2022中考数学复习冲刺之解答题压轴题练习120题（方程、不等式、函数）

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04一元二次方程解答题压轴题-2022中考数学复习冲刺（含答案）

46．先化简，再求值：(a−2aa+1)÷a2−2a+1a2−1−a2，其中a是方程x2−x−72=0的解．
47．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利44元，为了扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场每天可多售5件．若商场平均每天要盈利1600元，每件衬衫应降价多少元？
48．等腰△ABC的直角边AB＝BC＝10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度作直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．设P点运动时间为t，△PCQ的面积为S．
（1）求出S关于t的函数关系式；
（2）当点P运动几秒时，S△PCQ＝S△ABC？
（3）作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论．

49．每年的3月8日是国际劳动妇女节，是世界各国妇女争取和平、平等、发展的节日，沙坪坝某商店抓住这一机会，将A、B两种巧克力进行降价促销活动，在这一天前来购买这两种巧克力的顾客共有400名，每名顾客均购买了一盒巧克力，其中A、B两种的巧克力的销售单价分别为90元和50元．
（1）若选择购买B种巧克力的人数不超过购买A种巧克力数的0.6倍．求至少有多少人选择购买A种巧克力？
（2）“七夕”节是中国的情人节，该商店估计当天购买巧克力的人会比较多，于是提高了A种巧克力的售价，结果发现“七夕”节当天前来购买巧克力的顾客人数出现了下降，经统计发现与（1）问中选择A种巧克力的人数最少时相比，A种巧克力每上涨3元，购买A种巧克力的人数会下降5人，同时购买B种巧克力的人数也下降3人，但是B种巧克力的售价没变，最终“七夕”节期间两种巧克力的总销售额与（1）问中选择A种巧克力的顾客最少时的两种巧克力的总销售额持平，求“七夕”节当天A种巧克力的售价．
50．已知关于x的一元二次方程x2+3x﹣m＝0有实数根．
（1）求m的取值范围
（2）若两实数根分别为x1和x2，且x12+x22=11，求m的值．
51．如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知AE=2c，这时我们把关于x的形如ax2+2cx+b=0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．
请解决下列问题：
（1）写出一个“勾系一元二次方程”；
（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2+2cx+b=0必有实数根；
（3）若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”ax2+2cx+b=0的一个根，且四边形ACDE的周长是62，求△ABC面积．

52．如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2cm/s的速度向D移动．
（1）P、Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2；
（2）P、Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离是10cm．

53．已知关于x的方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18＝0有两个正整数根（m是正整数）．△ABC的三边a、b、c满足c=23，m2+a2m﹣8a＝0，m2+b2m﹣8b＝0．求：
（1）m的值；
（2）△ABC的面积．
54．阅读下列材料：求函数y=3x2+2xx2+x+0.25的最大值．
解：将原函数转化成x的一元二次方程，得(y−3)x2+(y−2)x+14y=0．
∵x为实数，∴△=(y−2)2−4(y−3)×14y=−y+4≥0，∴y≤4．因此，y的最大值为4．
根据材料给你的启示，求函数y=3x2+x+2x2+2x+1的最小值．
55．菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销．李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售．
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：
方案一：打九折销售；
方案二：不打折，每吨优惠现金200元．
试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由．
56．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+14m2+1＝0的两根是一个矩形两邻边的长．
（1）m取何值时，方程有两个正实数根．
（2）当矩形的对角线长为5时，求m的值．
57．已知关于x的方程x2+2（k﹣3）x+k2＝0有两个实数根x1、x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若|x1+x2﹣9|＝x1x2，求k的值．
58．观察下面方程的解法
x4﹣13x2+36＝0
解：原方程可化为（x2﹣4）（x2﹣9）＝0
∴（x+2）（x﹣2）（x+3）（x﹣3）＝0
∴x+2＝0或x﹣2＝0或x+3＝0或x﹣3＝0
∴x1＝2，x2＝﹣2，x3＝3，x4＝﹣3
你能否求出方程x2﹣3|x|+2＝0的解？
59．在前面的学习中，我们通过对同一面积的不同表达和比较，根据图1和图2发现并验证了平方差公式和完全平方公式．
这种利用面积关系解决问题的方法，使抽象的数量关系因几何直观而形象化．

【研究速算】
提出问题：47×43，56×54，79×71，…是一些十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数相乘的算式，是否可以找到一种速算方法？
几何建模：
用矩形的面积表示两个正数的乘积，以47×43为例：
（1）画长为47，宽为43的矩形，如图3，将这个47×43的矩形从右边切下长40，宽3的一条，拼接到原矩形上面．
（2）分析：原矩形面积可以有两种不同的表达方式：47×43的矩形面积或（40+7+3）×40的矩形与右上角3×7的矩形面积之和，即47×43＝（40+10）×40+3×7＝5×4×100+3×7＝2021．
用文字表述47×43的速算方法是：十位数字4加1的和与4相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果．
归纳提炼：
两个十位数字相同，并且个位数字之和是10的两位数相乘的速算方法是（用文字表述） 　 　．
【研究方程】
提出问题：怎样图解一元二次方程x2+2x﹣35＝0（x＞0）？
几何建模：
（1）变形：x（x+2）＝35．
（2）画四个长为x+2，宽为x的矩形，构造图4
（3）分析：图中的大正方形面积可以有两种不同的表达方式，（x+x+2）2或四个长x+2，宽x的矩形面积之和，加上中间边长为2的小正方形面积．
即（x+x+2）2＝4x（x+2）+22
∵x（x+2）＝35
∴（x+x+2）2＝4×35+22
∴（2x+2）2＝144
∵x＞0
∴x＝5
归纳提炼：求关于x的一元二次方程x（x+b）＝c（x＞0，b＞0，c＞0）的解．
要求参照上述研究方法，画出示意图，并写出几何建模步骤（用钢笔或圆珠笔画图，并注明相关线段的长）
【研究不等关系】
提出问题：怎样运用矩形面积表示（y+3）（y+2）与2y+5的大小关系（其中y＞0）？
几何建模：
（1）画长y+3，宽y+2的矩形，按图5方式分割
（2）变形：2y+5＝（y+3）+（y+2）
（3）分析：图5中大矩形的面积可以表示为（y+3）（y+2）；阴影部分面积可以表示为（y+3）×1，画点部分的面积可表示为y+2，由图形的部分与整体的关系可知（y+3）（y+2）＞（y+3）+（y+2），即（y+3）（y+2）＞2y+5
归纳提炼：
当a＞2，b＞2时，表示ab与a+b的大小关系．
根据题意，设a＝2+m，b＝2+n（m＞0，n＞0），要求参照上述研究方法，画出示意图，并写出几何建模步骤（用钢笔或圆珠笔画图并注明相关线段的长）

60．“关爱留守儿童，关注农民工子弟教育”已逐渐成为政府以及社会关心的一大民生问题，下表是某电视台2011年一民生栏目组调查的数据：
类别
现状
户数
比例
A
父母常年在外打工，孩子留在老家由老人照顾
200

B
父母常年在外打工，孩子带在身边

10%
C
父母就近在城镇打工，晚上回家照顾孩子

25%
D
父母在家务农，并照顾孩子

15%
（1）请将统计表中的空缺数据填写完整；
（2）若2013年此电视台民生栏目组再次抽查，样本容量不变，但B类所占比例提高到了12.1%，求B类户数平均每年的增长率．
































【参考答案与解析】
46．先化简，再求值：(a−2aa+1)÷a2−2a+1a2−1−a2，其中a是方程x2−x−72=0的解．
【解答】解：∵a是方程x2−x−72=0的解，
∴a2﹣a−72=0，
∴a﹣a2=−72
(a−2aa+1)÷a2−2a+1a2−1−a2
＝{a(a+1)−2aa+1}÷(a−1)2(a+1)(a−1)−a2
=a2−aa+1÷a−1a+1−a2
=a(a−1)a+1×a+1a−1−a2
＝a﹣a2，
∴代数式的值为−72．
47．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利44元，为了扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场每天可多售5件．若商场平均每天要盈利1600元，每件衬衫应降价多少元？
【解答】解：设每件衬衫应降价x元，则销售量为（20+5x）件，每件利润为（44﹣x）元，
依题意，得（20+5x）（44﹣x）＝1600，
整理，得x2﹣40x+144＝0，
解得x＝36或x＝4（为了减少库存，不符合题意舍去）．
故每件衬衫应降价36元．
48．等腰△ABC的直角边AB＝BC＝10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度作直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．设P点运动时间为t，△PCQ的面积为S．
（1）求出S关于t的函数关系式；
（2）当点P运动几秒时，S△PCQ＝S△ABC？
（3）作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论．

【解答】解：（1）当t＜10秒时，P在线段AB上，此时CQ＝t，PB＝10﹣t，
∴S=12×t（10﹣t）=12（10t﹣t2），
当t＞10秒时，P在线段AB得延长线上，此时CQ＝t，PB＝t﹣10，
∴S=12×t（t﹣10）=12（t2﹣10t）．

（2）∵S△ABC=12AB⋅BC=50，
∴当t＜10秒时，S△PCQ=12(10t−t2)=50，
整理得t2﹣10t+100＝0，此方程无解，
当t＞10秒时，S△PCQ=12(t2−10t)=50，
整理得t2﹣10t﹣100＝0，解得t＝5±55（舍去负值），
∴当点P运动5+55秒时，S△PCQ＝S△ABC．

（3）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．
证明：过Q作QM⊥AC，交直线AC于点M，
易证△APE≌△QCM，
∴AE＝PE＝CM＝QM=22t，
∴四边形PEQM是平行四边形，且DE是对角线EM的一半．
又∵EM＝AC＝102∴DE＝52
∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．
同理，当点P在点B右侧时，DE＝52
综上所述，当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．


49．每年的3月8日是国际劳动妇女节，是世界各国妇女争取和平、平等、发展的节日，沙坪坝某商店抓住这一机会，将A、B两种巧克力进行降价促销活动，在这一天前来购买这两种巧克力的顾客共有400名，每名顾客均购买了一盒巧克力，其中A、B两种的巧克力的销售单价分别为90元和50元．
（1）若选择购买B种巧克力的人数不超过购买A种巧克力数的0.6倍．求至少有多少人选择购买A种巧克力？
（2）“七夕”节是中国的情人节，该商店估计当天购买巧克力的人会比较多，于是提高了A种巧克力的售价，结果发现“七夕”节当天前来购买巧克力的顾客人数出现了下降，经统计发现与（1）问中选择A种巧克力的人数最少时相比，A种巧克力每上涨3元，购买A种巧克力的人数会下降5人，同时购买B种巧克力的人数也下降3人，但是B种巧克力的售价没变，最终“七夕”节期间两种巧克力的总销售额与（1）问中选择A种巧克力的顾客最少时的两种巧克力的总销售额持平，求“七夕”节当天A种巧克力的售价．
【解答】解：（1）设购买A、B两种巧克力的人数分别为x、y，
则y＝400﹣x≤0.6x，
解得：x≥250，
故至少有250人选择购买A种巧克力；

（2）“七夕”节当天A种巧克力涨价x元，
由题意得：购买甲乙巧克力的人数分别为250人、150人，
则（250−53x）（90+x）+（150−33x）×50＝250×90+150×50，
解得：x＝30或0（舍去0），
故“七夕”节当天A种巧克力的售价为120元．
50．已知关于x的一元二次方程x2+3x﹣m＝0有实数根．
（1）求m的取值范围
（2）若两实数根分别为x1和x2，且x12+x22=11，求m的值．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程 x2+3x﹣m＝0有实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝32+4m≥0，
解得：m≥−94；

（2）∵x1+x2＝﹣3、x1x2＝﹣m，
∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝11，
∴（﹣3）2+2m＝11，
解得：m＝1．
51．如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知AE=2c，这时我们把关于x的形如ax2+2cx+b=0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．
请解决下列问题：
（1）写出一个“勾系一元二次方程”；
（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2+2cx+b=0必有实数根；
（3）若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”ax2+2cx+b=0的一个根，且四边形ACDE的周长是62，求△ABC面积．

【解答】（1）解：当a＝3，b＝4，c＝5时
勾系一元二次方程为3x2+52x+4＝0；

（2）证明：根据题意，得
Δ＝（2c）2﹣4ab＝2c2﹣4ab
∵a2+b2＝c2
∴2c2﹣4ab＝2（a2+b2）﹣4ab＝2（a﹣b）2≥0
即△≥0
∴勾系一元二次方程ax2+2cx+b=0必有实数根；

（3）解：当x＝﹣1时，有a−2c+b＝0，即a+b=2c
∵2a+2b+2c＝62，即2（a+b）+2c＝62
∴32c＝62
∴c＝2
∴a2+b2＝c2＝4，a+b＝22
∵（a+b）2＝a2+b2+2ab
∴ab＝2
∴S△ABC=12ab＝1．
52．如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2cm/s的速度向D移动．
（1）P、Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2；
（2）P、Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离是10cm．

【解答】解：（1）设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形PBCQ的面积为33cm2，
则PB＝（16﹣3x）cm，QC＝2xcm，
根据梯形的面积公式得12（16﹣3x+2x）×6＝33，
解之得x＝5，

（2）设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是10cm，
作QE⊥AB，垂足为E，
则QE＝AD＝6，PQ＝10，
∵PA＝3t，CQ＝BE＝2t，
∴PE＝AB﹣AP﹣BE＝|16﹣5t|，
由勾股定理，得（16﹣5t）2+62＝102，
解得t1＝4.8，t2＝1.6．
答：（1）P、Q两点从出发开始到5秒时四边形PBCQ的面积为33cm2；
（2）从出发到1.6秒或4.8秒时，点P和点Q的距离是10cm．

53．已知关于x的方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18＝0有两个正整数根（m是正整数）．△ABC的三边a、b、c满足c=23，m2+a2m﹣8a＝0，m2+b2m﹣8b＝0．求：
（1）m的值；
（2）△ABC的面积．
【解答】解：（1）∵关于x的方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18＝0有两个正整数根（m是整数）．
∵a＝m2﹣1，b＝﹣9m+3，c＝18，
∴b2﹣4ac＝（9m﹣3）2﹣72（m2﹣1）＝9（m﹣3）2≥0，
设x1，x2是此方程的两个根，
∴x1•x2=ca=18m2−1，
∴18m2−1也是正整数，即m2﹣1＝1或2或3或6或9或18，
又m为正整数，
∴m＝2；

（2）把m＝2代入两等式，化简得a2﹣4a+2＝0，b2﹣4b+2＝0
当a＝b时，a=b=2±2
当a≠b时，a、b是方程x2﹣4x+2＝0的两根，而Δ＞0，由韦达定理得a+b＝4＞0，ab＝2＞0，则a＞0、b＞0．
①a≠b，c=23时，由于a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝16﹣4＝12＝c2
故△ABC为直角三角形，且∠C＝90°，S△ABC=12ab=1．
②a＝b＝2−2，c＝23时，因2(2−2)＜23，故不能构成三角形，不合题意，舍去．
③a＝b＝2+2，c＝23时，因2(2+2)＞23，故能构成三角形．
S△ABC=12×（23）×3+42=9+122
综上，△ABC的面积为1或9+122．
54．阅读下列材料：求函数y=3x2+2xx2+x+0.25的最大值．
解：将原函数转化成x的一元二次方程，得(y−3)x2+(y−2)x+14y=0．
∵x为实数，∴△=(y−2)2−4(y−3)×14y=−y+4≥0，∴y≤4．因此，y的最大值为4．
根据材料给你的启示，求函数y=3x2+x+2x2+2x+1的最小值．
【解答】解：将原函数转化成x的一元二次方程，得（y﹣3）x2+（2y﹣1）x+y﹣2＝0，
∵x为实数，
∴△＝（2y﹣1）2﹣4（y﹣3）（y﹣2）＝16y﹣23≥0，
∴y≥2316，
因此y的最小值为2316．
55．菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销．李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售．
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：
方案一：打九折销售；
方案二：不打折，每吨优惠现金200元．
试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由．
【解答】解 （1）设平均每次下调的百分率为x．
由题意，得5（1﹣x）2＝3.2．
解这个方程，得x1＝0.2，x2＝1.8（不符合题意），
符合题目要求的是x1＝0.2＝20%．
答：平均每次下调的百分率是20%．

（2）小华选择方案一购买更优惠．
理由：方案一所需费用为：3.2×0.9×5000＝14400（元），
方案二所需费用为：3.2×5000﹣200×5＝15000（元）．
∵14400＜15000，
∴小华选择方案一购买更优惠．
56．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+14m2+1＝0的两根是一个矩形两邻边的长．
（1）m取何值时，方程有两个正实数根．
（2）当矩形的对角线长为5时，求m的值．
【解答】解：（1）设矩形两邻边的长为a，b，
∵关于x的一元二次方程x2−(m+1)x+14m2+1=0的两根是一个矩形两邻边的长，
∴△≥0，即（m+1）2﹣4（14m2+1）≥0，解得m≥32，
a+b＝m+1＞0，ab=14m2+1＞0，解得m＞﹣1，
∴m≥32时，方程有两个正实数根；
（2）∵矩形的对角线长为5，
∴a2+b2＝（5）2，
∴（a+b）2﹣2ab＝5，
∴（m+1）2﹣2（14m2+1）＝5，
即m2+4m﹣12＝0，
解得m1＝2，m2＝﹣6，
∵m≥32，
∴m＝2，
所以当矩形的对角线长为5时，m的值为2．
57．已知关于x的方程x2+2（k﹣3）x+k2＝0有两个实数根x1、x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若|x1+x2﹣9|＝x1x2，求k的值．
【解答】解：（1）根据题意，得△≥0，
即[2（k﹣3）]2﹣4k2≥0，
解得，k≤32；

（2）根据韦达定理，得
x1+x2＝﹣2（k﹣3），x1x2＝k2，
∴由|x1+x2﹣9|＝x1x2，得
|﹣2（k﹣3）﹣9|＝k2，即|2k+3|＝k2，
以下分两种情况讨论：
①当2k+3≥0，即k≥−32时，2k+3＝k2，
即k2﹣2k﹣3＝0，
解得，k1＝﹣1，k2＝3；
又由（1）知，k≤32，
∴−32≤k≤32，
∴k2＝3不合题意，舍去，
即k1＝﹣1；
②当2k+3＜0，即k＜−32时，﹣2k﹣3＝k2，
即k2+2k+3＝0，此方程无实数解．
综合①②可知，k＝﹣1．
58．观察下面方程的解法
x4﹣13x2+36＝0
解：原方程可化为（x2﹣4）（x2﹣9）＝0
∴（x+2）（x﹣2）（x+3）（x﹣3）＝0
∴x+2＝0或x﹣2＝0或x+3＝0或x﹣3＝0
∴x1＝2，x2＝﹣2，x3＝3，x4＝﹣3
你能否求出方程x2﹣3|x|+2＝0的解？
【解答】解：原方程可化为
|x|2﹣3|x|+2＝0
∴（|x|﹣1）（|x|﹣2）＝0
∴|x|＝1或|x|＝2
∴x＝1，x＝﹣1，x＝2，x＝﹣2
59．在前面的学习中，我们通过对同一面积的不同表达和比较，根据图1和图2发现并验证了平方差公式和完全平方公式．
这种利用面积关系解决问题的方法，使抽象的数量关系因几何直观而形象化．

【研究速算】
提出问题：47×43，56×54，79×71，…是一些十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数相乘的算式，是否可以找到一种速算方法？
几何建模：
用矩形的面积表示两个正数的乘积，以47×43为例：
（1）画长为47，宽为43的矩形，如图3，将这个47×43的矩形从右边切下长40，宽3的一条，拼接到原矩形上面．
（2）分析：原矩形面积可以有两种不同的表达方式：47×43的矩形面积或（40+7+3）×40的矩形与右上角3×7的矩形面积之和，即47×43＝（40+10）×40+3×7＝5×4×100+3×7＝2021．
用文字表述47×43的速算方法是：十位数字4加1的和与4相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果．
归纳提炼：
两个十位数字相同，并且个位数字之和是10的两位数相乘的速算方法是（用文字表述） 　十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果　．
【研究方程】
提出问题：怎样图解一元二次方程x2+2x﹣35＝0（x＞0）？
几何建模：
（1）变形：x（x+2）＝35．
（2）画四个长为x+2，宽为x的矩形，构造图4
（3）分析：图中的大正方形面积可以有两种不同的表达方式，（x+x+2）2或四个长x+2，宽x的矩形面积之和，加上中间边长为2的小正方形面积．
即（x+x+2）2＝4x（x+2）+22
∵x（x+2）＝35
∴（x+x+2）2＝4×35+22
∴（2x+2）2＝144
∵x＞0
∴x＝5
归纳提炼：求关于x的一元二次方程x（x+b）＝c（x＞0，b＞0，c＞0）的解．
要求参照上述研究方法，画出示意图，并写出几何建模步骤（用钢笔或圆珠笔画图，并注明相关线段的长）
【研究不等关系】
提出问题：怎样运用矩形面积表示（y+3）（y+2）与2y+5的大小关系（其中y＞0）？
几何建模：
（1）画长y+3，宽y+2的矩形，按图5方式分割
（2）变形：2y+5＝（y+3）+（y+2）
（3）分析：图5中大矩形的面积可以表示为（y+3）（y+2）；阴影部分面积可以表示为（y+3）×1，画点部分的面积可表示为y+2，由图形的部分与整体的关系可知（y+3）（y+2）＞（y+3）+（y+2），即（y+3）（y+2）＞2y+5
归纳提炼：
当a＞2，b＞2时，表示ab与a+b的大小关系．
根据题意，设a＝2+m，b＝2+n（m＞0，n＞0），要求参照上述研究方法，画出示意图，并写出几何建模步骤（用钢笔或圆珠笔画图并注明相关线段的长）

【解答】解：【研究速算】
归纳提炼：
十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果．

【研究方程】
归纳提炼：
画四个长为x+b，宽为x的矩形，构造答图1，则图中的大正方形面积可以有两种不同的表达方式：（x+x+b）2或四个长为x+b，宽为x的矩形面积之和，加上中间边长为b的小正方形面积．

即：（x+x+b）2＝4x（x+b）+b2
∵x（x+b）＝c，
∴（x+x+b）2＝4c+b2
∴（2x+b）2＝4c+b2
∵x＞0，
∴x=4c+b2−b2．

【研究不等关系】
归纳提炼：
（1）画长为2+m，宽为2+n的矩形，并按答图2方式分割．

（2）变形：a+b＝（2+m）+（2+n）
（3）分析：图中大矩形面积可表示为（2+m）（2+n），阴影部分面积可表示为（2+m）×1与（2+n）×1的和．由图形的部分与整体的关系可知，（2+m）（2+n）＞（2+m）+（2+n），即ab＞a+b．
60．“关爱留守儿童，关注农民工子弟教育”已逐渐成为政府以及社会关心的一大民生问题，下表是某电视台2011年一民生栏目组调查的数据：
类别
现状
户数
比例
A
父母常年在外打工，孩子留在老家由老人照顾
200

B
父母常年在外打工，孩子带在身边

10%
C
父母就近在城镇打工，晚上回家照顾孩子

25%
D
父母在家务农，并照顾孩子

15%
（1）请将统计表中的空缺数据填写完整；
（2）若2013年此电视台民生栏目组再次抽查，样本容量不变，但B类所占比例提高到了12.1%，求B类户数平均每年的增长率．
【解答】解：（1）根据题意得：
父母常年在外打工，孩子留在老家由老人照顾所占的比例是：1﹣10%﹣25%﹣15%＝50%，
总人数是：200÷50%＝400（人），
父母常年在外打工，孩子带在身边的有：400×10%＝40（人），
父母就近在城镇打工，晚上回家照顾孩子的有：400×25%＝100（人），
父母在家务农，并照顾孩子的有：400×15%＝60 （人），
填表如下：
类别
现状
户数
比例
A
父母常年在外打工，孩子留在老家由老人照顾
200
50%
B
父母常年在外打工，孩子带在身边
40
10%
C
父母就近在城镇打工，晚上回家照顾孩子
100
25%
D
父母在家务农，并照顾孩子
60
15%
（2）设B类户数平均每年的增长率为x%，根据题意得：
40（x%+1）2＝400×12.1%
（x%+1）2＝1.21，
x＝10%．
答：B类户数平均每年的增长率是10%．