福建省福州市鼓楼区延安中学2021-2022学年九年级（下）月考数学试卷（4月份）（含解析）

福建省福州市鼓楼区延安中学2021-2022学年九年级（下）月考数学试卷（4月份）

一、选择题（本大题共10小题，共40分）

1. 的倒数是

A.  B.  C.  D.

2. 如图，直线，被直线所截，若，，则等于

A.
B.
C.
D.

3. 观察如图各图案：其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的有是

A.  B.  C.  D.

4. 如图，是由四个相同的小正方体组合而成的几何体，它的俯视图是

A.
B.
C.
D.

5. 如图，用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，则剩下的树叶周长小于原树叶的周长，能解释这一现象的数学道理是

A. 垂线段最短
B. 两点之间线段最短
C. 两点确定一条直线
D. 经过一点有无数条直线
 

6. 一组数据：，，，，，若去掉一个数据，则下列统计量中发生变化的是

A. 众数 B. 中位数 C. 平均数 D. 方差

7. 如图，四边形内接于，平分，则下列结论正确的是

A.
B.
C.
D.
 

8. 实数，，在数轴上对应点的位置如图所示，如果，那么下列结论正确的是

A.  B.  C.  D.

9. 如图，在中，，的平分线交于，是的垂直平分线，垂足为若，则的长是

A.
B.
C.
D.

10. 当时，二次函数有最大值，则的值

A.  B. 或
C. 或 D. 或

二、填空题（本大题共6小题，共24分）

11. 年中国新冠疫苗产能有望达到剂，约占全球产能的一半，必将为全球抗疫作出重大贡献．数据用科学记数法表示为______．
12. 在函数中，自变量的取值范围是______．
13. 已知袋中有个红球和若干白球，每个球除颜色外都相同，若摸到红球概率为，则袋中白球的个数为______．
14. 若一个圆锥的底面圆半径为，其侧面展开图的圆心角为，则圆锥的母线长是______．
15. 如图，直线与双曲线只有唯一的公共点，且与轴不平行，直线与轴交于点，双曲线经过线段的中点，则______．
    
    
    
     

16. 如图，在正方形中，点，在上且，，延长交于点，延长交于点，连接下列结论：
    点为的中点，
    ，
    ，
    ，
    其中正确结论的序号是______写出所有正确结论的序号

三、解答题（本大题共9小题，共86分）

17. 先化简，再求值：，其中．
18. 如图，点、、、在同一条直线上，，，，求证：．

19. 如图，，平分，且交于点．
    作的角平分线交于点要求：尺规作图，不写作法和结论，保留作图痕迹；
    根据中作图，连接，求证：四边形是菱形．

20. 某校数学兴趣小组在校园内利用三角尺测量教学楼的高度，如图，小明同学站在点处，将含角三角尺的一条直角边水平放置，此时三角尺的倾斜边刚好落在视线上，沿教学楼向前走米到达点处，将含角三角尺的短直角边水平放置，此时三角尺的斜边也刚好落在视线上，已知小明眼睛到地面的距离为米，求教学楼的高度．点，，在同一水平线上，结果保留根号
21. 为了解全校学生参加环保类社团的意愿，在全校随机抽取了名学生进行问卷调查．问卷给出了五个社团供学生选择学生可根据自己的爱好选择一个社团，也可以不选对选择了社团的学生的问卷情况进行了统计，如表：

根据以上信息，补全扇形图图和条形图图；
该校有名学生，根据调查统计情况，请估计全校有多少学生愿意参加环保义工社团；
若小诗和小雨两名同学在酵素制作社团或环保义工社团中任意选择一个参加，请用树状图或列表法求出这两名同学同时选择酵素制作社团的概率．

22. 甲商场代理销售每台进价分别为元、元的、两种型号的空气净化器，售价保持不变的前提下统计了最近两周的销售情况：

求，两种型号的空气净化器的销售单价；
该商场计划对型号空气净化器进行降价元，型号销售价格不变进行销售，计划一次购进两种型号的空气净化器共台，每种型号空气净化器都至少购买台，其中型净化器的进货量不超过型的倍，求销售总利润的最大值．

23. 如图，在中，，将以点为旋转中心，逆时针旋转得到，且点落在上，，交于点，连接．
    求证：．
    若，，求的值．

24. 如图，在，，以为直径的分别交于点，点在上，且．
    求证：
    若，，求的长．

25. 抛物线与轴交于点，与轴交于点和点，点在点左侧，连接，，若对称轴为直线．

求二次函数的解析式；
若点是抛物线上一动点，且满足，求点坐标；
直线交抛物线于点和点均不点重合，连接，，若始终为直角，求点到直线距离的最大值．
答案和解析

1.【答案】

【解析】解：，
的倒数是．
故选：．
根据倒数的定义，若两个数的乘积是，我们就称这两个数互为倒数．
本题主要考查倒数的概念．倒数的定义：若两个数的乘积是，我们就称这两个数互为倒数，属于基础题．
 

2.【答案】

【解析】解：如图，

，，
，
．
故选：．
由平行线的性质可得，再利用平角的定义即可求的度数．
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等．
 

3.【答案】

【解析】解：不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

4.【答案】

【解析】解：这个组合体的俯视图为：

故选：．
画出这个组合体的俯视图即可．
本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体三视图的画法和形状是正确判断的前提．
 

5.【答案】

【解析】解：用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，
能正确解释这一现象的数学知识是两点之间，线段最短，
故选：．
根据线段的性质解答即可．
此题主要考查了线段的性质，关键是掌握两点之间，线段最短．
 

6.【答案】

【解析】解：由题意得：原中位数为原众数为，原平均数为，原方差为；
去掉一个数据后的中位数为，众数为，平均数为，方差为；
故统计量发生变化的是方差，
故选：．
根据平均数、中位数、众数、方差的定义和公式分别进行求解即可．
本题主要考查平均数、众数、众数及方差，熟练掌握求一组数据的平均数、众数及方差是解题的关键．
 

7.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．根据圆心角、弧、弦的关系对各选项进行逐一判断即可．
【解答】
解： 与 的大小关系不确定， 与 不一定相等，故本选项错误；
B. 平分 ， ， ，故本选项正确；
C. 与 的大小关系不确定， 与 不一定相等，故本选项错误；
D. 与 的大小关系不确定，故本选项错误．
故选 B ．   

8.【答案】

【解析】解：，
，，，
A、，，，所以，此选项错误；
B、，，，所以，此选项错误；
C、，所以，此选项正确；
D、，，，所以，此选项错误．
故选：．
利用数轴上各数的位置，可知数的大小，判断即可．
本题考查有理数的大小比较，关键是借助数轴进行判断．
 

9.【答案】

【解析】解：垂直平分，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
平分，，，
，
，
，
故选：．
由角平分线和线段垂直平分线的性质可求得．
本题主要考查含角的直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质，掌握含角的直角三角形的性质、线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
 

10.【答案】

【解析】解：二次函数，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
当对称轴时，，二次函数有最大值，此时，
代入得：，
化简得：，
解得：，或舍去；
当对称轴时，，二次函数有最大值，此时，
代入得：，
化简得：，
解得：，或舍去；
综上所述，的值为：或．
故选：．
分类讨论，对称轴在左侧，对称轴在右侧，求得的值，即可解题．
本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
 

11.【答案】

【解析】解：，
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

12.【答案】

【解析】解：根据题意得：，
解得：．
故答案为：．
因为当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数，所以，解不等式可求的范围．
此题主要考查函数自变量的取值范围，解决本题的关键是当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
 

13.【答案】

【解析】解：设袋中白球的个数为个，
根据题意得，
解得，
经检验为原方程的解，
所以袋中白球的个数为个．
故答案为：．
设袋中白球的个数为个，利用概率公式得到，然后解方程求出即可．
本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

14.【答案】

【解析】解：设圆锥的母线长是，
根据题意得，
解得，
即圆锥的母线长是．
故答案为：．
设圆锥的母线长是，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则利用弧长公式得到，然后解方程即可．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
 

15.【答案】

【解析】解：设点，：，联立，
解得：，
由题意得，
，
，
，
线段的中点位，
，代入双曲线，
得，，
故答案为：．
设，：，联立，得到一元二次方程，由题意得，求解进而得出，根据中点坐标公式求出点的坐标，即可求解．
本题考查了一元二次方程根的判别式，反比例函数及一次函数图象上点的坐标特征，中点坐标公式等，熟练掌握知识点是解题的关键．
 

16.【答案】

【解析】解：，，
，，
四边形为正方形，
，，，
，，，，
∽，∽，
则，，
设，
则，，
，，
故正确；
，
，
在中，
，
，
在中，
，
，
故错误；
延长，在的延长线上取，连接，

则，，
≌，
，，
，
≌，
．
故正确；
在中，
，
，
则，
而，
，
故正确．
综上所述，正确结论的序号为．
故答案为：．
由于，，可得，，根据四边形为正方形，可得，，，进而可证∽，∽，则，，设，则，，，，即可判断；分别在和中，利用勾股定理求出，，进而可判断；延长，在的延长线上取，连接，可得≌，进而可证≌，可得，即可判断；在中，由勾股定理可得，进而可得，则，而，即可判断．
本题考查相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及正方形的性质，熟练掌握相似三角形和全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．
 

17.【答案】解：原式

，
当时，
原式
．

【解析】根据分式的加减运算法则进行化简，然后将的值代入即可求出答案．
本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算，本题属于基础题型．
 

18.【答案】证明：，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，即．

【解析】根据平行线的性质得到，，利用定理证明≌，根据全等三角形的性质证明结论．
本题考查的是三角形全等的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
 

19.【答案】解：如图，为所作；

证明：平分，
，
，
，
，
，
同理可得，
，
而，
四边形为平行四边形，
，
四边形是菱形．

【解析】利用基本作图作的平分线即可；
先证明得到，再证明，则，于是可判断四边形为平行四边形，然后利用可判断四边形是菱形．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图是解决此类问题的关键．也考查了菱形的判定．
 

20.【答案】解：连接并延长交于点，根据题意可得

由题意得：
，，米，米，
设米，
在中，米，
米，
在中，，
，
经检验，是原方程的根，
米，
米，
教学楼的高度为米．

【解析】连接并延长交于点，，，米，米，然后设米，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，进而在在中，利用锐角三角函数的定义列出关于的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，等腰直角三角形，勾股定理的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

21.【答案】解：没选择的人数有：人，
所占的百分比是：，
补全统计图如下：


根据题意得：
人，
答：估计全校有学生愿意参加环保义工社团；

酵素制作社团、环保义工社团分别用、表示，画树状图如下：

由树状图知共有种等可能结果，其中这两名同学同时选择酵素制作社团的有一种情况，
则这两名同学同时选择酵素制作社团的概率为．

【解析】用总人数减去其他人数，求出没选择的人数，进而求出百分比，从而补全统计图；
用该校的总人数乘以愿意参加环保义工社团的人数所占的百分比即可；
用树状图表示所有可能出现的结果数，根据概率的意义求解即可．
此题考查条形统计图、扇形统计图的制作方法，从统计图表中获取有用的数据，理清统计图表中各个数据之间的关系是正确解答的关键．
 

22.【答案】解：设种型号的空气净化器的销售单价为元，种型号的空气净化器的销售单价为元，
依题意得：，
解得：．
答：种型号的空气净化器的销售单价为元，种型号的空气净化器的销售单价为元．
设销售种型号的空气净化器台，则销售种型号的空气净化器台，
依题意得：，
解得：．
设销售总利润为元，则．
当，即时，随的增大而减小，
此时销售总利润的最大值为元；
当，即时，为定值；
当，即时，随的增大而增大，
此时销售总利润的最大值为元．
答：当时，销售总利润的最大值为元；当时，销售总利润为元；当时，销售总利润的最大值为元．

【解析】设种型号的空气净化器的销售单价为元，种型号的空气净化器的销售单价为元，利用总价单价数量，结合近两周的销售情况表格中的数据，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设销售种型号的空气净化器台，则销售种型号的空气净化器台，根据每种型号空气净化器都至少购买台且型净化器的进货量不超过型的倍，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，设销售总利润为元，利用总利润每台的利润购进数量，即可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式．
 

23.【答案】证明：将绕点旋转得到，
，，，，
，，
∽，
，
，
，
；
解：过作于，于，过作于，过作于，如图：

，，，
，
，
，
，
将绕点旋转得到，
，，
，
，
，
，即，
，
，，
，
由知∽，
，，即，
，
，
，
，，
∽，
，
由，
，
．

【解析】根据将绕点旋转得到，可得∽，即可得，又，即得；
过作于，于，过作于，过作于，在中，求出，，，根据将绕点旋转得到，即得，，，根据可得，即可得，而，，得，，再由∽，得，可得，故．
本题考查直角三角形中的旋转变换，涉及相似三角形判定与性质，解题的关键是掌握旋转的性质，作出适当的辅助线．
 

24.【答案】证明：设与交于点，连接，

是的直径，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
≌，
；
连接，

，
，
在中，设，，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的长为．

【解析】设与交于点，连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，从而可得，进而利用同角的余角相等可得，然后根据已知，可得，从而利用证明≌，最后利用全等三角形的性质即可解答；
连接，利用的结论可得，从而可设，，进而利用勾股定理可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得，从而利用等腰三角形的性质可得，进而可得，求出的值，即可求出，的长，最后根据，进而计算即可解答．
本题考查了解直角三角形，全等三角形的判定与性质，圆周角定理，熟练掌握解直角三角形，以及全等三角形的判定与性质是解题的关键．
 

25.【答案】解：将点代入抛物线得：，解得，
抛物线的解析式为，
抛物线对称轴为直线．
，解得，
二次函数的解析式为；

当点在直线上方时，过点作轴交抛物线于，

点，抛物线对称轴为直线．
点坐标为，
由抛物线的对称性得，，
过点作轴于，
，
四边形是矩形，
，，
，
≌，
，
二次函数的解析式为，
令，则，解得，，
，，
，
，
，
，
，
，
点满足条件；

当点在直线下方时，设与交于点，

，
，
，
，
，
，，
≌，
，
，
，
直线的表达式为，
，
解得，与重合，舍去．
点的坐标为，
综上所述：点的坐标为或；

分别过点，点向轴作垂线，垂足分别为点和点，设点在轴上方，则点在轴下方，

，
，，
，
，
，
设直线的表达式为，
设点，，
，，，，
，
抛物线表达式为，
，，
．
，
点，在抛物线上，
，
，
，
，
整理得：，
直线的表达式为，
，
直线过定点，
记该定点为点则有，
当时，点倒直线有最大值为．

【解析】根据抛物线与轴交于点可得，根据对称轴为直线可得，即可求解；
分点在直线上方，可以确定坐标，代入验算即可；点在直线下方，可以确定的解析式，最后联立抛物线解析式解方程组，即可得出结论；
分别过点，点向轴作垂线，垂足分别为点和点，设点在轴上方，则点在轴下方，可得，可得，于是，设出的表达式，、坐标，并且根据二次函数即可求得直线恒过点，即可求得点倒直线距离的最大值．
本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数的性质，待定系数法，三角形全等、解直角三角形等知识，解决本题的关键是理解题意，作出辅助线．