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2021-2022学年江苏省苏州市高新一中教育集团八年级（下）期中数学试卷
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这是一份2021-2022学年江苏省苏州市高新一中教育集团八年级（下）期中数学试卷，共24页。
2021-2022学年江苏省苏州市高新一中教育集团八年级（下）期中数学试卷
一．选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将选择题的答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置上．）
1．（2分）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlphaGo进行围棋人机大战．截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2分）下列计算中，正确的是（ ）
A． B．（4）2＝8 C．2 D．222
3．（2分）下列调查中，其中适合采用抽样调查的是（ ）
A．调查某班50名同学的视力情况
B．为了解新型冠状病毒（SARS﹣CoV﹣2）确诊病人同一架飞机乘客的健康情况
C．为保证“神舟9号”成功发射，对其零部件进行检查
D．检测中卫市的空气质量
4．（2分）已知点A（﹣1，﹣3）在反比例函数y的图象上，则k的值为（ ）
A．﹣3 B． C． D．3
5．（2分）将方程x2﹣2x﹣2＝0化为（x﹣1）2＝a的形式，则a的值是（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．2 D．3
6．（2分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AB⊥AC，若AB＝AC＝4，则BD的长为（ ）
A．8 B．4 C．2 D．4
7．（2分）分式方程有增根，则m的值为（ ）
A．1 B．2 C．﹣2 D．0
8．（2分）已知点A（a，m），B（a﹣1，n），C（3，﹣1）在反比例函数y的图象上．若a＞1，则m，n的大小关系是（ ）
A．m＜n B．m＞n
C．m＝n D．m，n的大小不确定
9．（2分）已知：四边形ABCD中，AB＝2，CD＝3，M、N分别是AD，BC的中点，则线段MN的取值范围是（ ）
A．MN B．MN C．1＜MN＜5 D．1＜MN≤5
10．（2分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连接AE、BE，若AD平分∠OAE，反比例函数y（k＜0，x＜0）的图象经过AE上的点A、F，且AF＝EF，△ABE的面积为18，则k的值为（ ）
A．﹣6 B．﹣12 C．﹣18 D．﹣24
二．填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分，把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11．（2分）二次根式中字母x的取值范围是 ．
12．（2分）为了解淮安市八年级学生的身高情况，从中任意抽取2000名学生的身高进行统计，在这个问题中，样本容量是 ．
13．（2分）当x＝ 时，分式的值为零．
14．（2分）某篮球运动员进行定点投篮训练，其成绩如表：
投篮次数
10
100
10000
投中次数
9
89
9012
则这名运动员定点投篮一次，投中的概率约是 （精确到0.1）．
15．（2分）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，若∠EAF＝53°，则∠BAD＝ ．
16．（2分）若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是 ．
17．（2分）如图，在矩形ABCD中，AD＝6，AB＝4，点E、G、H、F分别在AB、BC、CD、AD上，且AF＝CG＝2，BE＝DH＝1，点P是直线EF、GH之间任意一点，连接PE、PF、PG、PH，则△PEF和△PGH的面积和等于 ．
18．（2分）如图，矩形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为（0，5）、（0，2）、（1，2），将矩形ABCD向右平移t个单位，若平移后的矩形ABCD与函数y（x＞0）的图象有公共点，则t的取值范围是 ．
三．解答题（本大题共10小题，共64分，把解答过程写在答题卡相对应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔．）
19．（6分）计算：
（1）（）；
（2）（2）2．
20．（8分）解下列一元二次方程：
（1）2x2﹣1＝3x（用公式法解）
（2）（x﹣3）2＝2x﹣6．
21．（6分）先化简，再求值：，其中．
22．（5分）关注“安全”是一个永恒不变的话题．某中学对部分学生就安全知识的了解程度，采取了随机抽样调查的方式，将收集到的信息分为4种类别：A．非常了解；B．基本了解；C．了解很少；D．不了解．请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题．
（1）接受问卷调查的学生共有 人，扇形统计图中“了解很少”部分所对应扇形的圆心角为： °；
（2）请补全条形统计图；
（3）若该学校共有学生3000人，估计该学校学生中对安全知识达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数．
23．（5分）一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有6个黄球．
（1）若先从盒子里拿走m个黄球，这时从盒子里随机摸出一个球是黄球的事件为“随机事件”，则m的最大值为 ；
（2）若在盒子中再加入2个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在40%，问n的值大约是多少？
24．（6分）如图、在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．过点D作对角线BD的垂线交BC的延长线于点E．
（1）求证：四边形ACED是平行四边形；
（2）若AC＝8，BD＝6，求△CDE的周长．
25．（6分）已知：反比例函数的图象过点A（k，k﹣2）．
（1）求k的值；
（2）判断点B（m，﹣m+3）是否在反比例函数的图象上，并说明理由．
26．（6分）某学习要添置一批圆珠笔和签字笔，计划用200元购买圆珠笔，用280元购买签字笔．已知一支签字笔比一支圆珠笔贵1元．该学校购买的圆珠笔和签字笔的数量能相同吗？
（1）根据题意，甲和乙两同学先假设该学校购买的圆珠笔和签字笔的数量能相同，并分别列出的方程如下：；，根据两位同学所列的方程，请你分别指出未知数x，y表示的意义：x表示 ；y表示 ．
（2）任选其中一个方程说明该学校购买的圆珠笔和签字笔的数量能否相同．
27．（8分）如图，矩形AOCB的顶点B在反比例函数，x＞0）的图象上，且AB＝3，BC＝8．若动点E从A开始沿AB向B以每秒1个单位长度的速度运动，同时动点F从B开始沿BC向C以每秒2个单位长度的速度运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点随之停止运动，设运动时间为t秒．
（1）求反比例函数的表达式．
（2）当t＝1时，在y轴上是否存在点D，使△DEF的周长最小？若存在，请求出△DEF的周长最小值；若不存在，请说明理由．
（3）在双曲线上是否存在一点M，使以点B、E、F、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件t的值；若不存在，请说明理由．
28．（8分）我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做等对角四边形．请解决下列问题：
（1）已知：如图1，四边形ABCD是等对角四边形，∠A≠∠C，∠A＝70°，∠B＝75°，则∠C＝ °，∠D＝ °
（2）在探究等对角四边形性质时：
小红画了一个如图2所示的等对角四边形ABCD，其中，∠ABC＝∠ADC，AB＝AD，此时她发现CB＝CD成立，请你证明该结论；
（3）图①、图②均为4×4的正方形网格，线段AB、BC的端点均在网点上．按要求在图①、图②中以AB和BC为边各画一个等对角四边形ABCD．
要求：四边形ABCD的顶点D在格点上，所画的两个四边形不全等．
（4）已知：在等对角四边形ABCD中，∠DAB＝60°，∠ABC＝90°，AB＝5，AD＝4，求对角线AC的长．
2021-2022学年江苏省苏州市高新一中教育集团八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将选择题的答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置上．）
1．（2分）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlphaGo进行围棋人机大战．截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
2．（2分）下列计算中，正确的是（ ）
A． B．（4）2＝8 C．2 D．222
【解答】解：A、原式3，不符合题意；
B、原式＝32，不符合题意；
C、原式＝|﹣2|＝2，符合题意；
D、原式＝4，不符合题意；
故选：C．
3．（2分）下列调查中，其中适合采用抽样调查的是（ ）
A．调查某班50名同学的视力情况
B．为了解新型冠状病毒（SARS﹣CoV﹣2）确诊病人同一架飞机乘客的健康情况
C．为保证“神舟9号”成功发射，对其零部件进行检查
D．检测中卫市的空气质量
【解答】解：A．调查某班50名同学的视力情况，适合采用全面调查方式，故本选项不符合题意；
B．为了解新型冠状病毒（SARS﹣CoV﹣2）确诊病人同一架飞机乘客的健康情况，适合采用全面调查方式，故本选项不符合题意；
C．为保证“神舟9号”成功发射，对其零部件进行检查，适合采用全面调查方式，故本选项不符合题意；
D．检测中卫市的空气质量，适合采用抽样调查方式，故本选项符合题意；
故选：D．
4．（2分）已知点A（﹣1，﹣3）在反比例函数y的图象上，则k的值为（ ）
A．﹣3 B． C． D．3
【解答】解：∵点A（﹣1，﹣3）在反比例函数y的图象上，
∴点A（﹣1，﹣3）满足反比例函数的解析式y，
∴﹣3，
解得k＝3．
故选：D．
5．（2分）将方程x2﹣2x﹣2＝0化为（x﹣1）2＝a的形式，则a的值是（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．2 D．3
【解答】解：方程x2﹣2x﹣2＝0移项，
得x2﹣2x＝2，
方程的两边都加1，
得x2﹣2x+1＝3，
配方，得（x﹣1）2＝3．
所以a＝3，
故选：D．
6．（2分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AB⊥AC，若AB＝AC＝4，则BD的长为（ ）
A．8 B．4 C．2 D．4
【解答】解：∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
∴BO＝DO，AO＝CO，
∵AB⊥AC，AB＝AC＝4，
∴AO＝2，
∴BO2，
∴BD＝2BO＝4．
故选：D．
7．（2分）分式方程有增根，则m的值为（ ）
A．1 B．2 C．﹣2 D．0
【解答】解：∵分式方程有增根，
∴x+1＝0，
∴x＝﹣1，
，
去分母得：x﹣1＝m，
把x＝﹣1代入x﹣1＝m中得：
m＝﹣2，
故选：C．
8．（2分）已知点A（a，m），B（a﹣1，n），C（3，﹣1）在反比例函数y的图象上．若a＞1，则m，n的大小关系是（ ）
A．m＜n B．m＞n
C．m＝n D．m，n的大小不确定
【解答】解：∵点C（3，﹣1）在反比例函数y的图象上．
∴k＝3×（﹣1）＝﹣3＜0，
∴此函数的图象在二、四象限内，在每个象限内，y随x的增大而增大，
∵a＞1，
∴0＜a﹣1＜a，
∴A、B两点均在第四象限，
∴m＞n．
故选：B．
9．（2分）已知：四边形ABCD中，AB＝2，CD＝3，M、N分别是AD，BC的中点，则线段MN的取值范围是（ ）
A．MN B．MN C．1＜MN＜5 D．1＜MN≤5
【解答】解：连接BD，过M作MG∥AB，连接NG．
∵M是边AD的中点，AB＝2，MG∥AB，
∴MG是△ABD的中位线，BG＝GD，MGAB2＝1；
∵N是BC的中点，BG＝GD，CD＝3，
∴NG是△BCD的中位线，NGCD3，
在△MNG中，由三角形三边关系可知NG﹣MG＜MN＜MG+NG，即1＜MN1，
∴MN，
当MN＝MG+NG，即MN时，四边形ABCD是梯形，
故线段MN长的取值范围是MN．
故选：B．
10．（2分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连接AE、BE，若AD平分∠OAE，反比例函数y（k＜0，x＜0）的图象经过AE上的点A、F，且AF＝EF，△ABE的面积为18，则k的值为（ ）
A．﹣6 B．﹣12 C．﹣18 D．﹣24
【解答】解：连接BD，则OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ADO，
∵AD平分∠EAO，
∴∠EAD＝∠OAD，
∴∠EAD＝∠ADO，
∴AE∥BD，
∴S△AEB＝S△AEO＝18，
设A（a，），
∵AF＝EF，
∴F（2a，），E（3a，0），
∴S△AEO（﹣3a）18，
∴k＝﹣12，
故选：B．
二．填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分，把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11．（2分）二次根式中字母x的取值范围是 x≥1 ．
【解答】解：根据题意得：x﹣1≥0，
解得x≥1．
故答案为：x≥1．
12．（2分）为了解淮安市八年级学生的身高情况，从中任意抽取2000名学生的身高进行统计，在这个问题中，样本容量是 2000 ．
【解答】解：从中任意抽取2000名学生的身高进行统计，在这个问题中，样本容量是2000，
故答案为：2000．
13．（2分）当x＝ ﹣3 时，分式的值为零．
【解答】解：依题意得：x+3＝0且x﹣3≠0，
解得x＝﹣3．
故答案是：﹣3．
14．（2分）某篮球运动员进行定点投篮训练，其成绩如表：
投篮次数
10
100
10000
投中次数
9
89
9012
则这名运动员定点投篮一次，投中的概率约是 0.9 （精确到0.1）．
【解答】解：三次投篮命中的平均数是：0.9，
则这名运动员定点投篮一次，投中的概率约是0.9；
故答案为：0.9．
15．（2分）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，若∠EAF＝53°，则∠BAD＝ 127° ．
【解答】解：∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，
∴∠AEC＝∠AFC＝90°，
又∵∠EAF＝53°，
∴∠C＝360°﹣53°﹣90°﹣90°＝127°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD＝∠C＝127°．
故答案为：127°．
16．（2分）若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是 m＞﹣1且m≠1 ．
【解答】解：原方程整理得：m﹣1＝2x﹣2，
解得：x，
∵原方程有解，
∴x﹣1≠0，
即，
解得m≠1，
∵方程的解是正数，
∴0，
解得m＞﹣1，
∴m＞﹣1且m≠1，
故应填：m＞﹣1且m≠1．
17．（2分）如图，在矩形ABCD中，AD＝6，AB＝4，点E、G、H、F分别在AB、BC、CD、AD上，且AF＝CG＝2，BE＝DH＝1，点P是直线EF、GH之间任意一点，连接PE、PF、PG、PH，则△PEF和△PGH的面积和等于 7 ．
【解答】解：∵在矩形ABCD中，AD＝6，AB＝4，AF＝CG＝2，BE＝DH＝1，
∴AE＝AB﹣BE＝4﹣1＝3，
CH＝CD﹣DH＝4﹣1＝3，
∴AE＝CH，
在△AEF与△CGH中，，
∴△AEF≌△CGH（SAS），
∴EF＝GH，
同理可得，△BGE≌△DFH，
∴EG＝FH，
∴四边形EGHF是平行四边形，
∵△PEF和△PGH的高的和等于点H到直线EF的距离，
∴△PEF和△PGH的面积和平行四边形EGHF的面积，
平行四边形EGHF的面积
＝4×62×31×（6﹣2）2×31×（6﹣2），
＝24﹣3﹣2﹣3﹣2，
＝14，
∴△PEF和△PGH的面积和14＝7．
故答案为：7．
18．（2分）如图，矩形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为（0，5）、（0，2）、（1，2），将矩形ABCD向右平移t个单位，若平移后的矩形ABCD与函数y（x＞0）的图象有公共点，则t的取值范围是 1≤t≤5 ．
【解答】解：∵矩形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为（0，5）、（0，2）、（1，2），
∴D（1，5），
∴平移后，可设点D′、B′的坐标分别为（1+t，5），（t，2），
当点D′落在函数y（x＞0）的图象上时，则5（1+t）＝10，
解得t＝1，
当点B′落在函数y（x＞0）的图象上时，则2t＝10，
解得t＝5，
∴平移后的矩形ABCD与函数y（x＞0）的图象有公共点，则t的取值范围是1≤t≤5，
故答案为1≤t≤5．
三．解答题（本大题共10小题，共64分，把解答过程写在答题卡相对应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔．）
19．（6分）计算：
（1）（）；
（2）（2）2．
【解答】解：（1）（）
＝（5）
＝5；
（2）（2）2
＝3﹣44+2
＝3﹣44+2
＝3﹣44+23
＝7﹣5．
20．（8分）解下列一元二次方程：
（1）2x2﹣1＝3x（用公式法解）
（2）（x﹣3）2＝2x﹣6．
【解答】解：（1）2x2﹣3x﹣1＝0，
△＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣1）＝17＞0，
x，
所以x1，x2；
（2）（x﹣3）2﹣2（x﹣3）＝0，
（x﹣3）（x﹣3﹣2）＝0，
x﹣3＝0或x﹣3﹣2＝0，
所以x1＝3，x2＝5．
21．（6分）先化简，再求值：，其中．
【解答】解：原式＝[]
；
当x2时，
原式．
22．（5分）关注“安全”是一个永恒不变的话题．某中学对部分学生就安全知识的了解程度，采取了随机抽样调查的方式，将收集到的信息分为4种类别：A．非常了解；B．基本了解；C．了解很少；D．不了解．请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题．
（1）接受问卷调查的学生共有 60 人，扇形统计图中“了解很少”部分所对应扇形的圆心角为： 90 °；
（2）请补全条形统计图；
（3）若该学校共有学生3000人，估计该学校学生中对安全知识达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数．
【解答】解：（1）∵基本了解的有30人，占50%，
∴接受问卷调查的学生共有：30÷50%＝60（人）；
∴扇形统计图中“了解很少”部分所对应扇形的圆心角为：360°＝90°；
故答案为：60，90；
（2）60﹣15﹣30﹣5＝10（人）；
补全条形统计图得：
（3）根据题意得：30002000（人），
则估计该学校学生中对安全知识达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数为2000人．
23．（5分）一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有6个黄球．
（1）若先从盒子里拿走m个黄球，这时从盒子里随机摸出一个球是黄球的事件为“随机事件”，则m的最大值为 5 ；
（2）若在盒子中再加入2个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在40%，问n的值大约是多少？
【解答】解：
（1）∵一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有6个黄球，先从盒子里拿走m个黄球，这时从盒子里随机摸出一个球是黄球的事件为“随机事件”
∴不透明的盒子中至少有一个黄球，
∴m的最大值＝6﹣1＝5
故答案为：5；
（2）∵不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有6个黄球，又在盒子中再加入2个黄球，
∴0.4，
解得：n＝18．
经检验n＝18是分式方程是根．
故n＝18．
24．（6分）如图、在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．过点D作对角线BD的垂线交BC的延长线于点E．
（1）求证：四边形ACED是平行四边形；
（2）若AC＝8，BD＝6，求△CDE的周长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AC⊥BD，
∵DE⊥BD，
∴DE∥AC，
∴四边形ACDE是平行四边形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6，
∴AOAC＝4，DOBD＝3，AC⊥BD，
∴∠AOD＝90°，
∴CD＝AD5，
由（1）得：四边形ACDE是平行四边形，
∴CE＝AD＝5，DE＝AC＝8，
∴△CDE的周长＝AD+AE+DE＝5+5+8＝18．
25．（6分）已知：反比例函数的图象过点A（k，k﹣2）．
（1）求k的值；
（2）判断点B（m，﹣m+3）是否在反比例函数的图象上，并说明理由．
【解答】解：（1）∵反比例函数的图象过点A（k，k﹣2），
∴k﹣21，
∴k＝3．
（2）不在，理由如下：
假设点B（m，﹣m+3）在反比例函数的图象上，
∴﹣m+3，即m2﹣3m+3＝0，
△＝（﹣3）2﹣4×1×3＝﹣3＜0，
∴方程m2﹣3m+3＝0无解．
故结论不成立，即点B（m，﹣m+3）不在反比例函数的图象上．
26．（6分）某学习要添置一批圆珠笔和签字笔，计划用200元购买圆珠笔，用280元购买签字笔．已知一支签字笔比一支圆珠笔贵1元．该学校购买的圆珠笔和签字笔的数量能相同吗？
（1）根据题意，甲和乙两同学先假设该学校购买的圆珠笔和签字笔的数量能相同，并分别列出的方程如下：；，根据两位同学所列的方程，请你分别指出未知数x，y表示的意义：x表示 圆珠笔的单价 ；y表示 所购圆珠笔（签字笔）的数量 ．
（2）任选其中一个方程说明该学校购买的圆珠笔和签字笔的数量能否相同．
【解答】解：（1）∵一支签字笔比一支圆珠笔贵1元，该学校购买的圆珠笔和签字笔的数量能相同，
∴x表示圆珠笔的单价，y表示所购圆珠笔（签字笔）的数量．
故答案为：x表示圆珠笔的单价；y表示所购圆珠笔的数量．
（2）选第一个分式方程，
去分母得：200（x+1）＝280x，
解得：x，
当x时，80，
∴经检验，x为方程的解，且符合题意．
答：该校购买的圆珠笔和签字笔的数量能相同．
27．（8分）如图，矩形AOCB的顶点B在反比例函数，x＞0）的图象上，且AB＝3，BC＝8．若动点E从A开始沿AB向B以每秒1个单位长度的速度运动，同时动点F从B开始沿BC向C以每秒2个单位长度的速度运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点随之停止运动，设运动时间为t秒．
（1）求反比例函数的表达式．
（2）当t＝1时，在y轴上是否存在点D，使△DEF的周长最小？若存在，请求出△DEF的周长最小值；若不存在，请说明理由．
（3）在双曲线上是否存在一点M，使以点B、E、F、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件t的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）由题可知点B的坐标为（3，8），且点B在上．
∴k＝3×8＝24，
∴反比例函数的表达式为：．
（2）t＝1时，E（1，8），F（3，6），则，
取E关于y轴的对称E′（﹣1，8），
连接E′F，，，
∴，
此时点D为E′F与y轴交点，
∵E′（﹣1，8），F（3，6），
设E′F：y＝kx+b，
则，
解得，
∴E′F的解析式为yx，
∴此时，
即：y轴上存在点，使△DEF的周长数小，且最小值为．
（3）存在，若四边形BEMF为平行四边形，则有三种可能，已知E（t，8），F（3，8﹣2t），0＜t≤3．
①当BF是对角线时，BE∥FM，此时M在F右侧，，
又∵BE＝FM，
∴，t2﹣10t+12＝0，
解得，（舍）．
②当BE为对角线时，BF∥EM，此时M在E正上方，，
∵ME＝BF，
∴，t2+4t﹣12＝0，
解得t1＝2，t2＝﹣6（舍）．
③EF为对角线时，明显，点M不在双曲线上．
故综上：t＝2或．
28．（8分）我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做等对角四边形．请解决下列问题：
（1）已知：如图1，四边形ABCD是等对角四边形，∠A≠∠C，∠A＝70°，∠B＝75°，则∠C＝ 140 °，∠D＝ 75 °
（2）在探究等对角四边形性质时：
小红画了一个如图2所示的等对角四边形ABCD，其中，∠ABC＝∠ADC，AB＝AD，此时她发现CB＝CD成立，请你证明该结论；
（3）图①、图②均为4×4的正方形网格，线段AB、BC的端点均在网点上．按要求在图①、图②中以AB和BC为边各画一个等对角四边形ABCD．
要求：四边形ABCD的顶点D在格点上，所画的两个四边形不全等．
（4）已知：在等对角四边形ABCD中，∠DAB＝60°，∠ABC＝90°，AB＝5，AD＝4，求对角线AC的长．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A＝70°，∠B＝75°，
∴∠D＝∠B＝75°，
∴∠C＝360°﹣75°﹣75°﹣70°＝140°；
（2）证明：如图2，连接BD，
∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠ABC﹣∠ABD＝∠ADC﹣∠ADB，
∴∠CBD＝∠CDB，
∴CB＝CD；
（3）如图所示：
（4）解：分两种情况：
①当∠ADC＝∠ABC＝90°时，延长AD，BC相交于点E，如图3所示：
∵∠ABC＝90°，∠DAB＝60°，AB＝5，
∴∠E＝30°，
∴AE＝2AB＝10，
∴DE＝AE﹣AD＝10﹣4＝6，
∵∠EDC＝90°，∠E＝30°，
∴CD＝2，
∴AC2；
②当∠BCD＝∠DAB＝60°时，
过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥BC于点N，如图4所示：
则∠AMD＝90°，四边形BNDM是矩形，
∵∠DAB＝60°，
∴∠ADM＝30°，
∴AMAD＝2，
∴DM＝2，
∴BM＝AB﹣AM＝5﹣2＝3，
∵四边形BNDM是矩形，
∴DN＝BM＝3，BN＝DM＝2，
∵∠BCD＝60°，
∴CN，
∴BC＝CN+BN＝3，
∴AC2．
综上所述：AC的长为2或2．
故答案为：140，75．
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2021-2022学年江苏省苏州市高新一中教育集团八年级（下）期中数学试卷
一．选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将选择题的答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置上．）
1．（2分）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlphaGo进行围棋人机大战．截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2分）下列计算中，正确的是（ ）
A． B．（4）2＝8 C．2 D．222
3．（2分）下列调查中，其中适合采用抽样调查的是（ ）
A．调查某班50名同学的视力情况
B．为了解新型冠状病毒（SARS﹣CoV﹣2）确诊病人同一架飞机乘客的健康情况
C．为保证“神舟9号”成功发射，对其零部件进行检查
D．检测中卫市的空气质量
4．（2分）已知点A（﹣1，﹣3）在反比例函数y的图象上，则k的值为（ ）
A．﹣3 B． C． D．3
5．（2分）将方程x2﹣2x﹣2＝0化为（x﹣1）2＝a的形式，则a的值是（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．2 D．3
6．（2分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AB⊥AC，若AB＝AC＝4，则BD的长为（ ）
A．8 B．4 C．2 D．4
7．（2分）分式方程有增根，则m的值为（ ）
A．1 B．2 C．﹣2 D．0
8．（2分）已知点A（a，m），B（a﹣1，n），C（3，﹣1）在反比例函数y的图象上．若a＞1，则m，n的大小关系是（ ）
A．m＜n B．m＞n
C．m＝n D．m，n的大小不确定
9．（2分）已知：四边形ABCD中，AB＝2，CD＝3，M、N分别是AD，BC的中点，则线段MN的取值范围是（ ）
A．MN B．MN C．1＜MN＜5 D．1＜MN≤5
10．（2分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连接AE、BE，若AD平分∠OAE，反比例函数y（k＜0，x＜0）的图象经过AE上的点A、F，且AF＝EF，△ABE的面积为18，则k的值为（ ）
A．﹣6 B．﹣12 C．﹣18 D．﹣24
二．填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分，把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11．（2分）二次根式中字母x的取值范围是 ．
12．（2分）为了解淮安市八年级学生的身高情况，从中任意抽取2000名学生的身高进行统计，在这个问题中，样本容量是 ．
13．（2分）当x＝ 时，分式的值为零．
14．（2分）某篮球运动员进行定点投篮训练，其成绩如表：
投篮次数
10
100
10000
投中次数
9
89
9012
则这名运动员定点投篮一次，投中的概率约是 （精确到0.1）．
15．（2分）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，若∠EAF＝53°，则∠BAD＝ ．
16．（2分）若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是 ．
17．（2分）如图，在矩形ABCD中，AD＝6，AB＝4，点E、G、H、F分别在AB、BC、CD、AD上，且AF＝CG＝2，BE＝DH＝1，点P是直线EF、GH之间任意一点，连接PE、PF、PG、PH，则△PEF和△PGH的面积和等于 ．
18．（2分）如图，矩形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为（0，5）、（0，2）、（1，2），将矩形ABCD向右平移t个单位，若平移后的矩形ABCD与函数y（x＞0）的图象有公共点，则t的取值范围是 ．
三．解答题（本大题共10小题，共64分，把解答过程写在答题卡相对应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔．）
19．（6分）计算：
（1）（）；
（2）（2）2．
20．（8分）解下列一元二次方程：
（1）2x2﹣1＝3x（用公式法解）
（2）（x﹣3）2＝2x﹣6．
21．（6分）先化简，再求值：，其中．
22．（5分）关注“安全”是一个永恒不变的话题．某中学对部分学生就安全知识的了解程度，采取了随机抽样调查的方式，将收集到的信息分为4种类别：A．非常了解；B．基本了解；C．了解很少；D．不了解．请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题．
（1）接受问卷调查的学生共有 人，扇形统计图中“了解很少”部分所对应扇形的圆心角为： °；
（2）请补全条形统计图；
（3）若该学校共有学生3000人，估计该学校学生中对安全知识达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数．
23．（5分）一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有6个黄球．
（1）若先从盒子里拿走m个黄球，这时从盒子里随机摸出一个球是黄球的事件为“随机事件”，则m的最大值为 ；
（2）若在盒子中再加入2个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在40%，问n的值大约是多少？
24．（6分）如图、在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．过点D作对角线BD的垂线交BC的延长线于点E．
（1）求证：四边形ACED是平行四边形；
（2）若AC＝8，BD＝6，求△CDE的周长．
25．（6分）已知：反比例函数的图象过点A（k，k﹣2）．
（1）求k的值；
（2）判断点B（m，﹣m+3）是否在反比例函数的图象上，并说明理由．
26．（6分）某学习要添置一批圆珠笔和签字笔，计划用200元购买圆珠笔，用280元购买签字笔．已知一支签字笔比一支圆珠笔贵1元．该学校购买的圆珠笔和签字笔的数量能相同吗？
（1）根据题意，甲和乙两同学先假设该学校购买的圆珠笔和签字笔的数量能相同，并分别列出的方程如下：；，根据两位同学所列的方程，请你分别指出未知数x，y表示的意义：x表示 ；y表示 ．
（2）任选其中一个方程说明该学校购买的圆珠笔和签字笔的数量能否相同．
27．（8分）如图，矩形AOCB的顶点B在反比例函数，x＞0）的图象上，且AB＝3，BC＝8．若动点E从A开始沿AB向B以每秒1个单位长度的速度运动，同时动点F从B开始沿BC向C以每秒2个单位长度的速度运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点随之停止运动，设运动时间为t秒．
（1）求反比例函数的表达式．
（2）当t＝1时，在y轴上是否存在点D，使△DEF的周长最小？若存在，请求出△DEF的周长最小值；若不存在，请说明理由．
（3）在双曲线上是否存在一点M，使以点B、E、F、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件t的值；若不存在，请说明理由．
28．（8分）我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做等对角四边形．请解决下列问题：
（1）已知：如图1，四边形ABCD是等对角四边形，∠A≠∠C，∠A＝70°，∠B＝75°，则∠C＝ °，∠D＝ °
（2）在探究等对角四边形性质时：
小红画了一个如图2所示的等对角四边形ABCD，其中，∠ABC＝∠ADC，AB＝AD，此时她发现CB＝CD成立，请你证明该结论；
（3）图①、图②均为4×4的正方形网格，线段AB、BC的端点均在网点上．按要求在图①、图②中以AB和BC为边各画一个等对角四边形ABCD．
要求：四边形ABCD的顶点D在格点上，所画的两个四边形不全等．
（4）已知：在等对角四边形ABCD中，∠DAB＝60°，∠ABC＝90°，AB＝5，AD＝4，求对角线AC的长．
2021-2022学年江苏省苏州市高新一中教育集团八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将选择题的答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置上．）
1．（2分）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlphaGo进行围棋人机大战．截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
2．（2分）下列计算中，正确的是（ ）
A． B．（4）2＝8 C．2 D．222
【解答】解：A、原式3，不符合题意；
B、原式＝32，不符合题意；
C、原式＝|﹣2|＝2，符合题意；
D、原式＝4，不符合题意；
故选：C．
3．（2分）下列调查中，其中适合采用抽样调查的是（ ）
A．调查某班50名同学的视力情况
B．为了解新型冠状病毒（SARS﹣CoV﹣2）确诊病人同一架飞机乘客的健康情况
C．为保证“神舟9号”成功发射，对其零部件进行检查
D．检测中卫市的空气质量
【解答】解：A．调查某班50名同学的视力情况，适合采用全面调查方式，故本选项不符合题意；
B．为了解新型冠状病毒（SARS﹣CoV﹣2）确诊病人同一架飞机乘客的健康情况，适合采用全面调查方式，故本选项不符合题意；
C．为保证“神舟9号”成功发射，对其零部件进行检查，适合采用全面调查方式，故本选项不符合题意；
D．检测中卫市的空气质量，适合采用抽样调查方式，故本选项符合题意；
故选：D．
4．（2分）已知点A（﹣1，﹣3）在反比例函数y的图象上，则k的值为（ ）
A．﹣3 B． C． D．3
【解答】解：∵点A（﹣1，﹣3）在反比例函数y的图象上，
∴点A（﹣1，﹣3）满足反比例函数的解析式y，
∴﹣3，
解得k＝3．
故选：D．
5．（2分）将方程x2﹣2x﹣2＝0化为（x﹣1）2＝a的形式，则a的值是（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．2 D．3
【解答】解：方程x2﹣2x﹣2＝0移项，
得x2﹣2x＝2，
方程的两边都加1，
得x2﹣2x+1＝3，
配方，得（x﹣1）2＝3．
所以a＝3，
故选：D．
6．（2分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AB⊥AC，若AB＝AC＝4，则BD的长为（ ）
A．8 B．4 C．2 D．4
【解答】解：∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
∴BO＝DO，AO＝CO，
∵AB⊥AC，AB＝AC＝4，
∴AO＝2，
∴BO2，
∴BD＝2BO＝4．
故选：D．
7．（2分）分式方程有增根，则m的值为（ ）
A．1 B．2 C．﹣2 D．0
【解答】解：∵分式方程有增根，
∴x+1＝0，
∴x＝﹣1，
，
去分母得：x﹣1＝m，
把x＝﹣1代入x﹣1＝m中得：
m＝﹣2，
故选：C．
8．（2分）已知点A（a，m），B（a﹣1，n），C（3，﹣1）在反比例函数y的图象上．若a＞1，则m，n的大小关系是（ ）
A．m＜n B．m＞n
C．m＝n D．m，n的大小不确定
【解答】解：∵点C（3，﹣1）在反比例函数y的图象上．
∴k＝3×（﹣1）＝﹣3＜0，
∴此函数的图象在二、四象限内，在每个象限内，y随x的增大而增大，
∵a＞1，
∴0＜a﹣1＜a，
∴A、B两点均在第四象限，
∴m＞n．
故选：B．
9．（2分）已知：四边形ABCD中，AB＝2，CD＝3，M、N分别是AD，BC的中点，则线段MN的取值范围是（ ）
A．MN B．MN C．1＜MN＜5 D．1＜MN≤5
【解答】解：连接BD，过M作MG∥AB，连接NG．
∵M是边AD的中点，AB＝2，MG∥AB，
∴MG是△ABD的中位线，BG＝GD，MGAB2＝1；
∵N是BC的中点，BG＝GD，CD＝3，
∴NG是△BCD的中位线，NGCD3，
在△MNG中，由三角形三边关系可知NG﹣MG＜MN＜MG+NG，即1＜MN1，
∴MN，
当MN＝MG+NG，即MN时，四边形ABCD是梯形，
故线段MN长的取值范围是MN．
故选：B．
10．（2分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连接AE、BE，若AD平分∠OAE，反比例函数y（k＜0，x＜0）的图象经过AE上的点A、F，且AF＝EF，△ABE的面积为18，则k的值为（ ）
A．﹣6 B．﹣12 C．﹣18 D．﹣24
【解答】解：连接BD，则OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ADO，
∵AD平分∠EAO，
∴∠EAD＝∠OAD，
∴∠EAD＝∠ADO，
∴AE∥BD，
∴S△AEB＝S△AEO＝18，
设A（a，），
∵AF＝EF，
∴F（2a，），E（3a，0），
∴S△AEO（﹣3a）18，
∴k＝﹣12，
故选：B．
二．填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分，把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11．（2分）二次根式中字母x的取值范围是 x≥1 ．
【解答】解：根据题意得：x﹣1≥0，
解得x≥1．
故答案为：x≥1．
12．（2分）为了解淮安市八年级学生的身高情况，从中任意抽取2000名学生的身高进行统计，在这个问题中，样本容量是 2000 ．
【解答】解：从中任意抽取2000名学生的身高进行统计，在这个问题中，样本容量是2000，
故答案为：2000．
13．（2分）当x＝ ﹣3 时，分式的值为零．
【解答】解：依题意得：x+3＝0且x﹣3≠0，
解得x＝﹣3．
故答案是：﹣3．
14．（2分）某篮球运动员进行定点投篮训练，其成绩如表：
投篮次数
10
100
10000
投中次数
9
89
9012
则这名运动员定点投篮一次，投中的概率约是 0.9 （精确到0.1）．
【解答】解：三次投篮命中的平均数是：0.9，
则这名运动员定点投篮一次，投中的概率约是0.9；
故答案为：0.9．
15．（2分）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，若∠EAF＝53°，则∠BAD＝ 127° ．
【解答】解：∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，
∴∠AEC＝∠AFC＝90°，
又∵∠EAF＝53°，
∴∠C＝360°﹣53°﹣90°﹣90°＝127°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD＝∠C＝127°．
故答案为：127°．
16．（2分）若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是 m＞﹣1且m≠1 ．
【解答】解：原方程整理得：m﹣1＝2x﹣2，
解得：x，
∵原方程有解，
∴x﹣1≠0，
即，
解得m≠1，
∵方程的解是正数，
∴0，
解得m＞﹣1，
∴m＞﹣1且m≠1，
故应填：m＞﹣1且m≠1．
17．（2分）如图，在矩形ABCD中，AD＝6，AB＝4，点E、G、H、F分别在AB、BC、CD、AD上，且AF＝CG＝2，BE＝DH＝1，点P是直线EF、GH之间任意一点，连接PE、PF、PG、PH，则△PEF和△PGH的面积和等于 7 ．
【解答】解：∵在矩形ABCD中，AD＝6，AB＝4，AF＝CG＝2，BE＝DH＝1，
∴AE＝AB﹣BE＝4﹣1＝3，
CH＝CD﹣DH＝4﹣1＝3，
∴AE＝CH，
在△AEF与△CGH中，，
∴△AEF≌△CGH（SAS），
∴EF＝GH，
同理可得，△BGE≌△DFH，
∴EG＝FH，
∴四边形EGHF是平行四边形，
∵△PEF和△PGH的高的和等于点H到直线EF的距离，
∴△PEF和△PGH的面积和平行四边形EGHF的面积，
平行四边形EGHF的面积
＝4×62×31×（6﹣2）2×31×（6﹣2），
＝24﹣3﹣2﹣3﹣2，
＝14，
∴△PEF和△PGH的面积和14＝7．
故答案为：7．
18．（2分）如图，矩形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为（0，5）、（0，2）、（1，2），将矩形ABCD向右平移t个单位，若平移后的矩形ABCD与函数y（x＞0）的图象有公共点，则t的取值范围是 1≤t≤5 ．
【解答】解：∵矩形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为（0，5）、（0，2）、（1，2），
∴D（1，5），
∴平移后，可设点D′、B′的坐标分别为（1+t，5），（t，2），
当点D′落在函数y（x＞0）的图象上时，则5（1+t）＝10，
解得t＝1，
当点B′落在函数y（x＞0）的图象上时，则2t＝10，
解得t＝5，
∴平移后的矩形ABCD与函数y（x＞0）的图象有公共点，则t的取值范围是1≤t≤5，
故答案为1≤t≤5．
三．解答题（本大题共10小题，共64分，把解答过程写在答题卡相对应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔．）
19．（6分）计算：
（1）（）；
（2）（2）2．
【解答】解：（1）（）
＝（5）
＝5；
（2）（2）2
＝3﹣44+2
＝3﹣44+2
＝3﹣44+23
＝7﹣5．
20．（8分）解下列一元二次方程：
（1）2x2﹣1＝3x（用公式法解）
（2）（x﹣3）2＝2x﹣6．
【解答】解：（1）2x2﹣3x﹣1＝0，
△＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣1）＝17＞0，
x，
所以x1，x2；
（2）（x﹣3）2﹣2（x﹣3）＝0，
（x﹣3）（x﹣3﹣2）＝0，
x﹣3＝0或x﹣3﹣2＝0，
所以x1＝3，x2＝5．
21．（6分）先化简，再求值：，其中．
【解答】解：原式＝[]
；
当x2时，
原式．
22．（5分）关注“安全”是一个永恒不变的话题．某中学对部分学生就安全知识的了解程度，采取了随机抽样调查的方式，将收集到的信息分为4种类别：A．非常了解；B．基本了解；C．了解很少；D．不了解．请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题．
（1）接受问卷调查的学生共有 60 人，扇形统计图中“了解很少”部分所对应扇形的圆心角为： 90 °；
（2）请补全条形统计图；
（3）若该学校共有学生3000人，估计该学校学生中对安全知识达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数．
【解答】解：（1）∵基本了解的有30人，占50%，
∴接受问卷调查的学生共有：30÷50%＝60（人）；
∴扇形统计图中“了解很少”部分所对应扇形的圆心角为：360°＝90°；
故答案为：60，90；
（2）60﹣15﹣30﹣5＝10（人）；
补全条形统计图得：
（3）根据题意得：30002000（人），
则估计该学校学生中对安全知识达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数为2000人．
23．（5分）一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有6个黄球．
（1）若先从盒子里拿走m个黄球，这时从盒子里随机摸出一个球是黄球的事件为“随机事件”，则m的最大值为 5 ；
（2）若在盒子中再加入2个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在40%，问n的值大约是多少？
【解答】解：
（1）∵一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有6个黄球，先从盒子里拿走m个黄球，这时从盒子里随机摸出一个球是黄球的事件为“随机事件”
∴不透明的盒子中至少有一个黄球，
∴m的最大值＝6﹣1＝5
故答案为：5；
（2）∵不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有6个黄球，又在盒子中再加入2个黄球，
∴0.4，
解得：n＝18．
经检验n＝18是分式方程是根．
故n＝18．
24．（6分）如图、在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．过点D作对角线BD的垂线交BC的延长线于点E．
（1）求证：四边形ACED是平行四边形；
（2）若AC＝8，BD＝6，求△CDE的周长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AC⊥BD，
∵DE⊥BD，
∴DE∥AC，
∴四边形ACDE是平行四边形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6，
∴AOAC＝4，DOBD＝3，AC⊥BD，
∴∠AOD＝90°，
∴CD＝AD5，
由（1）得：四边形ACDE是平行四边形，
∴CE＝AD＝5，DE＝AC＝8，
∴△CDE的周长＝AD+AE+DE＝5+5+8＝18．
25．（6分）已知：反比例函数的图象过点A（k，k﹣2）．
（1）求k的值；
（2）判断点B（m，﹣m+3）是否在反比例函数的图象上，并说明理由．
【解答】解：（1）∵反比例函数的图象过点A（k，k﹣2），
∴k﹣21，
∴k＝3．
（2）不在，理由如下：
假设点B（m，﹣m+3）在反比例函数的图象上，
∴﹣m+3，即m2﹣3m+3＝0，
△＝（﹣3）2﹣4×1×3＝﹣3＜0，
∴方程m2﹣3m+3＝0无解．
故结论不成立，即点B（m，﹣m+3）不在反比例函数的图象上．
26．（6分）某学习要添置一批圆珠笔和签字笔，计划用200元购买圆珠笔，用280元购买签字笔．已知一支签字笔比一支圆珠笔贵1元．该学校购买的圆珠笔和签字笔的数量能相同吗？
（1）根据题意，甲和乙两同学先假设该学校购买的圆珠笔和签字笔的数量能相同，并分别列出的方程如下：；，根据两位同学所列的方程，请你分别指出未知数x，y表示的意义：x表示 圆珠笔的单价 ；y表示 所购圆珠笔（签字笔）的数量 ．
（2）任选其中一个方程说明该学校购买的圆珠笔和签字笔的数量能否相同．
【解答】解：（1）∵一支签字笔比一支圆珠笔贵1元，该学校购买的圆珠笔和签字笔的数量能相同，
∴x表示圆珠笔的单价，y表示所购圆珠笔（签字笔）的数量．
故答案为：x表示圆珠笔的单价；y表示所购圆珠笔的数量．
（2）选第一个分式方程，
去分母得：200（x+1）＝280x，
解得：x，
当x时，80，
∴经检验，x为方程的解，且符合题意．
答：该校购买的圆珠笔和签字笔的数量能相同．
27．（8分）如图，矩形AOCB的顶点B在反比例函数，x＞0）的图象上，且AB＝3，BC＝8．若动点E从A开始沿AB向B以每秒1个单位长度的速度运动，同时动点F从B开始沿BC向C以每秒2个单位长度的速度运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点随之停止运动，设运动时间为t秒．
（1）求反比例函数的表达式．
（2）当t＝1时，在y轴上是否存在点D，使△DEF的周长最小？若存在，请求出△DEF的周长最小值；若不存在，请说明理由．
（3）在双曲线上是否存在一点M，使以点B、E、F、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件t的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）由题可知点B的坐标为（3，8），且点B在上．
∴k＝3×8＝24，
∴反比例函数的表达式为：．
（2）t＝1时，E（1，8），F（3，6），则，
取E关于y轴的对称E′（﹣1，8），
连接E′F，，，
∴，
此时点D为E′F与y轴交点，
∵E′（﹣1，8），F（3，6），
设E′F：y＝kx+b，
则，
解得，
∴E′F的解析式为yx，
∴此时，
即：y轴上存在点，使△DEF的周长数小，且最小值为．
（3）存在，若四边形BEMF为平行四边形，则有三种可能，已知E（t，8），F（3，8﹣2t），0＜t≤3．
①当BF是对角线时，BE∥FM，此时M在F右侧，，
又∵BE＝FM，
∴，t2﹣10t+12＝0，
解得，（舍）．
②当BE为对角线时，BF∥EM，此时M在E正上方，，
∵ME＝BF，
∴，t2+4t﹣12＝0，
解得t1＝2，t2＝﹣6（舍）．
③EF为对角线时，明显，点M不在双曲线上．
故综上：t＝2或．
28．（8分）我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做等对角四边形．请解决下列问题：
（1）已知：如图1，四边形ABCD是等对角四边形，∠A≠∠C，∠A＝70°，∠B＝75°，则∠C＝ 140 °，∠D＝ 75 °
（2）在探究等对角四边形性质时：
小红画了一个如图2所示的等对角四边形ABCD，其中，∠ABC＝∠ADC，AB＝AD，此时她发现CB＝CD成立，请你证明该结论；
（3）图①、图②均为4×4的正方形网格，线段AB、BC的端点均在网点上．按要求在图①、图②中以AB和BC为边各画一个等对角四边形ABCD．
要求：四边形ABCD的顶点D在格点上，所画的两个四边形不全等．
（4）已知：在等对角四边形ABCD中，∠DAB＝60°，∠ABC＝90°，AB＝5，AD＝4，求对角线AC的长．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A＝70°，∠B＝75°，
∴∠D＝∠B＝75°，
∴∠C＝360°﹣75°﹣75°﹣70°＝140°；
（2）证明：如图2，连接BD，
∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠ABC﹣∠ABD＝∠ADC﹣∠ADB，
∴∠CBD＝∠CDB，
∴CB＝CD；
（3）如图所示：
（4）解：分两种情况：
①当∠ADC＝∠ABC＝90°时，延长AD，BC相交于点E，如图3所示：
∵∠ABC＝90°，∠DAB＝60°，AB＝5，
∴∠E＝30°，
∴AE＝2AB＝10，
∴DE＝AE﹣AD＝10﹣4＝6，
∵∠EDC＝90°，∠E＝30°，
∴CD＝2，
∴AC2；
②当∠BCD＝∠DAB＝60°时，
过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥BC于点N，如图4所示：
则∠AMD＝90°，四边形BNDM是矩形，
∵∠DAB＝60°，
∴∠ADM＝30°，
∴AMAD＝2，
∴DM＝2，
∴BM＝AB﹣AM＝5﹣2＝3，
∵四边形BNDM是矩形，
∴DN＝BM＝3，BN＝DM＝2，
∵∠BCD＝60°，
∴CN，
∴BC＝CN+BN＝3，
∴AC2．
综上所述：AC的长为2或2．
故答案为：140，75．
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