海南省海口市2022届高三学生学科能力诊断（二）数学试题

海南省海口市2022届高三学生学科能力诊断（二）数学试题

第I卷（选择题）

1．已知集合，，则（       ）

A． B． C． D．

2．复数的虚部为（       ）

A． B． C． D．

3．已知x，且，则“”是“”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．在核酸检测时，为了让标本中DNA的数量达到核酸探针能检测到的阈值，通常采用PCR技术对DNA进行快速复制扩增数量．在此过程中，DNA的数量（单位：）与扩增次数n满足，其中为DNA的初始数量．已知某待测标本中DNA的初始数量为，核酸探针能检测到的DNA数量最低值为，则应对该标本进行PCR扩增的次数至少为（       ）（参考数据：，）

A．5 B．10 C．15 D．20

5．设公差不为0的等差数列的前n项和为，已知，则（       ）

A．9 B．8 C．7 D．6

6．已知双曲线的两个焦点为，，以为圆心，为半径的圆与E交于点P，若，则E的离心率为（       ）

A． B．2 C． D．3

7．如图是一个圆台的侧面展开图，其面积为，两个圆弧所在的圆半径分别为2和4，则该圆台的体积为（       ）

A． B． C． D．

8．已知函数是定义在上的奇函数，函数的图象关于直线对称，若，则（       ）

A． B． C． D．

9．一组样本数据，…，的平均数和中位数均为5，若去掉其中一个数据5，则（       ）

A．平均数不变 B．中位数不变 C．极差不变 D．方差不变

10．已知，，则（       ）

A． B． C． D．

11．如图所示，正方体的棱长为2，点E，F分别为和的中点，则（       ）

A．平面 B．平面

C．平面截正方体的截面面积为3 D．点D到平面的距离为

12．已知函数及其导函数满足，且，则（       ）

A．在上单调递增 B．在上有极小值

C．的最小值为-1 D．的最小值为0

第II卷（非选择题）

请点击修改第II卷的文字说明

13．函数的最小正周期为______．

14．已知向量，的夹角为45°，，且，若，则______．

15．第二届消博会（中国国际消费品博览会）于2022年5月在海南国际会展中心举办，甲、乙两人每人从A，B，C，D四个不同的消博会展馆中选2个去参观，则他们参观的展馆不完全相同但都参观A展馆的概率为______．

16．已知抛物线的焦点为F，第一象限的A，B两点在C上，若，，，则直线AB的斜率为______．

17．在中，角的对边分别为已知，．

(1)求；

(2)若，边的中点为，求．

18．已知数列的各项均为正整数且互不相等，记为的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．

①数列是等比数列；②数列是等比数列；③．

注：如选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．

19．如图，正三棱柱的高和底面边长均为2，点P，Q分别为，BC的中点．

(1)证明：平面平面；

(2)求直线BP与平面所成角的正弦值．

20．为落实体育总局和教育部发布的《关于深化体教融合，促进青少年健康发展的意见》，某校组织学生加强100米短跑训练．在某次短跑测试中，抽取100名男生作为样本，统计他们的成绩（单位：秒），整理得到如图所示的频率分布直方图（每组区间包含左端点，不包含右端点）．

(1)若规定男生短跑成绩小于13.5秒为优秀，求样本中男生短跑成绩优秀的概率．

(2)估计样本中男生短跑成绩的平均数．（同一组的数据用该组区间的中点值为代表）

(3)根据统计分析，该校男生的短跑成绩X服从正态分布，以（2）中所求的样本平均数作为的估计值．若从该校男生中随机抽取10人，记其中短跑成绩在以外的人数为Y，求．

附：若，则．．

21．已知椭圆的离心率为，且经过点．

(1)求C的方程；

(2)动直线l与圆相切，与C交于M，N两点，求O到线段MN的中垂线的最大距离．

22．已知函数，．

(1)若，求的最小值；

(2)若当时，恒成立，求a的取值范围．

参考答案：

1．A

【解析】

【分析】

先求出集合，然后再根据交集和补集运算得出答案.

【详解】

由解得或，即.

又或，所以．

故选：A

2．D

【解析】

【分析】

利用复数的除法运算法则即可求解.

【详解】

由已知得

，

则复数的虚部为，

故选：D.

3．C

【解析】

【分析】

求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．

【详解】

因为，所以，则“”两边同除以即可得到“”，反过来同乘以即可，故“”是“”的充要条件．

故选：C.

4．B

【解析】

【分析】

根据题意列出方程，利用指数与对数的互化即可求解.

【详解】

由题意知，，令，得，取以10为底的对数得，所以．

故选：B.

5．C

【解析】

【分析】

根据等差数列的前项和的性质及等差数列通项公式化简可得.

【详解】

因为，又，

所以，

所以，即，

设等差数列的公差为，

则，

所以，又，

所以，

所以．

故选：C.

6．D

【解析】

【分析】

设，设线段的中点为M，则，在中，可得，从而可得出答案.

【详解】

设 ，根据题意可得，，为锐角

则，设线段的中点为M，则．

在中，，

则，所以,即，

即得E的离心率．

故选：D

7．D

【解析】

【分析】

由条件结合扇形面积公式可求圆台的上下底面的半径，结合圆台的轴截面图形可求圆台的高，利用圆台体积公式求其体积.

【详解】

圆台的侧面展开图是一扇环，设该扇环的圆心角为，

则其面积为，得，

所以扇环的两个圆弧长分别为和，

设圆台的上底半径，下底半径分别为，圆台的高为，

则

所以，，又圆台的母线长

所以圆台的高为，

所以圆台的体积为．

故选：D.

8．B

【解析】

【分析】

分析可知是偶函数，利用偶函数的定义推导出，利用已知条件求出的值，即可求得的值.

【详解】

因为的图象关于对称，则是偶函数，

，且，

所以，对任意的恒成立，所以，，

因为且为奇函数，所以，，

因此，.

故选：B.

9．AC

【解析】

【分析】

根据平均数、中位数、极差、方差概念求解即可.

【详解】

假设，则原来的中位数为，去掉后，

平均数和极差不变，故A，C正确.

中位数为，这个值不一定为5，所以B不正确．

对于D，

原来的方差为，

去掉后，新的方差，

因为去掉的数据恰好等于平均值，所以剩下的数据的方差不变或增大．

故选：AC

10．BD

【解析】

【分析】

根据商的关系化简条件可求，利用平方关系求，再由商的关系求，再利用，结合二倍角公式及同角三角函数关系求，.

【详解】

因为，

所以，又 ，

所以，，故A错误，B正确．

，

所以，

，

故C错误，D正确．

故选：BD.

11．AD

【解析】

【分析】

如图所示，设BC的中点为G，连接GE和GA，GE与交于点I，连接与交于点H，连接HI．平面截正方体所得的截面即，然后逐个分析判断即可

【详解】

如图所示，设BC的中点为G，连接GE, 和GA，GE与交于点I，连接与交于点H，连接HI．平面截正方体所得的截面即．

因为在正方体中，分别为的中点，

所以，∥，所以四边形为平行四边形，

所以，∥，

因为， ∥，

所以，∥，

所以四边形为平行四边形，

所以∥，

因为平面， 平面，

所以平面，故A正确；

在矩形中可看出与HI不垂直，所以与平面不垂直，故B错误；

截面是一个等腰梯形，上底，下底，在矩形中，，所以，所以，故C错误；

，所以,

因为，所以，

所以,

设点D到平面的距离为，则,

，

所以，得，即点D到平面的距离为，所以D正确，

故选：AD

12．ABD

【解析】

【分析】

构造函数，利用导数运算公式求出函数的解析式，由此可得函数的解析式，再由导数与函数的单调性，极值及最值的关系判断各选项.

【详解】

设，则，

所以（C为常数），

所以，

又，所以，

所以，，

当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

所以在处取得极小值，

因为，所以，

所以在上有极小值

可知A，B都正确．

，，

当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

所以的极小值即最小值为，故C错误．

，

当时，，，所以，

当时，，，所以，

而当时，，所以的最小值为0，

故D正确．

故选：ABD.

【点睛】

本题解决的关键在于通过构造函数，利用所给条件求出函数函数解析式.

13．

【解析】

【分析】

利用正弦函数的周期公式直接求解即可

【详解】

的最小正周期为．

故答案为：

14．-2

【解析】

【分析】

先利用数量积的运算求解，再利用向量垂直数量积为0即可求解.

【详解】

因为得，

又因为，

所以，所以．

故答案为：-2.

15．

【解析】

【分析】

首先根据题意得到全部基本事件为36种，再用列举法列出符合条件的基本事件，即可得到答案.

【详解】

甲选2个去参观，有种方法，乙选2个去参观，有种方法，

所以共有种，

他们参观的展馆不完全相同但都参观A展馆的情况有：，，

，，，，共6种，

所以对应的概率为．

故答案为：

16．

【解析】

【分析】

利用抛物线的几何性质，以为斜边，构建直角三角形即可求解.

【详解】

如图所示，设C的准线为l，分别过A，B作l的垂线，垂足分别为D，E，过A作于点P．

由抛物线的定义可知，，所以．又因为，，所以，所以直线AB的斜率．

故答案为：.

【点睛】

17．(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）根据已知条件及正弦定理即可求解；

（1）根据已知及线段中点的关系，结合余弦定理即可求解.

(1)

在中，由正弦定理，得

．

(2)

由及，得，

中，由余弦定理，得，

即，解得或（舍），所以，

又因为边的中点为，所以即，

在中，由余弦定理得，

所以．

18．证明见解析

【解析】

【分析】

选择①②为条件，③为结论．根据已知条件及等比数列的通项公式，再利用等比数列前n项和公式，结合等比中项即可求解；

选择①③为条件，②为结论，据已知条件及等比数列的通项公式，再利用等比数列前n项和公式，结合等比数列的定义即可求解；

选择②③为条件，①为结论，据已知条件及等比数列的通项公式，得出，再利用与的关系，结合等比数列的定义即可求解.

【详解】

选择①②为条件，③为结论．

证明过程如下：设等比数列的公比为q，由题意知且．

则，，，

因为是等比数列，所以，

即，展开整理得，

所以，即．

选择①③为条件，②为结论，

证明过程如下：设的公比为q，由题意知且．

因为，即，因为，所以．

所以，所以．

因为，，

所以是首项为，公比为的等比数列．

选择②③为条件，①为结论，

证明过程如下：设的公比为，由题意知且．

则，所以，

又因为，且，所以．所以．

当时，，

所以，

所以是首项为，公比为的等比数列．

19．(1)证明见解析

(2)

【解析】

【分析】

（1）由于是正三角形，为BC的中点，可得，再由正棱柱的性质得，则由线面垂直的判定定理可得平面，再由面面垂直的判定定理可证得结论，

（2）设线段AC，的中点分别为，，以为坐标原点，分别以OB，OC，所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解

(1)

因为是正三角形，为BC的中点，所以，

因为平面ABC，平面ABC，所以，

因为，

所以平面，

因为平面，

所以平面平面．

(2)

设线段AC，的中点分别为，，以为坐标原点，分别以OB，OC，所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系．

因为正三棱柱的底面边长和高均为2，所以，，，，

，所以，，，．

设为平面的一个法向量，

则，令，则

设直线BP与平面所成角为，则

，

所以直线BP与平面所成角的正弦值为．

20．(1)

(2)

(3)

【解析】

【分析】

（1）先由频率分布直方图求出，然后可得出答案.

(2)根据平均数的公式可得答案.

(3) 由（2）知,由正态分布求出该校男生短跑成绩在以外的概率，根据题意，从而可得答案.

(1)

由频率分布直方图可得，

解得，

所以样本中男生短跑成绩优秀的概率为．

(2)

估计样本中男生短跑成绩的平均数为

．

(3)

由（2）知，所以，

所以该校男生短跑成绩在以外的概率为

根据题意，

所以．

21．(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）首先根据题意列出方程组，再解方程组即可.

（2）当的斜率不存在时，到中垂线的距离为0．当的斜率存在时，设，，．根据直线与圆相切得到，求出中垂线得到到中垂线的距离为，再利用基本不等式即可得到答案.

(1)

由题知：，解得.

所以的方程为．

(2)

当的斜率不存在时，线段MN的中垂线为轴，此时到中垂线的距离为0．

当的斜率存在时，设，，．

因为与圆相切，则到的距离为，所以．

联立方程，得，

则，可得的中点为．

则MN的中垂线方程为，即．

因此到中垂线的距离为

（当且仅当，时等号成立）．

综上所述，到线段MN的中垂线的最大距离为．

22．(1)1

(2)

【解析】

【分析】

（1）对函数求导后，求出函数的单调区间，从而可求出函数的最小值，

（2）设，由题意对任意恒成立，然后利用导数求出函数的最小值大于零即可

(1)

当时，，

所以，易知单调递增，且，

当时，，当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以的最小值为．

(2)

设，由题意对任意恒成立．

，

若，则，则存在，使得当时，，

所以在上单调递减，

故当时，，不符合题意．

若，由知当时，，所以，

当时， ，

因此在上单调递增．又，

所以当时，．

综上，的取值范围是．

【点睛】

关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的最值，考查利用导数解决不等式恒成立问题，第（2）问解题的关键是构造函数，将问题转化为对任意恒成立，然后分和两种情况利用导数求的最小值，使其大于零即可，考查数学转化思，属于较难题