2020-2021学年重庆八中九年级（下）第九次定时诊断数学试卷

这是一份2020-2021学年重庆八中九年级（下）第九次定时诊断数学试卷，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年重庆八中九年级（下）第九次定时诊断数学试卷
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的框涂黑．
1．（4分）的绝对值是（　　）
A．5 B． C． D．﹣5
2．（4分）如图是由6个相同的小正方体组成的立体图形，它的左视图是（　　）

A． B． C． D．
3．（4分）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（4分）如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线AC，连接BC，与⊙O交于点D，点E是⊙O上一点，连接AE，DE．若∠C＝40°，则∠AED的度数为（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°
5．（4分）汽车在行驶中，油箱中有油60升．如果每小时耗油4升，那么油箱中含油量y（升）与行驶时间x（小时）的函数关系式用图象表示为（　　）
A． B．
C． D．
6．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，五边形A1B1C1D1E1与五边形ABCDE是位似图形，坐标原点O是位似中心，若五边形A1B1C1D1E1与五边形ABCDE的位似比为3：1，且五边形A1B1C1D1E1的面积为18，则五边形ABCDE的面积为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
7．（4分）若a﹣2b+1的值为2，则8﹣2a+4b的值为（　　）
A．4 B．6 C．7 D．10
8．（4分）《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？”大意是：甲、乙二人带着钱，不知是多少，若甲得到乙的钱数的，则甲的钱数为50；若乙得到甲的钱数的，则乙的钱数也能为50，问甲、乙各有多少钱？设甲持钱为x，乙持钱为y，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
9．（4分）下列图案是由一些大小相同的圆按一定的规律拼成的，其中第1个图案中有2个圆，第2个图案中有5个圆，第3个图案中有10个圆，第4个图案中有17个圆，…，按此规律排列下去，则第10个图案中圆的个数为（　　）

A．65 B．101 C．82 D．132
10．（4分）圣灯山森林公园森林茂盛、繁密，尤多奇树珍禽，自然景观奇特惊险，某天小林到此森林公园完成数学实践作业，小林发现前面不远处斜坡上有一棵大树，他想利用课堂所学知识测量一下树BE的高度，他在点A处测得大树顶部B处的仰角为32°，再沿水平方向向前走了50m到达点C，在C处测得大树顶部B处的仰角为45°，斜坡DE的坡度i＝1：2.4，斜坡DE＝52m．A、B、C、D、E、G在同一平面内，则大树BE的高约为（参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62）（　　）

A．85.1m B．61.6m C．37.1m D．31.6m
11．（4分）若数a使关于x的不等式组的解集是x＜a，且使关于y的分式方程的解为正整数，则所有符合条件的正整数a的值之积是（　　）
A．0 B．1 C．5 D．10
12．（4分）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，点B、点C分别是反比例函数y1和y2（x＜0）图象上的点，点D是反比例函数y1的图象与AB的交点，若OA＝4AD，则k的值为（　　）

A．﹣6 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣8
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
13．（4分）22﹣（1）0＝　 　．
14．（4分）2021年2月10日，在经过475000000公里的漫长飞行之后，中国首颗火星探测器“天问一号”顺利进入环火轨道，成为我国第一颗人造火星卫星．将数据475000000用科学记数法表示为 　 　．
15．（4分）有5张正面分别写有数字﹣3、﹣1、2、3、4的卡片，5张卡片除了数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为a．抽取后不放回，再从中抽取一张，记卡片上的数字为b，则抽取的数字a、b能使一次函数y＝ax+b的图象经过第一、二、三象限的概率为 　 　．
16．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，点E在AD边上，ED＝2，以点E为圆心，AE长为半径画弧，与BC相交于点F，且恰好经过点C，连接AC、CE．则阴影部分的面积是 　 　．

17．（4分）如图，在△ABC中，点D是AC边上一点，连接BD，把△BCD沿着BD翻折，得到△BED，DE与AB交于点F．若AD＝BD，S△ADF＝S△BDFS△BEF，BC＝7，则点A到BC的距离为 　 　．

18．（4分）为落实习总书记“全面推进乡村振兴”的发展理念，重庆某山区扶贫办决定积极发展经济作物，准备将一块土地分成A，B，C三个区域分别来种植平菇、香菇和蘑菇．工人将三个区域的占地面积划分完毕后，发现将原A区20%的面积错划分给了B区，而原B区50%的面积错划分给了A区，C区面积未出错，造成现B区的面积占A，B两区面积和的比例达到了30%．为了协调三个区域的面积占比，工人重新调整三个区的面积，将C区面积的25%分两部分划分给现在的A区和B区．若调整结束后，A，B，C三个区域的面积比变为2：1：6，那么工人调整时从C区划分给A区的面积与三个区域总面积的比为 　 　．
三、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19．（10分）计算：
（1）（x﹣2y）2﹣（x﹣3y）（x+3y）；
（2）．
20．（10分）如图，在钝角△ABC中，∠BAC＞90°．
（1）作AC的垂直平分线，与边BC，AC分别交于点D、E（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，过点B作BH⊥AC交CA的延长线于点H，连接AD，求证：∠ADE＝∠HBC．

21．（10分）为响应教育部印发的《革命传统和中华优秀传统文化进中小学课程教材指南》文件的号召，某中学对全校学生进行了一次革命传统和中华优秀传统文化宣讲活动，为了解宣讲效果，校学生会随机从八、九年级各抽取了一部分学生进行问卷测试（满分：10分，测试成绩均为整数），并将测试结果进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
八年级抽取的20名学生的测试成绩分别是：
5，10，8，9，9，8，9，8，8，6，8，8，10，9，8，8，6，5，10，8
八、九年级抽取的学生测试成绩统计表
年级
平均数
众数
中位数
八年级
8
a
8
九年级
8
b
c
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上表中a，b，c的值；
（2）根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级的测试成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校八、九年级共有学生2000人，估计此次八、九年级学生问卷测试成绩为满分的学生有多少人？

22．（10分）在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程，以下是我们研究函数y1性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
（1）请把下表补充完整，并在图中补全该函数图象；
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
3
4
5
6
7
…
y
…



　 　
﹣2
2
　 　



…
（2）写出该函数的一条性质：　 　；
（3）已知函数y＝x﹣2的图象如图所示，结合你所画出的函数图象，请直接写出方程1＝x﹣2的解（保留1位小数，误差不超过0.2）．

23．（10分）巫山脆李又名巫山大李子，果形端正、质地脆嫩、汁多味香．某水果商将收购的巫山脆李包装成A、B两种礼盒通过某网络平台进行销售，B礼盒每盒的售价比A礼盒每盒的售价贵35元，5月份第一周售出了200盒A礼盒和300盒B礼盒，总销售额为73000元．
（1）求A、B两种礼盒的售价分别是多少元？
（2）进入6月份，各地李子大量上市，李子的价格受到一定冲击，该水果商决定将A礼盒的售价保持不变，B礼盒的售价降低a%，销售一周，A、B两种礼盒的销量分别比5月份第一周的销量减少了a%、增加了2a%，总销售额恰好不变，求a的值．
24．（10分）定义：对于三位自然数n＝100a+10b+c（1≤a，b，c≤9且a，b，c均为整数），若a+7＝b+c，则称这样的三位自然数为“奇异数”，并规定F（n）．例知：346是“奇异数”，因为346，3+7＝4+6，所以346是“奇异数”，且F（346）；235不是“奇异数”，因为2+7≠3+5，所以235不是“奇异数”．
（1）判断649与127是不是“奇异数”，并说明理由；
（2）求大于600并能被7整除的所有“奇异数”，并求出对应的所有F（n）的值．
25．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）交x轴于A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于C（0，﹣3），点G为抛物线的顶点，连接AC、BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若点D为线段BC下方抛物线上一点，过点D作DE⊥x轴于点E，再过点E作EF⊥BC于点F，请求出DEEF的最大值；
（3）如图2，过点B作BM⊥AC于点M，将抛物线y先向右平移单位，再向下平移个单位得到抛物线y'，点G的对应点为点G'，点Q为第四象限内原抛物线y的对称轴上的一点，若以点Q、M、G'为顶点的三角形是以MG'为腰的等腰三角形，请直接写出点Q的坐标，并任选一个你喜欢的Q点坐标书写求解过程．

四、解答题：（本大题1个小题，8分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
26．（8分）在▱ABCD中，E为CD边上一点，连接BE，∠EBC＝30°．
（1）如图1，若E点为CD的中点，BC＝CE＝2，求▱ABCD的面积；
（2）如图2，连接AC，且AB＝AC，N为AC的中点，过点N作AC的垂线NF交BE的延长于点F，连接AF、CF，∠BAC的平分线交BF于点G．求证：AG+BG＝GF；
（3）如图3，以AB为边向右作等边△ABP，连接DP．若AB＝5，BC＝3，当DP长取得最小值时，请直接写出△DEP的面积．


2020-2021学年重庆八中九年级（下）第九次定时诊断数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的框涂黑．
1．（4分）的绝对值是（　　）
A．5 B． C． D．﹣5
【解答】解：的绝对值是，
故选：B．
2．（4分）如图是由6个相同的小正方体组成的立体图形，它的左视图是（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：从左面看有两层，最上面一层左侧有1个正方形，下面一层有两个正方形．
故选：C．
3．（4分）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A、440，故A错误，不符合题意；
B、与不是同类二次根式，不能合并，故B错误，不符合题意；
C、3，故C错误，不符合题意；
D、22，故D正确，符合题意；
故选：D．
4．（4分）如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线AC，连接BC，与⊙O交于点D，点E是⊙O上一点，连接AE，DE．若∠C＝40°，则∠AED的度数为（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线AC，
∴∠BAC＝90°，
∵∠C＝40°，
∴∠B＝180°﹣90°﹣40°＝50°，
∴∠AED＝∠B＝50°，
故选：C．
5．（4分）汽车在行驶中，油箱中有油60升．如果每小时耗油4升，那么油箱中含油量y（升）与行驶时间x（小时）的函数关系式用图象表示为（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：根据题意，y＝60﹣4x，
当x＝0时，y＝60，
当y＝0时，60﹣4x＝0，
解得x＝15，
所以，x的取值范围为0≤x≤15，
函数图象与x轴的交点为（15，0），与y轴的交点为（0，60）．
故选：B．
6．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，五边形A1B1C1D1E1与五边形ABCDE是位似图形，坐标原点O是位似中心，若五边形A1B1C1D1E1与五边形ABCDE的位似比为3：1，且五边形A1B1C1D1E1的面积为18，则五边形ABCDE的面积为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：∵五边形A1B1C1D1E1与五边形ABCDE是位似图形，坐标原点O是位似中心，五边形A1B1C1D1E1与五边形ABCDE的位似比为3：1，
∴五边形A1B1C1D1E1∽五边形ABCDE，相似比为3：1，
∴五边形A1B1C1D1E1与五边形ABCDE的面积比为9：1，
∵五边形A1B1C1D1E1的面积为18，
∴五边形ABCDE的面积为182，
故选：B．
7．（4分）若a﹣2b+1的值为2，则8﹣2a+4b的值为（　　）
A．4 B．6 C．7 D．10
【解答】解：∵a﹣2b+1的值为2，
∴a﹣2b+1＝2．
∴a﹣2b＝1．
∴原式＝8﹣2（a﹣2b）
＝8﹣2×1
＝8﹣2
＝6．
故选：B．
8．（4分）《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？”大意是：甲、乙二人带着钱，不知是多少，若甲得到乙的钱数的，则甲的钱数为50；若乙得到甲的钱数的，则乙的钱数也能为50，问甲、乙各有多少钱？设甲持钱为x，乙持钱为y，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：由题意可得，
，
故选：B．
9．（4分）下列图案是由一些大小相同的圆按一定的规律拼成的，其中第1个图案中有2个圆，第2个图案中有5个圆，第3个图案中有10个圆，第4个图案中有17个圆，…，按此规律排列下去，则第10个图案中圆的个数为（　　）

A．65 B．101 C．82 D．132
【解答】解：第1个图案中有2个圆，2＝12+1；
第2个图案中有5个圆，5＝22+1；
第3个图案中有10个圆，10＝32+1；
第4个图案中有17个圆，17＝42+1；
…，
第10个图案中圆的个数为102+1＝101．
故选：B．
10．（4分）圣灯山森林公园森林茂盛、繁密，尤多奇树珍禽，自然景观奇特惊险，某天小林到此森林公园完成数学实践作业，小林发现前面不远处斜坡上有一棵大树，他想利用课堂所学知识测量一下树BE的高度，他在点A处测得大树顶部B处的仰角为32°，再沿水平方向向前走了50m到达点C，在C处测得大树顶部B处的仰角为45°，斜坡DE的坡度i＝1：2.4，斜坡DE＝52m．A、B、C、D、E、G在同一平面内，则大树BE的高约为（参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62）（　　）

A．85.1m B．61.6m C．37.1m D．31.6m
【解答】解：设BE＝am，
由题意得：∠G＝90°，∠A＝32°，∠BCG＝45°，AC＝50m，
∴△BCG是等腰直角三角形，
∴CG＝BG，
∵斜坡DE的坡度i＝1：2.4，斜坡DE＝52m．
∴EG：DG＝1：2.4＝5：12，
设EG＝5xm，则DG＝12xm，
在Rt△DEG中，由勾股定理得：（5x）2+（12x）2＝522，
解得：x＝4，
∴EG＝20m，
∴CG＝BG＝BE+EG＝（a+20）（m），
在Rt△ABG中，tanAtan32°≈0.62，
∴BG≈0.62AG，
∴a+20＝0.62（50+a+20），
解得：a≈61.6，
即大树BE的高约为61.6m，
故选：B．
11．（4分）若数a使关于x的不等式组的解集是x＜a，且使关于y的分式方程的解为正整数，则所有符合条件的正整数a的值之积是（　　）
A．0 B．1 C．5 D．10
【解答】解：，
解不等式①，得：x≤6，
解不等式②，得：x＜a，
∵该不等式组的解集为x＜a，
∴a≤6，
分式方程去分母，得：a﹣4+y+1＝﹣y+2，
解得：y，
∵分式方程的解为正整数，且y≠2，
∴0，且2，
∴a＜7，且a≠3，
∴a≤6，
∴满足条件的正整数a可以取1，5，
其积为1×5＝5，
故选：C．
12．（4分）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，点B、点C分别是反比例函数y1和y2（x＜0）图象上的点，点D是反比例函数y1的图象与AB的交点，若OA＝4AD，则k的值为（　　）

A．﹣6 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣8
【解答】解：过点B作BF⊥OA于点F，过点D作DE⊥OA于点E，

∵四边形OABC是菱形，
∴OA＝AB，
∴BF⊥OA，DE⊥OA，
∴△ADE∽△ABF，
∵OA＝4AD，
∴AD：AB＝DE：BF＝AE：AF＝1：4，
设点B的坐标为（a，），
∴BF，DE，
∴OE＝4a，FE＝3a，
∴AE＝a，OA＝5a，
∴点C的坐标为（﹣4a，），
∴k＝﹣8．
故选：D．
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
13．（4分）22﹣（1）0＝　3　．
【解答】解：22﹣（1）0
＝4﹣1
＝3．
故答案为：3．
14．（4分）2021年2月10日，在经过475000000公里的漫长飞行之后，中国首颗火星探测器“天问一号”顺利进入环火轨道，成为我国第一颗人造火星卫星．将数据475000000用科学记数法表示为 　4.75×108　．
【解答】解：475000000＝4.75×108．
故答案为：4.75×108．
15．（4分）有5张正面分别写有数字﹣3、﹣1、2、3、4的卡片，5张卡片除了数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为a．抽取后不放回，再从中抽取一张，记卡片上的数字为b，则抽取的数字a、b能使一次函数y＝ax+b的图象经过第一、二、三象限的概率为 　　．
【解答】解：如图所示：

在这5张卡片中随机抽取一张，抽取后不放回，再从中抽取一张，共有20种等可能结果，其中抽取的数字a、b能使一次函数y＝ax+b的图象经过第一、二、三象限的有6种情况，
∴符合条件的概率为．
故答案为：．
16．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，点E在AD边上，ED＝2，以点E为圆心，AE长为半径画弧，与BC相交于点F，且恰好经过点C，连接AC、CE．则阴影部分的面积是 　π﹣4　．

【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝2，∠D＝90°，
∵DE＝2，
∴CE＝AE4，tan∠DEC，
∴∠DEC＝60°，
∴∠AEC＝120°，
∴∠EAC＝∠ECA＝30°，
过E作EH⊥AC于H，
∴EHAE＝2，AH＝2，
∴AC＝2AH＝4，
∴阴影部分的面积＝S扇形AEC﹣S△ACE2π﹣4，
故答案为：π﹣4．

17．（4分）如图，在△ABC中，点D是AC边上一点，连接BD，把△BCD沿着BD翻折，得到△BED，DE与AB交于点F．若AD＝BD，S△ADF＝S△BDFS△BEF，BC＝7，则点A到BC的距离为 　　．

【解答】解：由对折可知，∠EDB＝∠CDB，DE＝DC，EB＝BC，
∵S△ADF＝S△BDF，
∴AF＝BF，
∵AD＝BD，
∴AB⊥BF，∠ADF＝∠BDF，
∴∠EDB＝∠CDB＝∠ADF＝60°，
∴∠A＝∠ABD＝30°，
∵S△ADF＝S△BDFS△BEF，
∴EF＝2DF，
∴S△ABC＝5S△AFD，
设DF＝x，则EF＝2x，AD＝DB＝2x，AF＝FBx，
∴BEx，
∵BE＝BC＝7，
∴x＝1，
∴S△AFD，
∴S△ABC＝5S△AFD，
∴点A到BC的距离为：2÷7．
故答案为：．
18．（4分）为落实习总书记“全面推进乡村振兴”的发展理念，重庆某山区扶贫办决定积极发展经济作物，准备将一块土地分成A，B，C三个区域分别来种植平菇、香菇和蘑菇．工人将三个区域的占地面积划分完毕后，发现将原A区20%的面积错划分给了B区，而原B区50%的面积错划分给了A区，C区面积未出错，造成现B区的面积占A，B两区面积和的比例达到了30%．为了协调三个区域的面积占比，工人重新调整三个区的面积，将C区面积的25%分两部分划分给现在的A区和B区．若调整结束后，A，B，C三个区域的面积比变为2：1：6，那么工人调整时从C区划分给A区的面积与三个区域总面积的比为 　　．
【解答】解：设工人计划A、B、C三个区域的面积分别为x、y、z．
则由工人将A区20%的面积划分给了B区，而原B区50%的面积错划分给了A区，造成现B区的面积占A、B两区面积和的比例达到了30%，
可列方程：y+20%x﹣50%y＝30%（x+y），
解得：yx，
则此时，A区：x﹣20%x+50%yx，
B区：y+20%x﹣50%yx，
C区：z，
由工人只好将C区面积的25%分成两部分划分给现在的A区和B区．划分完后，A、B、C三个区域的面积比变为2：1：6，
可列方程：xx+25%z＝z﹣25%z，
解得：z＝3x，
设将C区面积的25%分成两部分划分给现在的A区为m，则B区为x﹣m．由三个区域的面积比变为2：1：6可列方程：
x+m＝2[x+（x﹣m）]解得：mx，
∴工人从C区划分给B区的面积为：x﹣mx，
则工人调整时从C区划分给A区的面积与三个区域总面积的比为：，
故答案为：．
三、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19．（10分）计算：
（1）（x﹣2y）2﹣（x﹣3y）（x+3y）；
（2）．
【解答】解：（1）（x﹣2y）2﹣（x﹣3y）（x+3y）
＝x2﹣4xy+4y2﹣（x2﹣9y2）
＝x2﹣4xy+4y2﹣x2+9y2
＝﹣4xy+13y2；
（2）
＝[]


．
20．（10分）如图，在钝角△ABC中，∠BAC＞90°．
（1）作AC的垂直平分线，与边BC，AC分别交于点D、E（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，过点B作BH⊥AC交CA的延长线于点H，连接AD，求证：∠ADE＝∠HBC．

【解答】（1）解：如图，

（2）证明：∵DE垂直平分AC，
∴DE⊥AC，DA＝DC，
∴DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∵BH⊥AC，
∴BH∥DE，
∴∠CDE＝∠HBC，
∴∠ADE＝∠HBC．
21．（10分）为响应教育部印发的《革命传统和中华优秀传统文化进中小学课程教材指南》文件的号召，某中学对全校学生进行了一次革命传统和中华优秀传统文化宣讲活动，为了解宣讲效果，校学生会随机从八、九年级各抽取了一部分学生进行问卷测试（满分：10分，测试成绩均为整数），并将测试结果进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
八年级抽取的20名学生的测试成绩分别是：
5，10，8，9，9，8，9，8，8，6，8，8，10，9，8，8，6，5，10，8
八、九年级抽取的学生测试成绩统计表
年级
平均数
众数
中位数
八年级
8
a
8
九年级
8
b
c
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上表中a，b，c的值；
（2）根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级的测试成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校八、九年级共有学生2000人，估计此次八、九年级学生问卷测试成绩为满分的学生有多少人？

【解答】解：（1）八年级学生测试成绩出现次数最多的是8分，共出现9次，因此众数是8分，即a＝8；
根据条形统计图可知，九年级测试成绩出现最多的是9分，共出现7次，因此九年级学生测试成绩的众数是9，即b＝9；
将九年级学生测试成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数为8.5，因此中位数是8.5，即c＝8.5；
答：a＝8，b＝9，c＝8.5；
（2）九年级成绩较好，理由：因为九年级测试成绩的众数大于八年级测试成绩的众数，九年级测试成绩的中位数大于八年级测试成绩的中位数，所以九年级的成绩较好；
（3）因为八年级测试成绩满分有3人，九年级测试成绩满分也有3人，
所以2000300（人），
答：估计此次八、九年级学生问卷测试成绩为满分的学生有300人．
22．（10分）在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程，以下是我们研究函数y1性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
（1）请把下表补充完整，并在图中补全该函数图象；
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
3
4
5
6
7
…
y
…



　﹣1　
﹣2
2
　1　



…
（2）写出该函数的一条性质：　该函数图象是中心对称图形，它的对称中心为（2，0）　；
（3）已知函数y＝x﹣2的图象如图所示，结合你所画出的函数图象，请直接写出方程1＝x﹣2的解（保留1位小数，误差不超过0.2）．

【解答】解：（1）把x＝0代入y1得，y＝﹣1；
把x＝4代入y1得，y＝1，
画出函数的图象如图：

故答案为：﹣1，1；

（2）该函数图象是中心对称图形，它的对称中心为（2，0）；
故答案为：该函数图象是中心对称图形，它的对称中心为（2，0）；

（3）由图象可知：方程1＝x﹣2的解是x≈0.5或x≈3.5．
23．（10分）巫山脆李又名巫山大李子，果形端正、质地脆嫩、汁多味香．某水果商将收购的巫山脆李包装成A、B两种礼盒通过某网络平台进行销售，B礼盒每盒的售价比A礼盒每盒的售价贵35元，5月份第一周售出了200盒A礼盒和300盒B礼盒，总销售额为73000元．
（1）求A、B两种礼盒的售价分别是多少元？
（2）进入6月份，各地李子大量上市，李子的价格受到一定冲击，该水果商决定将A礼盒的售价保持不变，B礼盒的售价降低a%，销售一周，A、B两种礼盒的销量分别比5月份第一周的销量减少了a%、增加了2a%，总销售额恰好不变，求a的值．
【解答】解：（1）设A礼盒的售价为x元，B礼盒的售价为y元，
依题意得：，
解得：，
答：A礼盒的售价为125元，B礼盒的售价为160元；
（2）由题意得：125×200（1﹣a%）+160×300（1a%）（1+2a%）＝73000，
解得a或a＝0（不合题意舍去）．
答：a的值为．
24．（10分）定义：对于三位自然数n＝100a+10b+c（1≤a，b，c≤9且a，b，c均为整数），若a+7＝b+c，则称这样的三位自然数为“奇异数”，并规定F（n）．例知：346是“奇异数”，因为346，3+7＝4+6，所以346是“奇异数”，且F（346）；235不是“奇异数”，因为2+7≠3+5，所以235不是“奇异数”．
（1）判断649与127是不是“奇异数”，并说明理由；
（2）求大于600并能被7整除的所有“奇异数”，并求出对应的所有F（n）的值．
【解答】解：（1）∵6+7＝4+9，1+7≠2+7
∴649是奇异数，127不是奇异数；
（2）①当a＝6时，则b+c＝13，且能被7整除，
奇异数为658，此时
F（658）；
②当a＝7时，则b+c＝14，且能被7整除，
奇异数为777，此时
F（777）；
③当a＝8，则b+c＝15，且能被7整除，
奇异数为896，此时
F（896）；
④当a＝9，则b+c＝16，且能被7整除，
此时不存在满足条件的奇异数，
综上分析，大于600并能被7整除的所有奇异数是658或777或896，对应的F（n）的值分别是或或．
25．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）交x轴于A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于C（0，﹣3），点G为抛物线的顶点，连接AC、BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若点D为线段BC下方抛物线上一点，过点D作DE⊥x轴于点E，再过点E作EF⊥BC于点F，请求出DEEF的最大值；
（3）如图2，过点B作BM⊥AC于点M，将抛物线y先向右平移单位，再向下平移个单位得到抛物线y'，点G的对应点为点G'，点Q为第四象限内原抛物线y的对称轴上的一点，若以点Q、M、G'为顶点的三角形是以MG'为腰的等腰三角形，请直接写出点Q的坐标，并任选一个你喜欢的Q点坐标书写求解过程．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）交x轴于A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于C（0，﹣3），
∴，
解得：．
∴抛物线的解析式为yx﹣3．
（2）设点D（m，m﹣3），0＜m＜4．
∵点D为线段BC下方抛物线上一点，
∴OE＝m，DEm+3．
∴BE＝OB﹣OE＝4﹣m．
∵B（4，0），C（0，﹣3），
∴OB＝4，OC＝3．
∴BC5．
∵EF⊥BC，OC⊥OB，
∴∠BOC＝∠BFE＝90°．
∵∠FBE＝∠OBC，
∴△BFE∽△BOC．
∴．
∴．
∴EFm．
∴EF＝4﹣m．
∴DEEFm+3+4﹣m
m+7
．
∵0，
∴当m时，DEEF的最大值为；
（3）∵yx﹣3，
∴点G（，）．
∴G′（3，﹣5）．
设直线AC的解析式为y＝kx+n，
∴，
解得：．
∴直线AC的解析式为y＝﹣3x﹣3．
∵BM⊥AC于点M，
∴设直线MB的解析式为yx+e，
∴4+e＝0．
∴c．
∴直线MB的解析式为yx．
∴．
解得：．
∴M（，）．
∵点Q为第四象限内原抛物线y的对称轴上的一点，
∴设Q（，q），
∴QM，
QG′，
MG′．
以点Q、M、G'为顶点的三角形是以MG'为腰的等腰三角形，
∴当QM＝MG′时，
．
解得：q．
∴Q（，）或Q（，）；
当QG′＝MG′时，
．
解得：q．
∴Q（，）或（，）；
当QM＝QG′时，
，
解得：q＝﹣3．
∴Q（，﹣3）．
综上，若以点Q、M、G'为顶点的三角形是以MG'为腰的等腰三角形，点Q的坐标为（，）或（，）或（，）或（，）或（，﹣3）．
四、解答题：（本大题1个小题，8分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
26．（8分）在▱ABCD中，E为CD边上一点，连接BE，∠EBC＝30°．
（1）如图1，若E点为CD的中点，BC＝CE＝2，求▱ABCD的面积；
（2）如图2，连接AC，且AB＝AC，N为AC的中点，过点N作AC的垂线NF交BE的延长于点F，连接AF、CF，∠BAC的平分线交BF于点G．求证：AG+BG＝GF；
（3）如图3，以AB为边向右作等边△ABP，连接DP．若AB＝5，BC＝3，当DP长取得最小值时，请直接写出△DEP的面积．

【解答】解：（1）如图1，过点A作AH⊥BC于点H，
∵BC＝CE，∠EBC＝30°，
∴∠BCE＝120°，
∴∠ABC＝60°，
∵E点为CD的中点，CE＝2，
∴AB＝CD＝4，
∴AH＝2，
∴S▱ABCD＝BC•AH＝2×24．
（2）延长AG交BC于点O，
∵AB＝AC，AG平分∠BAC，
∴AO⊥BC，OB＝OC，
如图2，以O点为原点，BC所在直线为x轴，OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
OB＝OC＝a，OA＝h，
∵∠EBC＝30°，
∴OG＝OB•tan∠EBCa，BGa，
∴AG＝OA﹣OG＝ha，
∴AG+BG＝haa＝ha，
∴A（0，h），B（﹣a，0），C（a，0），G（0，a），
设直线BE的解析式为：y＝kx+b，
把点B（﹣a，0），G（0，a）代入得：，
解得：，
∴直线BE的解析式为yxa，
∵点F在直线BE上，
设点F（t，ta），
∵N为AC的中点，NF⊥AC，
∴AF＝CF，
∴t2+（ta﹣h）2＝（t﹣a）2+（ta）2，
解得：tah，
∴F（ah，ah），
∴GF，
∴AG+BG＝GF．
（3）如图3，当A、D、P共线时，DP最小，过点B作BM⊥AP于M，过点E作EF⊥BC于F，
∵△ABP是等边三角形，四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C＝60°，AP＝AB＝5，AD＝BC＝3，
∴DP＝AP﹣AD＝5﹣3＝2，
∵∠EBC＝30°，
∴∠CEB＝90°，
∴BE＝BC•cos30°＝3，
∵S△BCE，即，
∴EF，
∵AB＝5，
∴BM＝ABsin∠60°，
∵AD∥BC，
∴△DEP边PD上的高为，BM﹣EF，
∴S△DEP．



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