安徽省九年级2022中考数学冲刺复习-15填空题提升必刷60题③

这是一份安徽省九年级2022中考数学冲刺复习-15填空题提升必刷60题③，共27页。

15填空题提升必刷60题③


二十九．切线的性质（共2小题）
41．（2022•成都模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB延长线上，CD与⊙O相切于点D，连接AD，若∠ACD＝20°，则∠CAD的度数等于 　 　．

42．（2022•姑苏区一模）如图，在△OAB中，OB＝2，以O为圆心、1为半径的⊙O与AB相切于点C，与OA、OB分别交于点E、F，点P是上一点，连接PE、PF，若∠ACE＝16°，则∠P的度数为 　 　．

三十．轴对称-最短路线问题（共2小题）
43．（2022•淮北模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点P为矩形内一点，满足∠ABP＝∠BCP．（1）若点E为AD的中点，B，P，E在同一条直线上，则BP的长为 　 　；
（2）若E为AD上一动点，则BE+PE的最小值为 　 　．

44．（2022•安徽二模）在等边三角形ABC中，AB＝6，D、E是BC上的动点，F是AB上的动点，且BF＝BD＝EC＝k，连接FE．
（1）当k＝2时，＝　 　；
（2）取EF的中点G，连接GA、GC，则GA+GC的最小值为 　 　．

三十一．翻折变换（折叠问题）（共1小题）
45．（2022春•西城区校级期中）如图a，ABCD是长方形纸带（其中AD∥BC），∠DEF＝19°，将纸带沿EF折叠第一次成图b，再沿BF折叠第二次成图c，则图c中的∠CFE的度数是 　 　°．


三十二．胡不归问题（共1小题）
46．（2022•马鞍山一模）如图，AC垂直平分线段BD，相交于点O，且OB＝OC，∠BAD＝120°．
（1）∠ABC＝　 　．
（2）E为BD边上的一个动点，BC＝6，当最小时BE＝　 　．

三十三．坐标与图形变化-平移（共1小题）
47．（2022春•朝阳区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，分别进行如下操作：把点A（﹣1，0）先向右平移1个单位，再向上平移1个单位到达点A1；把点A1先向左平移2个单位，再向下平移2个单位到达点A2；把点A2先向右平移3个单位，再向上平移3个单位到达点A3；把点A3先向左平移4个单位，再向下平移4个单位到达点A4；依此规律进行，点A5的坐标为 　 　，点A2022的坐标为 　 　．

三十四．旋转的性质（共2小题）
48．（2022•安庆模拟）如图，在△ABC中，AC＝4，∠CAB＝45°，∠ACB＝60°，D是AB的中点，直线l经过点D，AE⊥l于点E，CF⊥l于点F．
（1）若l⊥AB，则AE+CF＝　 　．
（2）当直线l绕点D旋转时，AE+CF的最大值为 　 　．

49．（2022•济南二模）如图，已知等边△ABC边长为6，绕点B顺时针旋转60°得△BCD，点E、F分别为线段AC和线段CD上的动点，若AE＝CF，则点G到AB距离的最小值是 　 　．

三十五．作图-旋转变换（共1小题）
50．（2022•包河区校级一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，BC和DE相交于点O，点D落在线段AB上，连接BE．
（1）若∠ABC＝20°，则∠BCE＝　 　；
（2）若BE＝BD，则tan∠ABC＝　 　．

三十六．相似三角形的判定与性质（共1小题）
51．（2022•东至县模拟）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝2AB，将△ABC绕点A逆时针旋转一定的角度得△ADE，且点D恰好落在边BC上，DE与AC交于点F．
（1）求＝　 　；
（2）当AB＝10时，CF＝　 　．

三十七．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共3小题）
52．（2022•武汉模拟）如图，为了测量某风景区内一座古塔CD的高度，某校数学兴趣小组的同学分别在古塔对面的高楼AB的底部B和顶部A处分别测得古塔顶部C的仰角分别为45°和30°，已知高楼AB的高为24m，则古塔CD的高度为是 　 　m（≈1.732，≈1.414，结果保留一位小数）．

53．（2022春•吴江区期中）东太湖风景区美丽怡人，如意桥似浮在太湖之上富有灵动起飞的光环．小亮在如意桥上看到一艘游艇迎面驶来，他在高出水面30m的A处测得在C处的游艇俯角为23°；他登高12m到正上方的B处测得驶至D处的游艇俯角为50°，则两次观测期间游艇前进了 　 　米．（结果精确到1m，参考数据：tan23°≈0.42，tan40°≈0.84，tan50°≈1.19，tan67°≈2.36）

54．（2022•汉阳区模拟）如图，小丽同学为了测量某古塔的高度，她站在G处仰望楼顶C，仰角为45°，走到点F处仰望楼顶C，仰角为60°，眼睛D，B离同一水平地面EG的高度为1.6米，FG＝20米，则楼顶C离地面的高度CE约是 　 　米（参考数据：≈1.732，≈1.414，按四舍五入法将结果精确到0.1）．

三十八．概率公式（共3小题）
55．（2022•渝中区校级自主招生）如图，某城市的道路都是横平竖直的，小明同学家住在A点处，学校在B点处．小明每天上学会随机选择一条最近的道路从A点步行至B点．某一天C点施工无法经过，小明同学并不知情，那么小明能够不绕路的概率是 　 　．

56．（2022•新都区模拟）将一副三角板中的两个三角板的两条直角边重合叠放在一起，三角板AOB固定不动，三角板COD绕直角顶点O按顺时针或逆时针方向任意转动一个角度θ（0°＜θ＜90°），如图所示，当这两块三角板各有一条边互相垂直时，在30°，45°，60°，90°，120°，135°，165°这七个度数中是∠AOC的度数的概率为 　 　．

57．（2022春•浦东新区校级期中）在不透明的袋子中装有北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”的纪念卡片12张，每张卡片除吉祥物外其他完全相同，从中任意拿出一张，拿到“冰墩墩”纪念卡片的概率为P1，拿到“雪容融”纪念卡片的概率为P2，且P1﹣P2＝0.5，那么袋子中“冰墩墩”纪念卡片的张数是 　 　．
三十九．几何概率（共1小题）
58．（2022•拱墅区一模）如图是一个可以自由转动的两色转盘，其中白色扇形和红色扇形的圆心角分别为120°和240°．若让转盘自由转动一次，则指针落在白色区域的概率是 　 　．若让转盘自由转动两次，则指针一次落在白色区域，另一次落在红色区域的概率是 　 　．

四十．列表法与树状图法（共1小题）
59．（2022•铜梁区模拟）有四张背面完全相同且不透明的卡片，正面分别标有数字﹣1．﹣2，1，2．将这四张卡片背面朝上．任抽一张卡片，卡片上的数字记为a，放回后洗匀，再抽一张，卡片上的数字记为b．则点P（a，b）在第一象限的概率是 　 　．
四十一．游戏公平性（共1小题）
60．（2022春•浦东新区校级期中）名额分配综合评价是2022年上海市高中阶段学校的招生录取方式之一．市实验性示范性高中将对入围学生开展现场综合评价并赋分，为更好保证打分的公平，将以所有打分的截尾平均数作为考生的分数，即去掉一个最高分和一个最低分以后的平均分数．如果7位高中老师的打分如表所示，那么这位学生的现场综合评价得分是 　 　分．

老师1
老师2
老师3
老师4
老师5
老师6
老师7
打分
9
10
7
8
8
9
10



【参考答案】
二十九．切线的性质（共2小题）
41．（2022•成都模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB延长线上，CD与⊙O相切于点D，连接AD，若∠ACD＝20°，则∠CAD的度数等于 　35°　．

【解析】解：连接OD，如图，

∵CD与⊙O相切于点D，
∴OD⊥CD．
∵∠ACD＝20°，
∴∠DOC＝90°﹣∠ACD＝70°．
∴∠CAD＝∠DOC＝35°．
故答案为：35°．
42．（2022•姑苏区一模）如图，在△OAB中，OB＝2，以O为圆心、1为半径的⊙O与AB相切于点C，与OA、OB分别交于点E、F，点P是上一点，连接PE、PF，若∠ACE＝16°，则∠P的度数为 　46°．　．

【解析】解：连接CE，CF，
∵⊙O与AB相切于点C，
∴∠OCA＝∠OCB＝90°，
∵∠ACE＝16°，
∴∠OCE＝90°﹣16°＝74°，
∵OE＝OC＝OF＝1，
∴∠OCE＝∠OEC＝74°，
∴∠COE＝180°﹣74°﹣74°＝32°，
∵OB＝2，
∴BF＝OF＝1，
∴CF＝OB＝1，
∴OF＝OC＝CF，
∴△OCF是等边三角形，
∴∠COF＝60°，
∴∠EOF＝∠COE+∠COF＝92°，
∴∠P＝∠EOF＝46°，
故答案为：46°．

三十．轴对称-最短路线问题（共2小题）
43．（2022•淮北模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点P为矩形内一点，满足∠ABP＝∠BCP．（1）若点E为AD的中点，B，P，E在同一条直线上，则BP的长为 　　；
（2）若E为AD上一动点，则BE+PE的最小值为 　4　．

【解析】解：（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ABP+∠PBC＝90°，
∵∠ABP＝∠BCP，
∴∠BCP+∠PBC＝90°，
∴∠BPC＝90°，
∴点P是在以BC为直径为圆上．
∵点B，P，E在同一条直线上，
∴△ABE∽△PCB，
∴，
在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E为AD的中点，
∴AE＝4，BE＝．
∴，
∴．
（2）作点B关于AD的对称点B'，连接B'E，
则BE+PE＝B'E+PE．
∴当B'，E，P三点在同一条直线上时，BE+PE取得最小值，即为B'P的长．
设BC的中点为O，连接B'O，交以BC为直径的圆于点P，
此时即为B'P的最小值．
∴B'P＝B'0﹣OP．
在Rt△OBB'中，
B'O＝＝．
∴B'P＝4．
∴BE+PE的最小值为4．

44．（2022•安徽二模）在等边三角形ABC中，AB＝6，D、E是BC上的动点，F是AB上的动点，且BF＝BD＝EC＝k，连接FE．
（1）当k＝2时，＝　　；
（2）取EF的中点G，连接GA、GC，则GA+GC的最小值为 　3　．

【解析】解：（1）如图1中，

∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝6，∠B＝∠C＝60°，
当k＝2时，BD＝DE＝EC＝2，
∴S△DEF＝S△BDE，
∵BD＝BF，∠B＝60°，
∴△BDE是等边三角形，
∴∠BDE＝∠C＝60°，
∴DF∥AC，
∴△BDF∽△BCA，
∴＝（）2＝，
∴＝，
故答案为：；

（2）如图2中，取DE的中点J，作直线GJ交AB于点K．

∵FG＝GE，DJ＝EJ，
∴GJ∥DF，
∵DF∥AC，
∴GJ∥AC，
∵BD＝EC，DJ＝JE，
∴BJ＝CJ，
∴BK＝AK＝3，
∴点G在直线JK上运动，
作点A关于直线JG的对称点A′，连接AA′交GJ于点T，连接CA′，A′G，
∵AA′⊥JT，JT∥AC，
∴AA′⊥AC，
∴∠TAC＝90°，
∵∠BAC＝60°，
∴∠TAK＝30°，
∴AT＝AK•cos30°＝，
∴AA′＝2AT＝3，
∴CA′＝＝＝3，
∵GA＝GA′，
∴GA+GC＝GA′+GC≥A′C＝3，
∴GA+GC的最小值为3．
故答案为：3．
三十一．翻折变换（折叠问题）（共1小题）
45．（2022春•西城区校级期中）如图a，ABCD是长方形纸带（其中AD∥BC），∠DEF＝19°，将纸带沿EF折叠第一次成图b，再沿BF折叠第二次成图c，则图c中的∠CFE的度数是 　123　°．


【解析】解：∵AD∥BC，∠DEF＝19°，
∴∠BFE＝∠DEF＝19°，
∴∠EFC＝161°（图a），
∴∠BFC＝161°﹣19°＝142°（图b），
∴∠CFE＝142°﹣19°＝123°（图c）．
故答案为：123．
三十二．胡不归问题（共1小题）
46．（2022•马鞍山一模）如图，AC垂直平分线段BD，相交于点O，且OB＝OC，∠BAD＝120°．
（1）∠ABC＝　75°　．
（2）E为BD边上的一个动点，BC＝6，当最小时BE＝　2　．

【解析】解：（1）∵AC垂直平分线段BD，
∴AB＝AC，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵∠BAD＝120°，
∴∠ABD＝（180°﹣120°）÷2＝30°，
∵OB＝OC，OB⊥OC，
∴∠OBC＝45°，
∴∠ABC＝30°+45°＝75°，
故答案为：75°；

（2）作A关于OB的对称点A'，过A作AG⊥A'B于G，过点E作EF⊥A'B于F，
∵∠ABO＝30°，
∴∠A'BO＝30°，
∴FE＝BE，
∴AE+BE＝AE+FE≥AG，
设AG与OB交于E'，BE'即为当最小时的BE，
∵BC＝6，∠OBC＝45°，
∴OB＝OC＝BCcos45°＝，
∵cos∠A'BO＝＝＝，
∴BA'＝，
∵∠A'BA＝60°，AB＝A'B，
∴△ABA'为等边三角形，
∴BG＝BA'＝，
∵cos∠A'BO＝＝＝，
∴BE'＝2．
故答案为：2．

三十三．坐标与图形变化-平移（共1小题）
47．（2022春•朝阳区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，分别进行如下操作：把点A（﹣1，0）先向右平移1个单位，再向上平移1个单位到达点A1；把点A1先向左平移2个单位，再向下平移2个单位到达点A2；把点A2先向右平移3个单位，再向上平移3个单位到达点A3；把点A3先向左平移4个单位，再向下平移4个单位到达点A4；依此规律进行，点A5的坐标为 　（1，﹣1）　，点A2022的坐标为 　（504，505）　．

【解析】解：如图，观察图象可知A5（1，﹣1）．

∵A2（0，1），A6（1，2），A10（2，3），
又∵2022÷4＝505•••2，
∴A2022（504，505），
故答案为：（1，﹣1），（504，505）．
三十四．旋转的性质（共2小题）
48．（2022•安庆模拟）如图，在△ABC中，AC＝4，∠CAB＝45°，∠ACB＝60°，D是AB的中点，直线l经过点D，AE⊥l于点E，CF⊥l于点F．
（1）若l⊥AB，则AE+CF＝　2　．
（2）当直线l绕点D旋转时，AE+CF的最大值为 　4　．

【解析】解：（1）过C作CH⊥AB于H，如图，

∵l⊥AB，CF⊥l，
∴∠CFD＝∠CHD＝∠FDH＝90°，
∴四边形CFDH是矩形，
∴CH＝DF，CF∥AB，
∵∠CAB＝45°，
∴∠FCG＝∠CAB＝45°，
∴△CFG与△ADG是等腰直角三角形，
∴CF＝FG，AD＝DG，
∵AE⊥l于点E，
∴点D与点E重合，
∴AD＝AE，
∴AE+CF＝DG+FG＝DF＝CH＝AC＝2，
故答案为：2；
（2）当点A、点C在直线l同同旁时，过点B作BK⊥l于点K，BH⊥AC于点H，如下图，

∵∠CAB＝45°，
∴AH＝BH，
∵∠ACB＝60°，
∴BH＝CH，
设CH＝x，则AH＝BH＝x，
∵AC＝4，
∴x+x＝4，
∴x＝2﹣2，
∴CH＝2﹣2，BH＝6﹣2，
∴BC＝，
∵点D为AB中点，
∴AD＝BD，
在△ADE与△BDK中，
，
∴△ADE≌△BDK（AAS），
∴AE＝BK，
延长CF，过点B作BN⊥CF于点N，得矩形BNFK，
∴BK＝FN，
∴AE＝FN，
∴AE+CF＝FN+CF＝CN，
在Rt△BCN中，CN＜CB，
当直线l⊥BC时，CN＝CB的值最大为4﹣4；
当点A、点C在直线l两旁时，过点A作AM⊥CF，与CF的延长线交于点M，如下图，

得矩形AMFE，则AE＝MF，
∴AE+CF＝CM＜AC，
当直线l⊥AC时，CM＝AC的值最大为4＞4﹣4；
∴AE+CF的最大值为4．
故答案为：4．
49．（2022•济南二模）如图，已知等边△ABC边长为6，绕点B顺时针旋转60°得△BCD，点E、F分别为线段AC和线段CD上的动点，若AE＝CF，则点G到AB距离的最小值是 　　．

【解析】解：根据旋转可知，△ABC≌△CBD，
在等边△ABC和等边△BCD中，AB＝BC，∠ACB＝∠BAC＝∠BAD＝60°，
∵AE＝CF，
∴△BAE≌△BCF（SAS），
∴∠ABE＝∠CBF，BE＝BF，
∵∠ABC＝60°，
∴∠EBF＝60°，
∴△EBF是等边三角形，
∴∠FEB＝60°，
∵∠CEF+∠AEB＝120°，∠AEB+∠ABE＝120°，
∴∠CEF＝∠ABE＝∠CBF，
∵∠ECG＝∠BCF＝60°，
∴△ECG∽△BCF，
∴CG：CF＝CE：CB，
∵等边△ABC的边长为6，
∴BC＝AC＝6，
设AE＝CF＝x，
则CE＝6﹣x，
∴CG：x＝（6﹣x）：6，
∴CG＝，
当x＝3时，CG取得最大值，
此时BG取得最小值6﹣＝，
过G作GH⊥AB于点H，如图所示：

∵∠HBG＝60°，
∴GH＝BG•sin∠HBG＝BG，
当BG取得最小值时，GH取得最小值，
故答案为：．
三十五．作图-旋转变换（共1小题）
50．（2022•包河区校级一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，BC和DE相交于点O，点D落在线段AB上，连接BE．
（1）若∠ABC＝20°，则∠BCE＝　40°　；
（2）若BE＝BD，则tan∠ABC＝　﹣1　．

【解析】解：（1）∵∠ACB＝90°，∠ABC＝20°，
∴∠A＝90°﹣20°＝70°，
∵CA＝CD，
∴∠A＝∠CDA＝70°，
∴∠BCE＝∠ACD＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
故答案为：40°；

（2）连接AO．

由旋转的性质可知，∠DBC＝∠CED，
∴D，C，E，B四点共圆，
∴∠DCE+∠DBE＝180°，
∵∠DCE＝90°，
∴∠DBE＝90°，
∴BE⊥AB．
∵BD＝BE，∠DBE＝90°，
∴∠DEB＝∠BDE＝45°，
∵C，E，B，D四点共圆，
∴∠DCO＝∠DEB＝45°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝∠OCD，
∵CD＝CD，∠ADC＝∠ODC，
∴△ACD≌△OCD（ASA），
∴AC＝OC，
∴∠AOC＝∠CAO＝45°，
∵∠ADO＝135°，
∴∠CAD＝∠ADC＝67.5°，
∴∠ABC＝22.5°，
∵∠AOC＝∠OAB+∠ABO，
∴∠OAB＝∠ABO＝22.5°，
∴OA＝OB，设AC＝OC＝m，则AO＝OB＝m，
∴tan∠ABC＝＝＝﹣1．
故答案为：﹣1．
三十六．相似三角形的判定与性质（共1小题）
51．（2022•东至县模拟）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝2AB，将△ABC绕点A逆时针旋转一定的角度得△ADE，且点D恰好落在边BC上，DE与AC交于点F．
（1）求＝　　；
（2）当AB＝10时，CF＝　　．

【解析】解：（1）如图，过点A作AG⊥BC于点G，

设AB＝a，则AC＝2a．
由旋转的性质知Rt△ABC≌Rt△ADE，
∴AD＝AB＝a，AE＝AC＝2a．
在Rt△ABC中，，
∵∠BAC＝90°，AG⊥BC，
∴Rt△ABC∽Rt△GBA，
∴，即，得．
∵AB＝AD，AG⊥BD，
∴，
∴．
故答案为：．
（2）如图，

过A点作AM∥BC交DE于点M，
由（1）知，
∴．
∵Rt△ABC≌Rt△ADE，
∴∠ABD＝∠ADM，
∵AM∥BC，
∴∠MAD＝∠ADB，△AMF∽△CDF，
∴∠MAD＝∠ADM，
∴AM＝DM．
∵∠MAD+∠EAM＝90°，∠ADM+∠E＝90°，
∴∠EAM＝∠E，
∴，
∴，
即，
解得．
故答案为：．
三十七．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共3小题）
52．（2022•武汉模拟）如图，为了测量某风景区内一座古塔CD的高度，某校数学兴趣小组的同学分别在古塔对面的高楼AB的底部B和顶部A处分别测得古塔顶部C的仰角分别为45°和30°，已知高楼AB的高为24m，则古塔CD的高度为是 　23.7　m（≈1.732，≈1.414，结果保留一位小数）．

【解析】解：过点A作AE⊥CD于点E，得矩形DEAB，

由题意得，设塔高CD＝xm，则BD＝AE＝xm，CE＝（x﹣10）m，
在Rt△ACE中，∠CAE＝30°，
则＝，即＝，
解得：x≈23.7．
答：古塔CD的高度约为23.7米．
53．（2022春•吴江区期中）东太湖风景区美丽怡人，如意桥似浮在太湖之上富有灵动起飞的光环．小亮在如意桥上看到一艘游艇迎面驶来，他在高出水面30m的A处测得在C处的游艇俯角为23°；他登高12m到正上方的B处测得驶至D处的游艇俯角为50°，则两次观测期间游艇前进了 　36　米．（结果精确到1m，参考数据：tan23°≈0.42，tan40°≈0.84，tan50°≈1.19，tan67°≈2.36）

【解析】解：如图，

根据题意得，∠C＝23°，∠BDE＝50°，AE＝30m，BE＝42m，
在Rt△ACE中，tanC＝tan23°＝＝≈0.42，
解得：CE≈71.4（m），
在Rt△BDE中，tan∠BDE＝tan50°＝＝≈1.19，
解得：DE≈35.3（m），
∴CD＝CE﹣DE＝71.4﹣35.3＝36.1≈36m，
答：两次观测期间游艇前进了约36m．
54．（2022•汉阳区模拟）如图，小丽同学为了测量某古塔的高度，她站在G处仰望楼顶C，仰角为45°，走到点F处仰望楼顶C，仰角为60°，眼睛D，B离同一水平地面EG的高度为1.6米，FG＝20米，则楼顶C离地面的高度CE约是 　48.9　米（参考数据：≈1.732，≈1.414，按四舍五入法将结果精确到0.1）．

【解析】解：在直角△ABC中，∠CBA＝60°，设AB＝x，
∴AC＝AB＝x，
在直角△CDA中，∠CDA＝45°，则CA＝DA＝x，
∴BD＝AD﹣AB＝x﹣x＝20，
解得：x＝10（+1），
∴AC＝x＝30+10，
则CE＝AC+1.6＝30+17.32+1.6＝48.92≈48.9（米）．
答：楼顶C离地面的高度CE约是48.9米．
故答案为：48.9．
三十八．概率公式（共3小题）
55．（2022•渝中区校级自主招生）如图，某城市的道路都是横平竖直的，小明同学家住在A点处，学校在B点处．小明每天上学会随机选择一条最近的道路从A点步行至B点．某一天C点施工无法经过，小明同学并不知情，那么小明能够不绕路的概率是 　　．

【解析】解：从A到B点要向上走2个单位，
①一次向上走2个单位，共有＝4（种）（从4列中选1列，一次向上走2个单位）；
②分2次向上走1个单位，共有＝＝6（种）（从4列中选2列）；
故从A到B点共有4+6＝10（种），
从A到C点共有3种，
从C到B点共有2种，
故从A到B经过C点共有3×2＝6（种），
故小明能够不绕路的概率是＝．
故答案为：．
56．（2022•新都区模拟）将一副三角板中的两个三角板的两条直角边重合叠放在一起，三角板AOB固定不动，三角板COD绕直角顶点O按顺时针或逆时针方向任意转动一个角度θ（0°＜θ＜90°），如图所示，当这两块三角板各有一条边互相垂直时，在30°，45°，60°，90°，120°，135°，165°这七个度数中是∠AOC的度数的概率为 　　．

【解析】解：当OD⊥AB时，∠AOC＝30°+90°＝120°，
当CD⊥OB时，∠AOC＝45°+90°＝135°，
当CD⊥AB时，∠AOC＝75°+90°＝165°，
当OC⊥AB时，∠AOC＝30°，
当CD⊥OA时，∠AOC＝45°，
∴当这两块三角板各有一条边互相垂直时，∠AOC的度数可能为120°，135°，165°，45°，30°，
∴当这两块三角板各有一条边互相垂直时，在30°，45°，60°，90°，120°，135°，165°这七个度数中是∠AOC的度数的概率为．
57．（2022春•浦东新区校级期中）在不透明的袋子中装有北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”的纪念卡片12张，每张卡片除吉祥物外其他完全相同，从中任意拿出一张，拿到“冰墩墩”纪念卡片的概率为P1，拿到“雪容融”纪念卡片的概率为P2，且P1﹣P2＝0.5，那么袋子中“冰墩墩”纪念卡片的张数是 　9张．　．
【解析】解：根据题意得P1﹣P2＝0.5，P1+P2＝1，
解得P1＝0.75，
则袋子中“冰墩墩”纪念卡片的张数是12×0.75＝9（张）．
故答案为：9张．
三十九．几何概率（共1小题）
58．（2022•拱墅区一模）如图是一个可以自由转动的两色转盘，其中白色扇形和红色扇形的圆心角分别为120°和240°．若让转盘自由转动一次，则指针落在白色区域的概率是 　　．若让转盘自由转动两次，则指针一次落在白色区域，另一次落在红色区域的概率是 　　．

【解析】解：由图得：白色扇形的圆心角为120°，
故若让转盘自由转动一次，则指针落在白色区域的概率是：＝，
则转动一次，指针落在红色区域的概率是：1﹣＝，
故若让转盘自由转动两次，则指针一次落在白色区域，另一次落在红色区域的概率是：2××＝．
故答案为：，．
四十．列表法与树状图法（共1小题）
59．（2022•铜梁区模拟）有四张背面完全相同且不透明的卡片，正面分别标有数字﹣1．﹣2，1，2．将这四张卡片背面朝上．任抽一张卡片，卡片上的数字记为a，放回后洗匀，再抽一张，卡片上的数字记为b．则点P（a，b）在第一象限的概率是 　　．
【解析】解：画树状图如下：

共有16种等可能的结果，其中点（a，b）在第一象限的有4种，
则点（a，b）在第一象限的概率＝．
故答案为：．
四十一．游戏公平性（共1小题）
60．（2022春•浦东新区校级期中）名额分配综合评价是2022年上海市高中阶段学校的招生录取方式之一．市实验性示范性高中将对入围学生开展现场综合评价并赋分，为更好保证打分的公平，将以所有打分的截尾平均数作为考生的分数，即去掉一个最高分和一个最低分以后的平均分数．如果7位高中老师的打分如表所示，那么这位学生的现场综合评价得分是 　8.8　分．

老师1
老师2
老师3
老师4
老师5
老师6
老师7
打分
9
10
7
8
8
9
10
【解析】解：去掉一个最高分和一个最低分以后的平均分数为：（9+10+8+8+9）＝8.8（分），
即这位学生的现场综合评价得分是8.8分，
故答案为：8.8．