2021-2022学年河北省沧州市孟村县八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2021-2022学年河北省沧州市孟村县八年级（下）期中数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题（本大题共16小题，共42分）
下列各数中，与3的积为有理数的是( )
A. 2B. 32C. 23D. 2−3
将32×8化简，正确的结果是( )
A. 62B. ±62C. 38D. ±38
选择下列计算正确的答案是( )
A. (−4)−(−9)=−4−9=(−2)(−3)=6
B. a2=a
C. 32+42=3+4=7
D. 52−42=5+45−4=3×1=3
设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c.已知b=8，c=10，则a的值为( )
A. 2B. 6C. 5D. 36
如图，在平面直角坐标系中，点P坐标为(−2,3)，以点O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标介于( )
A. −4和−3之间
B. 3和4之间
C. −5和−4之间
D. 4和5之间
如图，是台阶的示意图．已知每个台阶的宽度都是30cm，每个台阶的高度都是15cm，连接AB，则AB等于( )
A. 195cmB. 200cmC. 205cmD. 210cm
如图，在▱ABCD中，AD=8，点E，F分别是BD，CD的中点，则EF等于( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
已知菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BAD=120°，AC=4，则该菱形的面积是( )
A. 163B. 16C. 83D. 8
如图，过矩形ABCD的四个顶点作对角线AC、BD的平行线，分别相交于E、F、G、H四点，则四边形EFGH为( )
A. 平行四边形
B. 矩形
C. 菱形
D. 正方形
如图，将△ABC放在正方形网格图中(图中每个小正方形的边长均为1)，点A，B，C恰好在网格图中的格点上，那么△ABC中BC的高是( )
A. 102B. 104C. 105D. 5
∵23=22×3=12①
−23=(−2)2×3=12②
∴23=−23③
∴2=−2 ④
以上推导中的错误在第几步( )
A. ①B. ②C. ③D. ④
如果1≤a≤2，则a2−2a+1+|a−2|的值是( )
A. 6+aB. −6−aC. −aD. 1
如图，在平行四边形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，对角线AC，BD相交于点O，则OA的取值范围是( )
A. 2cmC. 1cm如图，在平行四边形ABCD中，过对角线BD上一点P作EF//AB，GH//AD，与各边交点分别为E、F、G、H，则图中面积相等的平行四边形的对数为( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
如图，每个小正方形的边长为1，△ABC的三边a、b、c的大小关系式正确的是( )
A. cB. aC. aD. c有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后在它的上侧生长出两个小正方形(如图1)，且三个正方形所围成的三角形是直角三角形；再经过一次“生长”后变成了图2，如此继续“生长”下去，则“生长”第k次后所有正方形的面积和为( )
A. kB. k+1C. k2D. (k+1)2
二、填空题（本大题共3小题，共12分）
计算(25−2)2的结果是______．
如图AB=BC=CD=DE=1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，则AE等于______ ．
如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠DAB=60°.连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACEF，使∠FAC=60°.连接AE，再以AE为边作第三个菱形AEGH，使∠HAE=60°……则AG的长度是______；按此规律所作的第n个菱形的边长是______．
三、解答题（本大题共7小题，共66分）
若最简二次根式3x−102x+y−5和x−3y+11是同类二次根式．
(1)求x，y的值；
(2)求x2+y2的值．
如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位长度到达点B，点A表示−2，设点B所表示的数为m．
(1)求m的值；
(2)求|m−1|+(m+2)2的值．
如图，正方形ABCD中，E是BC上的一点，连接AE，过B点作BH⊥AE，垂足为点H，延长BH交CD于点F，连接AF．
(1)求证：AE=BF．
(2)若正方形边长是5，BE=2，求AF的长．
如图所示，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5，且周长为36cm，点P从点A开始沿边向B点以每秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，问过3秒时，△BPQ的面积为多少？
中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展．现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”.Rt△ABC中，∠ACB=90°，若AC=b，BC=a，请你利用这个图形解决下列问题：
(1)试说明a2+b2=c2；
(2)如果大正方形的面积是10，小正方形的面积是2，求(a+b)2的值．
如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF．
(1)求证：四边形ACDF是平行四边形；
(2)当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由．
如图，△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，四边形BCED为平行四边形，DE，AC相交于F.连接DC，AE．
(1)试确定四边形ADCE的形状，并说明理由．
(2)若AB=16，AC=12，求四边形ADCE的面积．
(3)当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE为正方形？请给予证明．答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、3×2=6，故A错误；
B、3×32=36，故B错误；
C、3×23=6，故C正确；
D、3×(2−3)=23−3，故D错误．
故选：C．
根据二次根式的乘法运算法则对各选项进行逐一解答即可．
本题考查了二次根式的乘法运算，熟知二次根式的乘法运算法则是解答此题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：原式=32×23
=32×22×2
=32×22×2
=62．
故选：A．
根据二次根式的乘法，可化简二次根式，可得答案．
本题考查了二次根式的性质与化简，熟记二次根式的乘法运算是解题关键．
3.【答案】D
【解析】解：A、−9和−4没有意义，故选项错误；
B、当a<0时，a2=−a，则选项错误；
C、32+42=25=5，选项错误；
D、正确．
故选D．
根据二次根式有意义的条件，以及二次根式的性质即可判断．
本题主要考查了二次根式的化简，正确理解二次根式乘法、积的算术平方根等概念是解答问题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：由勾股定理得，a=c2−b2=102−82=6，
故选：B．
根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：∵点P坐标为(−2,3)，
∴OP=(−2)2+32=13，
∵点A、P均在以点O为圆心，以OP为半径的圆上，
∴OA=OP=13，
∵9<13<16，
∴3<13<4．
∵点A在x轴的负半轴上，
∴点A的横坐标介于−4和−3之间．
故选：A．
先根据勾股定理求出OP的长，由于OP=OA，故估算出OP的长，再根据点A在x轴的负半轴上即可得出结论．
本题考查的是勾股定理及估算无理数的大小，根据题意利用勾股定理求出OP的长是解答此题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：如图
，
由题意得：AC=15×5=75cm，
BC=30×6=180cm，
故AB=AC2+BC2=752+1802=195cm．
故选A．
作出直角三角形后分别求得直角三角形的两直角边的长后即可利用勾股定理求得斜边AB的长．
本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形，难度不大．
7.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=8，
∵点E、F分别是BD、CD的中点，
∴EF=12BC=12×8=4．
故选：C．
由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对边相等，可得BC=AD=8，又由点E、F分别是BD、CD的中点，利用三角形中位线的性质，即可求得答案．
此题考查了平行四边形的性质与三角形中位线的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
8.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，AO=CO，AC⊥BD，BO=DO，AD//BC，
∴∠BAD+∠ABC=180°，
∵∠BAD=120°，
∴∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵AC=4，
∴AO=2，AB=AC=4，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：DO=BO=AB2−AO2=42−22=23，
∴BD=43，
∴菱形ABCD的面积S=12×AC×BD=12×4×43=83，
故选：C．
根据菱形的性质得出AB=BC，AO=CO，AC⊥BD，BO=DO，AD//BC，求出∠ABC=60°，求出△ABC是等边三角形，求出AB=4，根据勾股定理求出BO，求出BD，再求出菱形的面积即可．
本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理等知识点，能熟记菱形的性质是解此题的关键．
9.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了矩形的性质及菱形的判定．注意掌握菱形的判定方法有三种： ① 定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形； ② 四边相等； ③ 对角线互相垂直平分的四边形是菱形．由题意易得四边形 EFGH 是平行四边形，又因为矩形的对角线相等，可得 EH=HG ，所以平行四边形 EFGH 是菱形．
【解答】
解：由题意知， HG//EF//AC ， EH//FG//BD ， HG=EF=AC ， EH=FG=BD ，
∴ 四边形 EFGH 是平行四边形，
∵ 矩形的对角线相等，
∴AC=BD ，
∴EH=HG ，
∴ 平行四边形 EFGH 是菱形．
故选 C ．
10.【答案】A
【解析】解：根据图形可得：
AB=AC=12+22=5，
BC=12+32=10，
因为AB2+AC2=BC2，
所以∠BAC=90°，
设△ABC中BC边上的高是x，
则AC⋅AB=BC⋅x，
5×5=10⋅x，
x=102．
故选：A．
根据所给出的图形求出AB、AC、BC的长以及∠BAC的度数，再根据三角形的面积公式列出方程进行计算即可．
此题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形的面积公式，关键是根据三角形的面积公式列出关于x的方程．
11.【答案】B
【解析】解：根据二次根式的性质得−23=−22×3，错误的是第二步．故选B．
根据二次根式的性质求解．
正确理解二次根式乘法、积的算术平方根等概念是解答问题的关键．
12.【答案】D
【解析】解：∵1≤a≤2，
∴a−1≥0，a−2<0
故a2−2a+1+|a−2|=(a−1)2+|a−2|
=a−1+a−2
=a−1+2−a=1．
故选D．
由已知判断a−1，a−2的符号，根据二次根式的性质解答即可．
本题主要考查二次根式的性质：a≥0时，a2=a；a<0时，a2=−a；
解决此类题目的关键是熟练掌握二次根式及绝对值的运算．
13.【答案】C
【解析】解：∵平行四边形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，
∴OA=OC=12AC，2cm∴1cm故选：C．
由在平行四边形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，根据平行四边形对角线互相平分与三角形三边关系，即可求得OA=OC=12AC，2cm此题考查了平行四边形的性质与三角形三边关系．此题比较简单，注意数形结合思想的应用，注意掌握平行四边形对角线互相平分定理的应用．
14.【答案】A
【解析】解：∵ABCD为平行四边形，BD为对角线，
∴△ABD的面积等于△BCD的面积，
同理△BFP的面积等于△BGP的面积，△PED的面积等于△HPD的面积，
∵△BCD的面积减去△BFP的面积和PHD的面积等于平行四边形PFCH的面积，△ABD的面积减去△GBD和△EPD的面积等于平行四边形AGPE的面积．
∴平行四边形PFCH的面积=平行四边形AGPE的面积，
∴同时加上平行四边形PHDE和BFPG，
可以得出平行四边形AGHD面积和平行四边形EFCD面积相等，平行四边形ABFE和平行四边形BCHG面积相等．
所以有3对面积相等的平行四边形．
故选：A．
平行四边形的对角线将平行四边形分成两个面积相等的三角形．所以三角形ABD的面积等于三角形BCD的面积．三角形BFP的面积等于BGP的面积，三角形PED的面积等于三角形HPD的面积，从而可得到PFCH的面积等于AGPE的面积，同时加上一个公共的平行四边形，可以得出答案有三个．
本题考查平行四边形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法，属于中考常考题型．
15.【答案】A
【解析】解：∵b=AC=42+32=5=25，a=BC=42+12=17，c=4=16，
∴b>a>c，
即c故选：A．
通过小正方形网格，可以看出AB=4，AC、BC分别可以构造直角三角形，再利用勾股定理可分别求出b、a，然后比较三边的大小即可．
本题考查了勾股定理，由勾股定理求出a、b的长是解决问题的关键．
16.【答案】B
【解析】解：设直角三角形的是三条边分别是a，b，c．
根据勾股定理，得a2+b2=c2，
即正方形A的面积+正方形B的面积=正方形C的面积=1
所有正方形的面积之和为2=(1+1)×1；
正方形E的面积+正方形F的面积=正方形A的面积，
正方形M的面积+正方形N的面积=正方形B的面积，
正方形E的面积+正方形F的面积+正方形M的面积+正方形N的面积，
=正方形A的面积+正方形B的面积
=正方形C的面积
=1，
所有正方形的面积之和为3=(2+1)×1，
…
推而广之，“生长”了k次后形成的图形中所有的正方形的面积和是(k+1)×1=k+1．
故选：B．
根据勾股定理，发现：经过一次生长后，两个小正方形的面积和等于第一个正方形的面积，故经过一次生长后，所有正方形的积之和等于2；依此类推，经过k次生长后，所有正方形的面积和等于第一个正方形的面积的(k+1)倍，进而得问题答案．
本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
17.【答案】24−85
【解析】解：(25−2)2
=20−85+4
=24−85，
故答案为：24−85．
根据完全平方公式可以计算出题目中式子的结果．
本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．
18.【答案】2
【解析】解：∵AB⊥BC，
∴∠B=90°，
在Rt△ABC中，AB=BC=1，
根据勾股定理得：AC=AB2+BC2=2，
又∵AC⊥CD，
∴∠ACD=90°，
在Rt△ACD中，AC=2，CD=1，
根据勾股定理得：AD=AC2+CD2=3，
又∵AD⊥DE，
∴∠ADE=90°，
在Rt△ADE中，AD=3，DE=1，
根据勾股定理得：AE=AD2+DE2=2．
故答案为：2．
由AB与BC垂直，根据垂直定义得到∠B为直角，在直角三角形ABC中，由AB=BC=1，利用勾股定理求出AC的长，同理在直角三角形ACD中，由AC及CD的长，利用勾股定理求出AD的长，进而在直角三角形ADE中，由AD及DE的长，利用勾股定理即可求出AE的长．
此题考查了勾股定理的运用，勾股定理为：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
19.【答案】33 (3)n−1
【解析】解：连接BD，交AC于点M，

∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AD=AB，BN=12BD，AC=2AM，
∵∠DAB=60°，
∴△ADB是等边三角形，
∴DB=AB=1，
∴BM=12BD=12，
∴AM=AB2−BM2=12−(12)2=32，
∴AC=2AM=3，
同理可得：AE=3AC=(3)2=3，
AG=3AE=(3)3=33，
∴第一个菱形的边长为：AB=1=(3)0，
第二个菱形的边长为：AC=3=(3)1，
第三个菱形的边长为：AE=3=(3)2，
...
∴第n个菱形的边长是(3)n−1，
故答案为：33，(3)n−1．
连接BD，交AC于点M，根据菱形的性质可得AC⊥BD，AD=AB，BN=12BD，AC=2AM，从而可得△ADB是等边三角形，进而可求出BM的长，然后在Rt△ABM中，利用勾股定理求出AM，从而求出AC的长，同理可求出AE，AG的长，进行计算即可解答．
本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，规律型：图形的变化类，熟练掌握菱形的性质，以及等边三角形的判定与性质是解题的关键．
20.【答案】解：
(1)根据题意知3x−10=22x+y−5=x−3y+11，
解得：x=4y=3；
(2)当x=4、y=3时，
x2+y2=42+32=25=5．
【解析】此题主要考查了同类二次根式和算术平方根的定义，属于基础题，解答本题的关键是掌握被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．
(1)根据同类二次根式的定义：①被开方数相同；②均为二次根式；列方程解组求解；
(2)根据x，y的值和算术平方根的定义即可求解．
21.【答案】解：(1)∵蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位长度到达点B，
∴点B所表示的数比点A所表示的数大2．
∵点A表示−2，点B表示m，
∴m=−2+2；
(2)|m−1|+(m+2)2
=|−2+2−1|+(−2+2+2)2
=|−2+1|+4
=2−1+4
=2+3．
【解析】(1)利用数轴上两点之间距离求法得出答案；
(2)直接利用绝对值的性质以及完全平方公式计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
22.【答案】解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，
∵BH⊥AE，
∴∠BHE=90°，
∴∠AEB+∠EBH=90°，
∴∠BAE=∠EBH，
在△ABE和△BCF中，
∠BAE=∠CBFAB=BC∠ABE=∠BCF，
∴△ABE≌△BCF(ASA)，
∴AE=BF；
(2)∵AB=DC=5，
由(1)得：△ABE≌△BCF，
∴CF=BE=2，
∴DF=5−2=3，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=5，∠ADF=90°，
由勾股定理得：AF=AD2+DF2=52+32=25+9=34．
【解析】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，本题证明△ABE≌△BCF是解本题的关键．
(1)根据ASA证明△ABE≌△BCF，可得结论；
(2)根据(1)得：△ABE≌△BCF，则CF=BE=2，最后利用勾股定理可得AF的长．
23.【答案】解：设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm，
∵周长为36cm，
AB+BC+AC=36cm，
∴3x+4x+5x=36，
得x=3，
∴AB=9cm，BC=12cm，AC=15cm，
∵AB2+BC2=AC2，
∴△ABC是直角三角形，
过3秒时，BP=9−3×1=6(cm)，BQ=2×3=6(cm)，
∴S△PBQ=12BP⋅BQ=12×(9−3)×6=18(cm2).
故过3秒时，△BPQ的面积为18cm2．
【解析】本题先设适当的参数求出三角形的三边，由勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形．再求出3秒后的BP，BQ的长，利用三角形的面积公式计算求解．
本题是道综合性较强的题，需要学生把勾股定理的逆定理、三角形的面积公式结合求解．由勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形，是解题的关键．隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．
24.【答案】解：(1)∵大正方形面积为c2，直角三角形面积为12ab，小正方形面积为(b−a)2，
∴c2=4×12ab+(a−b)2=2ab+a2−2ab+b2即c2=a2+b2.；
(2)由图可知，(b−a)2=2，4×12ab=10−2=8，
∴2ab=8，
∴(a+b)2=(b−a)2+4ab=2+2×8=18．
【解析】(1)根据题意，我们可在图中找等量关系，由中间的小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，列出等式化简即可得出勾股定理的表达式．
(2)根据完全平方公式的变形解答即可．
本题考查了对勾股定理的证明和以及非负数的性质，掌握三角形和正方形面积计算公式是解决问题的关键．
25.【答案】解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB//CD，
∴∠FAE=∠CDE，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
又∵∠FEA=∠CED，
∴△FAE≌△CDE，
∴CD=FA，
又∵CD//AF，
∴四边形ACDF是平行四边形；
(2)BC=2CD．
证明：∵CF平分∠BCD，
∴∠DCE=45°，
∵∠CDE=90°，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴CD=DE，
∵E是AD的中点，
∴AD=2CD，
∵AD=BC，
∴BC=2CD．
【解析】(1)利用矩形的性质，即可判定△FAE≌△CDE，即可得到CD=FA，再根据CD//AF，即可得出四边形ACDF是平行四边形；
(2)先判定△CDE是等腰直角三角形，可得CD=DE，再根据E是AD的中点，可得AD=2CD，依据AD=BC，即可得到BC=2CD．
本题主要考查了矩形的性质以及平行四边形的判定与性质，要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．
26.【答案】证明：(1)∵平行四边形DBCE，
∴CE//BD，CE=BD，
∵D为AB中点，
∴AD=BD，
∴CE//AD，CE=AD，
∴四边形ADCE为平行四边形，
又BC//DE，
∴∠AFD=∠ACB=90°，
∴AC⊥DE，
故四边形ADCE为菱形；
(2)在Rt△ABC中，∵AB=16，AC=12，
∴BC=47，
∵D为AB中点，F也为AC的中点，
∴DF=27，
∴四边形ADCE的面积=AC×DF=247；
(3)应添加条件AC=BC．
证明：∵AC=BC，D为AB中点，
∴CD⊥AB(三线合一的性质)，即∠ADC=90°．
∵四边形BCED为平行四边形，四边形ADCE为平行四边形，
∴DE=BC=AC，∠AFD=∠ACB=90°．
∴四边形ADCE为正方形．(对角线互相垂直且相等的四边形是正方形)
【解析】(1)由题意容易证明CE平行且等于AD，又知AC⊥DE，所以得到四边形ADCE为菱形；
(2)根据解三角形的知识求出AC和DF的长，然后根据菱形的面积公式求出四边形ADCE的面积；
(3)应添加条件AC=BC，证明CD⊥AB且相等即可．
本题主要考查正方形的判定、菱形的判定与性质和勾股定理等知识点，此题是道综合体，有一定的难度，解答的关键还是要能熟练掌握各种四边形的基本性质．
题号
一
二
三
总分
得分