辽宁省大连市高新园区名校联盟2021-2022学年八年级（下）月考数学试卷（4月份）（含解析）

辽宁省大连市高新园区名校联盟2021-2022学年八年级（下）月考数学试卷（4月份）

一．选择题（本题共10小题，共30分）

1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是

A.  B.  C.  D.

2. 下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

3. 下列运算正确的是

A.  B.
C.  D.

4. 如图，在中，，，，以为边作正方形，则正方形的面积为

A.  B.  C.  D.

5. 下列各式中，与能合并的是

A.  B.  C.  D.

6. 在一个直角三角形中，若斜边的长是，一条直角边的长为，那么这个直角三角形的面积是

A.  B.  C.  D.

7. 如图，每个小正方形的边长都相等，、、是小正方形的顶点，则的度数为

A.
B.
C.
D.

8. 已知实数在数轴上的对应点位置如图，则化简的结果是

A.  B.  C.  D.

9. 如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，以点为圆心，以长为半径画弧交轴上点，则点的坐标为

A.
B.
C.
D. 或
 

10. 下列命题：
    全等三角形的对应角相等；
    一个正数的绝对值等于本身；
    若三角形的三边长、、满足，则该三角形是直角三角形；
    等边三角形的三个内角都等于．
    其中逆命题是真命题的是

1.  B.  C.  D.

二．填空题（本题共6小题，共18分）

11. 若代数式有意义，则实数的取值范围是______．
12. 在中，，若，则 ______ ．
13. 已知长方形的面积为，其中一边长为，则该长方形的另一边长为______．
14. 在九章算术中有一个问题如图：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？它的意思是：一根竹子原高一丈尺，中部一处折断，竹梢触地面处离竹根尺，试问折断处离地面______ 尺

15. 已知，，则______．
16. 如图，在中，，，，按图中所示方法将沿折叠，使点落在边上的点处，则折痕的长为______．
    
     

三．计算题（本题共1小题，共9分）

17. 计算：
    ；
    ．

四．解答题（本题共9小题，共93分）

18. 已知，求代数式的值．
19. 如图，在中，于点，，，求与的长．

20. 如图所示，一架米长的梯子斜靠在一面竖直的墙上，这时梯子底端到墙的距离为米．
    求这个梯子的顶端距地面的高度的长；
    如果梯子的顶端沿墙下滑米到点，小明说梯子的底端在水平方向向右也滑动米你认为小明说的对吗？请说明你的理由．
21. 如图，甲乙两船从港口同时出发，甲船以海里时的速度向北偏东航行，乙船向南偏东航行，小时后，甲船到达岛，乙船到达岛，若两岛相距海里，问乙船的航速是多少？
    
    
     

22. 阅读材料：
    黑白双雄、纵横江湖；双剑合璧、天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”如：，，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样理解：如，像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．
    解决问题：
    的有理化因式可以是______，分母有理化得______．
    计算：
    ．
    已知：，，求的值．
23. 在中，，是的中点，以为腰向外作等腰直角，，连接，交于点，交于点．
    求证：；
    求证：．
    
     

24. 阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：
    设其中、、、均为正整数，则有，
    ，这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．
    请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
    当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，得： ______ ， ______ ；
    若，且、、均为正整数，求的值；
    化简：．
25. 如图，在等腰中，，，动点由点出发，沿边以的速度运动到点停止，过作交或边于点，过点作的平行线与过点作的平行线交于点．
    填空：______；
    当点在边上时，求的值；
    与重合部分图形的面积为，用含的代数式表示，并直接写出的取值范围．
26. 如图，在中，，，点在延长线，，点在边上，四边形为正方形．
     

填空：______；
求的值；
连结交于点，如图，探究、、三条线段之间的数量关系，并证明．
答案和解析

1.【答案】

【解析】解：、，不是最简二次根式，不符合题意；
B、是最简二次根式，符合题意；
C、，不是最简二次根式，不符合题意；
D、，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的概念：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式逐一判断即可得．
此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式定义是解本题的关键．
 

2.【答案】

【解析】解：、，
不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、，
能构成直角三角形，故本选项符合题意；
C、，
不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、，
不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：．
先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，看看是否相等即可．
本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边、的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
 

3.【答案】

【解析】解：与不是同类二次根式，不能加减，故选项A错误；
，故选项B错误；
，故选项C错误；
，故选项D错误．
故选：．
利用二次根式的加减法法则计算、，利用二次根式的乘、除法法则计算、，根据计算结果判断即可．
本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解决本题的关键．
 

4.【答案】

【解析】解：在中，，，，
，
正方形的面积，
故选：．
根据勾股定理和正方形的面积公式即可得到结论．
本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
 

5.【答案】

【解析】解：选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
故选：．
先化简二次根式，根据同类二次根式的定义判断即可．
本题考查了同类二次根式，掌握一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键．
 

6.【答案】

【解析】解：由勾股定理得，另一条直角边长为：，
这个直角三角形的面积为，
故选：．
由勾股定理得，另一条直角边长为：，即可计算面积．
本题主要考查了勾股定理，熟练掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．
 

7.【答案】

【解析】解：连接，设每个小正方形的边长都是，
根据勾股定理可以得到：，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
故选B．
根据勾股定理即可得到，，的长度，进行判断即可．
本题主要考查了勾股定理，利用勾股定理判断是等腰直角三角形是解决本题的关键．
 

8.【答案】

【解析】解：由图知：，
，，
原式．
故选：．
根据数轴上点的位置，判断出和的符号，再根据非负数的性质进行化简．
此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出，是解题关键．
 

9.【答案】

【解析】解：点、的坐标分别为、，
，，
，
，，
点坐标为；点坐标为．
故选：．
根据题意求出的长，以为圆心作圆，与轴交于，，求出的坐标即可．
本题考查了勾股定理、坐标与图形的性质，作出辅助圆是解题的关键．
 

10.【答案】

【解析】解：全等三角形的对应角相等的逆命题是对角线相等的三角形是全等三角形，逆命题是假命题；
一个正数的绝对值等于本身的逆命题是绝对值等于本身的是正数，原命题是假命题；
若三角形的三边长、、满足，则该三角形是直角三角形的逆命题是直角三角形的三边长、、满足，是真命题；
等边三角形的三个内角都等于的逆命题是三个内角都等于的三角形是等边三角形，是真命题；
故选：．
写出原命题的逆命题后判断正误即可．
考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大．
 

11.【答案】

【解析】解：，
，
故答案为：．
根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数即可得出答案．
本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件：被开方数是非负数是解题的关键．
 

12.【答案】

【解析】解：在中，，
，
，
，
．
故答案为：．
根据勾股定理可得，那么，将代入计算即可求解．
本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．即如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么掌握定理是解题的关键．
 

13.【答案】

【解析】解：长方形的面积为，其中一边长为，
该长方形的另一边长为：．
故答案为：．
直接利用二次根式的除法运算法则计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的除法，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

14.【答案】

【解析】解：设折断处离地面尺，根据题意可得：
，
解得：，
答：折断处离地面尺．
故答案为：．
根据题意结合勾股定理得出折断处离地面的长度即可．
此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意正确应用勾股定理是解题关键．
 

15.【答案】

【解析】解：原式


，
故答案为：．
将、代入后分母有理化，再计算加减即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．
 

16.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后对应边、角相等．
根据勾股定理易求 根据折叠的性质有 ， ， ．
在 中，设 ，则 ， 根据勾股定理可求 ．
在 中，运用勾股定理求 ．
【解答】
解： ， ， ，
．
根据折叠的性质， ， ， ．
．
在 中，设 ，则 ，根据勾股定理得
．
解得 ．
．
，
故答案为 ．   

17.【答案】解：原式

；

原式

．

【解析】直接化简二次根式，再合并得出答案；
直接化简二次根式，再合并得出答案．
此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键．
 

18.【答案】解：，




，
代数式的值为．

【解析】直接将代入所求式子求解即可．
本题考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式运算法则．
 

19.【答案】解：，，，，
，
在中，
由勾股定理得：，
在中，
由勾股定理得：，
．
答：的长为，的长为．

【解析】根据勾股定理求出即可；根据勾股定理求出，求出即可．
本题考查了勾股定理的应用，关键是对定理的掌握和运用．
 

20.【答案】解：在中，由勾股定理得，
即，
所以，
即这个梯子的顶端距地面的高度的长度是；

梯子的底端在水平方向滑动了．
理由：云梯的顶端下滑了至点，
，
在中，由勾股定理得，
即．
所以
，
即梯子的底端在水平方向滑动了．

【解析】在直角三角形中，利用勾股定理即可求出的长即可；
首先求出的长，利用勾股定理可求出的长，进而得到的值．
本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中根据梯子长不会变的等量关系求解是解题的关键．
 

21.【答案】解：依题意可知：．
在中，，海里，海里，
海里，
乙船的航速为海里时．

【解析】由甲、乙两船的航向，可得出，在中，利用勾股定理可求出的长，再利用速度路程时间，可求出乙船的航速．
本题考查了勾股定理的应用以及方向角，在中，利用勾股定理求出的长是解题的关键．
 

22.【答案】解：；；
原式；
，，
．

【解析】解：，
的有理化因式可以是；
；
故答案为：；；
见答案．
找出各式的分母有理化因式即可；
原式各项分母有理化，合并即可得到结果；
将与分母有理化后代入原式计算即可得到结果．
此题考查了分母有理化，二次根式的混合运算，代数式求值，正确选择两个二次根式，使它们的积符合平方差公式是解答问题的关键．
 

23.【答案】证明：，是的中点，
，
在和中，
，
≌，
，
，是等腰直角三角形，
，
，
；
≌，
，
，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
即．

【解析】根据等腰三角形的性质得出，根据推出≌，根据全等得出，即可得出答案；
根据全等得出，求出，根据勾股定理求出，，即可得出答案．
本题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，等腰直角三角形的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，题目比较好，有一定的难度．
 

24.【答案】 

【解析】解：，，
，．
故答案为，；
，，
，，
、均为正整数，
、或，，
或；
，
则



．
利用完全平方公式展开得到，从而可用、表示、；
直接利用完全平方公式，变形得出答案；
直接利用完全平方公式，变形化简即可．
本题考查了二次根式的性质与化简，完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式．
 

25.【答案】

【解析】解：在等腰中，，，
，
故答案为：；
如图，是等腰直角三角形，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
；
当时，重合部分的面积为的面积，


；
当时，如图所示，设，分别交于点，，
，，
，
，



，
是等腰直角三角形，
，




；
当时，如图所示，



．
综上所述，．
根据勾股定理求解即可；
根据题意得，，求出，的表达式，根据列方程即可求出的值；
当时，重合部分的面积为的面积；当时，重合部分的面积为四边形的面积；当时，重合部分的面积为的面积，分情况分别求解即可．
本题考查了三角形综合题，考查分类讨论的思想，分三种情况分别求重合部分的面积是解题的关键．
 

26.【答案】

【解析】解：，，
，
，
，
故答案为：；
如图，过点作于，
则，
设，
，
，
在中，，
，
，
，
，
四边形为正方形，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
；
，理由如下：
如图，过作于，于，
设，
四边形为正方形，
，，
由可知，，
，
在中，，
，
，
在中，，
是等腰直角三角形，
，
在中，，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
由可知，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，，
，
即、、三条线段之间的数量关系为：．
由三角形内角和定理求出，再由，即可得出结论；
过点作于，设，由含角的直角三角形性质得出，，求出，，由正方形的性质得出，求出，易证是等腰直角三角形，得出，求出，即可得出结果；
过作于，于，设，由含角的直角三角形性质得，再由勾股定理得出，易证是等腰直角三角形，则，然后由含角的直角三角形性质得出，得，，求出，，则，易证是等腰直角三角形，则，即可得出结果．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质、勾股定理、含角的直角三角形性质得知识；熟练掌握含角的直角三角形性质与勾股定理是解题的关键．