江西省赣州市2022届高三二模数学（理）试题c

绝密★启用前

江西省赣州市2022届高三二模数学（理）试题

试卷副标题

考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

请点击修改第I卷的文字说明

1．复数满足，则（       ）

A． B． C． D．

2．集合，，则（       ）

A． B．

C． D．

3．一组数据按从小到大排列为2，3，3，x，7，10，若这组数据的平均数是中位数的倍，则下列说法错误的是（       ）

A． B．众数为3 C．中位数为4 D．方差为

4．设为正六边形的中心，在O，A，B，C，D，E，F中任取三点，则取到的三点构成等边三角形的概率为（       ）

A． B． C． D．

5．展开式中的系数为（       ）

A．-260 B．-60 C．60 D．260

6．当函数取得最大值时，

A． B． C． D．

7．在等差数列和等比数列中，有，且，则下列关系式中正确的是（       ）

A． B． C． D．

8．已知函数的图象的一部分如下左图，则如下右图的函数图象所对应的函数解析式（       ）

A． B．

C． D．

9．设、是双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上一点，若，点到直线的距离为，则双曲线的离心率为（       ）

A． B． C． D．

10．已知圆C的方程为，若直线上存在一点P，使过点P所作圆C的两条切线互相垂直，则实数k的值可以为（       ）

A．-3 B．-2 C．3 D．4

11．已知，，，则，，的大小关系为（       ）

A． B． C． D．

12．在四棱锥中，面，底面为正方形，且，过点A作的垂面分别交，，于点E，F，G，则四边形的面积为（       ）

A． B． C． D．

第II卷（非选择题）

请点击修改第II卷的文字说明

13．已知向量，，则向量与的夹角为__________．

14．已知、满足，则的取值范围是__________．

15．已知过点的直线与抛物线交于不同的A，B两点，以A，B为切点的两条切线交于点N，若，则p的值为__________．

16．“蛇形数阵”是指将从1开始到的若干个连续的自然数按顺序顺时针排列在正方形数阵中，如图分别是3×3与4×4的蛇形数阵，在一个11×11的蛇形数阵，则该数阵的第6行第5列的数为__________．

17．某公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付．某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用x表示活动推出的天数，y表示每天使用扫码支付的人次，统计数据如下表所示：

根据以上数据，绘制了如图所示的散点图．

(1)根据散点图，判断在推广期内，与（c，d均为大于零的常数）哪一个适宜作为扫码支付的人次y关于活动推出天数x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；

(2)根据（1）的判断结果及题干中表格内的数据，建立y关于x的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次．

参考数据：

其中，．

参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．

18．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，点D，E满足，．

(1)求的大小；

(2)若，，求b，c．

19．如图，四边形为直角梯形，，，其中，沿将面折叠，使得三棱锥的体积为4．

(1)求证：平面平面；

(2)求二面角的余弦值．

20．已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上．

(1)求椭圆C的方程；

(2)若椭圆C的右顶点为B，直线l过定点，且交椭圆于P，Q两点（异于点B），试探究直线与的斜率的乘积是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．

21．已知函数．

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)若对于一切，恒有成立，求实数a的取值范围．

22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)求曲线与曲线的极坐标方程；

(2)曲线与曲线交于，两点．求的值．

23．不等式对于恒成立．

(1)求证：；

(2)求证：

参考答案：

1．B

【解析】

【分析】

利用复数的除法化简可得复数，利用共轭复数的定义可求得结果.

【详解】

由已知可得，因此，.

故选：B.

2．B

【解析】

【分析】

求出集合、，利用补集的定义可求得结果.

【详解】

因为，

或，

因此，.

故选：B.

3．D

【解析】

【分析】

先求出，再根据定义或方差的计算公式逐项判断后可得正确的选项.

【详解】

这组数据的平均数为，而中位数为，

故，解得，故A正确，

此时该组数据的众数为3，故B正确，

而中位数为，故C正确，

方差为，

故D错误，

故选：D.

4．C

【解析】

【分析】

首先求出基本事件总数，再列出使三点为等边三角形的情况，最后利用古典概型的概率公式计算可得；

【详解】

解：从O，A，B，C，D，E，F中任取三点有种取法；

要使三点组成的三角形为等边三角形，

若取点则有种情况（、、、、、）；

若不取点则有种情况（、）；

故取到的三点构成等边三角形的概率

故选：C

5．A

【解析】

【分析】

利用二项式定理直接展开.

【详解】

展开式的通项公式为.

要求的系数，只需.

故选：A

6．D

【解析】

用辅助角法将原函数转化为ysin（φ﹣（其中tanφ）．再应用整体思想求解．

【详解】

解：y＝2cos﹣3sinsin（φ﹣）（其中tanφ）．

y有最大值时，应sin（φ﹣）＝1⇒φ﹣＝2kπ⇒﹣＝2kπφ．

∴tan＝﹣tan（﹣）＝﹣tan（2kπφ）＝﹣cotφ．

故答案为D

【点睛】

本题主要考查在三角函数中用辅助角法将一般的函数转化为一个角的一种三角函数，用整体思想来应用三角函数的性质解题．

7．B

【解析】

【分析】

利用基本不等式可判断两者的大小.

【详解】

设等比数列的公比为，则，故，

因为为等差数列，故，

因为为等差数列，故，故，

结合题设条件有，由基本不等式可得，

故，而，故，

故选：B.

8．C

【解析】

【分析】

分三步进行图像变换①关于y轴对称②向右平移1个单位③纵坐标不变，横坐标变为原来的一半

【详解】

①关于y轴对称②向右平移1个单位③纵坐标不变，横坐标变为原来的一半

故选：C.

9．C

【解析】

【分析】

取的中点，连接，可求得、，利用勾股定理可得出关于、的齐次方程，即可解得双曲线的离心率的值.

【详解】

取的中点，连接，如下图所示：

由题意可得，所以，，则，

由双曲线的定义可得，则，故，

由勾股定理可得，即，

整理可得，所以，，因此，双曲线的离心率为.

故选：C.

10．B

【解析】

【分析】

根据设两个切点分别为A、B，根据四边形为正方形结合点到直线的距离关系求解即可

【详解】

设两个切点分别为A、B，则四边形为正方形，，

则C到直线的距离，所以，只有B符合条件

故选：B

11．D

【解析】

【分析】

构造函数，令，利用导数讨论其单调性，进而可求解

【详解】

令，则，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

当时，取得极大值，则，，

故．

故选：D

12．B

【解析】

【分析】

将四棱锥补成正方体，在等边三角形中可求出结果.

【详解】

根据题目中的条件可将四棱锥补成正方体，

因为平面，所以，又因为，，

所以平面，所以，同理，

因为，所以平面，则为的中点，为的中点，

因为，且平面，所以为正三角形的中心，

如图：

，，

所以，

，

所以．

故选：B

13．##

【解析】

【分析】

首先求出，再根据夹角公式求出，即可得解；

【详解】

解：因为，，所以，

所以，，，所以，

因为，所以；

故答案为：

14．

【解析】

【分析】

作出不等式组所表示的可行域，分析可得，分析可知代数式的几何意义是可行域内一点与定点连线的斜率，找出使得直线的倾斜角最大和最小时对应的最优解，代入目标函数即可得出的取值范围.

【详解】

作出不等式组所表示的可行域如下图所示：

，代数式的几何意义是可行域内一点与定点连线的斜率，

联立可得，即点，

联立可得，即点，

当点在可行域内运动时，直线的倾斜角为锐角，

当点与点重合时，直线的倾斜角最小，此时取最小值，即；

当点与点重合时，直线的倾斜角最大，此时取最大值，即.

综上所述，的取值范围是.

故答案为：.

15．2

【解析】

【分析】

设,设直线AB的方程为，利用“设而不求法”得到.

利用导数求出两条切线斜率为和，得到,即可求出p=2.

【详解】

设,且设直线AB的方程为,代入抛物线的方程得,则.

又,得,则，所以两条切线斜率分别为和.由,知,则,所以,即p=2.

故答案为：2

16．120

【解析】

【分析】

分析可得11×11的蛇形数阵正中间的数为，再根据数阵的数字循环方向可得

【详解】

根据3×3的蛇形数阵可知，当为奇数时，“蛇形数阵”的正中间数为，故11×11的蛇形数阵正中间数为，且为第6行第6列，又观察3×3的蛇形数阵可得11×11的蛇形数阵第6行第5列的数比第6行第6列小1，为120

故答案为：120

17．(1)适宜

(2)，活动推出第8天使用扫码支付的人次为347

【解析】

【分析】

（1）根据散点图判断即可；

（2）对两边同时取常用对数，得，进而转化为线性关系，再根据已知数据计算回归方程，并代入数据检验即可.

(1)

解：根据散点图判断，适宜作为扫码支付的人次y关于活动推出天数x的回归方程类型

(2)

解：因为，所以两边同时取常用对数，得．

设，，则

因为，，

所以．

所以

所以

故

把代入上式，得

所以y关于x的回归方程为，

活动推出第8天使用扫码支付的人次为347．

18．(1)

(2)，

【解析】

【分析】

（1）根据正弦定理，把边转化成只含角的式子，消去C，进而求得，．

（2）根据边的关系，可由余弦定理建立两个含的式子，联立即可解出.

(1)

由，由正弦定理知：．

再由内角和定理得：．

所以，因为，所以

所以，因为

所以．

(2)

如下图，由余弦定理知：．①

由题可知，，②

由①②得

化简得

解得：．③

再将③代入①解得：，．

19．(1)证明见解析；

(2).

【解析】

【分析】

（1）取的中点E，连接，作交于点F．利用体积可得出平面，根据面面垂直的判定定理可得平面平面；

（2）以点F为坐标原点，，，分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系．利用空间向量可求出结果.

(1)

取的中点E，连接，作交于点F．

则，且，

故，，

故的面积，记点B到面的距离为h，

由，

即，所以平面，

又面，所以平面平面．

(2)

取的中点G，连接，易知，，两两垂直，故以点F为坐标原点，

，，分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系．

从而有：，，，，

设平面的法向量为，

因为，，

所以，取，，，

从而平面的一个法向量为，

设平面的法向量为，结合，，

所以，取，，．

从而平面的一个法向量为，

则，

由题意知二面角为钝角，故二面角的余弦值为．

20．(1)

(2)是，定值为

【解析】

【分析】

（1）依题意得到方程组，解得、、，即可求出椭圆方程；

（2）设直线l的方程为，设，，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，即可得到整理计算可得.

(1)

解：依题意可得，解得，

所以椭圆C的方程为．

(2)

解：设直线l的方程为，设，．

由得

由，解得，

所以，

所以

（定值）

21．(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）求出及后可求切线方程.

（2）利用同构可得恒成立，构建新函数并利用导数讨论后可求参数的取值范围.

(1)

当时，，则，

故，，

从而曲线在点处的切线方程为，

即．

(2)

由知：且，

即，

构造，，

则在R上单调递增，

不等式等价于，

结合的单调性得：，即，

令，

当时，；当时，，

故在上单调递减，在上单调递增，

所以，故，

即实数a的取值范围为.

【点睛】

思路点睛：对于含指数函数、对数函数的不等式的恒成立与有解问题，可以根据不等式的结构特点合理构建新函数，从而把较为复杂的不等式问题转化为简单的不等式的问题.

22．(1)的极坐标方程为，的极坐标方程为；

(2)

【解析】

【分析】

（1）先将参数方程转化为直角坐标方程后进行极坐标转换即可求解.

（2）联立极坐标方程后，化简可得，利用韦达定理可知，便可求解.

(1)

解：由题意得：

由：（为参数），消去得：

故的极坐标方程为

由：（为参数），消去得：

故的极坐标方程为

(2)

设，．

联立

所以

故

23．(1)证明见解析

(2)证明见解析

【解析】

【分析】

（1）利用绝对值三角不等式可得出，再利用基本不等式可证得结论成立；

（2）利用基本不等式可得出，，，再结合不等式的基本性质可证得结论成立.

(1)

证明：因为对于恒成立，

又因为，所以，

由基本不等式可得，，，

所以，，

所以，所以.

(2)

证明：因为，所以，所以，

同理可得：，，

所以，

所以.