;1   2;7+7   2.
    (2)由(1)中各式猜想a+b与2(a≥0,b≥0)的大小,并说明理由.
    (3)请利用上述结论解决下面问题:
    某同学在做一个面积为1800cm2,对角线相互垂直的四边形风筝时,求用来做对角线的竹条至少要多少厘米?

    22.(8分)定义:如图,点M、N把线段AB分割成AM、MN、NB,若以AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形,则称点M、N是线段AB的勾股分割点.
    (1)已知M、N把线段AB分割成AM、MN、NB,若AM=1.5,MN=2.5,BN=2,则点M、N是线段AB的勾股分割点吗?请说明理由.
    (2)已知点M、N是线段AB的勾股分割点,且AM为直角边,若AB=24,AM=6,求BN的长.

    23.(10分)如图,已知四边形ABCD是矩形,点E在BA的延长线上,AE=AD,EC与BD相交于点G,与AD相交于点F,AF=AB.
    (1)求证:BD⊥EC;
    (2)求AD:AB的值;
    (3)连接AG,求证:EG﹣DGAG.

    24.(12分)如图,在▱ABCD中,点E,F分别为AB,AD边上的点.
    (1)如图1,若AB=5,BC=10,F为AD的中点,∠BEC=90°;
    ①求证:CF平分∠BCD;
    ②若BE=4,求EF的长;
    (2)如图2,若P是CE延长线上的点,PB=CD,PC与BF交于点G.点G是PC的中点,且∠PBF+∠ABC=180°,求线段BG、DF、BC之间存在的数量关系.


    25.(12分)正方形ABCD的边长为2,过点A作射线AM与线段BD交于点M,∠BAM=α(0°<α<90°),作CE⊥AM于点E,点N与点M关于直线CE对称,连接CN.
    (1)如图①,当0°<α<45°时,
    ①依题意在图①中补全图并证明:AM=CN;
    ②当BD∥CN,求DM的值.
    (2)探究∠NCE与∠BAM之间的数量关系并加以证明.


    2021-2022学年福建省厦门市思明区双十中学八年级(下)期中数学试卷
    参考答案与试题解析
    一、选择题(共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合要求)
    1.(4分)二次根式中字母x的取值可以是(  )
    A.x=5 B.x=3 C.x=2 D.x=1
    【解答】解:∵x﹣4≥0,
    ∴x≥4,
    ∵5>4,3<4,2<4,1<4,
    ∴二次根式中字母x的取值可以是4.
    故选:A.
    2.(4分)以下各数是最简二次根式的是(  )
    A. B. C. D.
    【解答】解:的被开方数中含有分母,故A不是最简二次根式,
    的被开方数含有能开方的因数4,故B不是最简二次根式;
    的被开方数中含有分母,故C不是最简二次根式,
    是最简二次根式.
    故选:D.
    3.(4分)化简的结果是(  )
    A.7 B.﹣7 C.±7 D.49
    【解答】解:7.
    故选:A.
    4.(4分)△ABC的三个顶点A,B,C所对的边分别为a,b,c,若满足a2=b2﹣c2,则下面结论成立的是(  )
    A.∠A=90° B.∠B=90°
    C.∠C=90° D.△ABC不是直角三角形
    【解答】解:∵a2=b2﹣c2,
    ∴a2+c2=b2,
    ∴△ABC是直角三角形,
    ∴∠B=90°,
    故选:B.
    5.(4分)如图,在四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是(  )

    A.AB∥DC,AB=DC B.AB=DC,AD=BC
    C.AB∥DC,AD=BC D.OA=OC,OB=OD
    【解答】解:A、∵AB∥DC,AB=DC,
    ∴四边形ABCD是平行四边形,故选项A不符合题意;
    B、∵AB=DC,AD=BC,
    ∴四边形ABCD是平行四边形,故选项B不符合题意;
    C、由AB∥DC,AD=BC,不能判定四边形ABCD是平行四边形,故选项C符合题意;
    D、∵OA=OC,OB=OD,
    ∴四边形ABCD是平行四边形,故选项D不符合题意;
    故选:C.
    6.(4分)命题“如果两个数相等,那么这两个数的绝对值相等”的逆命题是(  )
    A.如果两个数不相等,那么这两个数的绝对值不相等
    B..如果两个数绝对值不相等,那么这两个数不相等
    C.如果两个数绝对值相等,那么这两个数不一定相等
    D..如果两个数绝对值相等,那么这两个数相等
    【解答】解:命题“如果两个数相等,那么这两个数的绝对值相等”的条件为:两个数相等,结论为:这两个数的绝对值相等,
    故逆命题为:如果两个数绝对值相等,那么这两个数相等,
    故选:D.
    7.(4分)如图,四边形ABCD为菱形,若CE为边AB的垂直平分线,则∠ADB的度数为(  )

    A.20° B.25° C.30° D.40°
    【解答】解:如图,连接AC,

    ∵四边形ABCD为菱形,
    ∴AB=BC=AD,
    ∵CE为边AB的垂直平分线,
    ∴AC=BC,
    ∴AB=AC=BC,
    ∴△ABC是等边三角形,
    ∴∠ABC=60°,
    ∴∠ABD=30°,
    ∵AB=AD,
    ∴∠ADB=∠ABD=30°,
    故选:C.
    8.(4分)在▱ABCD中,AC,BD交于点O,若∠BOC+2∠DBC=180°,则下列说法正确的是(  )
    A.BO=BC B.OC=BC
    C.四边形ABCD是菱形 D.四边形ABCD是矩形
    【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,
    ∴OA=OC,OB=OD,
    ∵∠BOC+2∠DBC=180°,
    ∵∠DBC+∠BOC+∠OCB=180°,
    即∠DBC+∠BOC+∠OCB=180°,
    ∴∠DBC=∠OCB,
    ∴OB=OC,
    ∴AC=BD,
    ∴平行四边形ABCD是矩形,
    故选:D.
    9.(4分)如图,将正方形ABCD分别沿BE,BG折叠,使边AB,BC在BF处重合,折痕为BE,BG.若正方形ABCD的边长为6,E是AD边的中点,则CG的长是(  )

    A.3 B.2.5 C.2 D.1
    【解答】解:∵四边形ABCD为正方形,
    ∴AD=CD=6,∠D=90°,
    ∵点E是AD边的中点,
    ∴AE=DE=3,
    ∵正方形ABCD分别沿BE,BG折叠,
    ∴EF=AE=3,FG=CG,
    设CG=x,则:
    DG=CD﹣CG=6﹣x,FG=CG=x,
    ∴EG=EF+FG=3+x,
    在Rt△DEG中,DE2+DG2=EG2,
    即32+(6﹣x)2=(3+x)2,
    解得:x=2,
    ∴CG=2,
    故选:C.
    10.(4分)如图,平面内4条直线l1、l2、l3、l4是一组平行线,相邻2条平行线的距离都是1个单位长度,正方形ABCD的4个顶点A、B、C、D都在这些平行线上,则这个正方形的面积不可能是(  )

    A.1 B.3 C.5 D.9
    【解答】解:①若正方形相邻两点在同一直线上,
    ∵相邻2条平行线的距离都是1个单位长度,
    ∴正方形的边长为1或2或3,
    ∴正方形的面积为1或4或9,
    ②若相邻的顶点不在同一直线上,
    如图,过点B作EF⊥l2,
    ∵四边形ABCD是正方形,
    ∴AB=BC,∠ABC=90°,
    ∵∠ABE+∠CBF=180°﹣90°=90°,
    ∠CBF+∠BCF=90°,
    ∴∠ABE=∠BCF,
    在△ABE和△BCF中,,
    ∴△ABE≌△BCF(AAS),
    ∴AE=BF,
    当为图1时,AB,
    正方形的面积为2=2,
    当为图2时,AB,
    正方形的面积为2=5,
    所以,正方形的面积为1或4或9或2或5,
    纵观各选项,只有3不可能.
    故选:B.

    二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分)
    11.(4分)在▱ABCD中,若∠B=140°,则∠D= 140 度.
    【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,
    ∴∠B=∠D,
    ∵∠B=140°,
    ∴∠D=140°,
    故答案为:140.
    12.(4分)如图,为测量BC两地的距离,小明在池塘外取点A,得到线段AB,AC,并取AB,AC的中点D,E,连结DE.测得DE的长为6米,则B,C两地相距  12 米.

    【解答】解:∵点D,E分别为AB,AC的中点,
    ∴DE是△ABC的中位线,
    ∴DEBC,
    ∴BC=2DE=2×6=12(米),
    故答案是:12.
    13.(4分)如图,将有一边重合的两张直角三角形纸片放在一起,若AC=BC=BD=1,则线段AD的长度为   .

    【解答】解:∵∠C=90°,AC=BC=1,
    ∴AB,
    ∵∠DBA=90°,BD=1,
    ∴AD,
    故答案为:.
    14.(4分)已知:如图所示,E为正方形ABCD外一点,AE=AD,∠ADE=75°,则∠AEB= 30° .

    【解答】解:∵AE=AD,∠ADE=75°,
    ∴∠DAE=180°﹣2∠DAE=180°﹣2×75°=30°,
    ∴∠BAE=∠BAD+∠DAE=90°+30°=120°,
    ∵AB=AD,
    ∴AB=AE,
    ∴∠AEB(180°﹣∠BAE)(180°﹣120°)=30°.
    故答案为:30°.
    15.(4分)将一组数,,3,2,,…,,3,按下面的方式进行排列:
    ,,3,2,,
    3,,2,3,,

    按这样的方式进行下去,将2所在的位置记为(1,4),所在的位置记为(2,5),那么在(4,1)的位置上的数是  4 (结果写成最简二次根式的形式).
    【解答】解:在(4,1)的位置上的数是4.
    故答案为:4.
    16.(4分)如图,菱形ABCD中,∠BAD=60°,AC与BD交于点O,E为CD延长线上一点,且CD=DE,连结BE,分别交AC,AD于点F、G,连结OG,则下列结论:①OGAB;②S四边形ODGF>S△ABF;③由点A、B、D、E构成的四边形是菱形;④S△ACD=4S△BOG;其中正确的结论是  ①③④ .(请填写正确的序号)

    【解答】解:∵四边形ABCD是菱形,
    ∴AB=BC=CD=DA,AB∥CD,OA=OC,OB=OD,AC⊥BD,
    ∴∠BAG=∠EDG,
    ∵CD=DE,
    ∴AB=DE,
    在△ABG和△DEG中,

    ∴△ABG≌△DEG(AAS),
    ∴AG=DG,
    ∴OG是△ABD的中位线,
    ∴OGAB,故①正确;
    ∵AB∥CE,AB=DE,
    ∴四边形ABDE是平行四边形,
    ∵∠BCD=∠BAD=60°,
    ∴△ABD、△BCD是等边三角形,
    ∴AB=BD=AD,∠ODC=60°,
    ∴平行四边形ABDE是菱形,故③正确;
    ∵OA=OC,AG=DG,
    ∴OG是△ACD的中位线,
    ∴OG∥CD∥AB,OGCD,
    ∴S△ACD=4S△AOG,
    ∵S△AOG=S△BOG,
    ∴S△ACD=4S△BOG,故④正确;
    连接FD,如图:
    ∵△ABD是等边三角形,AO平分∠BAD,BG平分∠ABD,
    ∴F到△ABD三边的距离相等,
    ∴S△BDF=S△ABF=2S△BOF=2S△DOF=S四边形ODGF,
    ∴S四边形ODGF=S△ABF,故②错误;
    正确的是①③④,
    故答案为:①③④.

    三、解答题(本题有9小题,共86分)
    17.(12分)(1)计算:();
    (2)当x2,y2时,求代数式x2﹣y2+xy的值.
    【解答】解:(1)()
    =223

    (2)∵x2,y2,
    ∴x+y22=2,
    x﹣y2﹣(2)=4,
    xy=(2)×(2)=﹣1,
    ∴x2﹣y2+xy
    =(x+y)(x﹣y)+xy
    =24+(﹣1)
    =81.
    18.(8分)如图,已知四边形ABCD是平行四边形,对角线AC、BD相交于点O,点E、F在AC上,AE=CF.
    求证:BE=DF.

    【解答】证明:∵四边形ABCD是平行四边形,

    ∴OB=OD,OA=OC,
    ∵AE=CF.
    ∴OE=OF,
    ∵OB=OD,
    ∴四边形BEDF是平行四边形,
    ∴BE=DF.
    19.(8分)如图,货船和轮船从码头A同时出发.其中,货船沿着北偏西54°方向以12海里/小时的速度匀速航行,轮船沿着北偏东36°方向以16海里/小时的速度航行.1小时后,两船分别到达B、C点,求B、C两点之间的距离.

    【解答】解:根据题意得∠BAC=54°+36°=90°,
    在Rt△ABC中,∵AB=12×1=12,AC=16×1=16,
    ∴BC20(海里).
    答:B、C两点之间的距离为20海里.
    20.(8分)如图,AE∥BC,AC平分∠BAE.
    (1)尺规作图:在直线AE上取一点D,使得DA=DC;(保留作图痕迹,不写作法)
    (2)在(1)的图形中,连接CD.求证:四边形ABCD是菱形.

    【解答】(1)解:如图,点D为所作;

    (2)证明:∵AE∥BC,
    ∴∠DAC=∠BCA,
    ∵AC平分∠BAE,
    ∴∠DAC=∠BAC,
    ∴∠BAC=∠BCA,
    ∴BA=BC,
    ∵DA=DC,
    ∴∠DAC=∠DCA,
    ∴∠BAC=∠DCA,
    ∴AB∥CD,
    ∵AD∥BC,
    ∴四边形ABCD为平行四边形,
    ∵BA=BC,
    ∴四边形ABCD为菱形.
    21.(8分)(1)用“=”、“>”、“<”填空.
     > 2;6+3 > 2;1 > 2;7+7 = 2.
    (2)由(1)中各式猜想a+b与2(a≥0,b≥0)的大小,并说明理由.
    (3)请利用上述结论解决下面问题:
    某同学在做一个面积为1800cm2,对角线相互垂直的四边形风筝时,求用来做对角线的竹条至少要多少厘米?

    【解答】解:(1)∵0,
    ∴0,
    ∴2,
    同理得:6+3>2;12;7+7=2.
    故答案为:>,>,>,=;
    (2)猜想:a+b≥2(a≥0,b≥0),
    理由是:∵a≥0,b≥0,
    ∴a+b﹣2()2≥0,
    ∴a+b≥2;
    (3)设AC=a,BD=b,
    由题意得:1800,
    ∴ab=3600,
    ∵a+b≥2,
    ∴a+b≥2,
    ∴a+b≥120,
    ∴用来做对角线的竹条至少要120厘米.
    22.(8分)定义:如图,点M、N把线段AB分割成AM、MN、NB,若以AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形,则称点M、N是线段AB的勾股分割点.
    (1)已知M、N把线段AB分割成AM、MN、NB,若AM=1.5,MN=2.5,BN=2,则点M、N是线段AB的勾股分割点吗?请说明理由.
    (2)已知点M、N是线段AB的勾股分割点,且AM为直角边,若AB=24,AM=6,求BN的长.

    【解答】解:(1)是.
    理由:∵AM2+BN2=1.52+22=6.25,MN2=2.52=6.25,
    ∴AM2+NB2=MN2,
    ∴AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形,
    ∴点M、N是线段AB的勾股分割点.

    (2)设BN=x,则MN=24﹣AM﹣BN=18﹣x,
    ①当MN为最大线段时,依题意MN2=AM2+NB2,
    即(18﹣x)2=x2+36,
    解得x=8;
    ②当BN为最大线段时,依题意BN2=AM2+MN2.
    即x2=36+(18﹣x)2,
    解得x=10,
    综上所述,BN=8或10.

    23.(10分)如图,已知四边形ABCD是矩形,点E在BA的延长线上,AE=AD,EC与BD相交于点G,与AD相交于点F,AF=AB.
    (1)求证:BD⊥EC;
    (2)求AD:AB的值;
    (3)连接AG,求证:EG﹣DGAG.

    【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,点E在BA的延长线上,
    ∴∠EAF=∠DAB=90°,
    又∵AE=AD,AF=AB,
    ∴△AEF≌△ADB(SAS),
    ∴∠AEF=∠ADB,
    ∴∠GEB+∠GBE=∠ADB+∠ABD=90°,
    即∠EGB=90°,
    故BD⊥EC;

    (2)解:∵四边形ABCD是矩形,
    ∴AE∥CD,
    ∴∠AEF=∠DCF,∠EAF=∠CDF,
    ∴△AEF∽△DCF,
    ∴,
    即AE•DF=AF•DC,
    设AE=AD=a(a>0),则有a•(a﹣b)=b2,
    化简得a2﹣ab﹣b2=0,
    解得ab或b(舍去),
    ∴AD:AB=a:b;

    (3)证明:如图,在线段EG上取点P,使得EP=DG,

    在△AEP与△ADG中,AE=AD,∠AEP=∠ADG,EP=DG,
    ∴△AEP≌△ADG(SAS),
    ∴AP=AG,∠EAP=∠DAG,
    ∴∠PAG=∠PAD+∠DAG=∠PAD+∠EAP=∠DAE=90°,
    ∴△PAG为等腰直角三角形,
    ∴EG﹣DG=EG﹣EP=PGAG.
    24.(12分)如图,在▱ABCD中,点E,F分别为AB,AD边上的点.
    (1)如图1,若AB=5,BC=10,F为AD的中点,∠BEC=90°;
    ①求证:CF平分∠BCD;
    ②若BE=4,求EF的长;
    (2)如图2,若P是CE延长线上的点,PB=CD,PC与BF交于点G.点G是PC的中点,且∠PBF+∠ABC=180°,求线段BG、DF、BC之间存在的数量关系.


    【解答】(1)①证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
    ∴AD∥BC,AD=BC=10,CD=AB=5,
    ∴∠DFC=∠BCF,
    ∵F为AD的中点,
    ∴AF=DF=5,
    ∴CD=DF,
    ∴∠DFC=∠DCF,
    ∴∠BCF=∠DCF,
    ∴CF平分∠BCD;
    ②∵∠BEC=90°,BE=4,BC=10,
    ∴CE2,
    如图1,过点F作FH∥AB,交CE于点K,交BC于点H,
    则∠EKF=∠BEC=90°,
    ∵AF∥BH,AB∥FH,
    ∴四边形ABHF是平行四边形,
    ∴FH=AB=5,BH=AF=5,
    ∴BH=CH=5,即H是BC的中点,
    ∵FH∥AB,
    ∴K是CE的中点,KH是△BCE的中位线,
    ∴EKCE,KHBE=2,
    ∴FK=FH﹣KH=5﹣2=3,
    在Rt△EFK中,EF;
    (2)如图2,连接CF,过C作CK∥BP交BF于K,则∠PBF=∠BKC.
    ∵G为PC中点,
    ∴PG=CG,
    ∵∠BGP=∠KGC,
    ∴△PBG≌△CKG(ASA),
    ∴CK=BP=CD=AB,BG=KG,
    又∵∠PBF+∠ABC=180°,∠BKC+∠FKC=180°,
    ∴∠FKC=∠ABC=∠D.
    又∠A+∠ABC=180°,
    ∴∠BKC=∠PBF=∠A,
    而AD∥BC,
    ∴∠AFB=∠FBC,
    ∴△ABF≌△KCB(AAS),
    ∴BF=BC.
    ∴∠BFC=∠BCF=∠DFC,
    又∠FKC=∠D,CF=CF,
    ∴△CFK≌△CFD(AAS),
    ∴FK=FD.
    ∴2BG+DF=BK+FK=BF=BC.
    即2BG+DF=BC.


    25.(12分)正方形ABCD的边长为2,过点A作射线AM与线段BD交于点M,∠BAM=α(0°<α<90°),作CE⊥AM于点E,点N与点M关于直线CE对称,连接CN.
    (1)如图①,当0°<α<45°时,
    ①依题意在图①中补全图并证明:AM=CN;
    ②当BD∥CN,求DM的值.
    (2)探究∠NCE与∠BAM之间的数量关系并加以证明.

    【解答】解:(1)①补全图形如图1,连接MC,

    ∵四边形ABCD是正方形,
    ∴AB=BC,∠ABM=∠CBM=45°,
    又∵BM=BM,
    ∴△ABM≌△CBM(SAS),
    ∴AM=CM,
    ∵点N与点M关于直线CE对称,
    ∴CN=CM,
    ∴AM=CN;
    ②如图2,过点A作AH⊥BD于H,

    ∵△ABM≌△CBM,
    ∴∠AMD=∠CMD,
    ∵CM=CN,
    ∴∠CNM=∠CMN,
    ∵BD∥CN,
    ∴∠AMD=∠CNM,
    ∴∠AMD=∠DMC=∠CMN,
    ∵∠AMD+∠DMC+∠CMN=180°,
    ∴∠AMD=60°,
    ∵∠ADB=45°,AH⊥BD,
    ∴△ADH是等腰直角三角形,
    ∴AH=DH,ADAH,
    ∴DH=AH,
    ∵∠AHM=90°,∠AMD=60°,
    ∴∠MAH=30°,
    ∴AHMH,
    ∴HM,
    ∴DM,
    故答案为;
    (2)当0°<α<45°时,如图1,∠NCE=2∠BAM,理由如下:
    ∵△ABM≌△CBM,
    ∴∠BAM=∠BCM,
    ∵∠ABC=∠CEA=90°,
    ∴∠BAM=∠BCE,
    ∴∠MCE=2∠BAM,
    ∵点N与点M关于直线CE对称,
    ∴CN=CM,
    ∴∠NCE=∠MCE,
    ∴∠NCE=2∠BAM,
    当α=45°时,不合题意舍去,
    当45°<α<90°,∠NCE+∠BAM=90°,理由如下:
    如图,连接CM,

    ∵AD=CD,∠ADM=∠CDM,DM=DM,
    ∴△ADM≌△CDM,(SAS),
    ∴∠DAM=∠DCM,
    ∵∠ADQ=∠CEQ=90°,∠AQD=∠CQE,
    ∴∠DAQ=∠ECQ,
    ∴∠NCE=∠MCE=2∠DAQ,
    ∴∠DCM∠NCE,
    ∵∠BAM=∠BCM,∠BCM+∠DCM=90°,
    ∴∠NCE+∠BAM=90°;
    声明:试题解析著作权属菁优网所有,未经书面同意,不得复制发布日期:2022/5/30 7:40:31;用户:朱文磊;邮箱:fywgy23@xyh.com;学号:21522783
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