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2021-2022学年重庆市江津北师大附中等金砖四校联考八年级（下）期中数学试卷
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这是一份2021-2022学年重庆市江津北师大附中等金砖四校联考八年级（下）期中数学试卷，共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年重庆市江津北师大附中等金砖四校联考八年级（下）期中数学试卷
一、单选题（每小题4分，共48分）
1．（4分）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
2．（4分）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ）
A．1cm，1cm，cm B．3cm，4mm，5cm
C．1cm，5mm，cm D．7cm，8cm，9cm
3．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．3 B．44 C． D．4
4．（4分）被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式，下列各数与是同类二次根式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（4分）下列说法不正确的是（ ）
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B．一个角是直角的平行四边形是矩形
C．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形
D．对角线相等的四边形是矩形
6．（4分）估计的值应在（ ）
A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间
7．（4分）如图，将边长为4的菱形ABCD纸片折叠，使点A恰好落在对角线的交点O处，若折痕EF＝2，则∠A＝（ ）
A．120° B．100° C．60° D．30°
8．（4分）如图：在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM＝5，则CE2+CF2等于（ ）
A．75 B．100 C．120 D．125
9．（4分）如图，把一张长为4，宽为2的矩形纸片，沿对角线折叠，则重叠部分的面积为（ ）
A．1.5 B．2.5 C．3.5 D．4
10．（4分）如图，在▱ABCD中，AD＝3，CD＝2．连接AC，过点B作BE∥AC，交DC的延长线于点E，连接AE，交BC于点F．若∠AFC＝2∠D，则四边形ABEC的面积为（ ）
A． B．2 C．6 D．2
11．（4分）如图，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，黑、白两个甲壳虫同时从A点出发，以相同的速度分别沿棱向前爬行，黑甲壳虫爬行的路线是：AA1⇒A1D1⇒D1C1⇒C1C⇒CB⇒BA⇒AA1⇒A1D1…，
白甲壳虫爬行的路线是：AB⇒BB1⇒B1C1⇒C1D1⇒D1A1⇒A1A⇒AB⇒BB1…，
那么当黑、白两个甲壳虫各爬行完第2008条棱分别停止在所到的正方体顶点处时，它们之间的距离是（ ）
A．0 B．1 C． D．
12．（4分）如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②∠EAG＝45°；③BG＝GC；④AG∥CF．其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题（每小题4分，共16分）
13．（4分）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，AF＝EC．只需添加一个条件即可证明四边形AECF是菱形，这个条件可以是 （写出一个即可）．
14．（4分）如图，O为数轴原点，A，B两点分别对应﹣3，3，作腰长为4的等腰△ABC，连接OC，以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为 ．
15．（4分）如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的点，BE＝1，F为AB的中点，P为AC上一个动点，则PF+PE的最小值为 ．
16．（4分）四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为4的小正方形EFGH．已知AM为Rt△ABM较长直角边，AM＝2EF，则正方形ABCD的面积为 ．
三、解答题（本大题共9个小题，17，18题各8分，19-25题各10分）
17．（8分）计算：
（1）15；
（2）．
18．（8分）先化简，再求值：（a+1）÷（），其中a＝2．
19．（10分）如图，已知△ABC．
（1）用尺规作图作AB中点E，AC中点F，并连接EF（保留作图痕迹）
（2）证明中位线定理．
20．（10分）某住宅小区中有一块四边形的草地ABCD（如图），小区的物业公司打算对其重新进行绿化．已知∠A＝90°，AB＝40m，BC＝120m，CD＝130m，DA＝30m，你能帮助小区管理部门计算出该草地的面积吗？
21．（10分）如图，D为△ABC的BC边上的一点，AB＝10，AD＝6，DC＝2AD，BDDC．
（1）求BC的长；
（2）求△ABC的面积．
22．（10分）在一次缉私行动中，警方获得可靠消息：一辆走私车将路过一段水平且笔直的公路，但由于车上有威力巨大的爆炸装置，在方圆120m范围内有危险，缉私警察无法靠近．为保证我警员的安全，决定利用远程射击的方法，警方选中一个距离公路120m的高地作为隐蔽处（CD＝120m），当射程为200m时开始射击（BD＝200m）．若走私车与警方隐蔽处的距离为255m时（AD＝255m），警方做好了射击准备．走私车又行驶了多少米后，警方可以对其进行射击？
23．（10分）如图，在等边△ABC中，点D是BC边的中点，以AD为边作等边△ADE．
（1）求∠CAE的度数；
（2）取AB边的中点F，连接CF、CE，试证明四边形AFCE是矩形．
24．（10分）数学阅读：
古希腊数学家海伦曾提出一个利用三角形三边之长求面积的公式：若一个三角形的三边长分别为a、b、c，则这个三角形的面积为S，其中p（a+b+c）．这个公式称为“海伦公式”．
数学应用：
如图1，在△ABC中，已知AB＝9，AC＝8，BC＝7．
（1）请运用海伦公式求△ABC的面积；
（2）设AB边上的高为h1，AC边上的高h2，求h1+h2的值；
（3）如图2，AD、BE为△ABC的两条角平分线，它们的交点为I，求△ABI的面积．
25．（10分）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD是斜边AB上的中线，点E为射线BC上一点，将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点F．
（1）若AB＝a．直接写出CD的长（用含a的代数式表示）；
（2）若DF⊥BC，垂足为G，点F与点D在直线CE的异侧，连接CF，如②，判断四边形ADFC的形状，并说明理由；
（3）若DF⊥AB，直接写出∠BDE的度数．
2021-2022学年重庆市江津北师大附中等金砖四校联考八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（每小题4分，共48分）
1．（4分）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：因为：A、2；C、|x|；D、；
所以这三个选项都不是最简二次根式．
因此符合条件的只有B选项．
故选：B．
2．（4分）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ）
A．1cm，1cm，cm B．3cm，4mm，5cm
C．1cm，5mm，cm D．7cm，8cm，9cm
【解答】解：A、因为12+12≠（）2，所以不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、因为4mm＝0.4cm，32+0.42≠52，所以不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、因为5mmcm，（）2+（）2＝12，所以能组成直角三角形，故本选项符合题意；
D、因为72+82≠92，所以不能组成直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：C．
3．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．3 B．44 C． D．4
【解答】解：A、原式＝2，所以A选项的计算错误；
B、原式＝3，所以B选项的计算错误；
C、原式，所以C选项的计算正确；
D、原式2，所以D选项的计算错误．
故选：C．
4．（4分）被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式，下列各数与是同类二次根式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：，与不是同类二次根式；
，与是同类二次根式；
，与是同类二次根式；
，与不是同类二次根式；
所以与是同类二次根式的有2个．
故选：B．
5．（4分）下列说法不正确的是（ ）
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B．一个角是直角的平行四边形是矩形
C．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形
D．对角线相等的四边形是矩形
【解答】解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形；故原说法正确；
B、一个角是直角的平行四边形是矩形，故原说法正确；
C、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故原说法正确；
D、对角线相等的四边形不一定是矩形，故原说法错误；
故选：D．
6．（4分）估计的值应在（ ）
A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间
【解答】解：23，
∵3，
67，
故选：B．
7．（4分）如图，将边长为4的菱形ABCD纸片折叠，使点A恰好落在对角线的交点O处，若折痕EF＝2，则∠A＝（ ）
A．120° B．100° C．60° D．30°
【解答】解：
连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵A沿EF折叠与O重合，
∴EF⊥AC，EF平分AO，
∵AC⊥BD，
∴EF∥BD，
∴E、F分别为AB、AD的中点，
∴EF为△ABD的中位线，
∴EFBD，
∴BD＝2EF＝4，
∴BO＝2，
∴AO2，
∴AOAB，
∴∠ABO＝30°，
∴∠BAO＝60°，
∴∠BAD＝120°．
故选：A．
8．（4分）如图：在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM＝5，则CE2+CF2等于（ ）
A．75 B．100 C．120 D．125
【解答】解：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ACE∠ACB，∠ACF∠ACD，即∠ECF（∠ACB+∠ACD）＝90°，
∴△EFC为直角三角形，
又∵EF∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ECB＝∠MEC＝∠ECM，∠DCF＝∠CFM＝∠MCF，
∴CM＝EM＝MF＝5，EF＝10，
由勾股定理可知CE2+CF2＝EF2＝100．
故选：B．
9．（4分）如图，把一张长为4，宽为2的矩形纸片，沿对角线折叠，则重叠部分的面积为（ ）
A．1.5 B．2.5 C．3.5 D．4
【解答】解：设BF长为x，则FD＝4﹣x，
∵∠ACB＝∠BCE＝∠CBD，
∴△BCF为等腰三角形，BF＝CF＝x，
在Rt△CDF中，（4﹣x）2+22＝x2，
解得：x＝2.5，
∴BF＝2.5，
∴S△BFCBF×CD2.5×2＝2.5．
即重叠部分面积为2.5．
故选：B．
10．（4分）如图，在▱ABCD中，AD＝3，CD＝2．连接AC，过点B作BE∥AC，交DC的延长线于点E，连接AE，交BC于点F．若∠AFC＝2∠D，则四边形ABEC的面积为（ ）
A． B．2 C．6 D．2
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，∠D＝∠ABC，
∵BE∥AC，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∴FA＝FE，FB＝FC，
∵∠AFC＝2∠D，
∴∠AFC＝2∠ABC，
∵∠AFC＝∠ABF+∠FAB，
∴∠ABF＝∠FAB，
∴FA＝FB，
∴FA＝FE＝FB＝FC，
∴AE＝BC，
∴平行四边形ABEC是矩形，
∴∠BAC＝90°，
在Rt△ABC中，BC＝AD＝3，AB＝CD＝2．
根据勾股定理，得
AC，
∴矩形ABEC的面积为：AB•AC＝22．
故选：B．
11．（4分）如图，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，黑、白两个甲壳虫同时从A点出发，以相同的速度分别沿棱向前爬行，黑甲壳虫爬行的路线是：AA1⇒A1D1⇒D1C1⇒C1C⇒CB⇒BA⇒AA1⇒A1D1…，
白甲壳虫爬行的路线是：AB⇒BB1⇒B1C1⇒C1D1⇒D1A1⇒A1A⇒AB⇒BB1…，
那么当黑、白两个甲壳虫各爬行完第2008条棱分别停止在所到的正方体顶点处时，它们之间的距离是（ ）
A．0 B．1 C． D．
【解答】解：连接CD1，
因为2008÷6＝334…4，所以黑、白两个甲壳虫各爬行完第2008条棱分别停止的点是C和D1，
由于∠CDD1＝90°，
所以根据勾股定理：CD1．
故选：C．
12．（4分）如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②∠EAG＝45°；③BG＝GC；④AG∥CF．其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝DC＝6，∠B＝D＝90°，
∵CD＝3DE，
∴DE＝2，
∵△ADE沿AE折叠得到△AFE，
∴DE＝EF＝2，AD＝AF，∠D＝∠AFE＝∠AFG＝90°，
∴AF＝AB，
∵在Rt△ABG和Rt△AFG中
，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），∴①正确；
∵Rt△ABG≌Rt△AFG，
∴BG＝FG，∠AGB＝∠AGF，
设BG＝x，则CG＝BC﹣BG＝6﹣x，GE＝GF+EF＝BG+DE＝x+2，
在Rt△ECG中，由勾股定理得：CG2+CE2＝EG2，
∵CG＝6﹣x，CE＝4，EG＝x+2
∴（6﹣x）2+42＝（x+2）2
解得：x＝3，
∴BG＝GF＝CG＝3，∴③正确；
∵CG＝GF，
∴∠CFG＝∠FCG，
∵∠BGF＝∠CFG+∠FCG，
又∵∠BGF＝∠AGB+∠AGF，
∴∠CFG+∠FCG＝∠AGB+∠AGF，
∵∠AGB＝∠AGF，∠CFG＝∠FCG，
∴∠AGB＝∠FCG
∴AG∥CF，∴④正确；
∵△ADE沿AE折叠得到△AFE，
∴△DAE≌△FAE，
∴∠DAE＝∠FAE，
∵△ABG≌△AFG，
∴∠BAG＝∠FAG，
∵∠BAD＝90°，
∴∠EAG＝∠EAF+∠GAF90°＝45°，∴②正确；
故选：A．
二、填空题（每小题4分，共16分）
13．（4分）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，AF＝EC．只需添加一个条件即可证明四边形AECF是菱形，这个条件可以是 AE＝AF （写出一个即可）．
【解答】解：这个条件可以是AE＝AF，
理由：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
即AF∥CE，
∵AF＝EC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AE＝AF，
∴四边形AECF是菱形，
故答案为：AE＝AF．
14．（4分）如图，O为数轴原点，A，B两点分别对应﹣3，3，作腰长为4的等腰△ABC，连接OC，以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为 ．
【解答】解：∵△ABC为等腰三角形，OA＝OB＝3，
∴OC⊥AB，
在Rt△OBC中，OC，
∵以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，
∴OM＝OC，
∴点M对应的数为．
故答案为．
15．（4分）如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的点，BE＝1，F为AB的中点，P为AC上一个动点，则PF+PE的最小值为 ．
【解答】解：作E关于直线AC的对称点E′，连接E′F，过F作FG⊥CD于G，则
CE＝CE'＝3，CG＝BF＝2，PE＝PE'，
在Rt△E′FG中，GE′＝CD﹣BE﹣BF＝4﹣1﹣2＝1，GF＝4，
所以E′F，
即PF+PE的最小值为．
故答案为：．
16．（4分）四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为4的小正方形EFGH．已知AM为Rt△ABM较长直角边，AM＝2EF，则正方形ABCD的面积为 36 ．
【解答】解：设AM＝2a．BM＝b．则正方形ABCD的面积＝4a2+b2
由题意可知EF＝（2a﹣b）﹣2（a﹣b）＝2a﹣b﹣2a+2b＝b，
∵AM＝2EF，
∴2a＝2b，
∴ab，
∵正方形EFGH的面积为4，
∴b2＝4，
∴正方形ABCD的面积＝4a2+b2＝9b2＝36，
故答案为：36
三、解答题（本大题共9个小题，17，18题各8分，19-25题各10分）
17．（8分）计算：
（1）15；
（2）．
【解答】解：（1）15
＝3154
＝35
；
（2）
＝1+23+1﹣24
＝3．
18．（8分）先化简，再求值：（a+1）÷（），其中a＝2．
【解答】解：原式＝（）÷[]
•
＝a（a﹣2）
＝a2﹣2a，
当a＝2时，
原式＝（2）2﹣2（2）
＝4﹣43﹣4+2
＝3﹣2．
19．（10分）如图，已知△ABC．
（1）用尺规作图作AB中点E，AC中点F，并连接EF（保留作图痕迹）
（2）证明中位线定理．
【解答】（1）解：如图，线段EF即为所求作；
（2）已知：△ABC中，点E、F分别是AB、AC的中点，
求证：EFAB，EF∥AB，
证明：如图，延长EF到D，使FD＝EF，连接CD，
∵点F是AC的中点，
∴AF＝CF，
在△AEF和△CDF中，
，
∴△AEF≌△CDF（SAS），
∴AE＝CD，∠D＝∠AEF，
∴AB∥CD，
∵点E是AB的中点，
∴AE＝BE，
∴BE＝CD，
∴BECD，
∴四边形BCDE是平行四边形，
∴DE∥BC，DE＝BC，
∴DE∥BC且DEBC．
20．（10分）某住宅小区中有一块四边形的草地ABCD（如图），小区的物业公司打算对其重新进行绿化．已知∠A＝90°，AB＝40m，BC＝120m，CD＝130m，DA＝30m，你能帮助小区管理部门计算出该草地的面积吗？
【解答】解：如图所示，连接BD．
在直角三角形ABD中，由勾股定理可得BD50（m）．
在三角形BDC中，BD＝50（m），DC＝130（m），BC＝120（m），
∵BD2+BC2＝DC2，
∴∠DBC＝90°，
∴草地面积＝S△ABD+S△BDC
＝3600（m2）．
21．（10分）如图，D为△ABC的BC边上的一点，AB＝10，AD＝6，DC＝2AD，BDDC．
（1）求BC的长；
（2）求△ABC的面积．
【解答】解：（1）∵AD＝6，DC＝2AD，
∴DC＝12，
∵BDDC，
∴BD＝8，
BC＝BD+DC＝8+12＝20；
（2）在△ABD中，AB＝10，AD＝6，BD＝8，
∵AB2＝AD2+BD2，
∴△ABD为直角三角形，即AD⊥BC，
∵BC＝BD+DC＝8+12＝20，AD＝6，
∴S△ABC20×6＝60．
22．（10分）在一次缉私行动中，警方获得可靠消息：一辆走私车将路过一段水平且笔直的公路，但由于车上有威力巨大的爆炸装置，在方圆120m范围内有危险，缉私警察无法靠近．为保证我警员的安全，决定利用远程射击的方法，警方选中一个距离公路120m的高地作为隐蔽处（CD＝120m），当射程为200m时开始射击（BD＝200m）．若走私车与警方隐蔽处的距离为255m时（AD＝255m），警方做好了射击准备．走私车又行驶了多少米后，警方可以对其进行射击？
【解答】解：如图，根据射击有效距离可知，从B处可以进行射击．所以从A到B就是射击的准备距离．
∵∠ACD＝90°，DC＝120m，BD＝200 m，AD＝255m，
∴BC160（m）
AC225（m）
∴AB＝225﹣160＝65（m）．
答：走私车又行驶了65米后，警方可以对其进行射击．
23．（10分）如图，在等边△ABC中，点D是BC边的中点，以AD为边作等边△ADE．
（1）求∠CAE的度数；
（2）取AB边的中点F，连接CF、CE，试证明四边形AFCE是矩形．
【解答】（1）解：∵△ABC是等边三角形，且D是BC中点，
∴DA平分∠BAC，即∠DAB＝∠DAC＝30°；
∵△DAE是等边三角形，
∴∠DAE＝60°；
∴∠CAE＝∠DAE﹣∠CAD＝30°；
（2）证明：∵△BAC是等边三角形，F是AB中点，
∴CF⊥AB；
∴∠BFC＝90°
由（1）知：∠CAE＝30°，∠BAC＝60°；
∴∠FAE＝90°；
∴AE∥CF；
∵△BAC是等边三角形，且AD、CF分别是BC、AB边的中线，
∴AD＝CF；
又AD＝AE，∴CF＝AE；
∴四边形AFCE是平行四边形；
∵∠AFC＝∠FAE＝90°，
∴四边形AFCE是矩形．
24．（10分）数学阅读：
古希腊数学家海伦曾提出一个利用三角形三边之长求面积的公式：若一个三角形的三边长分别为a、b、c，则这个三角形的面积为S，其中p（a+b+c）．这个公式称为“海伦公式”．
数学应用：
如图1，在△ABC中，已知AB＝9，AC＝8，BC＝7．
（1）请运用海伦公式求△ABC的面积；
（2）设AB边上的高为h1，AC边上的高h2，求h1+h2的值；
（3）如图2，AD、BE为△ABC的两条角平分线，它们的交点为I，求△ABI的面积．
【解答】解：（1）∵AB＝9，AC＝8，BC＝7，
∴p（a+b+c）（9+8+7）＝12，
∴S12；
答：△ABC面积是12；
（2）∵S△ABCAC•h2AB•h1＝12，
∴h23，h1，
∴h1+h2＝3；
（3）如图，过点I作IF⊥AB、IG⊥AC、IH⊥BC，垂足分别为点F、G、H，
∵AD、BE分别为△ABC的角平分线，
∴IF＝IH＝IG，
∵S△ABC＝S△ABI+S△ACI+S△BCI，
∴（9•IF+8•IF+7•IF）＝12，解得IF，
故S△ABIAB•FI．
25．（10分）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD是斜边AB上的中线，点E为射线BC上一点，将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点F．
（1）若AB＝a．直接写出CD的长（用含a的代数式表示）；
（2）若DF⊥BC，垂足为G，点F与点D在直线CE的异侧，连接CF，如②，判断四边形ADFC的形状，并说明理由；
（3）若DF⊥AB，直接写出∠BDE的度数．
【解答】解：（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∵CD是斜边AB上的中线，AB＝a，
∴CDABa．
（2）四边形ADFC是菱形．
理由如下：
如图②∵DF⊥BC于点G，
∴∠DGB＝∠ACB＝90°，
∴DF∥AC；
由折叠得，DF＝DB，
∵DBAB，
∴DFAB；
∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，
∴∠B＝90°﹣60°＝30°，
∴ACAB，
∴DF＝AC，
∴四边形ADFC是平行四边形；
∵ADAB，
∴AD＝DF，
∴四边形ADFC是菱形．
（3）如图③，点F与点D在直线CE异侧，
∵DF⊥AB，
∴∠BDF＝90°；
由折叠得，∠BDE＝∠FDE，
∴∠BDE＝∠FDE∠BDF90°＝45°；
如图④，点F与点D在直线CE同侧，
∵DF⊥AB，
∴∠BDF＝90°，
∴∠BDE+∠FDE＝360°﹣90°＝270°，
由折叠得，∠BDE＝∠FDE，
∴∠BDE+∠BDE＝270°，
∴∠BDE＝135°．
综上所述，∠BDE＝45°或∠BDE＝135°．
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2021-2022学年重庆市江津北师大附中等金砖四校联考八年级（下）期中数学试卷
一、单选题（每小题4分，共48分）
1．（4分）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
2．（4分）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ）
A．1cm，1cm，cm B．3cm，4mm，5cm
C．1cm，5mm，cm D．7cm，8cm，9cm
3．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．3 B．44 C． D．4
4．（4分）被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式，下列各数与是同类二次根式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（4分）下列说法不正确的是（ ）
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B．一个角是直角的平行四边形是矩形
C．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形
D．对角线相等的四边形是矩形
6．（4分）估计的值应在（ ）
A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间
7．（4分）如图，将边长为4的菱形ABCD纸片折叠，使点A恰好落在对角线的交点O处，若折痕EF＝2，则∠A＝（ ）
A．120° B．100° C．60° D．30°
8．（4分）如图：在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM＝5，则CE2+CF2等于（ ）
A．75 B．100 C．120 D．125
9．（4分）如图，把一张长为4，宽为2的矩形纸片，沿对角线折叠，则重叠部分的面积为（ ）
A．1.5 B．2.5 C．3.5 D．4
10．（4分）如图，在▱ABCD中，AD＝3，CD＝2．连接AC，过点B作BE∥AC，交DC的延长线于点E，连接AE，交BC于点F．若∠AFC＝2∠D，则四边形ABEC的面积为（ ）
A． B．2 C．6 D．2
11．（4分）如图，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，黑、白两个甲壳虫同时从A点出发，以相同的速度分别沿棱向前爬行，黑甲壳虫爬行的路线是：AA1⇒A1D1⇒D1C1⇒C1C⇒CB⇒BA⇒AA1⇒A1D1…，
白甲壳虫爬行的路线是：AB⇒BB1⇒B1C1⇒C1D1⇒D1A1⇒A1A⇒AB⇒BB1…，
那么当黑、白两个甲壳虫各爬行完第2008条棱分别停止在所到的正方体顶点处时，它们之间的距离是（ ）
A．0 B．1 C． D．
12．（4分）如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②∠EAG＝45°；③BG＝GC；④AG∥CF．其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题（每小题4分，共16分）
13．（4分）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，AF＝EC．只需添加一个条件即可证明四边形AECF是菱形，这个条件可以是 （写出一个即可）．
14．（4分）如图，O为数轴原点，A，B两点分别对应﹣3，3，作腰长为4的等腰△ABC，连接OC，以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为 ．
15．（4分）如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的点，BE＝1，F为AB的中点，P为AC上一个动点，则PF+PE的最小值为 ．
16．（4分）四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为4的小正方形EFGH．已知AM为Rt△ABM较长直角边，AM＝2EF，则正方形ABCD的面积为 ．
三、解答题（本大题共9个小题，17，18题各8分，19-25题各10分）
17．（8分）计算：
（1）15；
（2）．
18．（8分）先化简，再求值：（a+1）÷（），其中a＝2．
19．（10分）如图，已知△ABC．
（1）用尺规作图作AB中点E，AC中点F，并连接EF（保留作图痕迹）
（2）证明中位线定理．
20．（10分）某住宅小区中有一块四边形的草地ABCD（如图），小区的物业公司打算对其重新进行绿化．已知∠A＝90°，AB＝40m，BC＝120m，CD＝130m，DA＝30m，你能帮助小区管理部门计算出该草地的面积吗？
21．（10分）如图，D为△ABC的BC边上的一点，AB＝10，AD＝6，DC＝2AD，BDDC．
（1）求BC的长；
（2）求△ABC的面积．
22．（10分）在一次缉私行动中，警方获得可靠消息：一辆走私车将路过一段水平且笔直的公路，但由于车上有威力巨大的爆炸装置，在方圆120m范围内有危险，缉私警察无法靠近．为保证我警员的安全，决定利用远程射击的方法，警方选中一个距离公路120m的高地作为隐蔽处（CD＝120m），当射程为200m时开始射击（BD＝200m）．若走私车与警方隐蔽处的距离为255m时（AD＝255m），警方做好了射击准备．走私车又行驶了多少米后，警方可以对其进行射击？
23．（10分）如图，在等边△ABC中，点D是BC边的中点，以AD为边作等边△ADE．
（1）求∠CAE的度数；
（2）取AB边的中点F，连接CF、CE，试证明四边形AFCE是矩形．
24．（10分）数学阅读：
古希腊数学家海伦曾提出一个利用三角形三边之长求面积的公式：若一个三角形的三边长分别为a、b、c，则这个三角形的面积为S，其中p（a+b+c）．这个公式称为“海伦公式”．
数学应用：
如图1，在△ABC中，已知AB＝9，AC＝8，BC＝7．
（1）请运用海伦公式求△ABC的面积；
（2）设AB边上的高为h1，AC边上的高h2，求h1+h2的值；
（3）如图2，AD、BE为△ABC的两条角平分线，它们的交点为I，求△ABI的面积．
25．（10分）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD是斜边AB上的中线，点E为射线BC上一点，将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点F．
（1）若AB＝a．直接写出CD的长（用含a的代数式表示）；
（2）若DF⊥BC，垂足为G，点F与点D在直线CE的异侧，连接CF，如②，判断四边形ADFC的形状，并说明理由；
（3）若DF⊥AB，直接写出∠BDE的度数．
2021-2022学年重庆市江津北师大附中等金砖四校联考八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（每小题4分，共48分）
1．（4分）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：因为：A、2；C、|x|；D、；
所以这三个选项都不是最简二次根式．
因此符合条件的只有B选项．
故选：B．
2．（4分）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ）
A．1cm，1cm，cm B．3cm，4mm，5cm
C．1cm，5mm，cm D．7cm，8cm，9cm
【解答】解：A、因为12+12≠（）2，所以不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、因为4mm＝0.4cm，32+0.42≠52，所以不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、因为5mmcm，（）2+（）2＝12，所以能组成直角三角形，故本选项符合题意；
D、因为72+82≠92，所以不能组成直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：C．
3．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．3 B．44 C． D．4
【解答】解：A、原式＝2，所以A选项的计算错误；
B、原式＝3，所以B选项的计算错误；
C、原式，所以C选项的计算正确；
D、原式2，所以D选项的计算错误．
故选：C．
4．（4分）被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式，下列各数与是同类二次根式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：，与不是同类二次根式；
，与是同类二次根式；
，与是同类二次根式；
，与不是同类二次根式；
所以与是同类二次根式的有2个．
故选：B．
5．（4分）下列说法不正确的是（ ）
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B．一个角是直角的平行四边形是矩形
C．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形
D．对角线相等的四边形是矩形
【解答】解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形；故原说法正确；
B、一个角是直角的平行四边形是矩形，故原说法正确；
C、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故原说法正确；
D、对角线相等的四边形不一定是矩形，故原说法错误；
故选：D．
6．（4分）估计的值应在（ ）
A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间
【解答】解：23，
∵3，
67，
故选：B．
7．（4分）如图，将边长为4的菱形ABCD纸片折叠，使点A恰好落在对角线的交点O处，若折痕EF＝2，则∠A＝（ ）
A．120° B．100° C．60° D．30°
【解答】解：
连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵A沿EF折叠与O重合，
∴EF⊥AC，EF平分AO，
∵AC⊥BD，
∴EF∥BD，
∴E、F分别为AB、AD的中点，
∴EF为△ABD的中位线，
∴EFBD，
∴BD＝2EF＝4，
∴BO＝2，
∴AO2，
∴AOAB，
∴∠ABO＝30°，
∴∠BAO＝60°，
∴∠BAD＝120°．
故选：A．
8．（4分）如图：在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM＝5，则CE2+CF2等于（ ）
A．75 B．100 C．120 D．125
【解答】解：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ACE∠ACB，∠ACF∠ACD，即∠ECF（∠ACB+∠ACD）＝90°，
∴△EFC为直角三角形，
又∵EF∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ECB＝∠MEC＝∠ECM，∠DCF＝∠CFM＝∠MCF，
∴CM＝EM＝MF＝5，EF＝10，
由勾股定理可知CE2+CF2＝EF2＝100．
故选：B．
9．（4分）如图，把一张长为4，宽为2的矩形纸片，沿对角线折叠，则重叠部分的面积为（ ）
A．1.5 B．2.5 C．3.5 D．4
【解答】解：设BF长为x，则FD＝4﹣x，
∵∠ACB＝∠BCE＝∠CBD，
∴△BCF为等腰三角形，BF＝CF＝x，
在Rt△CDF中，（4﹣x）2+22＝x2，
解得：x＝2.5，
∴BF＝2.5，
∴S△BFCBF×CD2.5×2＝2.5．
即重叠部分面积为2.5．
故选：B．
10．（4分）如图，在▱ABCD中，AD＝3，CD＝2．连接AC，过点B作BE∥AC，交DC的延长线于点E，连接AE，交BC于点F．若∠AFC＝2∠D，则四边形ABEC的面积为（ ）
A． B．2 C．6 D．2
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，∠D＝∠ABC，
∵BE∥AC，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∴FA＝FE，FB＝FC，
∵∠AFC＝2∠D，
∴∠AFC＝2∠ABC，
∵∠AFC＝∠ABF+∠FAB，
∴∠ABF＝∠FAB，
∴FA＝FB，
∴FA＝FE＝FB＝FC，
∴AE＝BC，
∴平行四边形ABEC是矩形，
∴∠BAC＝90°，
在Rt△ABC中，BC＝AD＝3，AB＝CD＝2．
根据勾股定理，得
AC，
∴矩形ABEC的面积为：AB•AC＝22．
故选：B．
11．（4分）如图，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，黑、白两个甲壳虫同时从A点出发，以相同的速度分别沿棱向前爬行，黑甲壳虫爬行的路线是：AA1⇒A1D1⇒D1C1⇒C1C⇒CB⇒BA⇒AA1⇒A1D1…，
白甲壳虫爬行的路线是：AB⇒BB1⇒B1C1⇒C1D1⇒D1A1⇒A1A⇒AB⇒BB1…，
那么当黑、白两个甲壳虫各爬行完第2008条棱分别停止在所到的正方体顶点处时，它们之间的距离是（ ）
A．0 B．1 C． D．
【解答】解：连接CD1，
因为2008÷6＝334…4，所以黑、白两个甲壳虫各爬行完第2008条棱分别停止的点是C和D1，
由于∠CDD1＝90°，
所以根据勾股定理：CD1．
故选：C．
12．（4分）如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②∠EAG＝45°；③BG＝GC；④AG∥CF．其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝DC＝6，∠B＝D＝90°，
∵CD＝3DE，
∴DE＝2，
∵△ADE沿AE折叠得到△AFE，
∴DE＝EF＝2，AD＝AF，∠D＝∠AFE＝∠AFG＝90°，
∴AF＝AB，
∵在Rt△ABG和Rt△AFG中
，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），∴①正确；
∵Rt△ABG≌Rt△AFG，
∴BG＝FG，∠AGB＝∠AGF，
设BG＝x，则CG＝BC﹣BG＝6﹣x，GE＝GF+EF＝BG+DE＝x+2，
在Rt△ECG中，由勾股定理得：CG2+CE2＝EG2，
∵CG＝6﹣x，CE＝4，EG＝x+2
∴（6﹣x）2+42＝（x+2）2
解得：x＝3，
∴BG＝GF＝CG＝3，∴③正确；
∵CG＝GF，
∴∠CFG＝∠FCG，
∵∠BGF＝∠CFG+∠FCG，
又∵∠BGF＝∠AGB+∠AGF，
∴∠CFG+∠FCG＝∠AGB+∠AGF，
∵∠AGB＝∠AGF，∠CFG＝∠FCG，
∴∠AGB＝∠FCG
∴AG∥CF，∴④正确；
∵△ADE沿AE折叠得到△AFE，
∴△DAE≌△FAE，
∴∠DAE＝∠FAE，
∵△ABG≌△AFG，
∴∠BAG＝∠FAG，
∵∠BAD＝90°，
∴∠EAG＝∠EAF+∠GAF90°＝45°，∴②正确；
故选：A．
二、填空题（每小题4分，共16分）
13．（4分）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，AF＝EC．只需添加一个条件即可证明四边形AECF是菱形，这个条件可以是 AE＝AF （写出一个即可）．
【解答】解：这个条件可以是AE＝AF，
理由：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
即AF∥CE，
∵AF＝EC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AE＝AF，
∴四边形AECF是菱形，
故答案为：AE＝AF．
14．（4分）如图，O为数轴原点，A，B两点分别对应﹣3，3，作腰长为4的等腰△ABC，连接OC，以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为 ．
【解答】解：∵△ABC为等腰三角形，OA＝OB＝3，
∴OC⊥AB，
在Rt△OBC中，OC，
∵以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，
∴OM＝OC，
∴点M对应的数为．
故答案为．
15．（4分）如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的点，BE＝1，F为AB的中点，P为AC上一个动点，则PF+PE的最小值为 ．
【解答】解：作E关于直线AC的对称点E′，连接E′F，过F作FG⊥CD于G，则
CE＝CE'＝3，CG＝BF＝2，PE＝PE'，
在Rt△E′FG中，GE′＝CD﹣BE﹣BF＝4﹣1﹣2＝1，GF＝4，
所以E′F，
即PF+PE的最小值为．
故答案为：．
16．（4分）四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为4的小正方形EFGH．已知AM为Rt△ABM较长直角边，AM＝2EF，则正方形ABCD的面积为 36 ．
【解答】解：设AM＝2a．BM＝b．则正方形ABCD的面积＝4a2+b2
由题意可知EF＝（2a﹣b）﹣2（a﹣b）＝2a﹣b﹣2a+2b＝b，
∵AM＝2EF，
∴2a＝2b，
∴ab，
∵正方形EFGH的面积为4，
∴b2＝4，
∴正方形ABCD的面积＝4a2+b2＝9b2＝36，
故答案为：36
三、解答题（本大题共9个小题，17，18题各8分，19-25题各10分）
17．（8分）计算：
（1）15；
（2）．
【解答】解：（1）15
＝3154
＝35
；
（2）
＝1+23+1﹣24
＝3．
18．（8分）先化简，再求值：（a+1）÷（），其中a＝2．
【解答】解：原式＝（）÷[]
•
＝a（a﹣2）
＝a2﹣2a，
当a＝2时，
原式＝（2）2﹣2（2）
＝4﹣43﹣4+2
＝3﹣2．
19．（10分）如图，已知△ABC．
（1）用尺规作图作AB中点E，AC中点F，并连接EF（保留作图痕迹）
（2）证明中位线定理．
【解答】（1）解：如图，线段EF即为所求作；
（2）已知：△ABC中，点E、F分别是AB、AC的中点，
求证：EFAB，EF∥AB，
证明：如图，延长EF到D，使FD＝EF，连接CD，
∵点F是AC的中点，
∴AF＝CF，
在△AEF和△CDF中，
，
∴△AEF≌△CDF（SAS），
∴AE＝CD，∠D＝∠AEF，
∴AB∥CD，
∵点E是AB的中点，
∴AE＝BE，
∴BE＝CD，
∴BECD，
∴四边形BCDE是平行四边形，
∴DE∥BC，DE＝BC，
∴DE∥BC且DEBC．
20．（10分）某住宅小区中有一块四边形的草地ABCD（如图），小区的物业公司打算对其重新进行绿化．已知∠A＝90°，AB＝40m，BC＝120m，CD＝130m，DA＝30m，你能帮助小区管理部门计算出该草地的面积吗？
【解答】解：如图所示，连接BD．
在直角三角形ABD中，由勾股定理可得BD50（m）．
在三角形BDC中，BD＝50（m），DC＝130（m），BC＝120（m），
∵BD2+BC2＝DC2，
∴∠DBC＝90°，
∴草地面积＝S△ABD+S△BDC
＝3600（m2）．
21．（10分）如图，D为△ABC的BC边上的一点，AB＝10，AD＝6，DC＝2AD，BDDC．
（1）求BC的长；
（2）求△ABC的面积．
【解答】解：（1）∵AD＝6，DC＝2AD，
∴DC＝12，
∵BDDC，
∴BD＝8，
BC＝BD+DC＝8+12＝20；
（2）在△ABD中，AB＝10，AD＝6，BD＝8，
∵AB2＝AD2+BD2，
∴△ABD为直角三角形，即AD⊥BC，
∵BC＝BD+DC＝8+12＝20，AD＝6，
∴S△ABC20×6＝60．
22．（10分）在一次缉私行动中，警方获得可靠消息：一辆走私车将路过一段水平且笔直的公路，但由于车上有威力巨大的爆炸装置，在方圆120m范围内有危险，缉私警察无法靠近．为保证我警员的安全，决定利用远程射击的方法，警方选中一个距离公路120m的高地作为隐蔽处（CD＝120m），当射程为200m时开始射击（BD＝200m）．若走私车与警方隐蔽处的距离为255m时（AD＝255m），警方做好了射击准备．走私车又行驶了多少米后，警方可以对其进行射击？
【解答】解：如图，根据射击有效距离可知，从B处可以进行射击．所以从A到B就是射击的准备距离．
∵∠ACD＝90°，DC＝120m，BD＝200 m，AD＝255m，
∴BC160（m）
AC225（m）
∴AB＝225﹣160＝65（m）．
答：走私车又行驶了65米后，警方可以对其进行射击．
23．（10分）如图，在等边△ABC中，点D是BC边的中点，以AD为边作等边△ADE．
（1）求∠CAE的度数；
（2）取AB边的中点F，连接CF、CE，试证明四边形AFCE是矩形．
【解答】（1）解：∵△ABC是等边三角形，且D是BC中点，
∴DA平分∠BAC，即∠DAB＝∠DAC＝30°；
∵△DAE是等边三角形，
∴∠DAE＝60°；
∴∠CAE＝∠DAE﹣∠CAD＝30°；
（2）证明：∵△BAC是等边三角形，F是AB中点，
∴CF⊥AB；
∴∠BFC＝90°
由（1）知：∠CAE＝30°，∠BAC＝60°；
∴∠FAE＝90°；
∴AE∥CF；
∵△BAC是等边三角形，且AD、CF分别是BC、AB边的中线，
∴AD＝CF；
又AD＝AE，∴CF＝AE；
∴四边形AFCE是平行四边形；
∵∠AFC＝∠FAE＝90°，
∴四边形AFCE是矩形．
24．（10分）数学阅读：
古希腊数学家海伦曾提出一个利用三角形三边之长求面积的公式：若一个三角形的三边长分别为a、b、c，则这个三角形的面积为S，其中p（a+b+c）．这个公式称为“海伦公式”．
数学应用：
如图1，在△ABC中，已知AB＝9，AC＝8，BC＝7．
（1）请运用海伦公式求△ABC的面积；
（2）设AB边上的高为h1，AC边上的高h2，求h1+h2的值；
（3）如图2，AD、BE为△ABC的两条角平分线，它们的交点为I，求△ABI的面积．
【解答】解：（1）∵AB＝9，AC＝8，BC＝7，
∴p（a+b+c）（9+8+7）＝12，
∴S12；
答：△ABC面积是12；
（2）∵S△ABCAC•h2AB•h1＝12，
∴h23，h1，
∴h1+h2＝3；
（3）如图，过点I作IF⊥AB、IG⊥AC、IH⊥BC，垂足分别为点F、G、H，
∵AD、BE分别为△ABC的角平分线，
∴IF＝IH＝IG，
∵S△ABC＝S△ABI+S△ACI+S△BCI，
∴（9•IF+8•IF+7•IF）＝12，解得IF，
故S△ABIAB•FI．
25．（10分）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD是斜边AB上的中线，点E为射线BC上一点，将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点F．
（1）若AB＝a．直接写出CD的长（用含a的代数式表示）；
（2）若DF⊥BC，垂足为G，点F与点D在直线CE的异侧，连接CF，如②，判断四边形ADFC的形状，并说明理由；
（3）若DF⊥AB，直接写出∠BDE的度数．
【解答】解：（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∵CD是斜边AB上的中线，AB＝a，
∴CDABa．
（2）四边形ADFC是菱形．
理由如下：
如图②∵DF⊥BC于点G，
∴∠DGB＝∠ACB＝90°，
∴DF∥AC；
由折叠得，DF＝DB，
∵DBAB，
∴DFAB；
∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，
∴∠B＝90°﹣60°＝30°，
∴ACAB，
∴DF＝AC，
∴四边形ADFC是平行四边形；
∵ADAB，
∴AD＝DF，
∴四边形ADFC是菱形．
（3）如图③，点F与点D在直线CE异侧，
∵DF⊥AB，
∴∠BDF＝90°；
由折叠得，∠BDE＝∠FDE，
∴∠BDE＝∠FDE∠BDF90°＝45°；
如图④，点F与点D在直线CE同侧，
∵DF⊥AB，
∴∠BDF＝90°，
∴∠BDE+∠FDE＝360°﹣90°＝270°，
由折叠得，∠BDE＝∠FDE，
∴∠BDE+∠BDE＝270°，
∴∠BDE＝135°．
综上所述，∠BDE＝45°或∠BDE＝135°．
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