2020-2021学年福建省龙岩市漳平市八年级（下）期中数学试卷

这是一份2020-2021学年福建省龙岩市漳平市八年级（下）期中数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年福建省龙岩市漳平市八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（4分）要使代数式有意义，则x的取值范围（　　）
A．x＞1 B．x＜1 C．x≥1 D．x≤1
2．（4分）以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（　　）
A．5，12，13 B．3，4，5 C．4，5，6 D．1，，2
3．（4分）在▱ABCD中，如果∠A+∠C＝140°，那么∠C等于（　　）
A．20° B．40° C．60° D．70°
4．（4分）下列二次根式中，与能合并的是（　　）
A． B． C． D．
5．（4分）下列运算中正确的是（　　）
A．2 B．3 C． D．（）2＝4
6．（4分）如图，▱ABCD的周长为36，对角线AC、BD相交于点O，E是CD中点，△OCE的周长是13，则AC的长为（　　）

A．10 B．8 C．6 D．4
7．（4分）如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（　　）

A．1 B．1 C．1 D．
8．（4分）如图，在长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（　　）

A．6cm2 B．8cm2 C．10cm2 D．12cm2
9．（4分）如图所示，△ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为（　　）

A． B． C． D．
10．（4分）如图，在▱ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论不一定成立的是（　　）

A．∠BCD＝2∠DCF B．EF＝FC
C．∠DFE＝3∠AEF D．S△BEC＝2S△CEF
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分.
11．（4分）化简：　 　．
12．（4分）正方形边长为a，则它的面积为S＝　 　．
13．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知c＝25，b＝15，则a＝　 　．
14．（4分）顺次连接矩形各边中点所得四边形为　 　形．
15．（4分）如图，是一棵美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若最大的正方形的边长为10，则正方形A，B，C，D的面积和为 　 　．

16．（4分）已知△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD是BC边上的高，把△ABC沿着AD边剪开，将所得的两个△ABD和△ACD拼成平行四边形，则拼得平行四边形对角线
长的最大值是 　 　．

三、解答题：本题共9个小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（8分）计算：
（1）26
（2）（）﹣2（）
18．（8分）如图，BD是▱ABCD的对角线，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，求证：AE＝CF．

19．（8分）先化简，再求值：（）•，其中x＝﹣2．
20．（8分）我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水尺．引葭赴岸，适与岸齐问水深、葭长各几何译文大意是：如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．问水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？

21．（8分）求证：矩形的对角线相等．（要求：画出图形，写出已知，求证和证明过程）
22．（10分）已知x＝23，y＝23．
（1）直接写出结果x﹣y＝　 　，xy＝　 　；
（2）求代数式x2﹣xy+y2的值．
23．（10分）如图1，AC是矩形ABCD的对角线．

（1）作AC的垂直平分线MN，MN交AD于点E，交BC于点F（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）；
（2）连接AF、CE求证：四边形AECF是菱形；
（3）如图2，M是▱ABCD的边AD上一点，请你只用一根没有刻度的直尺，在BC边上画出一点N，使CN＝AM，并简要说明画图的过程．

24．（12分）如图，菱形OABC中，O为坐标原点，点B在x轴上，OA＝4，∠AOC＝120°．
（1）直接写出点B和点A的坐标；
（2）P是对角线OB上一点，以AP为一边作∠PAD＝60°，AD与CB的延长线相交于点D，判断△APD的形状，并给予证明；
（3）以PA、PD为邻边作▱APDE，如果点E在第一象限的角平分线上，求OP的长．

25．（14分）正方形ABCD中，点P是边CD上的任意一点，连接BP，O为BP的中点，作PE⊥BD于E，连接EO，AE．
（1）若∠PBC＝α，求∠POE的大小（用含α的式子表示）；
（2）用等式表示线段AE与BP之间的数量关系，并证明．


2020-2021学年福建省龙岩市漳平市八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（4分）要使代数式有意义，则x的取值范围（　　）
A．x＞1 B．x＜1 C．x≥1 D．x≤1
【解答】解：由题意得：1﹣x≥0，
解得：x≤1，
故选：D．
2．（4分）以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（　　）
A．5，12，13 B．3，4，5 C．4，5，6 D．1，，2
【解答】解：A．∵52+122＝132，
∴以5，12，13为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B．∵32+42＝52，
∴以3，4，5为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
C．∵42+52≠62，
∴以4，5，6为边不能组成直角三角形，故本选项符合题意；
D．∵12+（）2＝22，
∴以1，，2为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：C．
3．（4分）在▱ABCD中，如果∠A+∠C＝140°，那么∠C等于（　　）
A．20° B．40° C．60° D．70°
【解答】解：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，
∵∠A+∠C＝140°，
∴2∠C＝140°，
∴∠C＝70°，
故选：D．

4．（4分）下列二次根式中，与能合并的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A、2，与不能合并，故本选项错误；
B、4，与能合并，故本选项正确；
C、2，与不能合并，故本选项错误；
D、，与不能合并，故本选项错误．
故选：B．
5．（4分）下列运算中正确的是（　　）
A．2 B．3 C． D．（）2＝4
【解答】解：A、原式＝4，故A不符合题意．
B、原式，故B不符合题意．
C、原式，故C符合题意．
D、原式＝2，故D不符合题意．
故选：C．
6．（4分）如图，▱ABCD的周长为36，对角线AC、BD相交于点O，E是CD中点，△OCE的周长是13，则AC的长为（　　）

A．10 B．8 C．6 D．4
【解答】解：∵平行四边形ABCD的周长为36，
∴BC+CD＝18，AC＝2OC，
∵OD＝OB，DE＝EC，
∴OE+CE（BC+CD）＝9，
∵△OCE的周长是13，
∴OC＝13﹣9＝4，
∴AC＝2OC＝8．
故选：B．
7．（4分）如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（　　）

A．1 B．1 C．1 D．
【解答】解：∵，
∴a1，
故选：A．
8．（4分）如图，在长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（　　）

A．6cm2 B．8cm2 C．10cm2 D．12cm2
【解答】解：∵长方形折叠，使点B与点D重合，
∴ED＝BE，
设AE＝xcm，则ED＝BE＝（9﹣x）cm，
在Rt△ABE中，
AB2+AE2＝BE2，
∴32+x2＝（9﹣x）2，
解得：x＝4，
∴△ABE的面积为：3×46（cm2）．
故选：A．
9．（4分）如图所示，△ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：△ABC的面积BC×AE＝2，
由勾股定理得，AC，
则BD＝2，
解得BD，
故选：A．

10．（4分）如图，在▱ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论不一定成立的是（　　）

A．∠BCD＝2∠DCF B．EF＝FC
C．∠DFE＝3∠AEF D．S△BEC＝2S△CEF
【解答】解：延长EF，交CD延长线于M，
A、∵F是AD的中点，
∴AF＝FD，
在▱ABCD中，AD＝2AB，
∴AF＝FD＝CD，
∴∠DFC＝∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠DFC＝∠FCB，
∴∠DCF＝∠BCF，
∴∠DCF∠BCD，
即∠BCD＝2∠DCF，故此选项正确，不合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A＝∠MDF，
∵F为AD中点，
∴AF＝FD，
在△AEF和△DFM中，
，
∴△AEF≌△DMF（ASA），
∴EF＝FM，
∴FE＝MF，∠AEF＝∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC＝90°，
∴∠AEC＝∠ECD＝90°，
∵FM＝EF，
∴FC＝FM＝EF，故此选项正确，不合题意；
C、设∠FEC＝x，则∠FCE＝x，
∴∠DCF＝∠DFC＝90°﹣x，
∴∠EFC＝180°﹣2x，
∴∠EFD＝90°﹣x+180°﹣2x＝270°﹣3x，
∵∠AEF＝90°﹣x，
∴∠DFE＝3∠AEF，故此选项正确，不合题意．
D、∵AEF≌△DMF（ASA），
∴EF＝FM，
∴S△EFC＝S△CFM，
∵MC＞BE，
∴S△BEC＜2S△EFC
故S△BEC＝2S△CEF错误，符合题意；
故选：D．

二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分.
11．（4分）化简：　　．
【解答】解：原式＝2
．
故答案为：．
12．（4分）正方形边长为a，则它的面积为S＝　5+2　．
【解答】解：∵正方形边长为a，
∴它的面积为S＝（）2＝5+2．
故答案为：5+2．
13．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知c＝25，b＝15，则a＝　20　．
【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理可得：
c2＝a2+b2，
即：252＝a2+152，
∴a20．
故答案为：20．
14．（4分）顺次连接矩形各边中点所得四边形为　菱　形．
【解答】解：如图，连接AC、BD，
∵E、F、G、H分别是矩形ABCD的AB、BC、CD、AD边上的中点，
∴EF＝GHAC，FG＝EHBD（三角形的中位线等于第三边的一半），
∵矩形ABCD的对角线AC＝BD，
∴EF＝GH＝FG＝EH，
∴四边形EFGH是菱形．
故答案为：菱形．

15．（4分）如图，是一棵美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若最大的正方形的边长为10，则正方形A，B，C，D的面积和为 　100　．

【解答】解：根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为S1，C、D的面积和为S2，S1+S2＝S3，于是S3＝S1+S2，
即S3＝A+B+C+D＝102＝100．
故答案为：100．

16．（4分）已知△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD是BC边上的高，把△ABC沿着AD边剪开，将所得的两个△ABD和△ACD拼成平行四边形，则拼得平行四边形对角线
长的最大值是 　2　．

【解答】解：如图：
，
过点A作AD⊥BC于点D，
∵△ABC边AB＝AC＝10，BC＝12，
∴BD＝DC＝6，
∴AD＝8，
如图①所示：
可得四边形ACBD是矩形，则其对角线长为：10，
如图②所示：AD＝8，
连接BC，过点C作CE⊥BD于点E，
则EC＝8，BE＝2BD＝12，
则BC＝4，
如图③所示：BD＝6，
由题意可得：AE＝6，EC＝2BE＝16，
故AC2，
∵10＜42．
故答案为：2．
三、解答题：本题共9个小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（8分）计算：
（1）26
（2）（）﹣2（）
【解答】解：（1）原式＝46
＝42
＝2；

（2）原式＝4+22
＝6．
18．（8分）如图，BD是▱ABCD的对角线，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，求证：AE＝CF．

【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE＝CF．
19．（8分）先化简，再求值：（）•，其中x＝﹣2．
【解答】解：原式•
•
，
当x＝﹣2时，
原式
．
20．（8分）我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水尺．引葭赴岸，适与岸齐问水深、葭长各几何译文大意是：如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．问水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？

【解答】解：设水深x尺，芦苇（x+1）尺，
由勾股定理：x2+52＝（x+1）2，
解得：x＝12，x+1＝13，
答：水深12尺，芦苇的长度是13尺．
21．（8分）求证：矩形的对角线相等．（要求：画出图形，写出已知，求证和证明过程）
【解答】解：已知：四边形ABCD是矩形，AC与BD是对角线，
求证：AC＝BD，
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC，∠ABC＝∠DCB＝90°，
又∵BC＝CB，
∴△ABC≌△DCB（SAS），
∴AC＝BD，
所以矩形的对角线相等

22．（10分）已知x＝23，y＝23．
（1）直接写出结果x﹣y＝　﹣6　，xy＝　﹣1　；
（2）求代数式x2﹣xy+y2的值．
【解答】解：（1）x﹣y＝23﹣（23）＝23﹣23＝﹣6；
xy＝（23）（23）＝8﹣9＝﹣1；
故答案为：﹣6，﹣1；
（2）x2﹣xy+y2
＝（x﹣y）2+xy
＝（﹣6）2+（﹣1）
＝35．
23．（10分）如图1，AC是矩形ABCD的对角线．

（1）作AC的垂直平分线MN，MN交AD于点E，交BC于点F（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）；
（2）连接AF、CE求证：四边形AECF是菱形；
（3）如图2，M是▱ABCD的边AD上一点，请你只用一根没有刻度的直尺，在BC边上画出一点N，使CN＝AM，并简要说明画图的过程．

【解答】（1）解：如图1中，直线MN即为所求；

（2）证明：设AC与EF相交于点O，
∵EF是AC的垂直平分，
∴EF⊥AC，且AO＝CO，
∴∠AOE＝∠COF＝90°，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF∴四边形AECF为平行四边形，
又∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形；

（3）解：如图3中，点N即为所求．

24．（12分）如图，菱形OABC中，O为坐标原点，点B在x轴上，OA＝4，∠AOC＝120°．
（1）直接写出点B和点A的坐标；
（2）P是对角线OB上一点，以AP为一边作∠PAD＝60°，AD与CB的延长线相交于点D，判断△APD的形状，并给予证明；
（3）以PA、PD为邻边作▱APDE，如果点E在第一象限的角平分线上，求OP的长．

【解答】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠AOB＝∠COB，OA＝AB＝OC，
∵∠AOC＝120°，
∴∠AOB＝60°，
∴△OAB是等边三角形，
∵OA＝4，
∴OB＝4，
∴B（4，0），A（2，2）；
（2）△APD为等边三角形．
证明：∵菱形OABC，且∠AOC＝120°，
∴OA＝AB，∠AOB＝60°，∠AOC＝120°，
∴∠ABD＝180°﹣∠ABC＝60°，
∴∠AOB＝∠ABD，
∵∠PAD＝60°，∠OAB＝60°，
∴∠OAP＝∠BAD，
∴△OAP≌△BAD（ASA），
∴AP＝AD，
∵∠PAD＝60°，
∴△APD为等边三角形；
（3）解：过D作x轴的垂线，交x轴于点F．

设OP＝x，由（1）知BD＝OP，
∴BD＝x，
∵∠DBx＝60°，
∴BF，DF，
即D（4，），
∵四边形APDE是平行四边形，
∴AE∥PD，AE＝PD，
∵P（x，0），
∴D（4，x），
∴A（2，2），
∴E（6，2x），
∵点E在第一象限的角平分线上
∴点E的横纵坐标相同，即有62x，
解得，x＝812，
即OP＝812．
25．（14分）正方形ABCD中，点P是边CD上的任意一点，连接BP，O为BP的中点，作PE⊥BD于E，连接EO，AE．
（1）若∠PBC＝α，求∠POE的大小（用含α的式子表示）；
（2）用等式表示线段AE与BP之间的数量关系，并证明．

【解答】解：（1）在正方形ABCD中，BC＝DC，∠C＝90°，
∴∠DBC＝∠CDB＝45°，
∵∠PBC＝α，
∴∠DBP＝45°﹣α，
∵PE⊥BD，且O为BP的中点，
∴EO＝BO，
∴∠EBO＝∠BEO，
∴∠EOP＝∠EBO+∠BEO＝90°﹣2 α；
（2）BP．证明如下：
连接OC，EC，
在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABD＝∠CBD，BE＝BE，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴AE＝CE，
设∠PBC＝α，
在Rt△BPC中，O为BP的中点，
∴CO＝BO，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠COP＝2 α，
由（1）知∠EOP＝90°﹣2α，
∴∠EOC＝∠COP+∠EOP＝90°，
又由（1）知BO＝EO，
∴EO＝CO．
∴△EOC是等腰直角三角形，
∴EO2+OC2＝EC2，
∴ECOC，
即BP，
∴BP．

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