2022年四川省成都七中育才学校中考数学二诊试卷（含解析）

2022年四川省成都七中育才学校中考数学二诊试卷

一．选择题（本题共8小题，共32分）

1. 的值为

A.  B.  C.  D.

2. 如图所示的几何体，它的左视图正确的是

A.
B.
C.
D.

3. 俗话说：“水滴石穿”，水滴不断的落在一块石头的同一个位置，经过若干年后，石头上形成了一个深度为的小洞，则用科学记数法可表示为

A.  B.  C.  D.

4. 在平面直角坐标系中，将点向右平移个单位长度，得到的对应点的坐标为

A.  B.  C.  D.

5. 一个正多边形，它的每一个外角都等于，则该正多边形是

A. 正六边形 B. 正七边形 C. 正八边形 D. 正九边形

6. 如图是小明在“综合与实践”课中“制作视力表”的相关内容：当测试距离为时，视力表中最大的“”字高度为，则当测试距离为时，视力表中最大的“”字高度为

A.  B.  C.  D.

7. 某班名同学一周参加体育锻炼时间统计如表所示：

那么该班名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是

A. ， B. ， C. ， D. ，

8. 一次函数与反比列函数的图象如图所示，则二次函数的大致图象是

A.
B.
C.
D.
 

二．填空题（本题共10小题，共40分）

9. 函数的自变量的取值范围是______．
10. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是______ ．
11. 如图，一辆汽车沿着坡度为：的斜坡向下行驶米，则它距离地面的垂直高度下降了______米．

12. 如图，边长为的正方形的对角线、相交于点，若以为圆心，的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积是______．
     

13. 如图，在中，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于，两点，直线交于点，连接以点为圆心，为半径画弧，交延长线于点，连接若，则的周长为______ ．
14. 已知，则代数式的值是______．
15. 投掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子每个面上分别标上数字、、、、、将其正面朝上的数字记为，则恰为不等式组的解的概率是______．
16. 如图，在菱形中，，将菱形折叠，使点恰好落在对角线上的点处不与、重合，折痕为，若，，则的长为______．
     

17. 如图，矩形中，由个面积均为的小正方形组成的型模板如图放置，则矩形的周长为______．
    
     

18. 如图，为等腰的中位线，且将绕点顺时针旋转，直线与直线交于点，在这个旋转过程中，的最大值为______，点运动的路径长为______．

三．解答题（本题共8小题，共78分）

19. 计算：．
    解分式方程：．
20. 为了解落实国家关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见的实施情况，某校从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们平均每周劳动时间单位：，按劳动时间分为四组：组“”，组“”，组“”，组“”将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图．
    
    根据以上信息，解答下列问题：
    这次抽样调查的样本容量是______ ，组所在扇形的圆心角的大小是______ ；
    将条形统计图补充完整；
    该校共有名学生，请你估计该校平均每周劳动时间不少于的学生人数．
21. 图是疫情期间测温员用“额温枪”对小红测温时的实景图，图是其侧面示意图，其中枪柄与手臂始终在同一直线上，枪身与额头保持垂直量得胳膊，，肘关节与枪身端点之间的水平宽度为即的长度，枪身．
    求的度数；
    测温时规定枪身端点与额头距离范围为在图中，若测得，小红与测温员之间距离为问此时枪身端点与小红额头的距离是否在规定范围内？并说明理由结果保留小数点后一位
    参考数据：，，，

22. 如图，上有，，三点，是直径，点是的中点，连接交于点，点在延长线上且．
    证明：；
    求证：是的切线；
    若，，求的值．

23. 如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，与轴正半轴交于点，与反比例函数交于点，且，轴交反比例函数于点．
    求、的值；
    如图，若点为线段上一点，设的横坐标为，过点作，交反比例函数于点若，求的值．
    如图，在的条件下，连接并延长，交轴于点，连接，在直线上方是否存在点，使得与相似不含全等？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

24. 某玩具批发市场、玩具的批发价分别为每件元和元，张阿姨花元购进、两种玩具若干件，并分别以每件元与元价格出售设购入玩具为件，玩具为件．
    若张阿姨将玩具全部出售赚了元，那么张阿姨购进、型玩具各多少件？
    若要求购进玩具的数量不得少于玩具的数量，则怎样分配购进玩具、的数量并全部售出才能获得最大利润，此时最大利润为多少？
25. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴从左至右依次交于，两点，交轴于点，连接，．
    求，两点以及抛物线顶点的坐标；
    当时，直线平行于且与抛物线只有一个交点，求点的坐标；
    当时，二次函数有最小值，求的值．

26. 模型研究如图，在中，，为边延长线上一点，且则______；
    模型应用如图，在中，若，，求的长；
    模型迁移如图，点为边上一点，，，交的延长线于若，，求的面积．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：的算术平方根为，
的值为．
故选：．
由于表示的算术平方根，由此即可得到结果．
此题主要考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误．弄清概念是解决本题的关键．
 

2.【答案】

【解析】解：从左面看，底层是一行两个矩形，上层的中间是一个较大的矩形．
故选：．
找到从左面看所得到的图形即可，注意所有看到的棱都应表现在视图中．
本题考查了三视图的知识，掌握主视图是从物体的正面看得到的视图，左视图是从物体的左面看得到的视图，俯视图是从物体的上面看得到的视图是解题的关键．
 

3.【答案】

【解析】解：．
故选：．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
根据科学记数法表示解答．
 

4.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查坐标与图形变化 平移，平移中点的变化规律是：左右移动改变点的横坐标，左减、右加；上下移动改变点的纵坐标，下减、上加．直接利用平移中点的变化规律求解即可．
【解答】
解： 将点 先向右平移 个单位，
点 的对应点 的坐标是 ，即 ．   

5.【答案】

【解析】解：，
这个正多边形的边数是．
故选：．
根据多边形的外角和是度即可求得外角的个数，即多边形的边数．
本题考查了多边形内角与外角，根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，是常见的题目，需要熟练掌握．
 

6.【答案】

【解析】解：如图，

设最大的“”字高度为，，，
由图知，，
解得，
当测试距离为时，视力表中最大的“”字高度为，
故选：．
根据测试夹角的正切值相等计算高度即可．
本题主要考查相似三角形的知识，根据相似比例求值是解题的关键．
 

7.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了中位数、众数的概念，属于基础题．
根据中位数、众数的概念结合题中所给表格分别求得这组数据的中位数、众数．
【解答】
解：众数是一组数据中出现次数最多的数，即 ；
将所有锻炼时间从小到大排列，处于第 ， 位的两个数的平均数就是中位数，
这组数据的中位数为 ；
故选 D ．   

8.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了一次函数的图象、反比例函数的图象以及二次函数的图象，解题的关键是根据一次函数与反比例函数的图象找出 、 、 的正负．本题属于基础题，难度不大，熟悉函数图象与系数的关系是解题的关键．
根据一次函数与反比例函数图象找出 、 、 的正负，再根据抛物线的对称轴为 ，找出二次函数对称轴在 轴右侧，比对四个选项的函数图象即可得出结论．
【解答】
解： 一次函数 图象过第一、二、四象限，
， ，
，
二次函数 开口向下，二次函数 对称轴在 轴右侧；
反比例函数 的图象在第一、三象限，
，
与 轴交点在 轴上方．
满足上述条件的函数图象只有选项 A ．
故选： ．   

9.【答案】

【解析】解：根据题意得，，
解得．
故答案为：．
根据被开方数大于等于，分母不等于列式计算即可得解．
本题考查了函数自变量的范围，根据被开方数非负及分母不为，列不等式求解即可．
 

10.【答案】

【解析】解：根据题意得，
解得，
故答案为．
根据判别式的意义得到，然后解关于的方程即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

11.【答案】

【解析】解：设垂直高度下降了米，则水平前进了米．
根据勾股定理可得：．
解得，
即它距离地面的垂直高度下降了米．
设出垂直高度，表示出水平距离，利用勾股定理求解即可．
此题的关键是熟悉且会灵活应用公式：坡度垂直高度水平宽度，综合利用了勾股定理．
 

12.【答案】

【解析】解：四边形是正方形，
，
，
阴影部分的面积

．
由图可知，阴影部分的面积是扇形和扇形的面积之差．
本题考查扇形面积的计算、正方形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

13.【答案】

【解析】解：由基本作图方法得出：垂直平分，
则，
可得，，
，
，
的周长为：．
故答案为：．
直接利用基本作图方法得出垂直平分，，再利用等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质得出，即可得出答案．
此题主要考查了基本作图以及等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质等知识，正确得出是解题关键．
14.【答案】

【解析】解：

，
当时，
原式．
故答案为：．
首先利用完全平方公式把代数式，再进一步代入求得数值即可．
此题考查因式分解的实际运用，掌握完全平方公式是解决问题的关键．
 

15.【答案】

【解析】解：，
解不等式得，，
解不等式得，，
所以不等式组的解集为，
可取的正整数为，，，
投掷一枚质地均匀的正方体骰子，正面朝上的数字有种情况，
朝上的数字恰好为不等式组的解的概率为．
故答案为：．
先解出不等式组，再根据概率公式解答即可．
本题考查概率公式的应用，熟练掌握概率公式是解题关键．
 

16.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查的是翻转变换的性质、菱形的性质、勾股定理、解直角三角形，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．
作 于 ，根据折叠的性质得到 ，根据菱形的性质、等边三角形的判定定理得到 为等边三角形，得到 ，根据勾股定理列出方程，解方程即可．
【解答】
解：作 于 ，
由折叠的性质可知， ，
由题意得， ，
四边形 是菱形，
， ，
为等边三角形，
，
设 ，则 ，
在 中， ， ，
在 中， ，即 ，
解得， ，即 ，
故答案为 ．   

17.【答案】

【解析】解：如图，连接，作于点，则有，，，
，，
，
，
，，
，
，
，，
≌，
，，
，
，
矩形的周长
．
故答案为：．
连接，作于点，则有，，，根据矩形的性质及勾股定理即可求得其周长．
本题利用了矩形的性质和勾股定理及全等三角形的性质求解．
 

18.【答案】 

【解析】解：如图中．设与交于，

，，点、分别是、的中点，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，，
，
，
当最小时，的值最大，
在中，由勾股定理得：，
在中，斜边一定，当最小时，最大，
当最小时，最小，而，
当最大时，最小，此时，
在中，，，
，
，，
四边形是正方形，
，
，
存在最大值为，
取的中点为，连接、，
，
点在以为直径的圆上运动，
，
当时，，
，
，，
将绕点顺时针旋转，
点在以点为圆心，长为半径的圆上运动的轨迹为，
点运动的路径长为：，
故答案为：，
如图中．设与交于，证明≌，推出，可证，推出当最小时，的值最大，在判断出点的运动轨迹，利用弧长公式求解即可．
考查了旋转变换的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、正方形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数定义、圆周角定理以及弧长公式等知识，本题综合性强，熟练掌握旋转变换的性质和全等三角形的判定与性质，证明四边形为正方形是解题的关键，属于中考常考题型．
 

19.【答案】解：原式


；
，
方程两边都乘，得，
解得：，
检验：当时，，
所以是原方程的解，
即原方程的解是．

【解析】根据非零数的零次幂等于，特殊角的三角函数值，绝对值的性质，负整数指数幂的定义以及二次根式的性质计算即可；
方程两边都乘，得出，求出方程的解，再进行检验即可．
本题考查了实数的运算以及解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解分式方程的关键．
 

20.【答案】  ，
组的人数名，
条形统计图如图所示，


名．
答：估计该校平均每周劳动时间不少于的学生人数为．

【解析】解：这次抽样调查的样本容量是，
组所在扇形的圆心角的大小是，
故答案为：，；


用组的人数所占百分比计算即可，计算组的百分比，用组的百分数乘以即可得出组所在扇形的圆心角的大小；
求出组人数，画出条形图即可；
用，两组的百分数之和乘以即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图、样本估计总体等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

21.【答案】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为，
，，
，
在中，
，
，
，
，
；
．
，，
，
，
，
，
，
，
此时枪身端点与小红额头的距离是在规定范围内．

【解析】过点作，垂足为，根据解直角三角形，即可计算出的度数，再根据平行线的性质即可算出的度数；
根据中的结论和已知条件可计算出的度数，根据三角函数即可算出的长度，再根据已知条件即可算出的长度，即可得出答案．
本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法进行计算是解决本题的关键．
 

22.【答案】证明：点是的中点，
，
；

证明：是的直径，
，
，
，
，
由可知，
，
，
是的半径，
是的切线；

解：在中，，，
，
设，，
，
，
或舍去，
，，，
，，
∽，
，
，
，
，
，
，
，
连接，

，，
∽，
，
，
，

【解析】由圆周角定理可得出结论；
证出，由切线的判定可得出结论；
设，，由勾股定理得出，求出，证明∽，由相似三角形的性质得出，求出，的长，证明∽，得出比例线段，则可得出答案．
本题属于圆综合题，考查了切线的判定、圆周角定理、等腰三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握切线的判定和圆周角定理是解题的关键．
 

23.【答案】解：作轴于，如图：

，，
∽，
直线经过点，
，
解得，
直线解析式为：，
，
，
，，
点坐标为，
将点坐标代入，
得．
轴，
点的纵坐标为，代入，
得，
点坐标为，
将点横坐标代入，
得，
，
点纵坐标为，
代入，
得，
点坐标为，
，
，
解方程得或舍，
．
存在，理由如下：
如图，过点作轴于点，
由知，，
直线的解析式为：，，，
，
：，
．
，．
Ⅰ、当时，如图所示，设与交于点，

由知，轴，
，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理可得，，解得；
；
，
直线的解析式为：；
若∽，则：：，不符合题意，舍去；
若∽，
：：，即：：，
解得，
设，
，
解得，负值舍去，
；
Ⅱ、当时，

若∽，如图，
，：：，
，即点在上，：：，
，
，
，直线的解析式为：；
若∽，
：：，即：：，
解得，
设，
，
解得，负值舍去，
；

Ⅲ、当时，，
直线的解析式为：；
若∽，则：：，不符合题意，舍去；
若∽，如图，
：：，即：：，
解得，
设，
，
解得，正值舍去，
；

综上，符合题意的点的坐标为：或或或

【解析】将点代入一次函数求出的值，然后根据求出点的坐标，即可求出反比例函数的解析式；
将点横坐标代入，求出纵坐标，根据即可知道的纵坐标，代入反比例函数的解析式，求出的横坐标，即可表示出的长度，同理将点纵坐标代入反比例函数求出点横坐标，从而表示出的长，根据列方程即可求解的值；
根据相似三角形的性质可知，需要分三种情况，当时，当时，当时三种情况，分别画出图形，列出等式求解即可．
本题属于反比例函数综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，相似三角形的性质与判定，分类讨论思想；用坐标表示线段长度，然后列方程是解决这类试题的关键．
 

24.【答案】解：由题意可得，
，
解得，．
答：张阿姨购进型玩具件，型玩具件；
设利润为元，
，
购进玩具的数量不得少于玩具的数量，
，
解得：，
，
随的增大而减小，
当时，取最大值，最大值为，
此时，
故购进玩具、的数量均为件并全部售出才能获得最大利润，此时最大利润为元．

【解析】根据总价单价数量列出关于、的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；
设利润为元，找出利润关于的函数关系式，由购进玩具的数量不得少于玩具的数量找出关于的一元一次不等式，解不等式得出的取值范围，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
本题考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用及一元一次不等式组的应用，解题的关键：列出关于、的二元一次方程组；根据题意得出与的函数关系式，并求出的取值范围．
 

25.【答案】解：抛物线与轴从左至右依次交于，两点，
令，即，解得或，
，，
，
该抛物线的顶点坐标
当时，代入抛物线，得，
，，
当时，代入抛物线，得，
；
直线的解析式为：，
直线平行于，
，
与只有一个交点，
令，整理得只有一个解，
，解得．
把代入上式得，解得，
．
二次函数，
由二次函数的性质可知，当，则，则，
同理，当，即，
由二次函数的图象性质可得，当时，，
解得或，均不符合题意，舍去，
同理，当，则，
由二次函数的图象性质可得，当时，，
解得或，均不符合题意，舍去；
综上，的值为．

【解析】令，解一元二次方程，再根据点和点的位置得出，的坐标；将二次函数化简为顶点式即可得出结论；
将代入抛物线方程，可得出点，的坐标，进而可得出直线的解析式，由平行线的性质可得出，联立直线与抛物线的解析式，利用一元二次方程的解的唯一性可得出的值，进而可得出结论；
需要分情况讨论：当，当，当时，利用二次函数的最值分别讨论即可得出结论．
本题属于二次函数综合题，涉及二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与一次函数的交点问题，二次函数的性质等知识，熟知相关的性质是解题关键．
 

26.【答案】

【解析】解：在中，
，，
，
是的外角，
，
故答案为：；
如图，

以为圆心，长为半径画弧交于，作于，
，
，
由得，
，
，
，
，
，
，
；
如图，

作交延长线于，以点为圆心，为半径画弧，交于，作于，
，，，
设，则，，
，
由知：，
，
，
由模型知：，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
．
解：；
以为圆心，长为半径画弧交于，作于，这样构造中模型，进一步得出结果；
作交延长线于，以点为圆心，为半径画弧，交于，作于，这样构造出中模型，进一步求得结果．
本题考查了等腰三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造中的“模型”．