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2022年广东省深圳市南山区中考数学模拟试卷
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这是一份2022年广东省深圳市南山区中考数学模拟试卷，共29页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022年广东省深圳市南山区中考数学模拟试卷
一、单项选择题（每小题3分，共10小题，总共30分）
1．（3分）2022的倒数的相反数是（ ）
A． B． C．﹣2022 D．2022
2．（3分）截止至10月7日，著名电影《长津湖》票房情况理想，总票房甚至达到46.49亿，46.49亿用科学记数法表示为（ ）
A．46.49×108 B．4.649×108
C．4.649×109 D．0.4649×1011
3．（3分）若关于y的方程ay﹣2＝6+y与方程y+4＝2的解相同，则a的值为（ ）
A．﹣3 B．3 C．﹣4 D．4
4．（3分）等腰三角形ABC中，AB＝AC，记AB＝x，周长为y，定义（x，y）为这个三角形的坐标．如图所示，直线y＝2x，y＝3x，y＝4x将第一象限划分为4个区域．下面四个结论中，
①对于任意等腰三角形ABC，其坐标不可能位于区域Ⅰ中；
②对于任意等腰三角形ABC，其坐标可能位于区域Ⅳ中；
③若三角形ABC是等腰直角三角形，其坐标位于区域Ⅲ中；
④图中点M所对应等腰三角形的底边比点N所对应等腰三角形的底边长．
所有正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．①③④ C．②④ D．①②③
5．（3分）已知x、y为实数，且（y﹣3）2＝0．若axy﹣3x＝y，则实数a的值是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）一根钢管放在V形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是24cm，若∠ACB＝60°，则劣弧AB的长是（ ）
A．8πcm B．16πcm C．32πcm D．192πcm
7．（3分）定义：当x＝a时，其对应的函数值为y＝f（a），若f（a）＝a成立，则称a为函数y的不动点．例如：函数y＝x2﹣3x+4，当x＝2时，y＝f（2）＝22﹣3×2+4＝2，因为f（2）＝2成立，所以2为函数y的不动点．因此对于函数y＝（t+1）x2﹣（2t+1）x﹣3，将函数图象向下平移m（m＞0）个单位长度，t≥﹣4时，平移后函数不动点的个数有几个（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，则AB＝2BC．请在这一结论的基础上继续思考：若AC＝2，点D是AB的中点，P为边CD上一动点，则APCP的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
9．（3分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，D为抛物线顶点．连接AD交y轴于点E，点P在第四象限的抛物线上，连接AP、BE交于点G，设w＝S△ABG：S△BGP，则w的最小值是（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠A，AC＝6，BC＝4，所以AB长为（ ）
A．2 B． C． D．4
二、填空题（每小题3分，共5小题，总共15分）
11．（3分）如果式子有意义，那么x的取值范围是 ．
12．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，D为边AB的中点，以点A为圆心，以AD的长为半径画弧与腰AC相交于点E，以点B为圆心，以BD的长为半径画弧与腰BC相交于点F，则图中的阴影部分图形的面积为 ．（结果保留π）
13．（3分）若a23，则的值为 ．
14．（3分）中国的元旦，据传说起于三皇五帝之一的颛顼，距今已有3000多年的历史，可见其根源的渊远流长．“元旦”一词最早出现于《晋书》．“元旦节”前夕，某超市分别以每袋30元、20元、10元的价格购进腊排骨、腊香肠、腊肉各若干，由于该食品均是真空包装，只能成袋出售，每袋的售价分别为50元、40元、20元，元旦节当天卖出三种年货若干袋，元月2日腊排骨卖出的数量是第一天腊排骨数量的3倍，腊香肠卖出的数量是第一天腊香肠数量的2倍，腊肉卖出的数量是第一天腊肉数量的4倍；元月3日卖出的腊排骨的数量是这三天卖出腊排骨的总数量的，卖出腊香肠的数量是前两天腊香肠数量和的，卖出腊肉的数量是第二天腊肉数量的．若第三天三种年货的销售总额比第一天三种年货销售总额多1600元，这三天三种年货的销售总额为9350元，则这三天所售出的三种年货的总利润为 元．
15．（3分）阅读理解：平面内的⊙O和⊙O外一点A，过点A的直线l与⊙O交于B，C两点（B在A，C之间），点D为平面内一点．若以AD为边的正方形ADEF的面积等于分别以AB，AC为一组邻边的矩形的面积，则称正方形ADEF为点A关于⊙O的“原本正方形”，该正方形的中心称为点A关于⊙O的“原本点”．如图所示，正方形ADEF的面积等于矩形AMNC的面积，其中AM＝AB，称正方形ADEF为点A关于⊙O的“原本正方形”，该正方形中心点G称为点A关于⊙O的“原本点”．当出现“特别情况”的时候，即：当点D恰好在⊙O上时，称此时正方形的中心G为点A关于⊙O的“单纯原本点”．⊙N的圆心为N（n，0）（n＞0），半径为ON．点H为坐标平面内一点，过点H的直线l与⊙N有两个交点，且ON＝NH．若直线yx+6上存在点P，使得点P为点H关于⊙N的“单纯原本点”，即可得出n的最小值为 ．
三、解答题（本题总分55分，其中16题6分，17题6分，18题7分，19题8分，20题9分，21题9分，22题10分）
16．（6分）计算：3tan30°sin60°×（）﹣1+（2022﹣π）0．
17．（6分）一个不透明的口袋装有分别标有汉字“美”“丽”“南”“山”的4个小球，除汉字不同外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀．
（1）若从中任取一个小球，求摸出球上的汉字刚好是“美”的概率；
（2）小华从中任取一个小球，记下小球上的汉字后放回，再从中任取一小球，请用画树状图或列表法，求小华取出的2个小球上的汉字恰能组成“美丽”或“南山”的概率．
18．（7分）如图所示，已知BC是水平面，AB、AD、CD是斜坡．AB的坡角为42°，坡长为200米，AD的坡角为60°，坡长为100米，CD的坡比i＝1：2．
（1）求坡顶A到水平面BC的距离；
（2）求斜坡CD的长度．（结果精确到1米，参考数据：sin42°≈0.70，1.73）
19．（8分）已知：正方形ABCD中，E是AB的中点，F是AD上一点，且ED＝FC，ED、FC交于点G，连接BG，BH平分∠GBC交FC于H，连接DH．
（1）求证：ED⊥FC；
（2）求证：△DGH是等腰直角三角形．
20．（9分）正方形ABCD的边长为6cm，P，Q两动点同时从点C出发，点P沿CB→BA以3cm/s的速度向终点A匀速运动，点Q沿CD→DB以2cm/s的速度向点B匀速运动，当点P到达终点A时，点Q同时停止运动．设点P的运动时间为t（s），△CPQ的面积为S（cm2）．
（1）填空：点P的运动时间为 s；
（2）求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围．
21．（9分）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上，点C在y轴的正半轴上，直线BC的解析式为y＝kx+12（k≠0），AC⊥BC，线段OA的长是方程
x2﹣15x﹣16＝0的根．请解答下列问题：
（1）求点A、点B的坐标．
（2）若直线l经过点A与线段BC交于点D，且tan∠CAD，双曲线y（m≠0）的一个分支经过点D，求m的值．
（3）在第一象限内，直线CB下方是否存在点P，使以C、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．若存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
22．（10分）数学探究一直是数学学习的极重要的方法，新课标对此有细致阐述．小明对圆中定值与最值问题十分感兴趣，为此他做了一个简单的探究．如图，在直角坐标系中，圆心M在x轴正半轴上，点P为⊙M第一象限内的一个动点，据此：
【前提条件】假若sin∠ABO，r＝5；
【探究规律】如图1，连接DP并延长交y轴于点E，那么在P点移动过程中，是否有DP•DE为定值？若为定值，求出来定值；若不是，求出其最小值．
【归纳总结】如图2，小明发现做题越来越有意思，于是作∠ADH＝2∠ABO，BH⊥DH，交x轴于点F，连接PF，OP．点G为线段OP的三等分点（OG＜OP）．以点O为圆心，以线段OG为半径作⊙O，设⊙O半径为r，在点P移动过程中，是否有r2（17﹣15cos∠FPO）为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，请求出其最小值．
【拓展提升】如图3，若圆心和半径大小均不固定，那么点P，A，B，C，D，M均为动点，作PT∥y轴，交动圆M于点T．Q，R两点为直线PT右侧的两个动点，并且PT＝QR．那么在点P运动过程中，是否有为定值？若为定值，求出这个定值；若不为定值，请求出其最小值．
2022年广东省深圳市南山区中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（每小题3分，共10小题，总共30分）
1．（3分）2022的倒数的相反数是（ ）
A． B． C．﹣2022 D．2022
【解答】解：2022的的倒数是，相反数是．
故选：B．
2．（3分）截止至10月7日，著名电影《长津湖》票房情况理想，总票房甚至达到46.49亿，46.49亿用科学记数法表示为（ ）
A．46.49×108 B．4.649×108
C．4.649×109 D．0.4649×1011
【解答】解：46.49亿＝4649000000＝4.649×109．
故选：C．
3．（3分）若关于y的方程ay﹣2＝6+y与方程y+4＝2的解相同，则a的值为（ ）
A．﹣3 B．3 C．﹣4 D．4
【解答】解：∵y+4＝2，
∴y＝﹣2，
∵方程ay﹣2＝6+y与方程y+4＝2的解相同，
∴y＝﹣2方程ay﹣2＝6+y的解，
∴﹣2a﹣2＝6﹣2，
∴a＝﹣3，
故选：A．
4．（3分）等腰三角形ABC中，AB＝AC，记AB＝x，周长为y，定义（x，y）为这个三角形的坐标．如图所示，直线y＝2x，y＝3x，y＝4x将第一象限划分为4个区域．下面四个结论中，
①对于任意等腰三角形ABC，其坐标不可能位于区域Ⅰ中；
②对于任意等腰三角形ABC，其坐标可能位于区域Ⅳ中；
③若三角形ABC是等腰直角三角形，其坐标位于区域Ⅲ中；
④图中点M所对应等腰三角形的底边比点N所对应等腰三角形的底边长．
所有正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．①③④ C．②④ D．①②③
【解答】解：如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，记AB＝x，周长为y，
设BC＝z，则y＝2x+z，x＞0，z＞0．
①∵BC＝z＞0，
∴y＝2x+z＞2x，
∴对于任意等腰三角形ABC，其坐标位于直线y＝2x的上方，不可能位于区域Ⅰ中，故结论①正确；
②∵三角形任意两边之和大于第三边，
∴2x＞z，即z＜2x，
∴y＝2x+z＜4x，
∴对于任意等腰三角形ABC，其坐标位于直线y＝4x的下方，不可能位于区域Ⅳ中，故结论②错误；
③若三角形ABC是等腰直角三角形，则zx，
∵12，AB＝x＞0，
∴xx＜2x，
∴3x＜2xx＜4x，
即3x＜y＜4x，
∴若三角形ABC是等腰直角三角形，其坐标位于区域Ⅲ中，故结论③正确；
④由图可知，点M位于区域Ⅲ中，此时3x＜y＜4x，
∴3x＜2x+z＜4x，
∴x＜z＜2x；
点N位于区域Ⅱ中，此时2x＜y＜3x，
∴2x＜2x+z＜3x，
∴0＜z＜x；
∵点M所对应等腰三角形的周长比点N所对应等腰三角形的周长短，
∴图中无法得到点M所对应等腰三角形的底边比点N所对应等腰三角形的底边长，故结论④错误．
故选：A．
5．（3分）已知x、y为实数，且（y﹣3）2＝0．若axy﹣3x＝y，则实数a的值是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵（y﹣3）2＝0，
∴，
解得，
∵axy﹣3x＝y，
∴3a﹣3×（）＝3，
∴﹣4a+4＝3，
解得a．
故选：A．
6．（3分）一根钢管放在V形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是24cm，若∠ACB＝60°，则劣弧AB的长是（ ）
A．8πcm B．16πcm C．32πcm D．192πcm
【解答】解：由题意得：CA和CB分别与⊙O相切于点A和点B，
∴OA⊥CA，OB⊥CB，
∴∠OAC＝∠OBC＝90°，
∵∠ACB＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∴16π（cm），
故选：B．
7．（3分）定义：当x＝a时，其对应的函数值为y＝f（a），若f（a）＝a成立，则称a为函数y的不动点．例如：函数y＝x2﹣3x+4，当x＝2时，y＝f（2）＝22﹣3×2+4＝2，因为f（2）＝2成立，所以2为函数y的不动点．因此对于函数y＝（t+1）x2﹣（2t+1）x﹣3，将函数图象向下平移m（m＞0）个单位长度，t≥﹣4时，平移后函数不动点的个数有几个（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【解答】解：向下平移后的函数为：y＝（t+1）x2﹣（2t+1）x﹣3﹣m，
当t＝﹣1时，y＝x﹣3﹣m，函数没有不动点；
当t≠﹣1时，
令x＝（t+1）x2﹣（2t+1）x﹣3﹣m，
整理得，（t+1）x2﹣（2t+2）x﹣3﹣m＝0，
∴Δ＝（2t+2）2+（t+1）（3+m）＝0，整理得Δ＝4（t+1）（t+m+4），
∵m＞0，t≥﹣4，
∴t+m+4＞0，
当﹣4≤t＜﹣1时，Δ＜0，平移后函数不动点的个数为0个；
当t＝﹣1时，不是二次函数；
当t＞﹣1时，Δ＞0，平移后函数不动点的个数为2个．
综上可知，当﹣4≤t≤﹣1时，平移后函数不动点的个数为0个；当t＞﹣1时，平移后函数不动点的个数为2个．
故选：C．
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，则AB＝2BC．请在这一结论的基础上继续思考：若AC＝2，点D是AB的中点，P为边CD上一动点，则APCP的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【解答】解：过C作CE⊥AB于E，过点P作PF⊥EC于F，
∵∠ACB＝90°，点D是AB的中点，
∴CDAB＝AD，
∵∠CAB＝30°，
∴∠B＝60°，
∴△BCD为正三角形，
∴∠DCE＝30°，
∴PFCP，
∴APCP＝AP+PF≥AE，
∵∠CAB＝30°，AC＝2，
∴CEAC＝1，
∴AE，
∴APCP的最小值为．
故选：C．
9．（3分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，D为抛物线顶点．连接AD交y轴于点E，点P在第四象限的抛物线上，连接AP、BE交于点G，设w＝S△ABG：S△BGP，则w的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵点P在第四象限的抛物线上，AP、BE交于点G，如图，
设P（m，m2﹣2m﹣3），其中0＜m＜3，
设直线AP的解析式为y＝cx+d，
∵A（﹣1，0），P（m，m2﹣2m﹣3），
∴，
解得：，
∴直线AP的解析式为y＝（m﹣3）x+m﹣3．
设直线BE的解析式为y＝ex+f，
∵B（3，0），E（0，﹣2），
∴，
解得，
∴直线BE的解析式为yx﹣2，
联立方程组，得：，
解得：，
∴yG，
∵0＜m＜3，
∴24﹣8m＞0，3m﹣11＜0，
∴0，
∴w，
令z＝﹣3m2+8m+3＝﹣3（m）2，
∵﹣3＜0，
∴当m时，z取得最大值 ，w取得最小值为 ，
∴w有最小值，最小值为 ．
故选：A．
10．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠A，AC＝6，BC＝4，所以AB长为（ ）
A．2 B． C． D．4
【解答】解：在AC边上取点D，使∠ABD∠ABC，连接BD，如图所示，
∵∠ABC＝3∠A，AC＝6，
∴AD＝BD＝2，CD＝4，
∵BC＝4，
∴∠a＝∠CBD，
由余弦定理知：
cos∠a，
∵∠BDA＝π﹣a
∴cos∠BDA＝cos（π﹣a）＝﹣cosa，
∴AB2＝AD2+BD2﹣2×AD×BD×cos∠BDA
＝22+22﹣2×2×2×（）
＝10
∴AB，
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共5小题，总共15分）
11．（3分）如果式子有意义，那么x的取值范围是 ﹣2＜x≤1 ．
【解答】解：由题意得，
，
解得﹣2＜x≤1．
故答案为：﹣2＜x≤1．
12．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，D为边AB的中点，以点A为圆心，以AD的长为半径画弧与腰AC相交于点E，以点B为圆心，以BD的长为半径画弧与腰BC相交于点F，则图中的阴影部分图形的面积为 2 ．（结果保留π）
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，
∴AB＝2，∠A＝∠B＝45°，
∵D是AB的中点，
∴AD＝DB，
∴S阴＝S△ABC﹣2•S扇形ADE2×2﹣22，
故答案为：2．
13．（3分）若a23，则的值为 1 ．
【解答】解：
＝a2﹣2
＝a22
＝3﹣2
＝1，
∴1，
14．（3分）中国的元旦，据传说起于三皇五帝之一的颛顼，距今已有3000多年的历史，可见其根源的渊远流长．“元旦”一词最早出现于《晋书》．“元旦节”前夕，某超市分别以每袋30元、20元、10元的价格购进腊排骨、腊香肠、腊肉各若干，由于该食品均是真空包装，只能成袋出售，每袋的售价分别为50元、40元、20元，元旦节当天卖出三种年货若干袋，元月2日腊排骨卖出的数量是第一天腊排骨数量的3倍，腊香肠卖出的数量是第一天腊香肠数量的2倍，腊肉卖出的数量是第一天腊肉数量的4倍；元月3日卖出的腊排骨的数量是这三天卖出腊排骨的总数量的，卖出腊香肠的数量是前两天腊香肠数量和的，卖出腊肉的数量是第二天腊肉数量的．若第三天三种年货的销售总额比第一天三种年货销售总额多1600元，这三天三种年货的销售总额为9350元，则这三天所售出的三种年货的总利润为 4300 元．
【解答】解：设元旦当天卖出腊排骨、腊香肠、腊肉分别为x，y，z袋（x，y，z均为正整数），则元月2日卖出腊排骨、腊香肠、腊肉分别为3x，2y，4z袋，元月3日卖出腊排骨、腊香肠、腊肉分别为x，4y，2z袋，根据题意得：
，即，
由①得：z＝80﹣6y，
∵x，y，z均为正整数，
∴当y＝1时，z＝74，14z＞935，等式②不成立，不合题意；
当y＝2时，z＝68，14z＞935，等式②不成立，不合题意；
当y＝3时，z＝62，28y+14z＞935，等式②不成立，不合题意；
…
当y＝10时，z＝20，x＝15，等式②成立，符合题意；
…
综上可知，x＝15，y＝10，z＝20，
这三天所售出的三种年货的总利润为20×5x+20×7y+10×7z＝100x+140y+70z＝1500+1400+1400＝4300（元）．
15．（3分）阅读理解：平面内的⊙O和⊙O外一点A，过点A的直线l与⊙O交于B，C两点（B在A，C之间），点D为平面内一点．若以AD为边的正方形ADEF的面积等于分别以AB，AC为一组邻边的矩形的面积，则称正方形ADEF为点A关于⊙O的“原本正方形”，该正方形的中心称为点A关于⊙O的“原本点”．如图所示，正方形ADEF的面积等于矩形AMNC的面积，其中AM＝AB，称正方形ADEF为点A关于⊙O的“原本正方形”，该正方形中心点G称为点A关于⊙O的“原本点”．当出现“特别情况”的时候，即：当点D恰好在⊙O上时，称此时正方形的中心G为点A关于⊙O的“单纯原本点”．⊙N的圆心为N（n，0）（n＞0），半径为ON．点H为坐标平面内一点，过点H的直线l与⊙N有两个交点，且ON＝NH．若直线yx+6上存在点P，使得点P为点H关于⊙N的“单纯原本点”，即可得出n的最小值为 ．
【解答】解：∵直线yx+6与x轴、y轴分别交于点A、B，
∴A（﹣2，0），B（0，6），AB＝4．
∵N（n，0）（n＞0），
∴AN＝n﹣（﹣2）＝n+2．
∵sin∠BAO，
∴点N到AB的距离为ANsin∠BAOn+3．
依题意，若正方形ADEF为点A关于⊙O的原本正方形，则有AD2＝AB×AC＝OA2﹣r2，其中r为⊙O的半径．
设点H关于⊙N的原本正方形为HDEF，则有HD2＝HN2﹣ON2＝5n2﹣n2＝4n2，
∴HD＝2n．
又∵DN＝ON＝n，NHONn，
∴∠NDH＝90°．
又∠EDH＝90°，
∴N、D、E共线．
取DE中点T，则PT＝TDHD＝n，PT⊥TN，
∴PN2＝PT2+TN2．
∴PNn≥ANsin∠BAOn+3．
解得n．
下面检验n是否满足题意．
当n时，取PN⊥AB于点P，则PNANn+33n，
以P为圆心、n为半径作圆交圆N于点D，则ND＝n，PDn，PNn，∠PDN＝135°．
以P为中心，D为一个顶点作正方形HDEF，则HD＝2n，HNn，符合题目所有条件．
综上，n的最小值为．
故答案为：．
三、解答题（本题总分55分，其中16题6分，17题6分，18题7分，19题8分，20题9分，21题9分，22题10分）
16．（6分）计算：3tan30°sin60°×（）﹣1+（2022﹣π）0．
【解答】解：原式＝34+1
1
＝1．
17．（6分）一个不透明的口袋装有分别标有汉字“美”“丽”“南”“山”的4个小球，除汉字不同外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀．
（1）若从中任取一个小球，求摸出球上的汉字刚好是“美”的概率；
（2）小华从中任取一个小球，记下小球上的汉字后放回，再从中任取一小球，请用画树状图或列表法，求小华取出的2个小球上的汉字恰能组成“美丽”或“南山”的概率．
【解答】解：（1）摸出球上的汉字刚好是“美”的概率；
（2）画树状图为：
共有16种等可能的结果，其中取出的2个小球上的汉字恰能组成“美丽”或“南山”的结果数为4，
所以小华取出的2个小球上的汉字恰能组成“美丽”或“南山”的概率．
18．（7分）如图所示，已知BC是水平面，AB、AD、CD是斜坡．AB的坡角为42°，坡长为200米，AD的坡角为60°，坡长为100米，CD的坡比i＝1：2．
（1）求坡顶A到水平面BC的距离；
（2）求斜坡CD的长度．（结果精确到1米，参考数据：sin42°≈0.70，1.73）
【解答】解：（1）过点A作AE⊥BC于E，
在Rt△ABE中，∠B＝42°，AB＝200米，
则AE＝AB•sinB≈200×0.70＝140（米），
答：坡顶A到水平面BC的距离约为140米；
（2）过点D作DF⊥BC于F，DG⊥AE于G，
则四边形EFDG为矩形，
∴GE＝DF，
在Rt△AGD中，∠ADG＝60°，AD＝100米，
则AG＝AD•sin∠ADG＝10086.5（米），
∴DF＝GE＝AE﹣AG＝53.5（米），
∵CD的坡比i＝1：2，
∴DF：FC＝1：2，
∴DF：CD＝1：3，
∴CD＝3DF＝160.5≈161（米），
答：斜坡CD的长度约为161米．
19．（8分）已知：正方形ABCD中，E是AB的中点，F是AD上一点，且ED＝FC，ED、FC交于点G，连接BG，BH平分∠GBC交FC于H，连接DH．
（1）求证：ED⊥FC；
（2）求证：△DGH是等腰直角三角形．
【解答】证明：（1）∵在正方形ABCD中，
∴AD＝CD，
∵ED＝FC，∠CDA＝∠A＝90°，
即在Rt△AED和Rt△FDC中，
∵，
∴Rt△AED≌Rt△FDC（HL），
∴∠AED＝∠DFC，
∵∠AFC+∠DFC＝180°，
∴∠AFC+∠AED＝180°，
∴∠A+∠FGE＝180°（四边形内角和定理），
∵∠A＝90°，
∴∠FGE＝90°，
即ED⊥FC；
（2）连接EC，
∵由（1）得∠FGE＝90°，∠ABC＝90°，
∴∠EGC+∠EBC＝180°，
∴B、C、G、E四点共圆（如图所示），
∴∠AED＝∠BCG，
∴∠BGC＝∠BEC，
在RT△BCE和RT△ADE中，
∵，
∴RT△BCE≌RT△ADE（SAS），
∴∠AED＝∠BEC，
∴∠BGC＝∠AED，
∴∠BGC＝∠BCG，
∴BG＝BC，
又∵BH平分∠GBC交FC于H，
∴BH是GC的中垂线，
∴GH＝HC，∠BHC＝90°，
∵∠BCH+∠GCD＝90°，∠GCD+∠GDC＝90°，
∴∠BCH＝∠CDG，
∵∠DGC＝∠BHC＝90°，CD＝CB，
∴，
∴△BHC≌△CGD，
∴DG＝HC，
∵GH＝HC，
∴GH＝DG，
又∵∠FGE＝90°，
∴△DGH是等腰直角三角形．
20．（9分）正方形ABCD的边长为6cm，P，Q两动点同时从点C出发，点P沿CB→BA以3cm/s的速度向终点A匀速运动，点Q沿CD→DB以2cm/s的速度向点B匀速运动，当点P到达终点A时，点Q同时停止运动．设点P的运动时间为t（s），△CPQ的面积为S（cm2）．
（1）填空：点P的运动时间为 4 s；
（2）求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围．
【解答】解：（1）由题意得，点P运动到终点时间为：6×2÷3＝4（s），
点Q运动到终点时间为：6×2÷2＝6（s），
∵4＜6，
∴两点的运动时间为4s，
故答案为：4；
（2）当0＜t≤2时，点P在BC边上点Q在CD边上，
此时CP＝3t，CQ＝2t，
∴S3t×2t，
整理得，S＝3t2；
当2＜t≤3时，点P在AB边上点Q在CD边上，
此时，CQ＝2t，
∴S2t×6，
整理得，S＝6t；
当3＜t≤4时，点P在AB边上点Q在BD边上，
连接AQ，过点Q作QM⊥AD，QN⊥AB，
此时DQ＝2t﹣12，
∴，
，
解得MQt﹣6，
∴NQ＝6t+6，
∴S＝6×6﹣26×（t﹣6）（12﹣3t）×（6t+6），
整理得，St2+（99）t﹣72，
综上，当0＜t≤2时，S＝3t2；当2＜t≤3时，S＝6t；当3＜t≤4时，St2+（99）t﹣72．
21．（9分）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上，点C在y轴的正半轴上，直线BC的解析式为y＝kx+12（k≠0），AC⊥BC，线段OA的长是方程
x2﹣15x﹣16＝0的根．请解答下列问题：
（1）求点A、点B的坐标．
（2）若直线l经过点A与线段BC交于点D，且tan∠CAD，双曲线y（m≠0）的一个分支经过点D，求m的值．
（3）在第一象限内，直线CB下方是否存在点P，使以C、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．若存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：由x2﹣15x﹣16＝0得，
x1＝16，x2＝﹣1（舍去），
∴OA＝16，
∴A（16，0），
当x＝0时，y＝12，
∴C（0，12），
∴OC＝12，
∴AC20，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝∠AOC＝90°，
∵∠OAC＝∠BAC，
∴△AOC∽△ACB，
∴，
∴，
∴AB＝25
∴OB＝AB﹣OA＝25﹣16＝9，
∴B（﹣9，0）；
（2）如图1，
作DE⊥OC于E，
∵tan∠CAD，AC＝20，
∴CD5，
∵OC＝12，OB＝9，
∴BC15，
∵∠CED＝∠BOC＝90°，
∴DE∥OB，
∴△CDE∽△CBO，
∴，
∴，
∴DE＝3，CE＝4，
∴OE＝OC﹣CE＝8，
∴D（﹣3，8），
∴，
∴m＝﹣24；
（3）如图2，
当△PAC∽△BCA时，此时△PAC≌△BCA，
∵A（12，0），B（﹣9，0），C（0，12），
∴P（25，12），
如图3，
当△PAC∽△ACB时，作PE⊥AB于E，
∴，
∴，
∴AP，
由△PEA∽△ACO得，
，
∴，
∴PE，AE＝16，
∴OE＝OA+AE＝32，
∴P（32，），
如图4，
当△PAC∽△CBA时，此时△PAC≌△OCA，
∴P（16，12），
如图5，
当△PAC∽△CAB时，此时△PAC≌△OAC，
∴，
作PH⊥OC于H，AG⊥PH于G，
由△AGP∽△PHC得，
，
∴设AG＝4x，PG＝4y，则PH＝3x，CH＝3y，
∵PH+PG＝OA＝16，OC+CH＝AG，
∴，
∴，
∴PH＝3x，AH＝4x，
∴P（，），
综上所述：P（25，12）或（32，）或（16，12）或（，）．
22．（10分）数学探究一直是数学学习的极重要的方法，新课标对此有细致阐述．小明对圆中定值与最值问题十分感兴趣，为此他做了一个简单的探究．如图，在直角坐标系中，圆心M在x轴正半轴上，点P为⊙M第一象限内的一个动点，据此：
【前提条件】假若sin∠ABO，r＝5；
【探究规律】如图1，连接DP并延长交y轴于点E，那么在P点移动过程中，是否有DP•DE为定值？若为定值，求出来定值；若不是，求出其最小值．
【归纳总结】如图2，小明发现做题越来越有意思，于是作∠ADH＝2∠ABO，BH⊥DH，交x轴于点F，连接PF，OP．点G为线段OP的三等分点（OG＜OP）．以点O为圆心，以线段OG为半径作⊙O，设⊙O半径为r，在点P移动过程中，是否有r2（17﹣15cos∠FPO）为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，请求出其最小值．
【拓展提升】如图3，若圆心和半径大小均不固定，那么点P，A，B，C，D，M均为动点，作PT∥y轴，交动圆M于点T．Q，R两点为直线PT右侧的两个动点，并且PT＝QR．那么在点P运动过程中，是否有为定值？若为定值，求出这个定值；若不为定值，请求出其最小值．
【解答】解：【探究规律】如图1，DP•DE为定值，理由如下：
连接AP和BD，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝∠APD＝90°，
∴∠BAO+∠ADB＝90°，
∵OB⊥AD，
∴∠AOB＝90°，
∴∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠ADB＝∠ABO，
∴AB＝AD•sin∠ADB＝10•sin∠ABO＝102，
∴OA＝AB•sin∠ABO＝22，
∴OD＝AD﹣OA＝8，
∵∠ADP＝∠ODE，∠APD＝∠DOE＝90°，
∴△ADP∽△EDO，
∴，
∴DP•DE＝AD•OD＝10×8＝80；
【归纳总结】如图2，r2（17﹣15cos∠FPO）为定值，理由如下：
连接BD，作ON⊥PF于N，
由（1）知：∠ADB＝∠ABO，
∵∠ADH＝2∠ABO，
∴∠ADH＝2∠ADB，
∴∠ADB＝∠HDB，
∵BH⊥DH，OB⊥AD，
∴∠OBD＝∠DBH，
∵∠ABD＝90°，
∴∠ABF+∠DBH＝90°，∠ABO+∠DBH＝90°，
∴∠ABF＝∠ABO，
∴∠ABF＝∠ADB，
∵∠AFB＝∠BFD，
∴△ABF∽△BDF，
∴，
∴BF2＝AF•DF＝AF•（AF+AD）＝AF2+10AF①，
在Rt△BOF中，
BF2﹣AF2＝OB2＝42＝16②，
由①②得，
AF，
∴OF＝AF+OA，
∵BF2（10），
∴BF，
∴，
∵G是AP的三等分点，AG＝r，
∴AP＝3r，PF＝5r，
在Rt△OPN中，
ON＝3r•sin∠FPO，PN＝3r•cos∠FPO，
∴FN＝PF﹣PN＝5r﹣3r•cos∠FPO，
在Rt△FON中，由勾股定理得，
FN2+ON2＝OF2，
∴（5r﹣3r•cos∠FPO）2+（3r•sin∠FPO）2＝（）2，
化简得，
r2（17﹣15•cos∠FPO）；
（3）不是定值．有最小值．
理由：如图3中，设PT与AD交于点S，则PT＝2PS，PT⊥AD，设SQ＝k•PS．
∵PQ2＝PS2+SQ2＝（1+k2）PS2，
PR2＝PS2+SR2＝PS2+（SQ+QR）2
＝PS2+（k•PS+2PS）2＝（k2+4k+5）•PS2，
∴（）2m，令m，m＞0，
∴m（k2+4k+5）＝k2+1，
整理得（m﹣1）k2+4mk+5m﹣1＝0，
∵Δ≥0，
∴（4m）2﹣4（m﹣1）（5m﹣1）≥0，
整理得m2﹣6m+1≤0，
∴3﹣2m≤（1）2，
∴（）2的最小值为（1）2，
∴最小值是1．
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2022年广东省深圳市南山区中考数学模拟试卷
一、单项选择题（每小题3分，共10小题，总共30分）
1．（3分）2022的倒数的相反数是（ ）
A． B． C．﹣2022 D．2022
2．（3分）截止至10月7日，著名电影《长津湖》票房情况理想，总票房甚至达到46.49亿，46.49亿用科学记数法表示为（ ）
A．46.49×108 B．4.649×108
C．4.649×109 D．0.4649×1011
3．（3分）若关于y的方程ay﹣2＝6+y与方程y+4＝2的解相同，则a的值为（ ）
A．﹣3 B．3 C．﹣4 D．4
4．（3分）等腰三角形ABC中，AB＝AC，记AB＝x，周长为y，定义（x，y）为这个三角形的坐标．如图所示，直线y＝2x，y＝3x，y＝4x将第一象限划分为4个区域．下面四个结论中，
①对于任意等腰三角形ABC，其坐标不可能位于区域Ⅰ中；
②对于任意等腰三角形ABC，其坐标可能位于区域Ⅳ中；
③若三角形ABC是等腰直角三角形，其坐标位于区域Ⅲ中；
④图中点M所对应等腰三角形的底边比点N所对应等腰三角形的底边长．
所有正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．①③④ C．②④ D．①②③
5．（3分）已知x、y为实数，且（y﹣3）2＝0．若axy﹣3x＝y，则实数a的值是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）一根钢管放在V形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是24cm，若∠ACB＝60°，则劣弧AB的长是（ ）
A．8πcm B．16πcm C．32πcm D．192πcm
7．（3分）定义：当x＝a时，其对应的函数值为y＝f（a），若f（a）＝a成立，则称a为函数y的不动点．例如：函数y＝x2﹣3x+4，当x＝2时，y＝f（2）＝22﹣3×2+4＝2，因为f（2）＝2成立，所以2为函数y的不动点．因此对于函数y＝（t+1）x2﹣（2t+1）x﹣3，将函数图象向下平移m（m＞0）个单位长度，t≥﹣4时，平移后函数不动点的个数有几个（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，则AB＝2BC．请在这一结论的基础上继续思考：若AC＝2，点D是AB的中点，P为边CD上一动点，则APCP的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
9．（3分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，D为抛物线顶点．连接AD交y轴于点E，点P在第四象限的抛物线上，连接AP、BE交于点G，设w＝S△ABG：S△BGP，则w的最小值是（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠A，AC＝6，BC＝4，所以AB长为（ ）
A．2 B． C． D．4
二、填空题（每小题3分，共5小题，总共15分）
11．（3分）如果式子有意义，那么x的取值范围是 ．
12．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，D为边AB的中点，以点A为圆心，以AD的长为半径画弧与腰AC相交于点E，以点B为圆心，以BD的长为半径画弧与腰BC相交于点F，则图中的阴影部分图形的面积为 ．（结果保留π）
13．（3分）若a23，则的值为 ．
14．（3分）中国的元旦，据传说起于三皇五帝之一的颛顼，距今已有3000多年的历史，可见其根源的渊远流长．“元旦”一词最早出现于《晋书》．“元旦节”前夕，某超市分别以每袋30元、20元、10元的价格购进腊排骨、腊香肠、腊肉各若干，由于该食品均是真空包装，只能成袋出售，每袋的售价分别为50元、40元、20元，元旦节当天卖出三种年货若干袋，元月2日腊排骨卖出的数量是第一天腊排骨数量的3倍，腊香肠卖出的数量是第一天腊香肠数量的2倍，腊肉卖出的数量是第一天腊肉数量的4倍；元月3日卖出的腊排骨的数量是这三天卖出腊排骨的总数量的，卖出腊香肠的数量是前两天腊香肠数量和的，卖出腊肉的数量是第二天腊肉数量的．若第三天三种年货的销售总额比第一天三种年货销售总额多1600元，这三天三种年货的销售总额为9350元，则这三天所售出的三种年货的总利润为 元．
15．（3分）阅读理解：平面内的⊙O和⊙O外一点A，过点A的直线l与⊙O交于B，C两点（B在A，C之间），点D为平面内一点．若以AD为边的正方形ADEF的面积等于分别以AB，AC为一组邻边的矩形的面积，则称正方形ADEF为点A关于⊙O的“原本正方形”，该正方形的中心称为点A关于⊙O的“原本点”．如图所示，正方形ADEF的面积等于矩形AMNC的面积，其中AM＝AB，称正方形ADEF为点A关于⊙O的“原本正方形”，该正方形中心点G称为点A关于⊙O的“原本点”．当出现“特别情况”的时候，即：当点D恰好在⊙O上时，称此时正方形的中心G为点A关于⊙O的“单纯原本点”．⊙N的圆心为N（n，0）（n＞0），半径为ON．点H为坐标平面内一点，过点H的直线l与⊙N有两个交点，且ON＝NH．若直线yx+6上存在点P，使得点P为点H关于⊙N的“单纯原本点”，即可得出n的最小值为 ．
三、解答题（本题总分55分，其中16题6分，17题6分，18题7分，19题8分，20题9分，21题9分，22题10分）
16．（6分）计算：3tan30°sin60°×（）﹣1+（2022﹣π）0．
17．（6分）一个不透明的口袋装有分别标有汉字“美”“丽”“南”“山”的4个小球，除汉字不同外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀．
（1）若从中任取一个小球，求摸出球上的汉字刚好是“美”的概率；
（2）小华从中任取一个小球，记下小球上的汉字后放回，再从中任取一小球，请用画树状图或列表法，求小华取出的2个小球上的汉字恰能组成“美丽”或“南山”的概率．
18．（7分）如图所示，已知BC是水平面，AB、AD、CD是斜坡．AB的坡角为42°，坡长为200米，AD的坡角为60°，坡长为100米，CD的坡比i＝1：2．
（1）求坡顶A到水平面BC的距离；
（2）求斜坡CD的长度．（结果精确到1米，参考数据：sin42°≈0.70，1.73）
19．（8分）已知：正方形ABCD中，E是AB的中点，F是AD上一点，且ED＝FC，ED、FC交于点G，连接BG，BH平分∠GBC交FC于H，连接DH．
（1）求证：ED⊥FC；
（2）求证：△DGH是等腰直角三角形．
20．（9分）正方形ABCD的边长为6cm，P，Q两动点同时从点C出发，点P沿CB→BA以3cm/s的速度向终点A匀速运动，点Q沿CD→DB以2cm/s的速度向点B匀速运动，当点P到达终点A时，点Q同时停止运动．设点P的运动时间为t（s），△CPQ的面积为S（cm2）．
（1）填空：点P的运动时间为 s；
（2）求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围．
21．（9分）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上，点C在y轴的正半轴上，直线BC的解析式为y＝kx+12（k≠0），AC⊥BC，线段OA的长是方程
x2﹣15x﹣16＝0的根．请解答下列问题：
（1）求点A、点B的坐标．
（2）若直线l经过点A与线段BC交于点D，且tan∠CAD，双曲线y（m≠0）的一个分支经过点D，求m的值．
（3）在第一象限内，直线CB下方是否存在点P，使以C、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．若存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
22．（10分）数学探究一直是数学学习的极重要的方法，新课标对此有细致阐述．小明对圆中定值与最值问题十分感兴趣，为此他做了一个简单的探究．如图，在直角坐标系中，圆心M在x轴正半轴上，点P为⊙M第一象限内的一个动点，据此：
【前提条件】假若sin∠ABO，r＝5；
【探究规律】如图1，连接DP并延长交y轴于点E，那么在P点移动过程中，是否有DP•DE为定值？若为定值，求出来定值；若不是，求出其最小值．
【归纳总结】如图2，小明发现做题越来越有意思，于是作∠ADH＝2∠ABO，BH⊥DH，交x轴于点F，连接PF，OP．点G为线段OP的三等分点（OG＜OP）．以点O为圆心，以线段OG为半径作⊙O，设⊙O半径为r，在点P移动过程中，是否有r2（17﹣15cos∠FPO）为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，请求出其最小值．
【拓展提升】如图3，若圆心和半径大小均不固定，那么点P，A，B，C，D，M均为动点，作PT∥y轴，交动圆M于点T．Q，R两点为直线PT右侧的两个动点，并且PT＝QR．那么在点P运动过程中，是否有为定值？若为定值，求出这个定值；若不为定值，请求出其最小值．
2022年广东省深圳市南山区中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（每小题3分，共10小题，总共30分）
1．（3分）2022的倒数的相反数是（ ）
A． B． C．﹣2022 D．2022
【解答】解：2022的的倒数是，相反数是．
故选：B．
2．（3分）截止至10月7日，著名电影《长津湖》票房情况理想，总票房甚至达到46.49亿，46.49亿用科学记数法表示为（ ）
A．46.49×108 B．4.649×108
C．4.649×109 D．0.4649×1011
【解答】解：46.49亿＝4649000000＝4.649×109．
故选：C．
3．（3分）若关于y的方程ay﹣2＝6+y与方程y+4＝2的解相同，则a的值为（ ）
A．﹣3 B．3 C．﹣4 D．4
【解答】解：∵y+4＝2，
∴y＝﹣2，
∵方程ay﹣2＝6+y与方程y+4＝2的解相同，
∴y＝﹣2方程ay﹣2＝6+y的解，
∴﹣2a﹣2＝6﹣2，
∴a＝﹣3，
故选：A．
4．（3分）等腰三角形ABC中，AB＝AC，记AB＝x，周长为y，定义（x，y）为这个三角形的坐标．如图所示，直线y＝2x，y＝3x，y＝4x将第一象限划分为4个区域．下面四个结论中，
①对于任意等腰三角形ABC，其坐标不可能位于区域Ⅰ中；
②对于任意等腰三角形ABC，其坐标可能位于区域Ⅳ中；
③若三角形ABC是等腰直角三角形，其坐标位于区域Ⅲ中；
④图中点M所对应等腰三角形的底边比点N所对应等腰三角形的底边长．
所有正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．①③④ C．②④ D．①②③
【解答】解：如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，记AB＝x，周长为y，
设BC＝z，则y＝2x+z，x＞0，z＞0．
①∵BC＝z＞0，
∴y＝2x+z＞2x，
∴对于任意等腰三角形ABC，其坐标位于直线y＝2x的上方，不可能位于区域Ⅰ中，故结论①正确；
②∵三角形任意两边之和大于第三边，
∴2x＞z，即z＜2x，
∴y＝2x+z＜4x，
∴对于任意等腰三角形ABC，其坐标位于直线y＝4x的下方，不可能位于区域Ⅳ中，故结论②错误；
③若三角形ABC是等腰直角三角形，则zx，
∵12，AB＝x＞0，
∴xx＜2x，
∴3x＜2xx＜4x，
即3x＜y＜4x，
∴若三角形ABC是等腰直角三角形，其坐标位于区域Ⅲ中，故结论③正确；
④由图可知，点M位于区域Ⅲ中，此时3x＜y＜4x，
∴3x＜2x+z＜4x，
∴x＜z＜2x；
点N位于区域Ⅱ中，此时2x＜y＜3x，
∴2x＜2x+z＜3x，
∴0＜z＜x；
∵点M所对应等腰三角形的周长比点N所对应等腰三角形的周长短，
∴图中无法得到点M所对应等腰三角形的底边比点N所对应等腰三角形的底边长，故结论④错误．
故选：A．
5．（3分）已知x、y为实数，且（y﹣3）2＝0．若axy﹣3x＝y，则实数a的值是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵（y﹣3）2＝0，
∴，
解得，
∵axy﹣3x＝y，
∴3a﹣3×（）＝3，
∴﹣4a+4＝3，
解得a．
故选：A．
6．（3分）一根钢管放在V形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是24cm，若∠ACB＝60°，则劣弧AB的长是（ ）
A．8πcm B．16πcm C．32πcm D．192πcm
【解答】解：由题意得：CA和CB分别与⊙O相切于点A和点B，
∴OA⊥CA，OB⊥CB，
∴∠OAC＝∠OBC＝90°，
∵∠ACB＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∴16π（cm），
故选：B．
7．（3分）定义：当x＝a时，其对应的函数值为y＝f（a），若f（a）＝a成立，则称a为函数y的不动点．例如：函数y＝x2﹣3x+4，当x＝2时，y＝f（2）＝22﹣3×2+4＝2，因为f（2）＝2成立，所以2为函数y的不动点．因此对于函数y＝（t+1）x2﹣（2t+1）x﹣3，将函数图象向下平移m（m＞0）个单位长度，t≥﹣4时，平移后函数不动点的个数有几个（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【解答】解：向下平移后的函数为：y＝（t+1）x2﹣（2t+1）x﹣3﹣m，
当t＝﹣1时，y＝x﹣3﹣m，函数没有不动点；
当t≠﹣1时，
令x＝（t+1）x2﹣（2t+1）x﹣3﹣m，
整理得，（t+1）x2﹣（2t+2）x﹣3﹣m＝0，
∴Δ＝（2t+2）2+（t+1）（3+m）＝0，整理得Δ＝4（t+1）（t+m+4），
∵m＞0，t≥﹣4，
∴t+m+4＞0，
当﹣4≤t＜﹣1时，Δ＜0，平移后函数不动点的个数为0个；
当t＝﹣1时，不是二次函数；
当t＞﹣1时，Δ＞0，平移后函数不动点的个数为2个．
综上可知，当﹣4≤t≤﹣1时，平移后函数不动点的个数为0个；当t＞﹣1时，平移后函数不动点的个数为2个．
故选：C．
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，则AB＝2BC．请在这一结论的基础上继续思考：若AC＝2，点D是AB的中点，P为边CD上一动点，则APCP的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【解答】解：过C作CE⊥AB于E，过点P作PF⊥EC于F，
∵∠ACB＝90°，点D是AB的中点，
∴CDAB＝AD，
∵∠CAB＝30°，
∴∠B＝60°，
∴△BCD为正三角形，
∴∠DCE＝30°，
∴PFCP，
∴APCP＝AP+PF≥AE，
∵∠CAB＝30°，AC＝2，
∴CEAC＝1，
∴AE，
∴APCP的最小值为．
故选：C．
9．（3分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，D为抛物线顶点．连接AD交y轴于点E，点P在第四象限的抛物线上，连接AP、BE交于点G，设w＝S△ABG：S△BGP，则w的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵点P在第四象限的抛物线上，AP、BE交于点G，如图，
设P（m，m2﹣2m﹣3），其中0＜m＜3，
设直线AP的解析式为y＝cx+d，
∵A（﹣1，0），P（m，m2﹣2m﹣3），
∴，
解得：，
∴直线AP的解析式为y＝（m﹣3）x+m﹣3．
设直线BE的解析式为y＝ex+f，
∵B（3，0），E（0，﹣2），
∴，
解得，
∴直线BE的解析式为yx﹣2，
联立方程组，得：，
解得：，
∴yG，
∵0＜m＜3，
∴24﹣8m＞0，3m﹣11＜0，
∴0，
∴w，
令z＝﹣3m2+8m+3＝﹣3（m）2，
∵﹣3＜0，
∴当m时，z取得最大值 ，w取得最小值为 ，
∴w有最小值，最小值为 ．
故选：A．
10．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠A，AC＝6，BC＝4，所以AB长为（ ）
A．2 B． C． D．4
【解答】解：在AC边上取点D，使∠ABD∠ABC，连接BD，如图所示，
∵∠ABC＝3∠A，AC＝6，
∴AD＝BD＝2，CD＝4，
∵BC＝4，
∴∠a＝∠CBD，
由余弦定理知：
cos∠a，
∵∠BDA＝π﹣a
∴cos∠BDA＝cos（π﹣a）＝﹣cosa，
∴AB2＝AD2+BD2﹣2×AD×BD×cos∠BDA
＝22+22﹣2×2×2×（）
＝10
∴AB，
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共5小题，总共15分）
11．（3分）如果式子有意义，那么x的取值范围是 ﹣2＜x≤1 ．
【解答】解：由题意得，
，
解得﹣2＜x≤1．
故答案为：﹣2＜x≤1．
12．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，D为边AB的中点，以点A为圆心，以AD的长为半径画弧与腰AC相交于点E，以点B为圆心，以BD的长为半径画弧与腰BC相交于点F，则图中的阴影部分图形的面积为 2 ．（结果保留π）
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，
∴AB＝2，∠A＝∠B＝45°，
∵D是AB的中点，
∴AD＝DB，
∴S阴＝S△ABC﹣2•S扇形ADE2×2﹣22，
故答案为：2．
13．（3分）若a23，则的值为 1 ．
【解答】解：
＝a2﹣2
＝a22
＝3﹣2
＝1，
∴1，
14．（3分）中国的元旦，据传说起于三皇五帝之一的颛顼，距今已有3000多年的历史，可见其根源的渊远流长．“元旦”一词最早出现于《晋书》．“元旦节”前夕，某超市分别以每袋30元、20元、10元的价格购进腊排骨、腊香肠、腊肉各若干，由于该食品均是真空包装，只能成袋出售，每袋的售价分别为50元、40元、20元，元旦节当天卖出三种年货若干袋，元月2日腊排骨卖出的数量是第一天腊排骨数量的3倍，腊香肠卖出的数量是第一天腊香肠数量的2倍，腊肉卖出的数量是第一天腊肉数量的4倍；元月3日卖出的腊排骨的数量是这三天卖出腊排骨的总数量的，卖出腊香肠的数量是前两天腊香肠数量和的，卖出腊肉的数量是第二天腊肉数量的．若第三天三种年货的销售总额比第一天三种年货销售总额多1600元，这三天三种年货的销售总额为9350元，则这三天所售出的三种年货的总利润为 4300 元．
【解答】解：设元旦当天卖出腊排骨、腊香肠、腊肉分别为x，y，z袋（x，y，z均为正整数），则元月2日卖出腊排骨、腊香肠、腊肉分别为3x，2y，4z袋，元月3日卖出腊排骨、腊香肠、腊肉分别为x，4y，2z袋，根据题意得：
，即，
由①得：z＝80﹣6y，
∵x，y，z均为正整数，
∴当y＝1时，z＝74，14z＞935，等式②不成立，不合题意；
当y＝2时，z＝68，14z＞935，等式②不成立，不合题意；
当y＝3时，z＝62，28y+14z＞935，等式②不成立，不合题意；
…
当y＝10时，z＝20，x＝15，等式②成立，符合题意；
…
综上可知，x＝15，y＝10，z＝20，
这三天所售出的三种年货的总利润为20×5x+20×7y+10×7z＝100x+140y+70z＝1500+1400+1400＝4300（元）．
15．（3分）阅读理解：平面内的⊙O和⊙O外一点A，过点A的直线l与⊙O交于B，C两点（B在A，C之间），点D为平面内一点．若以AD为边的正方形ADEF的面积等于分别以AB，AC为一组邻边的矩形的面积，则称正方形ADEF为点A关于⊙O的“原本正方形”，该正方形的中心称为点A关于⊙O的“原本点”．如图所示，正方形ADEF的面积等于矩形AMNC的面积，其中AM＝AB，称正方形ADEF为点A关于⊙O的“原本正方形”，该正方形中心点G称为点A关于⊙O的“原本点”．当出现“特别情况”的时候，即：当点D恰好在⊙O上时，称此时正方形的中心G为点A关于⊙O的“单纯原本点”．⊙N的圆心为N（n，0）（n＞0），半径为ON．点H为坐标平面内一点，过点H的直线l与⊙N有两个交点，且ON＝NH．若直线yx+6上存在点P，使得点P为点H关于⊙N的“单纯原本点”，即可得出n的最小值为 ．
【解答】解：∵直线yx+6与x轴、y轴分别交于点A、B，
∴A（﹣2，0），B（0，6），AB＝4．
∵N（n，0）（n＞0），
∴AN＝n﹣（﹣2）＝n+2．
∵sin∠BAO，
∴点N到AB的距离为ANsin∠BAOn+3．
依题意，若正方形ADEF为点A关于⊙O的原本正方形，则有AD2＝AB×AC＝OA2﹣r2，其中r为⊙O的半径．
设点H关于⊙N的原本正方形为HDEF，则有HD2＝HN2﹣ON2＝5n2﹣n2＝4n2，
∴HD＝2n．
又∵DN＝ON＝n，NHONn，
∴∠NDH＝90°．
又∠EDH＝90°，
∴N、D、E共线．
取DE中点T，则PT＝TDHD＝n，PT⊥TN，
∴PN2＝PT2+TN2．
∴PNn≥ANsin∠BAOn+3．
解得n．
下面检验n是否满足题意．
当n时，取PN⊥AB于点P，则PNANn+33n，
以P为圆心、n为半径作圆交圆N于点D，则ND＝n，PDn，PNn，∠PDN＝135°．
以P为中心，D为一个顶点作正方形HDEF，则HD＝2n，HNn，符合题目所有条件．
综上，n的最小值为．
故答案为：．
三、解答题（本题总分55分，其中16题6分，17题6分，18题7分，19题8分，20题9分，21题9分，22题10分）
16．（6分）计算：3tan30°sin60°×（）﹣1+（2022﹣π）0．
【解答】解：原式＝34+1
1
＝1．
17．（6分）一个不透明的口袋装有分别标有汉字“美”“丽”“南”“山”的4个小球，除汉字不同外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀．
（1）若从中任取一个小球，求摸出球上的汉字刚好是“美”的概率；
（2）小华从中任取一个小球，记下小球上的汉字后放回，再从中任取一小球，请用画树状图或列表法，求小华取出的2个小球上的汉字恰能组成“美丽”或“南山”的概率．
【解答】解：（1）摸出球上的汉字刚好是“美”的概率；
（2）画树状图为：
共有16种等可能的结果，其中取出的2个小球上的汉字恰能组成“美丽”或“南山”的结果数为4，
所以小华取出的2个小球上的汉字恰能组成“美丽”或“南山”的概率．
18．（7分）如图所示，已知BC是水平面，AB、AD、CD是斜坡．AB的坡角为42°，坡长为200米，AD的坡角为60°，坡长为100米，CD的坡比i＝1：2．
（1）求坡顶A到水平面BC的距离；
（2）求斜坡CD的长度．（结果精确到1米，参考数据：sin42°≈0.70，1.73）
【解答】解：（1）过点A作AE⊥BC于E，
在Rt△ABE中，∠B＝42°，AB＝200米，
则AE＝AB•sinB≈200×0.70＝140（米），
答：坡顶A到水平面BC的距离约为140米；
（2）过点D作DF⊥BC于F，DG⊥AE于G，
则四边形EFDG为矩形，
∴GE＝DF，
在Rt△AGD中，∠ADG＝60°，AD＝100米，
则AG＝AD•sin∠ADG＝10086.5（米），
∴DF＝GE＝AE﹣AG＝53.5（米），
∵CD的坡比i＝1：2，
∴DF：FC＝1：2，
∴DF：CD＝1：3，
∴CD＝3DF＝160.5≈161（米），
答：斜坡CD的长度约为161米．
19．（8分）已知：正方形ABCD中，E是AB的中点，F是AD上一点，且ED＝FC，ED、FC交于点G，连接BG，BH平分∠GBC交FC于H，连接DH．
（1）求证：ED⊥FC；
（2）求证：△DGH是等腰直角三角形．
【解答】证明：（1）∵在正方形ABCD中，
∴AD＝CD，
∵ED＝FC，∠CDA＝∠A＝90°，
即在Rt△AED和Rt△FDC中，
∵，
∴Rt△AED≌Rt△FDC（HL），
∴∠AED＝∠DFC，
∵∠AFC+∠DFC＝180°，
∴∠AFC+∠AED＝180°，
∴∠A+∠FGE＝180°（四边形内角和定理），
∵∠A＝90°，
∴∠FGE＝90°，
即ED⊥FC；
（2）连接EC，
∵由（1）得∠FGE＝90°，∠ABC＝90°，
∴∠EGC+∠EBC＝180°，
∴B、C、G、E四点共圆（如图所示），
∴∠AED＝∠BCG，
∴∠BGC＝∠BEC，
在RT△BCE和RT△ADE中，
∵，
∴RT△BCE≌RT△ADE（SAS），
∴∠AED＝∠BEC，
∴∠BGC＝∠AED，
∴∠BGC＝∠BCG，
∴BG＝BC，
又∵BH平分∠GBC交FC于H，
∴BH是GC的中垂线，
∴GH＝HC，∠BHC＝90°，
∵∠BCH+∠GCD＝90°，∠GCD+∠GDC＝90°，
∴∠BCH＝∠CDG，
∵∠DGC＝∠BHC＝90°，CD＝CB，
∴，
∴△BHC≌△CGD，
∴DG＝HC，
∵GH＝HC，
∴GH＝DG，
又∵∠FGE＝90°，
∴△DGH是等腰直角三角形．
20．（9分）正方形ABCD的边长为6cm，P，Q两动点同时从点C出发，点P沿CB→BA以3cm/s的速度向终点A匀速运动，点Q沿CD→DB以2cm/s的速度向点B匀速运动，当点P到达终点A时，点Q同时停止运动．设点P的运动时间为t（s），△CPQ的面积为S（cm2）．
（1）填空：点P的运动时间为 4 s；
（2）求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围．
【解答】解：（1）由题意得，点P运动到终点时间为：6×2÷3＝4（s），
点Q运动到终点时间为：6×2÷2＝6（s），
∵4＜6，
∴两点的运动时间为4s，
故答案为：4；
（2）当0＜t≤2时，点P在BC边上点Q在CD边上，
此时CP＝3t，CQ＝2t，
∴S3t×2t，
整理得，S＝3t2；
当2＜t≤3时，点P在AB边上点Q在CD边上，
此时，CQ＝2t，
∴S2t×6，
整理得，S＝6t；
当3＜t≤4时，点P在AB边上点Q在BD边上，
连接AQ，过点Q作QM⊥AD，QN⊥AB，
此时DQ＝2t﹣12，
∴，
，
解得MQt﹣6，
∴NQ＝6t+6，
∴S＝6×6﹣26×（t﹣6）（12﹣3t）×（6t+6），
整理得，St2+（99）t﹣72，
综上，当0＜t≤2时，S＝3t2；当2＜t≤3时，S＝6t；当3＜t≤4时，St2+（99）t﹣72．
21．（9分）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上，点C在y轴的正半轴上，直线BC的解析式为y＝kx+12（k≠0），AC⊥BC，线段OA的长是方程
x2﹣15x﹣16＝0的根．请解答下列问题：
（1）求点A、点B的坐标．
（2）若直线l经过点A与线段BC交于点D，且tan∠CAD，双曲线y（m≠0）的一个分支经过点D，求m的值．
（3）在第一象限内，直线CB下方是否存在点P，使以C、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．若存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：由x2﹣15x﹣16＝0得，
x1＝16，x2＝﹣1（舍去），
∴OA＝16，
∴A（16，0），
当x＝0时，y＝12，
∴C（0，12），
∴OC＝12，
∴AC20，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝∠AOC＝90°，
∵∠OAC＝∠BAC，
∴△AOC∽△ACB，
∴，
∴，
∴AB＝25
∴OB＝AB﹣OA＝25﹣16＝9，
∴B（﹣9，0）；
（2）如图1，
作DE⊥OC于E，
∵tan∠CAD，AC＝20，
∴CD5，
∵OC＝12，OB＝9，
∴BC15，
∵∠CED＝∠BOC＝90°，
∴DE∥OB，
∴△CDE∽△CBO，
∴，
∴，
∴DE＝3，CE＝4，
∴OE＝OC﹣CE＝8，
∴D（﹣3，8），
∴，
∴m＝﹣24；
（3）如图2，
当△PAC∽△BCA时，此时△PAC≌△BCA，
∵A（12，0），B（﹣9，0），C（0，12），
∴P（25，12），
如图3，
当△PAC∽△ACB时，作PE⊥AB于E，
∴，
∴，
∴AP，
由△PEA∽△ACO得，
，
∴，
∴PE，AE＝16，
∴OE＝OA+AE＝32，
∴P（32，），
如图4，
当△PAC∽△CBA时，此时△PAC≌△OCA，
∴P（16，12），
如图5，
当△PAC∽△CAB时，此时△PAC≌△OAC，
∴，
作PH⊥OC于H，AG⊥PH于G，
由△AGP∽△PHC得，
，
∴设AG＝4x，PG＝4y，则PH＝3x，CH＝3y，
∵PH+PG＝OA＝16，OC+CH＝AG，
∴，
∴，
∴PH＝3x，AH＝4x，
∴P（，），
综上所述：P（25，12）或（32，）或（16，12）或（，）．
22．（10分）数学探究一直是数学学习的极重要的方法，新课标对此有细致阐述．小明对圆中定值与最值问题十分感兴趣，为此他做了一个简单的探究．如图，在直角坐标系中，圆心M在x轴正半轴上，点P为⊙M第一象限内的一个动点，据此：
【前提条件】假若sin∠ABO，r＝5；
【探究规律】如图1，连接DP并延长交y轴于点E，那么在P点移动过程中，是否有DP•DE为定值？若为定值，求出来定值；若不是，求出其最小值．
【归纳总结】如图2，小明发现做题越来越有意思，于是作∠ADH＝2∠ABO，BH⊥DH，交x轴于点F，连接PF，OP．点G为线段OP的三等分点（OG＜OP）．以点O为圆心，以线段OG为半径作⊙O，设⊙O半径为r，在点P移动过程中，是否有r2（17﹣15cos∠FPO）为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，请求出其最小值．
【拓展提升】如图3，若圆心和半径大小均不固定，那么点P，A，B，C，D，M均为动点，作PT∥y轴，交动圆M于点T．Q，R两点为直线PT右侧的两个动点，并且PT＝QR．那么在点P运动过程中，是否有为定值？若为定值，求出这个定值；若不为定值，请求出其最小值．
【解答】解：【探究规律】如图1，DP•DE为定值，理由如下：
连接AP和BD，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝∠APD＝90°，
∴∠BAO+∠ADB＝90°，
∵OB⊥AD，
∴∠AOB＝90°，
∴∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠ADB＝∠ABO，
∴AB＝AD•sin∠ADB＝10•sin∠ABO＝102，
∴OA＝AB•sin∠ABO＝22，
∴OD＝AD﹣OA＝8，
∵∠ADP＝∠ODE，∠APD＝∠DOE＝90°，
∴△ADP∽△EDO，
∴，
∴DP•DE＝AD•OD＝10×8＝80；
【归纳总结】如图2，r2（17﹣15cos∠FPO）为定值，理由如下：
连接BD，作ON⊥PF于N，
由（1）知：∠ADB＝∠ABO，
∵∠ADH＝2∠ABO，
∴∠ADH＝2∠ADB，
∴∠ADB＝∠HDB，
∵BH⊥DH，OB⊥AD，
∴∠OBD＝∠DBH，
∵∠ABD＝90°，
∴∠ABF+∠DBH＝90°，∠ABO+∠DBH＝90°，
∴∠ABF＝∠ABO，
∴∠ABF＝∠ADB，
∵∠AFB＝∠BFD，
∴△ABF∽△BDF，
∴，
∴BF2＝AF•DF＝AF•（AF+AD）＝AF2+10AF①，
在Rt△BOF中，
BF2﹣AF2＝OB2＝42＝16②，
由①②得，
AF，
∴OF＝AF+OA，
∵BF2（10），
∴BF，
∴，
∵G是AP的三等分点，AG＝r，
∴AP＝3r，PF＝5r，
在Rt△OPN中，
ON＝3r•sin∠FPO，PN＝3r•cos∠FPO，
∴FN＝PF﹣PN＝5r﹣3r•cos∠FPO，
在Rt△FON中，由勾股定理得，
FN2+ON2＝OF2，
∴（5r﹣3r•cos∠FPO）2+（3r•sin∠FPO）2＝（）2，
化简得，
r2（17﹣15•cos∠FPO）；
（3）不是定值．有最小值．
理由：如图3中，设PT与AD交于点S，则PT＝2PS，PT⊥AD，设SQ＝k•PS．
∵PQ2＝PS2+SQ2＝（1+k2）PS2，
PR2＝PS2+SR2＝PS2+（SQ+QR）2
＝PS2+（k•PS+2PS）2＝（k2+4k+5）•PS2，
∴（）2m，令m，m＞0，
∴m（k2+4k+5）＝k2+1，
整理得（m﹣1）k2+4mk+5m﹣1＝0，
∵Δ≥0，
∴（4m）2﹣4（m﹣1）（5m﹣1）≥0，
整理得m2﹣6m+1≤0，
∴3﹣2m≤（1）2，
∴（）2的最小值为（1）2，
∴最小值是1．
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