广东省省卷五年（2017-2021）中考数学真题分类汇编

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03解答题（基础题）知识点分类

一．实数的运算（共2小题）
1．（2018•广东）计算：|﹣2|﹣20180+（）﹣1
2．（2017•广东）计算：|﹣7|﹣（1﹣π）0+（）﹣1．
二．整式的混合运算—化简求值（共1小题）
3．（2020•广东）先化简，再求值：（x+y）2+（x+y）（x﹣y）﹣2x2，其中x＝，y＝．
三．分式的化简求值（共3小题）
4．（2019•广东）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝．
5．（2018•广东）先化简，再求值：•，其中a＝．
6．（2017•广东）先化简，再求值：（+）•（x2﹣4），其中x＝．
四．二元一次方程组的应用（共1小题）
7．（2017•广东）学校团委组织志愿者到图书馆整理一批新进的图书．若男生每人整理30本，女生每人整理20本，共能整理680本；若男生每人整理50本，女生每人整理40本，共能整理1240本．求男生、女生志愿者各有多少人？
五．根与系数的关系（共1小题）
8．（2020•广东）已知关于x，y的方程组与的解相同．
（1）求a，b的值；
（2）若一个三角形的一条边的长为2，另外两条边的长是关于x的方程x2+ax+b＝0的解．试判断该三角形的形状，并说明理由．
六．分式方程的应用（共2小题）
9．（2018•广东）某公司购买了一批A、B型芯片，其中A型芯片的单价比B型芯片的单价少9元，已知该公司用3120元购买A型芯片的条数与用4200元购买B型芯片的条数相等．
（1）求该公司购买的A、B型芯片的单价各是多少元？
（2）若两种芯片共购买了200条，且购买的总费用为6280元，求购买了多少条A型芯片？
10．（2020•广东）某社区拟建A，B两类摊位以搞活“地摊经济”，每个A类摊位的占地面积比每个B类摊位的占地面积多2平方米．建A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30元．用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的．
（1）求每个A，B类摊位占地面积各为多少平方米？
（2）该社区拟建A，B两类摊位共90个，且B类摊位的数量不少于A类摊位数量的3倍．求建造这90个摊位的最大费用．
七．一元一次不等式的应用（共1小题）
11．（2019•广东）某校为了开展“阳光体育运动”，计划购买篮球、足球共60个，已知每个篮球的价格为70元，每个足球的价格为80元．
（1）若购买这两类球的总金额为4600元，求篮球，足球各买了多少个？
（2）若购买篮球的总金额不超过购买足球的总金额，求最多可购买多少个篮球？
八．解一元一次不等式组（共2小题）
12．（2021•广东）解不等式组．
13．（2019•广东）解不等式组：
九．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题）
14．（2021•广东）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y＝图象的一个交点为P（1，m）．
（1）求m的值；
（2）若PA＝2AB，求k的值．
15．（2019•广东）如图，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A、B两点，其中点A的坐标为（﹣1，4），点B的坐标为（4，n）．
（1）根据图象，直接写出满足k1x+b＞的x的取值范围；
（2）求这两个函数的表达式；
（3）点P在线段AB上，且S△AOP：S△BOP＝1：2，求点P的坐标．

一十．二次函数的应用（共1小题）
16．（2021•广东）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒．
（1）求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价；
（2）设猪肉粽每盒售价x元（50≤x≤65），y表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元），求y关于x的函数解析式并求最大利润．
一十一．全等三角形的判定与性质（共1小题）
17．（2020•广东）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB、AC边上的点，BD＝CE，∠ABE＝∠ACD，BE与CD相交于点F．求证：△ABC是等腰三角形．

一十二．切线的性质（共1小题）
18．（2019•广东）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的三个顶点均在格点上，以点A为圆心的与BC相切于点D，分别交AB、AC于点E、F．
（1）求△ABC三边的长；
（2）求图中由线段EB、BC、CF及所围成的阴影部分的面积．

一十三．切线的判定与性质（共1小题）
19．（2020•广东）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DAB＝90°，AB是⊙O的直径，CO平分∠BCD．
（1）求证：直线CD与⊙O相切；
（2）如图2，记（1）中的切点为E，P为优弧上一点，AD＝1，BC＝2．求tan∠APE的值．

一十四．圆的综合题（共1小题）
20．（2021•广东）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，∠ABC＝90°，点E、F分别在线段BC、AD上，且EF∥CD，AB＝AF，CD＝DF．
（1）求证：CF⊥FB；
（2）求证：以AD为直径的圆与BC相切；
（3）若EF＝2，∠DFE＝120°，求△ADE的面积．

一十五．作图—基本作图（共3小题）
21．（2019•广东）如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点．
（1）请用尺规作图法，在△ABC内，求作∠ADE，使∠ADE＝∠B，DE交AC于E；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若＝2，求的值．

22．（2019•枣庄）如图，BD是菱形ABCD的对角线，∠CBD＝75°，
（1）请用尺规作图法，作AB的垂直平分线EF，垂足为E，交AD于F；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）条件下，连接BF，求∠DBF的度数．

23．（2017•广东）如图，在△ABC中，∠A＞∠B．
（1）作边AB的垂直平分线DE，与AB，BC分别相交于点D，E（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，连接AE，若∠B＝50°，求∠AEC的度数．

一十六．翻折变换（折叠问题）（共2小题）
24．（2018•广东）如图，矩形ABCD中，AB＞AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．
（1）求证：△ADE≌△CED；
（2）求证：△DEF是等腰三角形．

25．（2021•广东）如图，边长为1的正方形ABCD中，点E为AD的中点．连接BE，将△ABE沿BE折叠得到△FBE，BF交AC于点G，求CG的长．

一十七．解直角三角形（共1小题）
26．（2021•广东）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，作BC的垂直平分线交AC于点D，延长AC至点E，使CE＝AB．
（1）若AE＝1，求△ABD的周长；
（2）若AD＝BD，求tan∠ABC的值．

一十八．用样本估计总体（共1小题）
27．（2020•广东）某中学开展主题为“垃圾分类知多少”的调查活动，调查问卷设置了“非常了解”、“比较了解”、“基本了解”、“不太了解”四个等级，要求每名学生必选且只能选其中一个等级，随机抽取了120名学生的有效问卷，数据整理如表：
等级
非常了解
比较了解
基本了解
不太了解
人数（人）
24
72
18
x
（1）求x的值；
（2）若该校有学生1800人，请根据抽样调查结果估算该校“非常了解”和“比较了解”垃圾分类知识的学生共有多少人？
一十九．条形统计图（共1小题）
28．（2018•广东）某企业工会开展“一周工作量完成情况”调查活动，随机调查了部分员工一周的工作量剩余情况，并将调查结果统计后绘制成如图1和图2所示的不完整统计图．
（1）被调查员工的人数为　 　人：
（2）把条形统计图补充完整；
（3）若该企业有员工10000人，请估计该企业某周的工作量完成情况为“剩少量”的员工有多少人？

二十．众数（共1小题）
29．（2021•广东）某中学九年级举办中华优秀传统文化知识竞赛．用简单随机抽样的方法，从该年级全体600名学生中抽取20名，其竞赛成绩如图：

（1）求这20名学生成绩的众数，中位数和平均数；
（2）若规定成绩大于或等于90分为优秀等级，试估计该年级获优秀等级的学生人数．
二十一．列表法与树状图法（共1小题）
30．（2019•广东）为了解某校九年级全体男生1000米跑步的成绩，随机抽取了部分男生进行测试，并将测试成绩分为A、B、C、D四个等级，绘制如下不完整的统计图表，如图表所示，根据图表信息解答下列问题：
成绩等级频数分布表
成绩等级
频数
A
24
B
10
C
x
D
2
合计
y
（1）x＝　 　，y＝　 　，扇形图中表示C的圆心角的度数为　 　度；
（2）甲、乙、丙是A等级中的三名学生，学校决定从这三名学生中随机抽取两名介绍体育锻炼经验，用列表法或画树状图法，求同时抽到甲，乙两名学生的概率．


参考答案与试题解析
一．实数的运算（共2小题）
1．（2018•广东）计算：|﹣2|﹣20180+（）﹣1
【解析】解：原式＝2﹣1+2
＝3．
2．（2017•广东）计算：|﹣7|﹣（1﹣π）0+（）﹣1．
【解析】解：原式＝7﹣1+3
＝9．
二．整式的混合运算—化简求值（共1小题）
3．（2020•广东）先化简，再求值：（x+y）2+（x+y）（x﹣y）﹣2x2，其中x＝，y＝．
【解析】解：（x+y）2+（x+y）（x﹣y）﹣2x2，
＝x2+2xy+y2+x2﹣y2﹣2x2
＝2xy，
当x＝，y＝时，
原式＝2××＝2．
三．分式的化简求值（共3小题）
4．（2019•广东）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝．
【解析】解：原式＝
＝
当x＝时，
原式＝＝
5．（2018•广东）先化简，再求值：•，其中a＝．
【解析】解：原式＝•
＝2a，
当a＝时，
原式＝2×＝．
6．（2017•广东）先化简，再求值：（+）•（x2﹣4），其中x＝．
【解析】解：原式＝[+]•（x+2）（x﹣2）
＝•（x+2）（x﹣2）
＝2x，
当x＝时，
原式＝2．
四．二元一次方程组的应用（共1小题）
7．（2017•广东）学校团委组织志愿者到图书馆整理一批新进的图书．若男生每人整理30本，女生每人整理20本，共能整理680本；若男生每人整理50本，女生每人整理40本，共能整理1240本．求男生、女生志愿者各有多少人？
【解析】解：设男生志愿者有x人，女生志愿者有y人，
根据题意得：，
解得：．
答：男生志愿者有12人，女生志愿者有16人．
五．根与系数的关系（共1小题）
8．（2020•广东）已知关于x，y的方程组与的解相同．
（1）求a，b的值；
（2）若一个三角形的一条边的长为2，另外两条边的长是关于x的方程x2+ax+b＝0的解．试判断该三角形的形状，并说明理由．
【解析】解：（1）由题意得，关于x，y的方程组的相同解，就是方程组的解，
解得，，代入原方程组得，a＝﹣4，b＝12；
（2）该三角形是等腰直角三角形，理由如下：
当a＝﹣4，b＝12时，关于x的方程x2+ax+b＝0就变为x2﹣4x+12＝0，
解得，x1＝x2＝2，
又∵（2）2+（2）2＝（2）2，
∴以2、2、2为边的三角形是等腰直角三角形．
六．分式方程的应用（共2小题）
9．（2018•广东）某公司购买了一批A、B型芯片，其中A型芯片的单价比B型芯片的单价少9元，已知该公司用3120元购买A型芯片的条数与用4200元购买B型芯片的条数相等．
（1）求该公司购买的A、B型芯片的单价各是多少元？
（2）若两种芯片共购买了200条，且购买的总费用为6280元，求购买了多少条A型芯片？
【解析】解：（1）设B型芯片的单价为x元/条，则A型芯片的单价为（x﹣9）元/条，
根据题意得：＝，
解得：x＝35，
经检验，x＝35是原方程的解，且符合题意，
∴x﹣9＝26．
答：A型芯片的单价为26元/条，B型芯片的单价为35元/条．
（2）设购买a条A型芯片，则购买（200﹣a）条B型芯片，
根据题意得：26a+35（200﹣a）＝6280，
解得：a＝80．
答：购买了80条A型芯片．
10．（2020•广东）某社区拟建A，B两类摊位以搞活“地摊经济”，每个A类摊位的占地面积比每个B类摊位的占地面积多2平方米．建A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30元．用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的．
（1）求每个A，B类摊位占地面积各为多少平方米？
（2）该社区拟建A，B两类摊位共90个，且B类摊位的数量不少于A类摊位数量的3倍．求建造这90个摊位的最大费用．
【解析】解：（1）设每个B类摊位的占地面积为x平方米，则每个A类摊位占地面积为（x+2）平方米，
根据题意得：，
解得：x＝3，
经检验x＝3是原方程的解，
所以3+2＝5，
答：每个A类摊位占地面积为5平方米，每个B类摊位的占地面积为3平方米；

（2）解法一：设建A摊位a个，建造这90个摊位的费用为y元，则建B摊位（90﹣a）个，
由题意得：y＝5a×40+3×30（90﹣a）＝110a+8100，
∵110＞0，
∴y随a的增大而增大，
∵90﹣a≥3a，
解得a≤22.5，
∵a为整数，
∴当a取最大值22时，费用最大，
此时最大费用为：110×22+8100＝10520；
解法二：设建A摊位a（a为整数）个，则建B摊位（90﹣a）个，
由题意得：90﹣a≥3a，
解得a≤22.5，
∵建A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30元，
∴要想使建造这90个摊位有最大费用，所以要多建造A类摊位，即a取最大值22时，费用最大，
此时最大费用为：22×40×5+30×（90﹣22）×3＝10520，
答：建造这90个摊位的最大费用是10520元．
七．一元一次不等式的应用（共1小题）
11．（2019•广东）某校为了开展“阳光体育运动”，计划购买篮球、足球共60个，已知每个篮球的价格为70元，每个足球的价格为80元．
（1）若购买这两类球的总金额为4600元，求篮球，足球各买了多少个？
（2）若购买篮球的总金额不超过购买足球的总金额，求最多可购买多少个篮球？
【解析】解：（1）设购买篮球x个，购买足球y个，
依题意得：．
解得．
答：购买篮球20个，购买足球40个；

（2）设购买了a个篮球，
依题意得：70a≤80（60﹣a）
解得a≤32．
答：最多可购买32个篮球．
八．解一元一次不等式组（共2小题）
12．（2021•广东）解不等式组．
【解析】解：解不等式2x﹣4＞3（x﹣2），得：x＜2，
解不等式4x＞，得：x＞﹣1，
则不等式组的解集为﹣1＜x＜2．
13．（2019•广东）解不等式组：
【解析】解：
解不等式①，得x＞3
解不等式②，得x＞1
则不等式组的解集为x＞3
九．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题）
14．（2021•广东）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y＝图象的一个交点为P（1，m）．
（1）求m的值；
（2）若PA＝2AB，求k的值．
【解析】解：（1）∵P（1，m）为反比例函数y＝图象上一点，
∴代入得m＝＝4，
∴m＝4；
（2）令y＝0，即kx+b＝0，
∴x＝﹣，A（﹣，0），
令x＝0，y＝b，
∴B（0，b），
∵PA＝2AB，
由图象得，可分为以下两种情况：
①B在y轴正半轴时，b＞0，
∵PA＝2AB，
过P作PH⊥x轴交x轴于点H，
又B1O⊥A1H，∠PA1O＝∠B1A1O，
∴△A1OB1∽△A1HP，
∴，
∴B1O＝PH＝4×＝2，
∴b＝2，
∴A1O＝OH＝1，
∴|﹣|＝1，
∴k＝2；
②B在y轴负半轴时，b＜0，过P作PQ⊥y轴，
∵PQ⊥B2Q，A2O⊥B2Q，∠A2B2O＝∠AB2Q，
∴△A2OB2∽△PQB2，
∴，
∴AO＝|﹣|＝PQ＝，B2O＝B2Q＝OQ＝|b|＝2，
∴b＝﹣2，
∴k＝6，
综上，k＝2或k＝6．

15．（2019•广东）如图，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A、B两点，其中点A的坐标为（﹣1，4），点B的坐标为（4，n）．
（1）根据图象，直接写出满足k1x+b＞的x的取值范围；
（2）求这两个函数的表达式；
（3）点P在线段AB上，且S△AOP：S△BOP＝1：2，求点P的坐标．

【解析】解：（1）∵点A的坐标为（﹣1，4），点B的坐标为（4，n）．
由图象可得：k1x+b＞的x的取值范围是x＜﹣1或0＜x＜4；

（2）∵反比例函数y＝的图象过点A（﹣1，4），B（4，n），
∴k2＝﹣1×4＝﹣4，k2＝4n，
∴n＝﹣1，
∴B（4，﹣1），
∵一次函数y＝k1x+b的图象过点A，点B，
∴，
解得：k1＝﹣1，b＝3，
∴一次函数的解析式y＝﹣x+3，反比例函数的解析式为y＝﹣；

（3）设直线AB与y轴的交点为C，
∴C（0，3），
∵S△AOC＝×3×1＝，
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×3×1+×4＝，
∵S△AOP：S△BOP＝1：2，
∴S△AOP＝×＝，
∴S△AOC＜S△AOP，S△COP＝﹣＝1，
∴×3•xP＝1，
∴xP＝，
∵点P在线段AB上，
∴y＝﹣+3＝，
∴P（，）．

一十．二次函数的应用（共1小题）
16．（2021•广东）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒．
（1）求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价；
（2）设猪肉粽每盒售价x元（50≤x≤65），y表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元），求y关于x的函数解析式并求最大利润．
【解析】解：（1）设猪肉粽每盒进价a元，则豆沙粽每盒进价（a﹣10）元，
则，
解得：a＝40，经检验a＝40是方程的解，
∴猪肉粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元，
（2）由题意得，当x＝50时，每天可售出100盒，
当猪肉粽每盒售价x元（50≤x≤65）时，每天可售[100﹣2（x﹣50）]盒，
∴y＝x[100﹣2（x﹣50）]﹣40×[100﹣2（x﹣50）]＝﹣2x2+280x﹣8000，
配方，得：y＝﹣2（x﹣70）2+1800，
∵x＜70时，y随x的增大而增大，
∴当x＝65时，y取最大值，最大值为：﹣2×（65﹣70）2+1800＝1750（元）．
答：y关于x的函数解析式为y＝﹣2x2+280x﹣8000（50≤x≤65），且最大利润为1750元．
一十一．全等三角形的判定与性质（共1小题）
17．（2020•广东）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB、AC边上的点，BD＝CE，∠ABE＝∠ACD，BE与CD相交于点F．求证：△ABC是等腰三角形．

【解析】证明：∵∠ABE＝∠ACD，
∴∠DBF＝∠ECF，
在△BDF和△CEF中，，
∴△BDF≌△CEF（AAS），
∴BF＝CF，DF＝EF，
∴∠FBC＝∠FCB，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，
即△ABC是等腰三角形．
一十二．切线的性质（共1小题）
18．（2019•广东）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的三个顶点均在格点上，以点A为圆心的与BC相切于点D，分别交AB、AC于点E、F．
（1）求△ABC三边的长；
（2）求图中由线段EB、BC、CF及所围成的阴影部分的面积．

【解析】解：（1）AB＝＝2，
AC＝＝2，
BC＝＝4；
（2）由（1）得，AB2+AC2＝BC2，
∴∠BAC＝90°，
连接AD，AD＝＝2，
∴S阴＝S△ABC﹣S扇形AEF＝AB•AC﹣π•AD2＝20﹣5π．
一十三．切线的判定与性质（共1小题）
19．（2020•广东）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DAB＝90°，AB是⊙O的直径，CO平分∠BCD．
（1）求证：直线CD与⊙O相切；
（2）如图2，记（1）中的切点为E，P为优弧上一点，AD＝1，BC＝2．求tan∠APE的值．

【解析】（1）证明：作OE⊥CD于E，如图1所示：
则∠OEC＝90°，
∵AD∥BC，∠DAB＝90°，
∴∠OBC＝180°﹣∠DAB＝90°，
∴∠OEC＝∠OBC，
∵CO平分∠BCD，
∴∠OCE＝∠OCB，
在△OCE和△OCB中，，
∴△OCE≌△OCB（AAS），
∴OE＝OB，
又∵OE⊥CD，
∴直线CD与⊙O相切；
（2）解：作DF⊥BC于F，连接BE，如图2所示：
则四边形ABFD是矩形，
∴AB＝DF，BF＝AD＝1，
∴CF＝BC﹣BF＝2﹣1＝1，
∵AD∥BC，∠DAB＝90°，
∴AD⊥AB，BC⊥AB，
∴AD、BC是⊙O的切线，
由（1）得：CD是⊙O的切线，
∴ED＝AD＝1，EC＝BC＝2，
∴CD＝ED+EC＝3，
∴DF＝＝＝2，
∴AB＝DF＝2，
∴OB＝，
∵CO平分∠BCD，
∴CO⊥BE，
∴∠BCH+∠CBH＝∠CBH+∠ABE＝90°，
∴∠ABE＝∠BCH，
∵∠APE＝∠ABE，
∴∠APE＝∠BCH，
∴tan∠APE＝tan∠BCH＝＝．


一十四．圆的综合题（共1小题）
20．（2021•广东）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，∠ABC＝90°，点E、F分别在线段BC、AD上，且EF∥CD，AB＝AF，CD＝DF．
（1）求证：CF⊥FB；
（2）求证：以AD为直径的圆与BC相切；
（3）若EF＝2，∠DFE＝120°，求△ADE的面积．

【解析】（1）证明：∵CD＝DF，
∴∠DCF＝∠DFC，
∵EF∥CD，
∴∠DCF＝∠EFC，
∴∠DFC＝∠EFC，
∴∠DFE＝2∠EFC，
∵AB＝AF，
∴∠ABF＝∠AFB，
∵CD∥EF，CD∥AB，
∴AB∥EF，
∴∠EFB＝∠AFB，
∴∠AFE＝2∠BFE，
∵∠AFE+∠DFE＝180°，
∴2∠BFE+2∠EFC＝180°，
∴∠BFE+∠EFC＝90°，
∴∠BFC＝90°，
∴CF⊥BF；

（2）证明：如图1，取AD的中点O，过点O作OH⊥BC于H，
∴∠OHC＝90°＝∠ABC，
∴OH∥AB，
∵AB∥CD，
∴OH∥AB∥CD，
∵AB∥CD，AB≠CD，
∴四边形ABCD是梯形，
∴点H是BC的中点，
∴OH＝（AB+CD），
连接并延长交BA的延长线于G，
∴∠G＝∠DCO，
∵∠AOG＝∠DOC，OA＝OD，
∴△AOG≌△DOC（AAS），
∴AG＝CD，OC＝OG，
∴OH是△BCG的中位线，
∴OH＝BG＝（AB+AG）＝（AF+DF）＝AD，
∵OH⊥BC，
∴以AD为直径的圆与BC相切；

（3）如图2，
由（1）知，∠DFE＝2∠EFC，
∵∠DFE＝120°，
∴∠CFE＝60°，
在Rt△CEF中，EF＝2，∠ECF＝90°﹣∠CFE＝30°，
∴CF＝2EF＝4，
∴CE＝＝2，
∵AB∥EF∥CD，∠ABC＝90°，
∴∠ECD＝∠CEF＝90°，
过点D作DM⊥EF，交EF的延长线于M，
∴∠M＝90°，
∴∠M＝∠ECD＝∠CEF＝90°，
∴四边形CEMD是矩形，
∴DM＝CE＝2，
过点A作AN⊥EF于N，
∴四边形ABEN是矩形，
∴AN＝BE，
由（1）知，∠CFB＝90°，
∵∠CFE＝60°，
∴∠BFE＝30°，
在Rt△BEF中，EF＝2，
∴BE＝EF•tan30°＝，
∴AN＝，
∴S△ADE＝S△AEF+S△DEF
＝EF•AN+EF•DM
＝EF（AN+DM）
＝×2×（+2）
＝．


一十五．作图—基本作图（共3小题）
21．（2019•广东）如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点．
（1）请用尺规作图法，在△ABC内，求作∠ADE，使∠ADE＝∠B，DE交AC于E；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若＝2，求的值．

【解析】解：（1）如图，∠ADE为所作；

（2）∵∠ADE＝∠B
∴DE∥BC，
∴＝＝2．
22．（2019•枣庄）如图，BD是菱形ABCD的对角线，∠CBD＝75°，
（1）请用尺规作图法，作AB的垂直平分线EF，垂足为E，交AD于F；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）条件下，连接BF，求∠DBF的度数．

【解析】解：（1）如图所示，直线EF即为所求；


（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABD＝∠DBC＝∠ABC＝75°，DC∥AB，∠A＝∠C．
∴∠ABC＝150°，∠ABC+∠C＝180°，
∴∠C＝∠A＝30°，
∵EF垂直平分线段AB，
∴AF＝FB，
∴∠A＝∠FBA＝30°，
∴∠DBF＝∠ABD﹣∠FBE＝45°．
23．（2017•广东）如图，在△ABC中，∠A＞∠B．
（1）作边AB的垂直平分线DE，与AB，BC分别相交于点D，E（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，连接AE，若∠B＝50°，求∠AEC的度数．

【解析】解：（1）如图所示；
（2）∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∴∠EAB＝∠B＝50°，
∴∠AEC＝∠EAB+∠B＝100°．

一十六．翻折变换（折叠问题）（共2小题）
24．（2018•广东）如图，矩形ABCD中，AB＞AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．
（1）求证：△ADE≌△CED；
（2）求证：△DEF是等腰三角形．

【解析】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AB＝CD．
由折叠的性质可得：BC＝CE，AB＝AE，
∴AD＝CE，AE＝CD．
在△ADE和△CED中，，
∴△ADE≌△CED（SSS）．
（2）由（1）得△ADE≌△CED，
∴∠DEA＝∠EDC，即∠DEF＝∠EDF，
∴EF＝DF，
∴△DEF是等腰三角形．

25．（2021•广东）如图，边长为1的正方形ABCD中，点E为AD的中点．连接BE，将△ABE沿BE折叠得到△FBE，BF交AC于点G，求CG的长．

【解析】解：延长BF交CD于H，连接EH．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，∠D＝∠DAB＝90°，AD＝CD＝AB＝1，
∴AC＝＝＝，
由翻折的性质可知，AE＝EF，∠EAB＝∠EFB＝90°，∠AEB＝∠FEB，
∵点E是AD的中点，
∴AE＝DE＝EF，
∵∠D＝∠EFH＝90°，
在Rt△EHD和Rt△EHF中，
，
∴Rt△EHD≌Rt△EHF（HL），
∴∠DEH＝∠FEH，
∵∠DEF+∠AEF＝180°，
∴2∠DEH+2∠AEB＝180°，
∴∠DEH+∠AEB＝90°，
∵∠AEB+∠ABE＝90°，
∴∠DEH＝∠ABE，
∴△EDH∽△BAE，
∴＝＝，
∴DH＝，CH＝，
∵CH∥AB，
∴＝＝，
∴CG＝AC＝．

一十七．解直角三角形（共1小题）
26．（2021•广东）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，作BC的垂直平分线交AC于点D，延长AC至点E，使CE＝AB．
（1）若AE＝1，求△ABD的周长；
（2）若AD＝BD，求tan∠ABC的值．

【解析】解：（1）如图，连接BD，设BC垂直平分线交BC于点F，
∴BD＝CD，
C△ABD＝AB+AD+BD
＝AB+AD+DC
＝AB+AC，
∵AB＝CE，
∴C△ABD＝AC+CE＝AE＝1，
故△ABD的周长为1．
（2）设AD＝x，
∴BD＝3x，
又∵BD＝CD，
∴AC＝AD+CD＝4x，
在Rt△ABD中，AB＝＝＝2．
∴tan∠ABC＝＝＝．

一十八．用样本估计总体（共1小题）
27．（2020•广东）某中学开展主题为“垃圾分类知多少”的调查活动，调查问卷设置了“非常了解”、“比较了解”、“基本了解”、“不太了解”四个等级，要求每名学生必选且只能选其中一个等级，随机抽取了120名学生的有效问卷，数据整理如表：
等级
非常了解
比较了解
基本了解
不太了解
人数（人）
24
72
18
x
（1）求x的值；
（2）若该校有学生1800人，请根据抽样调查结果估算该校“非常了解”和“比较了解”垃圾分类知识的学生共有多少人？
【解析】解：（1）x＝120﹣（24+72+18）＝6；
（2）1800×＝1440（人），
答：根据抽样调查结果估算该校“非常了解”和“比较了解”垃圾分类知识的学生共有1440人．
一十九．条形统计图（共1小题）
28．（2018•广东）某企业工会开展“一周工作量完成情况”调查活动，随机调查了部分员工一周的工作量剩余情况，并将调查结果统计后绘制成如图1和图2所示的不完整统计图．
（1）被调查员工的人数为　800　人：
（2）把条形统计图补充完整；
（3）若该企业有员工10000人，请估计该企业某周的工作量完成情况为“剩少量”的员工有多少人？

【解析】解：（1）被调查员工人数为400÷50%＝800人，
故答案为：800；

（2）“剩少量”的人数为800﹣（400+80+40）＝280人，
补全条形图如下：


（3）估计该企业某周的工作量完成情况为“剩少量”的员工有10000×＝3500人．
二十．众数（共1小题）
29．（2021•广东）某中学九年级举办中华优秀传统文化知识竞赛．用简单随机抽样的方法，从该年级全体600名学生中抽取20名，其竞赛成绩如图：

（1）求这20名学生成绩的众数，中位数和平均数；
（2）若规定成绩大于或等于90分为优秀等级，试估计该年级获优秀等级的学生人数．
【解析】解：（1）由统计图中90分对应的人数最多，因此这组数据的众数应该是90分，
由于人数总和是20人为偶数，将数据从小到大排列后，第10个和第11个数据都是90分，因此这组数据的中位数应该是90分，
平均数是：＝90.5（分）；
（2）根据题意得：
600×＝450（人），
答：估计该年级获优秀等级的学生人数是450人．
二十一．列表法与树状图法（共1小题）
30．（2019•广东）为了解某校九年级全体男生1000米跑步的成绩，随机抽取了部分男生进行测试，并将测试成绩分为A、B、C、D四个等级，绘制如下不完整的统计图表，如图表所示，根据图表信息解答下列问题：
成绩等级频数分布表
成绩等级
频数
A
24
B
10
C
x
D
2
合计
y
（1）x＝　4　，y＝　40　，扇形图中表示C的圆心角的度数为　36　度；
（2）甲、乙、丙是A等级中的三名学生，学校决定从这三名学生中随机抽取两名介绍体育锻炼经验，用列表法或画树状图法，求同时抽到甲，乙两名学生的概率．

【解析】（1）随机抽取男生人数：10÷25%＝40（名），即y＝40；
C等级人数：40﹣24﹣10﹣2＝4（名），即x＝4；
扇形图中表示C的圆心角的度数360°×＝36°．
故答案为4，40，36；
（2）画树状图如下：

P（同时抽到甲，乙两名学生）＝＝．