2021-2022学年湖南师大附中博才实验中学七年级（下）期中数学试卷

这是一份2021-2022学年湖南师大附中博才实验中学七年级（下）期中数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年湖南师大附中博才实验中学七年级（下）期中数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列各数中是无理数的是（　　）
A．0 B． C． D．π
2．（3分）已知点P的坐标为P（﹣5，3），则点P在第（　　）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
3．（3分）估计的值在（　　）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
4．（3分）如图所示，点E在AD的延长线上，下列条件中不能判断AD∥BC的是（　　）

A．∠3＝∠4 B．∠1＝∠2
C．∠C＝∠CDE D．∠C+∠CDA＝180°
5．（3分）下列语句中，是假命题的是（　　）
A．实数与数轴上的点一一对应
B．对顶角相等
C．无限小数都是无理数
D．垂线段最短
6．（3分）如图所示的围棋盘，放置在某个直角坐标系中，白棋②的坐标为（﹣3，﹣1），白棋④的坐标为（﹣2，﹣5），则黑棋①位于点（　　）

A．（﹣1，﹣4） B．（1，﹣4） C．（3，1） D．（﹣3，﹣1）
7．（3分）若方程组的解为，则被“☆”、“□”遮住的两个数分别是（　　）
A．10，3 B．3，10 C．4，10 D．10，4
8．（3分）下列说法正确的是（　　）
A．4的平方根是2
B．有公共顶点且相等的角是对顶角
C．﹣4没有立方根
D．同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
9．（3分）《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样的一个问题：五只雀，六只燕共重一斤，雀重燕轻，互换一只，恰好一样重．问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的重量为x斤，一只燕的重量为y斤，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
10．（3分）对于实数x，y，定义一种新的运算“⊙”：x⊙y＝ax+by+c，其中a，b，c为常数，若3⊙5＝15，4⊙7＝28，求1⊙1的值为（　　）．
A．﹣11 B．1
C．11 D．与a或b或c的值有关
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）已知P（﹣2022，﹣2021），则点P到y轴的距离是 　 　．
12．（3分）若y2，则y＝　 　．
13．（3分）若3x3＝﹣81，则x＝　 　．
14．（3分）如图，直线AB、CD相交于点O，若∠1+∠2＝100°，则∠BOC等于　 　．

15．（3分）已知AB∥x轴，且点A的坐标为（m，2m﹣1），点B的坐标为（2，4），则点A的坐标为　 　．
16．（3分）如图，矩形内有两个相邻的正方形，面积分别为4和2，那么阴影部分的面积是　 　．

三、解答题（8小题，共72分）
17．（6分）计算：．
18．（10分）解方程（组）：
（1）2（x+2）2﹣8＝0；
（2）．
19．（9分）如图，在单位正方形网格中，建立了平面直角坐标系xOy，试解答下列问题：

（1）写出△ABC三个顶点的坐标；
（2）画出△ABC向右平移6个单位，再向下平移2个单位后的图形△A1B1C1；
（3）求△ABC的面积．
20．（9分）如图，AB⊥MN于B，CD⊥MN于D，∠3＝3∠1﹣∠2．
（1）判断AB与CD的位置关系，并说明理由．
（2）求∠1的度数．

21．（9分）解关于x，y的方程组时，甲正确地解出，乙因为把c抄错了，误解为，求a，b，c的值．
22．（9分）为方便市民出行，减轻城市中心交通压力，长沙市正在修建贯穿星城南北、东西的地铁1、2号线．已知修建地铁1号线24千米和2号线22千米共需投资265亿元；若1号线每千米的平均造价比2号线每千米的平均造价多0.5亿元．
（1）求1号线，2号线每千米的平均造价分别是多少亿元？
（2）据悉，长沙市到今年年底在建及通车地铁里程（不含1、2号线）将达到276千米，这些在建及通车地铁线网每千米的平均造价是1号线每千米的平均造价的1.2倍，那么到今年年底长沙市修建地铁线网（不含1、2号线）共投资了多少亿元？
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，A，B坐标分别为A（0，a）、B（b，a），且a，b满足：，现同时将点A，B分别向下平移3个单位，再向左平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，AB．

（1）求C，D两点的坐标及四边形ABDC的面积；
（2）点P是线段BD上的一个动点，连接PA，PO，当点P在BD上移动时（不与B，D重合），的值是否发生变化，并说明理由；
（3）已知点M在y轴上，连接MB、MD，若△MBD的面积与四边形ABDC的面积相等，求点M的坐标．

24．（10分）已知a，b均为正整数．我们把满足的点P（x，y）称为幸福点．
（1）下列四个点中为幸福点的是 　 　；
P1（5，5）；P2（6，6）；P3（7，7）；P4（8，8）
（2）若点P（20，t）是一个幸福点，求t的值；
（3）已知点P（1，1）是一个幸福点，则存在正整数a，b满足，试问是否存在实数k的值使得点P和点Q（a+k，b﹣k）到x轴的距离相等，且到y轴的距离也相等？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

2021-2022学年湖南师大附中博才实验中学七年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列各数中是无理数的是（　　）
A．0 B． C． D．π
【解答】解：∵3，是有理数，
∴π是无理数，
故选：D．
2．（3分）已知点P的坐标为P（﹣5，3），则点P在第（　　）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
【解答】解：∵点P的坐标为（﹣5，3），
∴点P的横坐标为负数，纵坐标为正数，
∴点P在第二象限，
故选：B．
3．（3分）估计的值在（　　）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
【解答】解：∵4.12，
∴的值在4和5之间．
故选：C．
4．（3分）如图所示，点E在AD的延长线上，下列条件中不能判断AD∥BC的是（　　）

A．∠3＝∠4 B．∠1＝∠2
C．∠C＝∠CDE D．∠C+∠CDA＝180°
【解答】解：A、∵∠3＝∠4，
∴AD∥BC；
B、∵∠1＝∠2，
∴AB∥CD；
C、∵∠C＝∠CDE，
∴AD∥BC；
D、∵∠C+∠CDA＝180°，
∴AD∥BC，
∴不能判断AD∥BC的是B选项，
故选：B．
5．（3分）下列语句中，是假命题的是（　　）
A．实数与数轴上的点一一对应
B．对顶角相等
C．无限小数都是无理数
D．垂线段最短
【解答】解：A、实数与数轴上的点一一对应，正确，为真命题；
B、对顶角相等，正确，为真命题；
C、无限不循环小数都是无理数，故原命题为假命题；
D、垂线段最短，正确，为真命题；
故选：C．
6．（3分）如图所示的围棋盘，放置在某个直角坐标系中，白棋②的坐标为（﹣3，﹣1），白棋④的坐标为（﹣2，﹣5），则黑棋①位于点（　　）

A．（﹣1，﹣4） B．（1，﹣4） C．（3，1） D．（﹣3，﹣1）
【解答】解：由白棋②的坐标为（﹣3，﹣1），白棋④的坐标为（﹣2，﹣5），可知，图中的上数第二条水平线为x轴，向右为正方向，从左向右数的第6条竖直线为y轴，向下为负方向，这两条线的交点为坐标原点．所以黑棋①位于点（1，﹣4）．故选：B．
7．（3分）若方程组的解为，则被“☆”、“□”遮住的两个数分别是（　　）
A．10，3 B．3，10 C．4，10 D．10，4
【解答】解：把x＝6代入2x+y＝16得：y＝4，
把x＝6，y＝4代入得：x+y＝6+4＝10，
则被“☆”、“□”遮住的两个数分别是10，4，
故选：D．
8．（3分）下列说法正确的是（　　）
A．4的平方根是2
B．有公共顶点且相等的角是对顶角
C．﹣4没有立方根
D．同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【解答】解：4的平方根是±2，故A错误，不符合题意；
有公共顶点且两边互为反向延长线的角是对顶角，故B错误，不符合题意；
﹣4有一个负的立方根，故C错误，不符合题意；
同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故D正确，符合题意．
故选：D．
9．（3分）《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样的一个问题：五只雀，六只燕共重一斤，雀重燕轻，互换一只，恰好一样重．问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的重量为x斤，一只燕的重量为y斤，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：由五只雀，六只燕共重一斤，可得方程5x+6y＝1，
由雀重燕轻，互换一只，恰好一样重，可得方程4x+y＝5y+x，
故，
故选：C．
10．（3分）对于实数x，y，定义一种新的运算“⊙”：x⊙y＝ax+by+c，其中a，b，c为常数，若3⊙5＝15，4⊙7＝28，求1⊙1的值为（　　）．
A．﹣11 B．1
C．11 D．与a或b或c的值有关
【解答】解：由题意得，
②﹣①得，a+2b＝13③，
由②得，4a+8b﹣b+c＝28，
即4（a+2b）﹣b+c＝28④，
将③代入④得，4×13﹣b+c＝28，
整理得，﹣b+c＝﹣24⑤，
③+⑤得，a+b+c＝﹣11，
即1⊙1＝﹣11，
故选：A．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）已知P（﹣2022，﹣2021），则点P到y轴的距离是 　2022　．
【解答】解：∵点P（﹣2022，﹣2021），
∴点P到y轴的距离为：|﹣2022|＝2022．
故答案为：2022．
12．（3分）若y2，则y＝　2　．
【解答】解：∵y2，
∴x﹣3≥0，3﹣x≥0，
解得：x＝3，
故y＝2，
故答案为：2．
13．（3分）若3x3＝﹣81，则x＝　﹣3　．
【解答】解：∵3x3＝﹣81，
∴x3＝﹣27，
解得：x＝﹣3，
故答案为：﹣3
14．（3分）如图，直线AB、CD相交于点O，若∠1+∠2＝100°，则∠BOC等于　130°　．

【解答】解：由对顶角相等可得，∠1＝∠2，
∵∠1+∠2＝100°，
∴∠1＝50°，
∴∠BOC＝180°﹣∠1＝180°﹣50°＝130°．
故答案为：130°．
15．（3分）已知AB∥x轴，且点A的坐标为（m，2m﹣1），点B的坐标为（2，4），则点A的坐标为　（，4）　．
【解答】解：∵AB∥x轴，点A的坐标为（m，2m﹣1），点B的坐标为（2，4），
∴2m﹣1＝4，
∴m，
∴A（，4），
故答案为：（，4）．
16．（3分）如图，矩形内有两个相邻的正方形，面积分别为4和2，那么阴影部分的面积是　2 2．　．

【解答】解：∵矩形内有两个相邻的正方形面积分别为4和2，
∴两个正方形的边长分别是 ，2，
∴阴影部分的面积＝（2）×2﹣2﹣4＝22．
故答案为22．
三、解答题（8小题，共72分）
17．（6分）计算：．
【解答】解：
＝2+31
＝6．
18．（10分）解方程（组）：
（1）2（x+2）2﹣8＝0；
（2）．
【解答】解：（1）移项，得2（x+2）2＝8，
系数化为1，得（x+2）2＝4，
开平方，得x+2＝±2，
解得x＝0或x＝﹣4；
（2），
由①得，y＝2x﹣5③，
把方程③代入②，得3x+4（2x﹣5）＝2，
解得x＝2，
把x＝2代入③得，y＝2×2﹣5，
解得y＝﹣1，
∴该方程组的解是．
19．（9分）如图，在单位正方形网格中，建立了平面直角坐标系xOy，试解答下列问题：

（1）写出△ABC三个顶点的坐标；
（2）画出△ABC向右平移6个单位，再向下平移2个单位后的图形△A1B1C1；
（3）求△ABC的面积．
【解答】解：（1）A（﹣1，8），B（﹣4，3），C（0，6）；（3分）
（2）如图：
；（7分）
（3）△ABC的面积（1+4）×51×24×3＝5.5．（10分）
20．（9分）如图，AB⊥MN于B，CD⊥MN于D，∠3＝3∠1﹣∠2．
（1）判断AB与CD的位置关系，并说明理由．
（2）求∠1的度数．

【解答】解：（1）AB∥CD，理由如下：
∵AB⊥MN于B，CD⊥MN于D，
∴∠ABD＝∠CDN＝90°，
∴AB∥CD；
（2）∵AB∥CD，
∴∠2+∠3＝180°，∠1＝∠3，
∵∠3＝3∠1﹣∠2，
∴∠1＝60°．
21．（9分）解关于x，y的方程组时，甲正确地解出，乙因为把c抄错了，误解为，求a，b，c的值．
【解答】解：把代入方程组得：，
解得：c＝2，
把代入方程组中第一个方程得：4a﹣b＝9，
联立得：，
解得：，
则a＝2.5，b＝1，c＝2．
22．（9分）为方便市民出行，减轻城市中心交通压力，长沙市正在修建贯穿星城南北、东西的地铁1、2号线．已知修建地铁1号线24千米和2号线22千米共需投资265亿元；若1号线每千米的平均造价比2号线每千米的平均造价多0.5亿元．
（1）求1号线，2号线每千米的平均造价分别是多少亿元？
（2）据悉，长沙市到今年年底在建及通车地铁里程（不含1、2号线）将达到276千米，这些在建及通车地铁线网每千米的平均造价是1号线每千米的平均造价的1.2倍，那么到今年年底长沙市修建地铁线网（不含1、2号线）共投资了多少亿元？
【解答】解：（1）设2号线每千米的平均造价为x亿元，1号线每千米的平均造价为y亿元，
由题意得：，
解得：，
答：1号线每千米的平均造价是6亿元，2号线每千米的平均造价是5.5亿元；
（2）由（1）得：276×6×1.2＝1987.2（亿元），
答：到今年年底长沙市修建地铁线网（不含1、2号线）共投资了1987.2亿元．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，A，B坐标分别为A（0，a）、B（b，a），且a，b满足：，现同时将点A，B分别向下平移3个单位，再向左平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，AB．

（1）求C，D两点的坐标及四边形ABDC的面积；
（2）点P是线段BD上的一个动点，连接PA，PO，当点P在BD上移动时（不与B，D重合），的值是否发生变化，并说明理由；
（3）已知点M在y轴上，连接MB、MD，若△MBD的面积与四边形ABDC的面积相等，求点M的坐标．

【解答】解：（1）∵0，b﹣5|≥0，且|b﹣5|＝0，
∴0，|b﹣5|＝0，
∴a＝3，b＝5，
∴A（0，3），B（5，3），
∵将点A，B分别向下平移3个单位，再向左平移1个单位，得到各自的对应点C，D，
∴C（﹣1，0），D（4，0），
由平移得AB∥CD，AB＝CD＝4﹣（﹣1）＝5，
∴四边形ABDC是平行四边形，
∴S平行四边形ABDC＝5×3＝15，
∴四边形ABDC的面积是15．
（2）不发生变化，
理由：如图1，∵AB∥OD，
∴∠BAP+∠DOP+∠PAO+∠POA＝180°，
∴∠BAP+∠DOP＝180°﹣（∠PAO+∠POA），
∵∠APO＝180°﹣（∠PAO+∠POA），
∴∠BAP+∠DOP＝∠APO，
∴1，
∴的值不发生变化．
（3）设点M的坐标为（0，m），
由（1）得S平行四边形ABDC＝5×3＝15，S△AOC1×3，
∴S四边形ABDO＝15，
如图2，点M在直线AB的上方，
∵S△MBD＝S四边形ABDO+S△MAB﹣S△MOD＝15，
∴5（m﹣3）4m＝15，
解得m＝18；
如图3，点M在x轴的下方，且点D在△MAB的外部，
∵S△MBD＝S四边形ABDO+S△MOD﹣S△MAB＝15，
∴4×（﹣m）5（3﹣m）＝15，
∴解得m＝18，不符合题意，舍去；
如图4，点M在x轴的下方，且点D在△MAB的内部，
∵S△MBD＝S△MAB﹣S四边形ABDO﹣S△MOD＝15，
∴5（3﹣m）4×（﹣m）＝15，
解得m＝﹣42，
综上所述，点M的坐标为（0，18）或（0，﹣42）．



24．（10分）已知a，b均为正整数．我们把满足的点P（x，y）称为幸福点．
（1）下列四个点中为幸福点的是 　P1（5，5）　；
P1（5，5）；P2（6，6）；P3（7，7）；P4（8，8）
（2）若点P（20，t）是一个幸福点，求t的值；
（3）已知点P（1，1）是一个幸福点，则存在正整数a，b满足，试问是否存在实数k的值使得点P和点Q（a+k，b﹣k）到x轴的距离相等，且到y轴的距离也相等？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵a，b均为正整数，满足的点P（x，y）称为幸福点，
∴当a＝1，b＝1时，x＝5，y＝5，故P1（5，5）是幸福点，
当a＝1，b＝2时，x＝8，y＝7，故（8，7）是幸福点，
当a＝2，b＝1时，x＝7，y＝8，故（7，8）是幸福点，
..．
∴P1（5，5），P2（6，6），P3（7，7），P4（8，8）中只有P1（5，5）是幸福点，
故答案为：P1（5，5）；
（2）∵点P（20，t）是一个幸福点，
∴2a+3b＝20，3a+2b＝t，
∵a，b均为正整数，
∴a＝1，b＝6或a＝b＝4或a＝7，b＝2，
当a＝1，b＝6时，t＝15，
当a＝b＝4时，t＝20，
当a＝7，b＝2时，t＝25，
∴t的值为15或20或25；
（3）由题意可知，P（2a+3b，3a+2b），Q（a+k，b﹣k），
∵点P和点Q到x轴的距离相等，
∴3a+2bb﹣k①，
∵点P和点Q到y轴的距离相等，
∴2a+3bb+k②，
将①、②联立得，a＝﹣b，
∵a，b均为正整数，
∴a＝﹣b无意义，
故不存在实数k．
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