2022年山东省德州市齐河县九年级模拟考试数学试题

这是一份2022年山东省德州市齐河县九年级模拟考试数学试题，共32页。试卷主要包含了6的绝对值是，下列运算正确的是等内容，欢迎下载使用。
2022年山东省德州市齐河县九年级学业水平模拟考试数学试题
第I卷（选择题）
评卷人
得分



一、单选题
1．6的绝对值是（ ）
A．6 B．﹣6 C． D．
2．习近平主席在2022年新年贺词中提到“人不负青山，青山定不负人”，一语道出“人与自然和谐共生”的至简大道．下列有关环保的四个图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．刚刚闭幕不久的北京冬奥会曾引起人们的高度关注，创新的数字平台合作带动广泛参与，据冬奥会大数据统计，粉丝在奥林匹克网站上给他们支持的奥运选手共发出4700万条虚拟助威．4700万用科学记数法表示为（       ）
A． B． C． D．
4．下列运算正确的是（       ）
A． B． C． D．
5．如图,下列关于六角螺帽的主视图画法正确的是（ ）

A． B．
C． D．
6．测试五位学生的“一分钟仰卧起坐”成绩，得到五个各不相同的数据. 在统计时，出现了一处错误：将最高成绩50个写成了55个．则下列统计量不受影响的是（   ）
A．方差 B．标准差 C．中位数 D．平均数
7．如图，在平行四边形 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，添加下列条件不能判定四边形ABCD是矩形的是（       ）

A．AC⊥BD B．AB⊥BC C．AC＝BD D．∠1＝∠2
8．某工程队经过招标，中标200千米的修路任务，但在实际开工时……，求实际每天修路多少千米？在这个题目中，若设实际每天修路千米，可得方程．则题目中用“……”表示的条件应是（       ）
A．每天比原计划多修5千米的路，结果延期10天完成
B．每天比原计划少修5千米的路，结果提前10天完成
C．每天比原计划少修5千米的路，结果延期10天完成
D．每天比原计划多修5千米的路，结果提前10天完成
9．在平面直角坐标系中，已知反比例函数的图象经过，则下列说法不正确的是（       ）
A． B．函数图象位于第一、三象限
C．已知点，连接OB，BD，则 D．若，则
10．如图，点A、B、C在半径为2的圆O上，且∠BAC=60°，作OM⊥AB于点M，ON⊥AC于点N，连接MN，则MN的长为（       ）

A．1 B． C．2 D．2
11．反比例函数与一次函数在同一坐标系的图象可能是（       ）
A． B．
C． D．
12．将抛物线的图象位于直线以下的部分向上翻折，得到如图所示的图象，若直线与图象只有四个交点，则m的取值范围是（       ）

A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分



二、填空题
13．计算的结果是______．
14．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程的根，则该三角形外接圆的半径为______．
15．如图，甲、乙两楼的距离AC＝30m，甲楼高AB＝20m，自甲楼楼顶的B处看乙楼楼顶的D处，仰角为28°，则乙楼的高CD为_________m．（结果精确到1m，参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）

16．如图，将半径为2cm的圆形纸片翻折，使得，恰好都经过圆心O，折C痕为AB，BC，则阴影部分的面积为_________cm2

17．在平面直角坐标系中，按以下步骤作图：
步骤一：以原点为圆心，任意长为半径画弧，分别交轴，轴于点，；
步骤二：再分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点．
若点的坐标为且在反比例函数图象上，则反比例函数的解析式为______．
18．如图，正方形的边长为4，点E是对角线上的动点（点E不与A，C重合），连接交于点F，线段绕点F逆时针旋转得到线段，连接．下列结论：①；②；③若四边形的面积是正方形面积的一半，则的长为；④．其中正确的是_________．（填写所有正确结论的序号）

评卷人
得分



三、解答题
19．计算或化简
(1)|3|﹣2sin45°；
(2)（a+2）．
20．随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种你最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次活动共调查了　 　人；在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为　 　；
（2）将条形统计图补充完整．观察此图，支付方式的“众数”是“　 　”；
（3）在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．

21．如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y＝（k≠0）与直线y＝的交点为A（a，﹣1），B（2，b）两点，双曲线上一点P的横坐标为1，直线PA，PB与x轴的交点分别为点M，N，连接AN．
（1）直接写出a，k的值；
（2）求证：PM＝PN，PM⊥PN．

22．如图，AB是⊙O的直径，弦AC=BC，E是OB的中点，连接CE并延长到点F，使EF=CE，连接AF交⊙O于点D，连接BD，BF．

(1)求证∶直线BF是⊙O的切线；
(2)若AF长为5，求⊙O的半径及DB的长．
23．2022冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”深受广大人民的喜爱．2021年十二月，奥林匹克官方旗舰店上架了“冰墩墩”和“雪容融”这两款毛绒玩具，本月销售“冰墩墩”的数量是“雪容融”的2倍，其中“冰墩墩”的销售单价比“雪容融”多40元，“冰墩墩”的销售总额是24000元，“雪容融”的销售总额是8000元．


(1)求“冰墩墩”和“雪容融”的销售单价；
(2)已知“冰墩墩”和“雪容融”的成本分别为90元/个和60元/个，进入2022年一月后，这两款毛绒玩具持续热销，于是旗舰店再购进了这两款毛绒玩具共600个，其中“雪容融”的数量不超过“冰墩墩”数量的2倍，且购进总价不超过43200元，为回馈新老客户，旗舰店决定对“冰墩墩”降价10%后再销售，若一月份购进的这两款毛绒玩具全部售出，则“冰墩墩”购进多少个时该旗舰店当月销售利润最大，并求出最大利润．
24．如图，在中，AB=AC，E是线段BC上一动点（不与B、C重合），连接AE，将线段AE绕点A逆时针旋转与相等的角度，得到线段AF，连接．点和点分别是边，的中点．


(1)【问题发现】如图1，若，当点E是边的中点时，____，直线与相交所成的锐角的度数为______度．
(2)【解决问题】如图2，若，当点E是边上任意一点时（不与B、C重合），上述两个结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
(3)【拓展探究】如图3，若，AB=6，，在E点运动的过程中，直接写出GN的最小值．
25．如图1，抛物线y=ax2+bx+3过A（1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C．

(1)求抛物线的函数解析式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ACM的周长最小？若存在，求出△ACM周长的最小值；若不存在，请说明理由．
(3)如图2，连接BC，抛物线上是否存在一点P，使得∠BCP=∠ACB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案：
1．A
【解析】
【详解】
试题分析：6是正数，绝对值是它本身6．故选A．
考点：绝对值．
2．D
【解析】
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与原图形重合是中心对称图形，在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形，这条直线就叫做对称轴．对各选项进行一一分析判定即可．
【详解】
解：
A．既不是轴对称也不是中心对称，故不合题意；
B．既是轴对称又是中心对称，故不合题意；
C．即不是轴对称，也不是中心对称，故不合题意；
D．是轴对称，但不是中心对称，故符合题意．
故选D．
【点睛】
本题考查轴对称和中心对称，灵活掌握相关概念是解题关键．
3．B
【解析】
【分析】
科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于1时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】
解：4700万=47000000=
故选B．
【点睛】
本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
4．C
【解析】
【分析】
根据同底数幂的乘法运算法则、完全平方差公式、积的乘方运算法则和幂的乘方运算法则、合并同类项运算法则逐项判定即可得出结论．
【详解】
解：A、根据同底数幂的乘法运算法则，故该选项不符合题意；
B、根据完全平方差公式，故该选项不符合题意；
C、根据积的乘方运算法则和幂的乘方运算法则，故该选项符合题意；
D、根据合并同类项运算法则，故该选项不符合题意；
故选C．
【点睛】
本题考查整式的运算，掌握整式的各类运算法则是解决问题的关键．
5．B
【解析】
【分析】
根据主视图是从正面看到的图形，进而得出答案．
【详解】
主视图是从正面看这个几何体得到的正投影，
∴六角螺帽的主视图为长方形，且中间是两条实线．
故选B．
【点睛】
本题考查了三视图的知识，关键是找准主视图所看的方向．
6．C
【解析】
【分析】
根据中位数的定义解答可得．
【详解】
解：因为中位数是将数据按照大小顺序重新排列，代表了这组数据值大小的“中点”，不受极端值影响，
所以将最高成绩写得更高了，50个写成了55个，计算结果不受影响的是中位数，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查方差、极差、中位数和平均数，解题的关键是掌握中位数的定义．
7．A
【解析】
【分析】
根据菱形和矩形的判定、等腰三角形的性质、平行四边形的性质逐项判断即可得．
【详解】
解：A、由对角线互相垂直的平行四边形是菱形可知，添加能判定是菱形，不一定是矩形，则此项符合题意；
B、由有一个角是直角的平行四边形是矩形可知，添加能判定是矩形，则此项不符题意；
C、由对角线相等的平行四边形是矩形可知，添加能判定是矩形，则此项不符题意；
D、，
，
四边形是平行四边形，
，
，
是矩形，
即添加能判定是矩形，则此项不符题意；
故选：A．
【点睛】
本题考查了菱形和矩形的判定、等腰三角形的性质、平行四边形的性质，熟练掌握矩形的判定方法是解题关键．
8．D
【解析】
【分析】
根据分式方程以及题意，求解即可．
【详解】
解：由题意可得，实际每天修路千米，表示计划每天修路的长，
则实际每天比原计划多修5千米的路，
表示计划工期，表示实际工期
则表示实际工期比计划工期少10天，即结果提前10天完成，
故选：D
【点睛】
此题考查了分式方程的应用，解题的关键是理解分式方程中每个式子的含义是解题的关键．
9．D
【解析】
【分析】
结合题意，根据反比例函数的性质，通过列一元一次方程，得，根据反比例函数图像的性质，得反比例函数的图象位于第一、三象限；根据反比例函数的递增性分析，即可完成求解．
【详解】
∵反比例函数的图象经过
∴
∴，即选项A正确；
∴反比例函数的图象位于第一、三象限，即选项B正确；
∵反比例函数的图象经过
∴
∴
∵，
∴轴，，
∴，即选项C正确；
当时，则；当时，则，即选项D不正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查了直角坐标系、反比例函数的知识；解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质，从而完成求解．
10．B
【解析】
【分析】
连接OB并延长交圆O于E，则BE为圆O直径，连接BC、CE，由圆周角定理可得∠BEC=60°，由BE是直径可知∠BCE=90°，利用∠BEC的余弦值可得BC的长，根据垂径定理可得AM=BM，AN=CN，即可证明MN是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理即可求出MN的长.
【详解】
连接OB并延长交圆O于E，则BE为圆O直径，连接BC、CE，
∵∠BAC和∠AEC都是所对圆周角，
∴∠BAC=∠BEC=60°，
∵BE是直径，
∴∠BCE=90°，BE=4，
∴BC=BEsin60°=4×=2，
∵OM⊥AB，ON⊥AC，
∴AM=BM，AN=CN，
∴MN是△ABC的中位线，
∴MN=BC=.

故选B.
【点睛】
本题考查了圆周角定理、垂径定理及三角形中位线定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于所对圆心角的一半，直径所对的圆周角等于90°；直于弦的直径平分弦，并平分这条弦所对的两条弧；三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，熟练掌握相关定理是解题关键.
11．B
【解析】
【分析】
根据反比例函数的性质、一次函数的性质即可判断反比例函数的图象和一次函数的图象所处的象限．
【详解】
解：由反比例函数y=与一次函数y=kx+1可知，
当k＞0时，反比例函数的图象在二、四象限，一次函数的图象通过一、二、三象限，
当k＜0时，反比例函数的图象在一、三象限，一次函数的图象通过一、二、四象限，
故选：B．
【点睛】
本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象，熟练掌握一次函数的性质和反比例函数的性质是解题的关键．
12．C
【解析】
【分析】
如图，由题意知，直线在之间平移变化时，交点个数为4个，分别求出与图象只有3个交点时的值；当有3个交点时，将代入求解即可；当有3个交点时，根据与有1个交点，列一元二次方程，根据求解即可；进而可得的取值范围．
【详解】
解：如图，

当时，，
解得，
∴过点时，直线与图象有3个交点，
将代入得，
解得；
当与有1个交点时，与翻折后的图象有3个交点，
∴，
整理得，
令，
解得，
∴由图象可知，当时，直线与图象有4个交点
故选C．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数图象的平移，一元二次方程的根等知识．解题的关键在于数形结合找出交点为4个时一次函数的位置．
13．
【解析】
【分析】
根据=|a|进行开平方，然后再利用绝对值的性质进行计算即可．
【详解】
解：，
故答案为：π-3．
【点睛】
此题主要考查了二次根式的化简和性质，关键是掌握=|a|．
14．
【解析】
【分析】
先解一元二次方程，根据构成三角形的条件取舍，勾股定理的逆定理判定三角形为直角三角形，进而根据90度角所对的弦为直径，进而求得三角形外接圆的半径．
【详解】
解：，
，
解得，
当时，不能构成三角形；
当时，，
这个三角形是斜边为5的直角三角形，
该三角形外接圆的半径为，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了求直角三角形的外接圆的半径，解一元二次方程，勾股定理的逆定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求得这个三角形是直角三角形是解题的关键．
15．36
【解析】
【分析】
过点作，垂足为，在中，由正切定义解得，继而由解答．
【详解】
解：过点作，垂足为，

则四边形是矩形，
，
在中，，
，
，
乙楼的高为36m，
故答案为：36．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用—仰角俯角问题，是重要考点，作出正确的辅助线，掌握相关知识是解题关键．
16．
【解析】
【分析】
作OD⊥AB于点D，连接AO，BO，CO，求出∠OAD=30°，得到∠AOB=2∠AOD=120°，进而求得∠AOC=120°，再利用阴影部分的面积=扇形AOC的面积，即可得出结果．
【详解】
解：作OD⊥AB于点D，连接AO，BO，CO，如图，

∵OD=AO
∠OAD=30°，∠AOD=60°
∴∠AOB=2∠AOD=120°，
同理∠BOC=120°，
∴∠AOC=120°
∴
故答案为．
【点睛】
本题主要考查了翻折变换的性质、扇形面积公式等知识；解题的关键是确定∠AOC=120°．
17．或
【解析】
【分析】
首先确定点P的位置，再根据横纵坐标的特点建立方程，求出点的坐标，然后代入反比例函数关系式，进而得出答案.
【详解】
由题意，点在一，三象限的角平分线上或在二四象限的角平分线上，
∵
∴3x=x+4或-3x=x+4，
或，
∴或，
∵点P在的图象上，
∴k=36或-9，
所以关系式为或．
故答案为：或．
【点睛】
本题主要考查了尺规作角平分线及待定系数法求反比例函数关系式，根据角平分线的定义得出点P的位置是解题的关键．
18．①②④
【解析】
【分析】
过E作EM⊥BC，EN⊥CD，可证△BEM≌△FEN得BE=EF，故①正确；可证四边形BEFG是正方形得∠EBG=90°，BE=BG，可证∠ABE=∠CBG，进而得到△ABE≌△CBG，所以∠BAE=∠BCG，得∠BCA+∠BCG=90°，即∠ACG=90°，可证②正确；由可求BE=，过E作EH⊥AB，则∠AEH=180°-∠BAC-∠AHE=45°，知AH=HE，设AH=HE=x，则BH=4-x，由，得到AH=HE=2，从而得到，知③错误；由②可知，△ABE≌△CBG，所以AE=CG，而CG+CE=AE+CE=AC可求，④正确．
【详解】
解：过E作EM⊥BC，EN⊥CD

∵四边形ABCD是正方形，AC平分∠BCD
∴EM=EN
∵∠EMC=∠MCN=∠ENC=90°
∴∠MEN=90°
∵EF⊥BE
∴∠BEM+∠MEF=∠FEN+∠MEF=90°
∴∠BEM=∠FEN
∵∠EMB=∠ENF=90°，EM=EN
∴△BEM≌△FEN
∴BE=EF
故①正确；
∵∠BEF=∠EFG=90°，EF=FG，BE=EF
∴BE=FG，BE∥FG
∴四边形BEFG是平行四边形
∵∠BEF=90°，BE=EF
∴四边形BEFG是正方形
∴∠EBG=90°，BE=BG
∵∠ABC=90°
∴∠ABE+∠EBC=∠EBC+∠CBG=90°
∴∠ABE=∠CBG
又∵AB=BC，BE=BG
∴△ABE≌△CBG
∴∠BAE=∠BCG∵∠BAE+∠BCA=90°
∴∠BCA+∠BCG=90°，即∠ACG=90°
故②正确；
∵
∴
∴BE=
过E作EH⊥AB
∵四边形ABCD是正方形
∴∠BAC=45°
∵∠AHE=90°
∴∠AEH=180°-∠BAC-∠AHE=45°
∴AH=HE
设AH=HE=x，则BH=4-x
∵
∴
解得
∴AH=HE=2
∴
故③错误；
由②可知，△ABE≌△CBG
∴AE=CG
∴CG+CE=AE+CE=AC
∵∠ACB=45°
∴AC=
∴CG+CE=
故④正确，
所以答案为：①②④．
【点睛】
本题是正方形综合题，主要考查了旋转的性质，正方形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，综合运用正方形的判定与性质定理，勾股定理等知识是解题的关键．
19．(1)7
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据绝对值的意义，特殊角的三角函数值，算术平方根的概念，负整数指数幂法则计算即可；
（2）根据分式的混合运算法则计算即可．
(1)
解：|3|﹣2sin45°（）﹣2
=3224
=324
=7；
(2)
解：（a+2）
=
=
=
=
=．
【点睛】
本题考查了绝对值的意义，特殊角的三角函数值，算术平方根的概念，负整数指数幂法则，分式的混合运算法则等知识，掌握运算法则是解题的关键．
20．（1）200、81°；（2）补图见解析；（3）
【解析】
【详解】
分析：（1）用支付宝、现金及其他的人数和除以这三者的百分比之和可得总人数，再用360°乘以“支付宝”人数所占比例即可得；
（2）用总人数乘以对应百分比可得微信、银行卡的人数，从而补全图形，再根据众数的定义求解可得；
（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两人恰好选择同一种支付方式的情况，再利用概率公式即可求得答案．
详解：（1）本次活动调查的总人数为（45+50+15）÷（1﹣15%﹣30%）=200人，
则表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为360°×=81°，
故答案为200、81°；
（2）微信人数为200×30%=60人，银行卡人数为200×15%=30人，
补全图形如下：

由条形图知，支付方式的“众数”是“微信”，
故答案为微信；
（3）将微信记为A、支付宝记为B、银行卡记为C，
画树状图如下：
画树状图得：

∵共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有3种，
∴两人恰好选择同一种支付方式的概率为=．
点睛：此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21．（1）k＝2；（2）详见解析；
【解析】
【分析】
（1）依据双曲线y＝（k≠0）与直线y＝的交点为A（a，﹣1），B（2，b）两点，可得点A与点B关于原点对称，进而得到a，k的值；
（2）根据双曲线y＝上一点P的横坐标为1，可得点P的坐标为（1，2），进而得到直线PA，PB的函数表达式分别为y＝x+1，y＝﹣x+3，求得直线PA，PB与x轴的交点坐标分别为M（﹣1，0），N（3，0），即可得到PM＝PN，PM⊥PN．
【详解】
解：（1）∵双曲线y＝（k≠0）与直线y＝的交点为A（a，﹣1），B（2，b）两点，
∴点A与点B关于原点对称，
∴a＝﹣2，b＝1，
∴把A（﹣2，﹣1）代入双曲线y＝，可得k＝2；
（2）证明：∵双曲线y＝上一点P的横坐标为1，
∴点P的坐标为（1，2），
∴直线PA，PB的函数表达式分别为y＝x+1，y＝﹣x+3，
∴直线PA，PB与x轴的交点坐标分别为M（﹣1，0），N（3，0），
∴PM＝2，PN＝2，MN＝4，
∴PM＝PN，PM2+PN2＝MN2，
∴∠MPN＝90°，
∴PM⊥PN．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题以及勾股定理的逆定理的运用，求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解．解决问题的关键是掌握待定系数法求一次函数解析式．
22．(1)见解析
(2)，
【解析】
【分析】
（1）连接、，证明四边形是平行四边形，则，根据，得到，，可证明是的切线；
（2）由是的直径得，则，可证明，根据勾股定理求出、的长，再根据三角形的面积公式即可求出的长．
(1)
证明：如图，连接、，
，，
四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
是的半径，且，
直线是的切线；

(2)
解：∵四边形是平行四边形，
，
，且，
，
，
，
的半径为，
，
，
．
【点睛】
此题考查圆的切线的判定、圆的弦与弧及圆心角的关系、圆周角定理、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，根据题意正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
23．(1)“冰墩墩”的单价是120元/个， “雪容融”的单价是80元/个；
(2)冰墩墩”购进200个时该旗舰店当月销售利润最大，最大利润为11600元．
【解析】
【分析】
（1）设“冰墩墩” 的销售单价为x 元/个,则“雪容融”的销售单价为（x-40）元/个，列出分式方程，解方程即可；
（2）设“冰墩墩”购进m个，列出不等式组，求出m的取值范围，根据一次函数的性质求解即可．
(1)
设“冰墩墩” 的销售单价为x 元/个,则“雪容融”的销售单价为（x-40）元/个，根据题意得，

解得：x=120，
经检验，x=120是原方程的解，且符合题意，
则x-40=80，
答： “冰墩墩”的单价是120元/个， “雪容融”的单价是80元/个；
(2)
设一月份购进“冰墩墩”m个，则购进“雪容融”（600-m）个，当月销售利润为w元，根据题意得：
，
解得：，

∵-2＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m=200时，，
答：冰墩墩”购进200个时该旗舰店当月销售利润最大，最大利润为11600元．
【点睛】
本题考查分式方程的应用，一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质解答．
24．(1)；30°；
(2)两个结论均成立；证明见解析；
(3)GN的最小值为1.
【解析】
【分析】
（1）根据已知和旋转的性质可得均为等边三角形，求出AE，BE，EN，从而可求出以及直线与相交所成的锐角的度数；
（2）成立，连接AM、AN，证明，
，再证明△MAN∽△BAE即可得出结论；
（3）方法同（2）可求出∠NMC=45°，由勾股定理得，进一步得出得，再根据垂线段最短可得结论．
(1)
∵AB=AC，，
∴是等边三角形，
∵点E是边的中点
∴AE⊥BC
∴
∴
∴
由旋转的性质可得：AE=AF，
∴是等边三角形
∴∠AEF=60°，
∴
∵ ∴
∴
∴AE=2EN
∴
∴
故答案为：；30°
(2)
上述两个结论均成立；
连接AM、AN
∵AB=AC，
∴△ABC为等边三角形
∵M是BC中点，
∴AM⊥BC，即∠BMA=90°
在直角△ABM中，∠B=60°，
∴∠BAM=30°，，
同理可得∠EAN=30°，，
∴∠MAN=∠BAE，，
∴△MAN∽△BAE，
∴，∠AMN=∠ABE=60°，
∴∠NMC=∠AMC-∠AMN=90°－60°=30°，
综合得：，直线BE和MN相交所成的锐角的度数为30°;

(3)
如图，
∵ ，
∴ ，
∵M是BC的中点，
∴，
∵ ，
∴ ，
同（2）可得， ，
∴，
∴ ，
根据垂线段最短可知：当时，GN最小，
此时，是等腰直角三角形，GN=1.

【点睛】
本题主要考查了等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等知识，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．
25．(1)；
(2)存在，周长的最小值为；
(3)存在，．
【解析】
【分析】
（1）运用待定系数法即可确定a、b的值．
（2）根据△ACM的周长最小值为，分别求出AC，BC的长即可；
（3）过点 作直线l∥x轴，过点 作EF⊥直线l于点 ，交 轴于点 ．证明∆BDF∽∆DCE，得出，求出点D的坐标，运用待定系数法求出直线CP的解析式，最后联立方程组，求出方程组的解即可得出结论．
(1)
将点，代入中，得：
，
解得 ，
∴，
(2)
存在，
抛物线对称轴：直线 ，
将代入中，得，
连接BC，交抛物线对称轴于点M，
当C，M，B三点共线时，周长最小 ，
∴AM+CM=BM+CM=BC，
∵，
∴，
∴的最小值为.

(3)
存在,
∵，
∴，
∵，
∴，
如图，过点作于点，
过点作直线轴，过点作于点，交轴于点．
∵
∴，
∵，
∴，
∴=，
又∵
∴
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，解得，
∴ ，
设直线CP的解析式为，
把（0，3），（）代入得，
解得，，
∴直线：，
联立，
解得，，，
∴.

【点睛】
此题主要考查了利用抛物线与x轴的交点坐标确定函数解析式，二次函数的对称轴上点的坐标以及二次函数的性质，二次函数图像上的坐标特征，解题的关键是利用待定系数法得到关于a、b的方程，解方程即可解决问题．