北京市海淀区师达中学2021-2022学年八年级下学期期中数学试题-

这是一份北京市海淀区师达中学2021-2022学年八年级下学期期中数学试题-，共27页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上，在中，，则的度数为，如图，中，等内容，欢迎下载使用。

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北京市海淀区师达中学2021-2022学年八年级下学期期中数学试题
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
题号
一
二
三
总分
得分




注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人
得分



一、单选题
1．下列二次根式中，最简二次根式是（       ）
A． B． C． D．
2．计算的结果为（       ）
A．2 B．4 C． D．
3．以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（       ）
A．2，3，4 B．，2 C．6，8，10 D．1，
4．如图，数轴上点A表示的数为1，，且．以原点O为圆心，为半径画弧．交数轴的负半轴于点C，则点C所表示的数为（       ）

A． B． C． D．
5．在中，，则的度数为（       ）
A． B． C． D．
6．如图，等边的边长为6，于点D，则AD的长为（       ）

A．3 B．6 C． D．
7．如图，长方形内，两个小正方形的面积分别是18，2，则图中阴影部分的面积为（       ）


A．4 B．9 C．6 D．
8．如图，在中，的平分线交于点E，则的长为（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4
9．如图，四边形中，E、F分别是边的中点，G、H分别是对角线的中点，若，则线段的长是（       ）

A．3 B．4 C．6 D．12
10．如图，中，．沿着中线将剪开得到两个直角三角形，然后再将这两个直角三角形拼成一个平行四边形（无缝隙不重叠），则所拼成的平行四边形的周长不可能是（       ）

A．12 B．14 C．16 D．18
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分



二、填空题
11．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．
12．用一组m，n的值说明命题“如果，那么”是假命题，这组值可以是______，____．
13．如图，平面直角坐标系中，的顶点A，B，C在坐标轴上，，点D在第一象限，则点D的坐标是_____．

14．图1中的直角三角形斜边长为4，将四个图1中的直角三角形分别拼成如图2所示的正方形，其中阴影部分的面积分别记为，则的值为_____．

15．《九章算术》中有“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：有一根竹子原来高1丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？如图，设折断处距离地面x尺，根据题意，可列方程为______．

16．已知，计算代数式的值为______．
17．如图，的对角线交于点O．点M，N，P，Q分别是四条边上不重合的点．下列条件能判定四边形是平行四边形的有_____（填序号）．
①；②均经过点O：③经过点O，．

18．如图，在平面直角坐标系中，点，点是x轴上的一个动点．

（1）用含x的式子表示线段的长是_____；
（2）结合图形，判断式子的最小值是____．
评卷人
得分



三、解答题
19．计算：
(1)；
(2)．
20．下面是小慧设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．

已知：如图1，直线l及直线l外一点P．求作：直线，使得．作法：如图2
①在直线l上取一点A，作射线，以点A为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点B；
②在直线l上取一点C（不与点A重合），作射线，以点C为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点Q；
③作直线．所以即为所求作的直线．
根据小慧设计的尺规作图过程
(1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
(2)完成下面的证明．
证明：∵________；_______
∴（____________）（填推理的依据）．
21．如图，在中，点，分别在，上，且．
求证：．

22．如图，在正方形网格中，每个小方格的顶点叫做格点，设每个小正方形的边长为1．以格点为顶点分别按下列要求画图．

(1)在图1中，画一个直角，使它的斜边长为，
(2)在图2中，画一个等腰，使它的底边长为，腰长为5；
(3)在图3中，画一个等腰直角，使它斜边长为．
23．如图，四边形中，，，，，求的度数．

24．我们规定用表示一对数对，给出如下定义：记（其中），将与称为数对的一对“和谐数对”．例如：的一对“和谐数对”为和．
(1)数对的一对“和谐数对”是________；
(2)若数对的一对“和谐数对”相同，则m的值为______；
(3)若数对的一个“和谐数对”是，则的值为________．
25．如图，点E，F是对角线上的两点，且．

(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)若．
①线段长为____________；
②四边形的面积为_______．
26．阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，在中，分别交于，交于．已知，，，求的值．
小明发现，过点作，交延长线于点，构造，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．

（1）请按照上述思路完成小明遇到的这个问题
（2）参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，已知和矩形，与交于点，，求的度数．
27．在中，为边上的中线，点E在边上（不与点D重合），若，那么线段的中点P称为关于的“斜等点”（如图1所示）．在平面直角坐标系中，的顶点A与原点O重合，点B的坐标为，点C在x轴上方．

(1)当时，若存在关于的“斜等点”点P，
①下列各点中，符合题意的点C可能是________（不必写出坐标）．
．
②设关于的“斜等点”P的坐标为，若，则m的取值范围是______，n的取值范围是：_________．
(2)若关于的“斜等点”P为定点，直接写出t的取值范围．

参考答案：
1．B
【解析】
【分析】
根据最简二次根式的概念判断即可．
【详解】
解：A、，故不是最简二次根式，不符合题意；
B、是最简二次根式，符合题意；
C、，故不是最简二次根式，不符合题意；
D、=，故不是最简二次根式，不符合题意；
故选B．
【点睛】
本题考查的是最简二次根式的概念，掌握被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式是最简二次根式是解题的关键．
2．A
【解析】
【分析】
直接根据二次根式的性质求解即可．
【详解】
解：，
故选A．
【点睛】
此题主要考查了二次根式的性质，熟练掌握是解答此题的关键．
3．C
【解析】
【分析】
根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一判断即可．
【详解】
解：A、由于22+32≠42，不能构成直角三角形，故本选项不合题意；
B、由于，不能构成直角三角形，故本选项不合题意；
C、由于，能构成直角三角形，故本选项正确；
D、由于，不能构成直角三角形，故本选项不合题意．
故选择：C．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
4．D
【解析】
【分析】
根据勾股定理求得的长，然后根据圆的性质即可求解，进而即可判断．
【详解】
解：由已知得，
∵，且，
∴在中，，
∵以原点为圆心，为半径画弧，交数轴负半轴于点，
∴，
∴点所表示的数为；
故选D．
【点睛】
本题考查了勾股定理和等腰直角三角形的性质，关键是求出的值，然后根据圆的性质即可求解．
5．B
【解析】
【分析】
由平行四边形的性质可得再结合计算即可解答．
【详解】
解：如图，

∵在中，，



故选：．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的邻角互补是解题的关键．
6．D
【解析】
【分析】
根据等边三角形的性质求出CD，再根据勾股定理求出AD即可．
【详解】
∵等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的高，
∴∠ADC＝90°，BD＝CD＝BC＝3，
由勾股定理得：，
故选D．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质和勾股定理，能根据等边三角形的性质求出CD的长是解此题的关键．
7．A
【解析】
【分析】
由两个小正方形的面积分别为18、2，得出其边长分别为和，则阴影部分的长等于（﹣），宽等于的长方形，从而可得答案．
【详解】
面积为18的正方形的边长为：，面积为2的正方形的边长为：，
则阴影部分面积为：×＝4，
故选：A．
【点睛】
本题考查了二次根式在面积计算中的应用，本题属于基础题，难度不大．
8．B
【解析】
【分析】
由在▱ABCD中，∠ADC的平分线交BC于点E，易证得△CDE是等腰三角形，继而求得答案．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，CD＝AB＝6，BC＝AD＝8，
∴∠CED＝∠ADE．
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∴∠CED＝∠CDE，
∴CE＝CD＝6，
∴BE＝BC﹣CE＝8−6=2．
故选B．
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质．注意证得△CDE是等腰三角形是解此题的关键．
9．C
【解析】
【分析】
由中位线性质可证明，由此即可解题．
【详解】
解：E、F分别是边的中点，G、H分别是对角线的中点，
∴，.
又∵，
∴，
故选C．
【点睛】
本题主要考查了三角形中位线性质，掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半是解题关键．
10．A
【解析】
【分析】
利用勾股定理求出AD的长度，再分以AD、BD、AC为新组合成的平行四边形的对角线来分三种情况讨论，即可得到答案．
【详解】
由图可知BD=DC=BC=3，
在直角△ABD中利用勾股定理，可得AD=4，
当AD为平行四边形对角线时，四边形的周长为：(5+3)×2=16；
当AB为平行四边形对角线时，四边形的周长为：(4+3)×2=14；
当BD为平行四边形对角线时，四边形的周长为：(5+4)×2=18；
则新平行四边形的周长可能为：16、14或者18，
故选：A．
【点睛】
本题考查了勾股定理、平行四边形的性质和轴对称的知识，结合一定的空间想象力对新构成的平行四边形的情况进行分类讨论是解答本题的关键．
11．x≥-2
【解析】
【分析】
根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，列不等式求解即可．
【详解】
由题意可知x+2≥0，
∴x≥-2．
故答案为：x≥-2．
【点睛】
此题主要考查了二次根式有意义的条件，明确被开方数为非负数是解题关键．
12．     3（答案不唯一）     -3（答案不唯一）
【解析】
【分析】
通过m、n所取得的数互为相反数，则有，但，即可证明命题为假命题．
【详解】
当m、n所取得的数互为相反数时，则有，但，
例如m=3，n=-3，满足，但是m=-n，故命题是假命题，
故答案为：3，-3（答案不唯一）．
【点睛】
本题考查了命题与定理：命题的“真”、“假”是就命题的内容而言，任何一个命题非真即假，判断一个命题是假只需要举出一个反例即可．
13．
【解析】
【分析】
根据直角三角形的性质求的长，根据等腰三角形的性质得BC长，再利用平行四边形的性质得出点的坐标即可．
【详解】
解：，，，
，，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，
∴，
故答案为：．
【点睛】
此题考查菱形的性质，关键是根据勾股定理得出点A坐标，再由平行四边形性质求得点D坐标．
14．16
【解析】
【分析】
根据题意设直角三角形较长的直角边长为，较短的直角边长为，根据勾股定理可得，根据图形面积可得，即可求得答案．
【详解】
解：设直角三角形较长的直角边长为，较短的直角边长为，
∴


故答案为：
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．
15．
【解析】
【分析】
根据勾股定理即可得出结论．
【详解】
解：设未折断的竹干长为尺，

根据题意可列方程为：．
故答案为：．
【点睛】
本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
16．23
【解析】
【分析】
根据完全平方公式因式分解，然后将代入求解即可．
【详解】
解：∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了因式分解，二次根式的混合运算，代数式求值，将代数式因式分解是解题的关键．
17．①②##②①
【解析】
【分析】
①根据平行四边形的性质结合已知条件，证明，，可得，，根据两组对边相等的四边形是平行四边形，即可判断①，②根据平行四边形是中心对称图形，即可判断②，根据已知条件不能判断③．
【详解】
解：∵四边形是平行四边形
，,
①
∴
∴


又


四边形是平行四边形
故①正确
②四边形的对角线交于点,均经过点O：

四边形是平行四边形
故②正确
③经过点O，，的位置未知，不能判断四边形是平行四边形
故③不正确
故答案为：①②
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质与判定，掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键．
18．          5
【解析】
【分析】
（1）直接根据坐标系中两点之间的距离公式计算即可；
（2）根据题意得出求PA+PB的最小值，作点B关于x轴的对称点B’，连接AB’与x轴交于点P’，此时PA+PB取得最小值，利用坐标系中两点之间的距离公式求解即可得出结果．
【详解】
解：（1），
故答案为：；
（2）由题意可得：，即为求PA+PB的最小值，
作点B关于x轴的对称点B’，连接AB’与x轴交于点P’，此时PA+PB取得最小值，如图所示：

PA+PB=AB’=，
即的最小值为5，
故答案为：5．
【点睛】
题目主要考查距离最短问题、坐标系中两点之间的距离及轴对称的性质等，理解题意，作出相应图形求解是解题关键．
19．(1)
(2)4
【解析】
【分析】
（1）根据二次根式的性质把各个二次根式化简，合并同类二次根式得到答案，
（2）利用平方差计算即可．
(1)
解：

．
(2)



．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算、平方差公式的应用，掌握二次根式的混合运算法则、平方差公式是解题的关键．
20．(1)图形见详解
(2)AP，CQ，三角形中位线定理
【解析】
【分析】
（1）根据要求画出图形．
（2）利用三角形的中位线定理证明即可．
(1)
作图如下：
直线PQ即为所求，

(2)
证明：∵AB=AP，CB=CQ，
∴（三角形中位线定理），
故答案为：AP，CQ，三角形中位线定理．
【点睛】
考查尺规作图，三角形中位线定理，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键．
21．证明见解析．
【解析】
【分析】
利用平行四边形的性质得出，，进而求出，然后利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得出结论．
【详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，即．
∴四边形是平行四边形．
∴．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定与性质，得出是解题的关键．
22．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【解析】
【分析】
（1）根据在网格上构图即可；
（2）由、在网格上构图即可；
（3）由、在网格上构图即可；
(1)
解：如图1，，，，

(2)
如图2，，，
(3)
如图3，，，，
【点睛】
本题考查作图一应用与设计，无理数、勾股定理、勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是利用网格的特点由勾股定理构造无理数的线段长，属于中考常考题型．
23．
【解析】
【分析】
由于，，利用勾股定理可求得AC，并可求，而，，易得，可证是直角三角形，于是有，从而求出结果．
【详解】
解：连接AC，


∵，，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题主要是勾股定理及其逆定理的应用，作辅助线构造直角三角形是必要一步．
24．(1)与
(2)
(3)或2
【解析】
【分析】
（1）根据新定义即可得出结论；
（2）根据新定义，列方程，解方程进而得出结论；
（3）根据新定义，列方程组，解出进而得出结论．
(1)
解：∵
∴数对的一对“和谐数对”是与；
故答案为：与
(2)
∵数对（3，m）的一对“和谐数对”相同，
∴
，
故答案为：；
(3)
数对的一个“和谐数对”是，
或
或
或
故答案为：或2
【点睛】
此题主要考查了新定义，解方程组，解方程，二次根式的混合运算，理解和应用新定义是解本题的关键．
25．(1)证明见解析
(2)①2；②．
【解析】
【分析】
（1）利用平行四边形性质证明，进而可得， ，由一组对边平行且相等得四边形是平行四边形即可得出结论．
（2）①由勾股定理可求，根据即可计算出EF长；②由，可得，求出，由四边形的面积为的两倍即可解题．
(1)
证明：∵，
∴，即，
∵在中，，，
∴，
在和中


∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形；
(2)
解：①∵，，
∴，
∵，，
∴；
②∵，，，
∴，
又∵，，
∴，
∵．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的判定和性质和勾股定理的应用，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键．
26．（1）见解析，；（2）60°.
【解析】
【分析】
（1）由DE∥BC，EF∥DC，可证得四边形DCFE是平行四边形，即可得EF=CD=3，CF=DE，即可得BC+DE=BF，然后利用勾股定理，求得BC+DE的值；
（2）首先连接AE，CE，由四边形ABCD是平行四边形，四边形ABEF是矩形，易证得四边形DCEF是平行四边形，继而证得△ACE是等边三角形，则可求得答案．
【详解】
解：（1）∵DE∥BC，EF∥DC，
∴四边形DCFE是平行四边形，
∴EF=CD=3，CF=DE，
∵CD⊥BE，
∴EF⊥BE，
∴BC+DE=BC+CF=BF=，
故答案为：.
（2）连接AE，CE，如图3．

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB=DC
∵四边形ABEF是矩形，
∴AB∥FE，AB=EF，BF=AE．
∴DC∥FE，DC=EF，
∴四边形DCEF是平行四边形．
∴CE//DF，CE=DF．
∵AC=BF=DF，
∴AC=AE=CE．
∴△ACE是等边三角形． 
∴∠ACE=60°．
∵CE∥DF，
∴∠AGF=∠ACE=60°．
【点睛】
此题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理．注意掌握辅助线的作法．
27．(1)①、；②且，；
(2)且．
【解析】
【分析】
（1）①为边上的中线，线段的中点P始终存在，只要根据“斜等点”的定义，分别根据点C的位置判断点E位置是否满足定义即可；
②根据点E坐标点C的横坐标范围，根据勾股定理确定CE长，即可确定点C的纵坐标范围，结合坐标中点公式列不等式即可解题；
（2）由点P是线段的中点，由坐标中点公式列不等式即可解题
(1)
解：如图，当时，点B的坐标为，

∵为边上的中线，即点D为AB的中点，
∴点D坐标为（2，0），
①故当时，∵，∴点E坐标为（-3，0），此时点E不在AB边上，故不存在关于的“斜等点”点P，
故当时，∵，∴点E坐标为（0，0），此时点E与点A重合，此时存在关于的“斜等点”点P，
当时，∵，∴点E坐标为（2，0），此时点E与点D重合，不合题意，故不存在关于的“斜等点”点P，
当时，∵，∴点E坐标为（4，0），此时点E与点B重合，此时存在关于的“斜等点”点P，
综上所述：符合题意的点C可能是，，
故答案为：、
②设点C坐标为（x，y），由“斜等点”的定义可知，当点C和点E的横坐标的取值范围为且 ，，
∵，， 若， 则，即，即点C的纵坐标的取值范围为，
∵点P是线段的中点，∴，，
∴且，即且；
，即，
故答案为：且，；
(2)
由定义可知点D坐标为（t，0），设点C坐标为（x，y），且，
∵关于的“斜等点”P为定点，
∴，即，
∴且解得：且．
【点睛】
本题主要考查了坐标与图形，解题关键是理解“斜等点”的定义，根据坐标中点公式列不等式解题．