2021-2022学年湖北省武汉市武昌区武珞路中学八年级（下）期中数学试卷

这是一份2021-2022学年湖北省武汉市武昌区武珞路中学八年级（下）期中数学试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年湖北省武汉市武昌区武珞路中学八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）要使二次根式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＞0 B．x≤2 C．x≥2 D．x≥﹣2
2．（3分）下列二次根式为最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．2318 B． C． D．523
4．（3分）满足下列条件时，△ABC不是直角三角形的是（　　）
A．AB＝1，BC＝2，AC B．AB2﹣BC2＝AC2
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．∠A﹣∠B＝∠C
5．（3分）下列命题的逆命题是真命题的是（　　）
A．对顶角相等 B．若a＜b，则﹣2a＞﹣2b
C．若a＞0，则 D．全等三角形的面积相等
6．（3分）把a•的根号外的a移到根号内得（　　）
A． B． C． D．
7．（3分）已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（　　）
A．当AB＝BC时，它是菱形
B．当AC⊥BD时，它是菱形
C．当∠ABC＝90°时，它是矩形
D．当AC＝BD时，它是正方形
8．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥BC于点H，连接OH，若OA＝4，OH的长为3，则S菱形ABCD＝（　　）

A．12 B．24 C．36 D．48
9．（3分）如图，将矩形ABCD沿EF折叠后点D与B重合．若原矩形的长宽之比为3：1，则的值为（　　）

A． B． C． D．
10．（3分）如图，正方形ABCD和正方形DEFG中，A，D，E在同一条直线上，AD＝2DE，M为BC的中点，延长FG交AB于点N，连接MN，CN，CF，连接FM分别交CN，CD于点P、Q，下列说法：①△FQG≌△MQC；②∠BCN＝∠MFG；③S△CFQ：S四边形BMPN＝3：7；④FQ＝2PQ，其中正确的结论有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）已知1.414，则的近似值为 　 　（结果保留小数点后两位）．
12．（3分）多项式2x2﹣3在实数范围内分解因式，则2x2﹣3＝　 　．
13．（3分）如图，数轴上点A，B对应在数分别是1，2，以AB为边在数轴上方作正方形ABCD，连接AC，以A为圆心，AC的长为半径画圆弧交数轴（A的左侧）于点E，则E在数轴上对应在数为 　 　．

14．（3分）一个平行四边形的一条边长是9，两条对角线的长分别是12和6，这个平行四边形的周长是 　 　．
15．（3分）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠A＝90°，AB＝4，CD＝3，BC＝7，O为AD边的中点，则点O到BC的距离为　 　．

16．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，且AB＝AC，P是△ABC内一点，若AP+BP+CP的最小值为4，则BC的长度为 　 　．

三、解答题（本大题共8小题，共72分）
17．（8分）计算：
（1）263；
（2）（3）（5）．
18．（8分）已知：x1，y1，求下列各式的值．
（1）x2+2xy+y2；
（2）x2﹣y2．
19．（8分）如图，将▱ABCD的对角线BD向两个方向延长，分别至点E和点F，且使BE＝DF．求证：四边形AECF是平行四边形．

20．（8分）如图；在下列5×5的网格中，每个小正方形的顶点都称为格点，线段AB的两个端点均为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．
（1）过点M画线段AB的垂线
（2）以AB为边画菱形ABCD，且面积为3，则较长的对角线长度是 　 　．
（3）在CD上找点Q，使CQ＝AP．

21．（8分）如图．在矩形ABCD中，点O是对角线AC的中点，过点O的直线分别交BC，AD边于点E、F，AE＝AF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若AD＝4，AB＝3．求EF的长．

22．（10分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8，BC＝20，AD＝18，点Q为BC中点，动点P在线段AD边上以每秒2个单位的速度由点A向点D运动，设动点P的运动时间为t秒．
（1）当t为何值时，四边形PBQD是平行四边形，请说明理由？
（2）在AD边上是否存在一点R，使得B、Q、R、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
（3）在线段PD上有一点M，且PM＝10，当点P从点A向右运动 　 　秒时，四边形BCMP的周长最小，其最小值为 　 　．

23．（10分）已知：如图，四边形ABCD是正方形，等腰直角△CEF中，∠E＝90°，EC＝EF．
（1）如图1，EF经过点A，请直接写出∠FAD与∠DCF的数量关系式．
（2）如图2，EF经过点D，请写出AF与BE的数量关系式，并说明理由．
（3）如图3，DF⊥EF，B，E，F在同一条直线上，且AB＝15，DF＝3，则AE的长为 　 　．


24．（12分）如图：正方形ABCD边长为m，正方形DEFG边长为n（n＜m），以AD，DG为边作平行四边形ADGM，以，CD，DE为边作平行四边形CDEN，点P，Q分别是DM，CE的中点．正方形DEFG绕点D旋转．
（1）求证：△MDA≌△ECD；
（2）求△DPQ的面积（用含m，n的代数式表示）；
（3）直接写出PQ的长度的最大值（用含m，n的代数式表示）．


2021-2022学年湖北省武汉市武昌区武珞路中学八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）要使二次根式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＞0 B．x≤2 C．x≥2 D．x≥﹣2
【解答】解：由题意得，2﹣x≥0，
解得x≤2．
故选：B．
2．（3分）下列二次根式为最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A、2，不是最简二次根式；
B、，不是最简二次根式；
C、不能开方，是最简二次根式；
D、|a|，不是最简二次根式．
故选：C．
3．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．2318 B． C． D．523
【解答】解：A、原式＝6×3＝18，所以A选项正确；
B、与不能合并，所以B选项错误；
C、原式，所以C选项错误；
D、5与2不能合并，所以D选项错误．
故选：A．
4．（3分）满足下列条件时，△ABC不是直角三角形的是（　　）
A．AB＝1，BC＝2，AC B．AB2﹣BC2＝AC2
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．∠A﹣∠B＝∠C
【解答】解：A、∵12+（）2＝22，∴△ABC是直角三角形；
B、∵AB2﹣BC2＝AC2，
∴AB2＝BC2+AC2，即△ABC是直角三角形；
C、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°，即△ABC不是直角三角形；
D、∵∠A﹣∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝90°，即△ABC是直角三角形．
故选：C．
5．（3分）下列命题的逆命题是真命题的是（　　）
A．对顶角相等 B．若a＜b，则﹣2a＞﹣2b
C．若a＞0，则 D．全等三角形的面积相等
【解答】解：A、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，是假命题；
若a＜b，则﹣2a＞﹣2b的逆命题是若﹣2a＞﹣2b，则a＜b，是真命题；
若a＞0，则的逆命题是若，则a＞0，是假命题；
全等三角形的面积相等的逆命题是面积相等的两个三角形全等，是假命题；
故选：B．
6．（3分）把a•的根号外的a移到根号内得（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵0，
∴a＜0，
∴原式＝﹣（﹣a）•

．
故选：C．
7．（3分）已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（　　）
A．当AB＝BC时，它是菱形
B．当AC⊥BD时，它是菱形
C．当∠ABC＝90°时，它是矩形
D．当AC＝BD时，它是正方形
【解答】解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当AB＝BC或AC⊥BD时，四边形ABCD为菱形，故A、B结论正确；
当∠ABC＝90°时，四边形ABCD为矩形，故C结论正确；
当AC＝BD时，四边形ABCD为矩形，故D结论不正确，
故选：D．
8．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥BC于点H，连接OH，若OA＝4，OH的长为3，则S菱形ABCD＝（　　）

A．12 B．24 C．36 D．48
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝OC，
∵OA＝4，OH＝3，
∴AC＝2OA＝8，BD＝2OH＝6，
∴S菱形ABCDAC•BD8×6＝24，
故选：B．
9．（3分）如图，将矩形ABCD沿EF折叠后点D与B重合．若原矩形的长宽之比为3：1，则的值为（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：如图，将矩形ABCD沿EF折叠后点D与B重合，
∴ED′＝BE，∠D′EF＝∠BEF，
∵AD′∥BC′，
∴∠D′EF＝∠EFB，
∴∠BEF＝∠EFB，
∴BE＝BF，
∵原矩形的长宽之比为3：1，
∴设AD′＝BC′＝3x，AB＝x，
∴AE＝3x﹣ED′＝3x﹣BE，
∵AE2+AB2＝BE2，
∴（3x﹣BE）2+x2＝BE2，
解得：BEx，
∴BF＝BEx，
∴，
故选：D．

10．（3分）如图，正方形ABCD和正方形DEFG中，A，D，E在同一条直线上，AD＝2DE，M为BC的中点，延长FG交AB于点N，连接MN，CN，CF，连接FM分别交CN，CD于点P、Q，下列说法：①△FQG≌△MQC；②∠BCN＝∠MFG；③S△CFQ：S四边形BMPN＝3：7；④FQ＝2PQ，其中正确的结论有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【解答】解：①∵四边形ABCD和四边形DEFG是正方形，
∴AD＝BC，DE＝GF，
∵AD＝2DE，M为BC的中点，
∴GF＝CM，
∵∠FGQ＝∠MCQ＝90°，∠FQG＝∠MQC，
∴△FQG≌△MQC，
故①正确；
②连接BG，

∵∠FGQ＝∠MCQ＝90°，
∴GF∥BM，
∵BM＝CM＝FG，
∴四边形BMFG是平行四边形，
∴∠CBG＝∠MFG，
∵∠NBC＝∠BCG＝∠CGN＝90°，
∴四边形BCGN为矩形，
∴BN＝CG，
∵BC＝CB，
∴△BCN≌△CBG（ASA），
∴∠CBG＝∠BCN，
∴∠BCN＝∠MFG，
故②正确；
③∵GF∥CM，
∴∠MFG＝∠CMF，
∴∠BCN＝∠MFG，
∴PC＝PM，
∵∠PMC+∠PQC＝90°，∠PCM+∠PCQ＝90°，
∴∠PQC＝∠PCQ，
∴PC＝PQ＝PM，
∴，
设BM＝CM＝FG＝CG＝x，则
，
，
∵△FQG≌△MQC，
∴MQ＝FQ，
∴S△CMQ，
∴，
∴，
∴，
③不正确；
④∵PM＝PQ，
∴MQ＝2PQ，
∵FQ＝MQ，
∴FQ＝2PQ，
故④正确；
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）已知1.414，则的近似值为 　2.83　（结果保留小数点后两位）．
【解答】解：22.83，
故答案为：2.83．
12．（3分）多项式2x2﹣3在实数范围内分解因式，则2x2﹣3＝　（x）（x）　．
【解答】解：原式＝（x）2﹣（）2
＝（x）（x）．
故答案为：（x）（x）．
13．（3分）如图，数轴上点A，B对应在数分别是1，2，以AB为边在数轴上方作正方形ABCD，连接AC，以A为圆心，AC的长为半径画圆弧交数轴（A的左侧）于点E，则E在数轴上对应在数为 　1　．

【解答】解：∵点A，B对应在数分别是1，2，
∴AB＝1，
∵以AB为边在数轴上方作正方形ABCD，
∴CB＝1，
∴AC，
∴AE，
∵点A对应的数是1，
∴E在数轴上对应在数为﹣（1）＝1，
故答案为：1．
14．（3分）一个平行四边形的一条边长是9，两条对角线的长分别是12和6，这个平行四边形的周长是 　36　．
【解答】解：因为平行四边形的对角线互相平分，
所以62+（3）2＝36+45＝81＝92，
所以平行四边形的对角线互相垂直，
所以根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，
可知这个平行四边形是菱形．
所以这个平行四边形的周长是9×4＝36．
故答案为：36．
15．（3分）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠A＝90°，AB＝4，CD＝3，BC＝7，O为AD边的中点，则点O到BC的距离为　2　．

【解答】解：作CE⊥AB于E，OH⊥BC于H，连接OC、OB，如图，
∵AB∥DC，
∴∠D＝180°﹣∠A＝90°，
而CE⊥AB，
∴四边形ADCE为矩形，
∴AE＝CD＝3，AD＝CE，
∴BE＝AB﹣AE＝4﹣3＝1，
在Rt△BCE中，CE4，
∴AD＝4，
∵O为AD边的中点，
∴OD＝OA＝2，
在Rt△ODC中，OC2＝OD2+CD2＝（2）2+32＝21，
在Rt△OAB中，OB2＝OA2+AB2＝（2）2+42＝28，
∴OC2+OB2＝49＝BC2，
∴△BOC为直角三角形，∠BOC＝90°，
∵OH•BC•OC•OB，
∴OH2，
即点O到BC的距离为2．
故答案为2．

16．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，且AB＝AC，P是△ABC内一点，若AP+BP+CP的最小值为4，则BC的长度为 　2　．

【解答】解：如图将△ABP绕点A顺时针旋转60°得到△AMG．连接PG，CM，

则AB＝AC＝AM，MG＝PB，AG＝AP，∠GAP＝60°，
∴△GAP是等边三角形，
∴PA＝PG，
∴PA+PB+PC＝CP+PG+GM，
∴当M，G，P，C共线时，PA+PB+PC的值最小，最小值为线段CM的长，
∵AP+BP+CP的最小值为4，
∴CM＝4，
∵∠BAM＝60°，∠BAC＝30°，
∴∠MAC＝90°，
∴AM＝AC＝4，
作BN⊥AC于N．则BNAB＝2，AN＝2，CN＝4﹣2，
∴BC，
故答案为：2．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
17．（8分）计算：
（1）263；
（2）（3）（5）．
【解答】解：（1）原式＝4212
＝14；

（2）原式＝2﹣5315
＝﹣13﹣2．
18．（8分）已知：x1，y1，求下列各式的值．
（1）x2+2xy+y2；
（2）x2﹣y2．
【解答】解：（1）当x1，y1时，
原式＝（x+y）2＝（11）2＝12；
（2）当x1，y1时，
原式＝（x+y）（x﹣y）＝（11）（11）＝4．
19．（8分）如图，将▱ABCD的对角线BD向两个方向延长，分别至点E和点F，且使BE＝DF．求证：四边形AECF是平行四边形．

【解答】证明：连接AC，设AC与BD交于点O．如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
又∵BE＝DF，
∴OE＝OF．
∴四边形AECF是平行四边形．

20．（8分）如图；在下列5×5的网格中，每个小正方形的顶点都称为格点，线段AB的两个端点均为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．
（1）过点M画线段AB的垂线
（2）以AB为边画菱形ABCD，且面积为3，则较长的对角线长度是 　3　．
（3）在CD上找点Q，使CQ＝AP．

【解答】解：（1）如图，直线MN即为所求；
（2）如图，四边形ABCD即为所求，AC3，
故答案为：3；
（3）如图，点Q即为所求．

21．（8分）如图．在矩形ABCD中，点O是对角线AC的中点，过点O的直线分别交BC，AD边于点E、F，AE＝AF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若AD＝4，AB＝3．求EF的长．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠FAO＝∠ECO，
∵点O是对角线AC的中点，
∴AO＝CO，
在△AOF和△COE中，
，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴OE＝OF，
∵AO＝CO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AE＝AF，
∴四边形AECF是菱形；

（2）解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝3，
∴∠D＝90°，DC＝AB＝3，
由勾股定理得：AC5，
∵AO＝CO，
∴AOAC，
∵四边形AECF是菱形，
∴AF＝CF，
设AF＝CF＝x，则DF＝4﹣x，
在Rt△FDC中，由勾股定理得：DF2+DC2＝CF2，
即（4﹣x）2+32＝x2，
解得：x，
即AF＝CF，
在Rt△AOF中，由勾股定理得：OE＝OF，
∴EF＝OE+OF．
22．（10分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8，BC＝20，AD＝18，点Q为BC中点，动点P在线段AD边上以每秒2个单位的速度由点A向点D运动，设动点P的运动时间为t秒．
（1）当t为何值时，四边形PBQD是平行四边形，请说明理由？
（2）在AD边上是否存在一点R，使得B、Q、R、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
（3）在线段PD上有一点M，且PM＝10，当点P从点A向右运动 　　秒时，四边形BCMP的周长最小，其最小值为 　230　．

【解答】解：（1）当t＝4时，四边形PBQD是平行四边形，
理由：如图1，由题意得AP＝2t，
∵BC＝20，AD＝18，Q为BC中点，
∴BQ＝CQBC＝10，PD＝18﹣2t，
∵AD∥BC，点P在AD上，
∴PD∥BQ，
∴当PD＝BQ＝10时，四边形PBQD是平行四边形，
∴18﹣2t＝10，
解得t＝4，
∴当t＝4时，四边形PBQD是平行四边形．
（2）存在，
∵PR∥BQ，
∴当PR＝BQ时，以B、Q、R、P四点为顶点的四边形是平行四边形，
如图2，点R在点P右侧，当BP＝PR＝BQ＝10时，四边形BQRP是菱形，
∵AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝8，
∴∠A＝180°﹣∠ABC＝90°，
∴AP6，
此时AR＝AP+PR＝6+10＝16，符合题意，
由2t＝6，解得t＝3，
如图3，点R在点P左侧，当BR＝PR＝BQ＝10时，四边形BQPR是菱形，
∴AR6，
此时AP＝AR+PR＝6+10＝16，符合题意，
2t＝16，解得t＝8，
综上所述，t的值为3或8．
（3）如图4，延长BA到点E，使AE＝AB＝8，连接QE交AD于点F，连接PE、PQ、BF，
∵AD垂直平分BE，
∴PB＝PE，FB＝FE，
∵PQ+PE≥EQ，
∴PQ+PB≥EQ，
∴当点P与点F重合时，PQ+PB＝PQ+PE＝FQ+FE＝EQ，此时PQ+PB的值最小，
∵∠EBQ＝90°，BQ＝10，BE＝AE+AB＝8+8＝16，
∴EQ2，
∴PQ+PB的最小值为2，
∵∠FBQ+∠FBE＝90°，∠FQB+∠FEB＝90°，∠FBE＝∠FEB，
∴∠FBQ＝∠FQB，
∴FB＝FQ＝FEEQ，
∴AF5，
由2t＝5，解得t，
∵PM∥CQ，PM＝CQ＝10，
∴四边形PQCM是平行四边形，
∴CM＝PQ，
∴CM+PB+PM+BC＝PQ+PB+10+20＝PQ+PB+30，
∴PQ+PB的值最小时，四边形BCMP的周长最小，其最小值为230，
∴当P从点A向右运动秒时，四边形BCMP的周长最小，其最小值为230，
故答案为：，230．




23．（10分）已知：如图，四边形ABCD是正方形，等腰直角△CEF中，∠E＝90°，EC＝EF．
（1）如图1，EF经过点A，请直接写出∠FAD与∠DCF的数量关系式．
（2）如图2，EF经过点D，请写出AF与BE的数量关系式，并说明理由．
（3）如图3，DF⊥EF，B，E，F在同一条直线上，且AB＝15，DF＝3，则AE的长为 　3　．


【解答】解：（1）如图1，设AD与FC的交点为H，

∵∠E＝90°，EC＝EF，
∴∠F＝∠ECF＝45°，
∵∠AHC＝∠F+∠FAH＝∠D+∠DCF，
∴∠FAH﹣∠DCF＝90°﹣45°＝45°；
（2）如图2，过点E作EH⊥BE，且EH＝BE，连接AH，BH，连接CH，BF交于点O，

∵EH⊥BE，EH＝BE，
∴∠HEB＝∠FEC＝90°，BHBE，
∴∠HEC＝∠FEB，
又∵BE＝EH，EC＝EF，
∴△HEC≌△BEF（SAS），
∴CH＝BF，∠EFB＝∠ECH，
由三角形内角和定理可得∠FEC＝∠FOC＝90°，
∴∠FBC+∠BCO＝90°＝∠FBC+∠ABO，
∴∠ABO＝∠BCO，
又∵BC＝AB，CH＝BF，
∴△ABF≌△BCH（SAS），
∴BH＝AF，
∴AFBE；
（3）如图3，连接BD，过点A作AN⊥BF于N，

∵四边形ABCD是正方形，AB＝15，
∴BD＝15，
∵DF⊥EF，B，E，F在同一条直线上，
∴BF2＝BD2﹣DF2＝441，
∴BF＝21，
∵∠BEC＝∠FEC＝90°，
∴BE2+EC2＝BC2，
∴BE2+（21﹣BE）2＝225，
∴BE＝12或9（不合题意），
∴EC＝9，
∵AN⊥BE，
∴∠ANB＝∠BEC＝90°，
∴∠ABN+∠BAN＝90°＝∠ABN+∠CBE，
∴∠BAN＝∠CBE，
又∵AB＝BC，
∴△ABN≌△BCE（AAS），
∴BE＝AN＝12，BN＝9＝CE，
∴NE＝3，
∴AE3，
故答案为：3．
24．（12分）如图：正方形ABCD边长为m，正方形DEFG边长为n（n＜m），以AD，DG为边作平行四边形ADGM，以，CD，DE为边作平行四边形CDEN，点P，Q分别是DM，CE的中点．正方形DEFG绕点D旋转．
（1）求证：△MDA≌△ECD；
（2）求△DPQ的面积（用含m，n的代数式表示）；
（3）直接写出PQ的长度的最大值（用含m，n的代数式表示）．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD，四边形DEFG是正方形，
∴AD＝DC，DG＝DE，∠ADC＝∠GDE＝90°，
∵四边形ADGM，
∴AM＝DG，AM∥DG，
∴∠MAD+∠ADG＝180°，AM＝DE，
∵∠ADG+∠CDE＝180°，
∴∠MAD＝∠CDE，
在△MDA和△ECD中，
，
∴△MDA≌△ECD（SAS）；

（2）解：如图1中，延长MD交CE于点J．

∵△MDA≌△ECD，
∵DM＝CE，∠ADM＝∠DCE，
∵∠ADM+∠CDJ＝90°，
∴∠DCE+∠CDJ＝90°，
∴∠DJC＝90°，
设PM＝PD＝CQ＝QE＝x，QJ＝y，
∵DJ2＝CD2﹣CJ2＝DE2﹣EJ2，
∴m2﹣（x+y）2＝n2﹣（x﹣y）2，
∴xy（m2﹣n2），
∴S△PQDxy（m2﹣n2）；

（3）解：连接NQ，MN，BM，BN．

∵四边形CDEN是平行四边形，CQ＝EQ，
∴D，Q，N共线，DQ＝QN，
∵DP＝PM，
∴PQMN，
∵DE∥CN，
∴∠DCN+∠CDE＝180°，
∵∠ADC＝∠GDE＝90°，
∴∠ADG+∠CDE＝180°，
∴∠ADG＝∠DCN，
∵∠BMA＝360°﹣90°﹣∠MAD＝360°﹣90°﹣（180°﹣∠ADG）＝90°+∠ADG＝90°+∠DCN＝∠BCN，
∵CN＝DE＝DG＝AM，AB＝BC，
∴△BAM≌△BCN（SAS），
∴BM＝BN，∠ABM＝∠CBN，
∴∠MBN＝∠ABC＝90°，
∴MNBN，
∵BC＝m，CN＝DE＝n，
∴BN≤BC+CN＝m+n，
∴BN的最大值为m+n，
∴MN的最大值为（m+n），
∴PQ的最大值为（m+n）．
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