山西省太原市外国语学校2021-2022学年高二下学期5月联考数学试题

这是一份山西省太原市外国语学校2021-2022学年高二下学期5月联考数学试题，共19页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上，下列命题为真命题的是，函数的图象大致为，若函数在处有极值10，则，已知函数，下列说法错误的是等内容，欢迎下载使用。
绝密★启用前山西省太原市外国语学校2021-2022学年高二下学期5月联考数学试题试卷副标题考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx题号一二三总分得分    注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分  一、单选题1．已知集合，，则（       ）A． B． C． D．2．已知为非零实数，且，则下列命题成立的是（       ）A． B． C． D．3．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（       ）A． B． C． D．4．下列命题为真命题的是（       ）A．函数与函数是同一函数B．设，则“”是“”的必要而不充分条件C．函数的最小值为2D．命题“”的否定是“”5．函数的图象大致为（       ）A． B． C． D．6．定义在R上的偶函数满足，且当时，，则(       )A． B． C． D．7．若函数在处有极值10，则（       ）A．6 B． C．或15 D．6或8．已知奇函数在R上是增函数，.若，则a，b，c的大小关系为（       ）A． B． C． D．9．已知函数，下列说法错误的是（       ）A．在x=e处的切线方程为y=e B．函数的单调递减区间为C．的极小值为e D．方程有2个不同的解10．已知函数，则使不等式成立的x的取值范围是（       ）A． B． C． D．11．对于三次函数，现给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数，则（       ）A．0 B．1 C． D．12．设函数，关于x的方程有四个实根（），则的最小值为（       ）A． B． C．9 D．10第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分  二、填空题13．设函数，若，则_________．14．已知函数是定义在上的奇函数，当时，为常数），则=_________.15．已知的最小值为2，则m的取值范围为______________16．已知，则下列说法正确的有______________①函数有唯一零点x=0②函数的单调递减区间为和③函数有极大值点④若关于x的方程有三个不同的根，则实数a的取值范围是评卷人得分  三、解答题17．已知函数的定义域为集合A，关于x的不等式的解集为B．(1)当时，求；(2)设，若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围．18．已知函数的图象经过点，(1)求a的值；(2)求函数的定义域和值域；(3)判断函数的奇偶性并证明．19．已知关于x的不等式的解集为或．(1)求的值；(2)当，且满足时，有恒成立，求的取值范围．20．已知三次函数过点，且函数在点处的切线恰好是直线.（1）求函数的解析式；（2） 设函数，若函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围.21．已知函数是偶函数．(1)求k的值．(2)若函数，，是否存在实数m使得的最小值为0？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．22．已知函数.（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）当时，讨论函数的单调性；（3）当时，记函数的导函数的两个零点是和（），求证：.
参考答案：1．D【解析】【分析】先解一元二次不等式求出集合，再按集合的并集运算即可.【详解】由题意得，因为，所以.故选：D.2．D【解析】【分析】对于ABC，举例判断即可，对于D，利用不等式的性质判断【详解】对于A，若，则，所以A错误，对于B，若，则，所以B错误，对于C，若，则，所以C错误，对于D，因为为非零实数，所以，因为，所以，即，所以D正确，故选：D3．C【解析】【分析】分析各选项中函数的定义域，再判断奇偶性、单调性作答.【详解】对于A，函数是定义在上的奇函数，在定义域上不单调，A不是；对于B，函数的定义域为，不具奇偶性，B不是；对于C，函数是R上的奇函数，在R上单调递减，C是；对于D，函数是R上的增函数，D不是.故选：C4．B【解析】【分析】分析函数定义域判断A；利用充分条件、必要条件定义判断B；利用对勾函数性质计算判断C；利用全称量词命题的否定判断D作答.【详解】对于A，的定义域为R，的定义域为，A不正确；对于B，解不等式得，，有，则“”是“”的必要而不充分条件，B正确；对于C，令，函数在上递增，，因此，C不正确；对于D，命题“”的否定是“”，D不正确.故选：B5．B【解析】【分析】通过研究函数奇偶性以及单调性，以及由排除不正确的选项，从而得出答案..【详解】详解：为奇函数，排除A,，故排除D.，当时，，所以在单调递增，所以排除C；故选：B.6．B【解析】【分析】根据f(x)是偶函数且满足可求f(x)的周期，从而可将转化到内进行求值．【详解】∵f(x)是R上偶函数，∴f(-x)=f(x)，又∵，∴，故f(x)的一个周期是2，故．故选：B．7．B【解析】【分析】先求出函数的导函数 ，然后根据在 时 有极值10，得到 ，求出满足条件的 ，然后验证在 时是否有极值，即可求出【详解】 ， 又 时 有极值10 ，解得 或 当 时， 此时 在 处无极值，不符合题意经检验， 时满足题意 故选：B8．C【解析】由奇函数在上是增函数，则偶函数，且在单调递增，则，则，，即可求得【详解】解：奇函数在上是增函数，当，，且，，则，在单调递增，且偶函数，，则，，由在单调递增，则，，故选：．【点睛】本题考查函数奇偶性，考查函数单调性的应用，考查转化思想，属于中档题．9．B【解析】【分析】求出函数在x=e处的切线方程判断A；求出减区间及极小值判断B，C；利用零点存在性定理分体解的情况判断D作答.【详解】函数定义域为，求导得：，对于A，，而，则函数在x=e处的切线方程是，A正确；对于B，当或时，，则的单调递减区间为，，B不正确；对于C，当时，，由选项B的信息知，当时，取得极小值e，C正确；对于D，令，当时，，恒有，由选项B，C知，函数在上单调递减，在上单调递增，，而，即存在，使，又，存在，使，因此函数有2个零点，则方程有2个不同的解，D正确.故选：B10．C【解析】【分析】分析给定函数的性质，利用函数的奇偶性、单调性解不等式作答.【详解】函数定义域为，显然有，即函数是偶函数，当时，，令，，，，因，则，即，，有，在上单调递增，又在上单调递增，因此，在上单调递增，于是得，解得或，所以不等式成立的x的取值范围是.故选：C11．A【解析】【分析】对函数求导，再求导，然后令，求得对称点即可.【详解】依题意得，，，令，解得x＝1，∵，∴函数的对称中心为，则，∵∴．故选：A.12．D【解析】【分析】作出函数的图象，再分析函数性质结合均值不等式求解作答.【详解】抛物线的对称轴，当时，图象关于直线对称，且，由解得或，作出函数的图象与直线，如图，关于x的方程有四个实根，则有直线与函数的图象有4个公共点，，则，由得：，因此，，当且仅当，即时取“=”，所以的最小值为10.故选：D13．0或【解析】【分析】对分类讨论，代入解析式求解即可.【详解】当时，，解得：；当时，，解得： ；故答案为：或.14．【解析】【分析】先由函数奇偶性，结合题意求出，计算出，即可得出结果.【详解】因为为定义在上的奇函数，当时，，则，解得，则，所以，因此.故答案为：.15．【解析】【分析】根据给定条件，分别求出函数在时与函数在时的最小值即可作答.【详解】当时，，当且仅当，即时取“=”，当时，，，当，即时，取最小值，因的最小值为2，于是得，解得，所以m的取值范围为.故答案为：16．①④【解析】【分析】根据零点的定义判断①，求出函数的导数，利用导数分析函数的单调性，作出函数的图象，根据图象判断②，③，④．【详解】由得：，即，故函数有唯一零点，故①正确；由题意可知：，当时，，则，当时，，递增；当时，，递减，则此时的极大值为；当时，，，在上单调递减，由此可作出的图象如下：观察图象可得函数的单调递减区间为，，②错，函数在时有极大值，即函数有极大值点为1，③错误，若关于x的方程有三个不同的根，则实数的取值范围是，④正确，故答案为：①④．17．(1)(2)【解析】【分析】（1）解不等式求出，从而求出交集；（2）利用是的真子集，列出不等式组，求出实数a的取值范围.(1)由题意得：，解得：，所以，当时，，解得：，所以，故(2)若“”是“”的必要不充分条件，则是的真子集，又因为，所以，故，则要满足，且等号不同时取，解得：，故实数a的取值范围是18．(1)；(2)的定义域为R ，值域为；(3)奇函数，证明见解析.【解析】【分析】（1）把函数图象经过的点的坐标代入函数式，计算作答.（2）利用指数函数的定义，结合不等式性质求解作答.（3）利用奇偶函数的定义计算判断作答.(1)依题意，函数的图象过点，则有，解得，所以a的值是1.(2)由（1）知函数，因，所以的定义域为R，而，所以的值域为.(3)函数是R上的奇函数，因的定义域为R，且，所以是奇函数.19．(1)(2)【解析】【分析】（1）根据一元二次方程与一元二次不等式的关系，根据解集建立方程组可得；（2）由（1）可得，然后直接使用基本不等式可得的最小值，然后可解.(1)由题知，1和b是方程的两根，由韦达定理可得，解得(2)由（1）知，所以，因为，所以记，则，解得，当且仅当，即时取等号，故的最小值为8，所以要使恒成立，则，得所以k的取值范围为.20．(1)f（x）=x3﹣3x2(2)[﹣1，6）．【解析】【详解】分析：（1）根据已知条件即可建立关于b、c、d的三个方程，解方程即可求出b、c、d，从而求出函数的解析式；（2）由已知条件得：f（x）﹣g（x）=0在[﹣2，1]上有两个不同的解，即x3﹣3x2﹣9x﹣m+1=0在区间[﹣2，1]有两个不同的解，即m=x3﹣3x2﹣9x+1在[﹣2，1]上有两个不同解，求函数x3﹣3x2﹣9x+1在区间[﹣2，1]上的取值范围，要使方程有两个不同的解，从而求出因满足的范围，这样便求出了的取值范围.详解：（1）f′（x）=3x2+2bx+c，由已知条件得：，解得b=﹣3，c=d=0；∴f（x）=x3﹣3x2（2）由已知条件得：f（x）﹣g（x）=0在[﹣2，1]上有两个不同的解；即x3﹣3x2﹣9x﹣m+1=0在区间[﹣2，1]有两个不同的解；即m=x3﹣3x2﹣9x+1在[﹣2，1]上有两个不同解．令h（x）=x3﹣3x2﹣9x+1，h′（x）=3x2﹣6x﹣9，x∈[﹣2，1]；解3x2﹣6x﹣9＞0得：﹣2＜x＜﹣1；解3x2﹣6x﹣9＜0得：﹣1＜x＜1；∴h（x）max=h（﹣1）=6，又f（﹣2）=﹣1，f（1）=﹣10，∴h（x）min=﹣10；m=h（x）在区间[﹣2，1]上有两个不同的解，∴﹣1≤m＜6．∴实数m的取值范围是[﹣1，6）．点睛：考查函数在切点处的导数与切线斜率的关系，对切线过切点的条件的运用，函数零点和方程实数解的关系，根据函数单调性求函数的最值.21．(1)(2)存在，m的值为【解析】【分析】（1）根据偶函数的定义求解；（2）求出的表达式，用令，则，化函数为二次函数，由二次函数的性质求解．(1)∵函数是偶函数，∴，即，∴，∴；(2)假设存在满足条件的实数m．由题意，可得，．令，则，．令，．∵函数的图象开口向上，对称轴为直线，∴当，即时，，解得；当，即时，，解得（舍去）；当，即时，，解得（舍去）．综上，存在实数m使得的最小值为0，此时实数m的值为．22．（1）2x－y－2＝0．（2）详见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由导数几何意义得曲线在处的切线斜率为，所以先求导f ′(x)＝2x－1＋，再求斜率k=f ′(1)＝2，最后由f(1)＝0，利用点斜式可得切线方程；（2）先求函数导数：f ′(x)＝2ax－(2a＋1)＋＝．再分类讨论导函数在定义区间上的零点：当a≤0时，一个零点1；当a>0时，两个零点和1；再比较两个零点大小，分三种情形.（3）本题实质研究函数最小值.因为是方程2x2－bx＋1＝0的两个根，所以）；再由得－－ln(2)，最后根据零点存在定理确定取值范围，利用导数可得在区间单调递增，即.【详解】（1）因为，所以，从而．因为f(1)＝0，f ′(1)＝2，故曲线在处的切线方程y－0＝2(x－1)，即2x－y－2＝0． （2）因为，所以，从而．当时，时，时，，所以，f(x)在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减． 当时，由得0＜x＜1或，由得，所以在区间(0，1)和区间上单调递增，在区间上单调递减．当时，因为（当且仅当x＝1时取等号），所以在区间上单调递增．当时，由得或x＞1，由得，所以在区间和区间上单调递增，在区间上单调递减．（3）方法一：因为，所以，从而．由题意知，是方程的两个根，故．记，因为，所以，，所以，且． ．因为，所以，令，．因为，所以在区间(2，＋∞)单调递增，所以，即．方法二：因为，所以，从而．由题意知，是方程的两个根．记，因为，所以，，所以，且在上为减函数．所以．因为，故．考点：导数几何意义，利用导数研究函数单调性，利用导数证明不等式【点睛】导数在不等式问题中的应用问题的常见类型及解题策略(1)利用导数证明不等式．①证明，可以构造函数，如果，则在上是减函数，同时若，由减函数的定义可知，时，有，即证明了．②证明，可以构造函数，如果，则在上是增函数，同时若，由增函数的定义可知，时，有，即证明了． (2)利用导数解决不等式的恒成立问题或存在型问题．利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．