人教B版 (2019)选择性必修 第二册4.1.2 乘法公式与全概率公式导学案

这是一份人教B版 (2019)选择性必修 第二册4.1.2 乘法公式与全概率公式导学案，共7页。学案主要包含了第一学时，学习目标，学习重难点，学习过程，学习小结，精炼反馈，第二学时等内容，欢迎下载使用。

【第一学时】
【学习目标】
1．通过乘法公式及其推广的学习，体会数学抽象的素养。
2．借助乘法公式及其推广解题，提升数学运算素养。
【学习重难点】
1．掌握乘法公式及其推广。（重点）
2．会用乘法公式及全概率公式求相应事件的概率。（难点）
【学习过程】
一、新知初探
乘法公式及其推广
（1）乘法公式：P（AB）＝P（A）P（B|A），其中P（A）＞0.
（2）乘法公式的推广：
设Ai表示事件，i＝1，2，3，且P（Ai）＞0，P（A1A2）＞0，
则P（A1A2A3）＝P（A1）P（A2|A1）P（A3|A1A2）。
其中P（A3|A1A2）表示已知A1与A2都发生时A3发生的概率，P（A1A2A3）表示A1A2A3同时发生的概率。
二、初试身手
1．思考辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）P（AB）＝P（BA）。（ ）
（2）P（AB）＝P（A）P（B）。（ ）
（3）P（A1A2A3A4）＝P（A1）P（A2|A1）P（A3|A1A2）P（A4|A1A2A3），其中P（A1）＞0，P（A2A1）＞0，P（A1A2A3）＞0.（ ）
2．已知P（B|A）＝eq \f(1,3)，P（A）＝eq \f(2,5)，则P（AB）等于（ ）
A．eq \f(5,6)B．eq \f(9,10)
C．eq \f(2,15)D．eq \f(1,15)
3．某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好去试拨，他第一次失败、第二次成功的概率是（ ）
A．eq \f(1,10)B．eq \f(2,10)
C．eq \f(8,10)D．eq \f(9,10)
4．若P（B|A）＝eq \f(1,3)，则P（eq \(B,\s\up12(－))|A）＝________。
三、合作探究
【例1】一袋中装10个球，其中3个黑球、7个白球，先后两次从中随意各取一球（不放回），求两次取到的均为黑球的概率。
【例2】设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时打破的概率为eq \f(1,2)，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率为eq \f(7,10)，若前两次落下未打破，第三次落下打破的概率为eq \f(9,10)。试求透镜落下三次而未打破的概率。
【例3】已知某厂家的一批产品共100件，其中有5件废品。但采购员不知有几件次品，为慎重起见，他对产品进行不放回的抽样检查，如果在被他抽查的5件产品中至少有一件是废品，则他拒绝购买这一批产品。求采购员拒绝购买这批产品的概率。
【学习小结】
1．乘法公式P（AB）＝P（A）P（B|A）进一步揭示了P（A），P（B|A）及P（AB）三者之间的内在联系，体现了“知二求一”的转化化归思想。
2．该公式同时也给出了“积事件”概率的另一种求解方式，即在事件A，B不相互独立的前提下可考虑条件概率的变形公式，即乘法公式。
3．注意P（A）P（B|A）与P（B）P（A|B）的等价转化。
【精炼反馈】
1．若P（B）＝eq \f(3,5)，P（A|B）＝eq \f(1,2)，则P（AB）为（ ）
A．eq \f(3,10)B．eq \f(5,6)
C．eq \f(1,2)D．eq \f(1,5)
2．从一副不含大、小王的52张扑克牌中不放回地抽取2次，每次抽一张，则第2次才抽到A的概率是（ ）
A．eq \f(1,13)B．eq \f(1,17)
C．eq \f(16,221)D．eq \f(4,51)
3．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率是________。
4．4张奖券中只有1张能中奖，现分别由4名同学无放回地抽取，若已知第一名同学没有抽到中奖券，则最后一名同学抽到中奖券的概率为________。
5．已知6个高尔夫球中有2个不合格，每次取1个，不放回地取两次，求两次均取到不合格球的概率。
【第二学时】
【学习目标】
1．通过学习全概率公式及贝叶斯公式，体会逻辑推理的数学素养。
2．借助全概率公式及贝叶斯公式解题，提升数学运算的素养。
【学习重难点】
1．理解并掌握全概率公式。（重点）
2．了解贝叶斯公式。（难点）
3．会用全概率公式及贝叶斯公式解题。（易错点）
【学习过程】
一、新知初探
1．全概率公式
（1）P（B）＝P（A）P（B|A）＋P（eq \(A,\s\up6(－))）P（B|eq \(A,\s\up6(－))）；
（2）定理1
若样本空间Ω中的事件A1，A2，…，An满足：
①任意两个事件均互斥，即AiAj＝∅，i，j＝1，2，…，n，i≠j；
②A1＋A2＋…＋An＝Ω；
③P（Ai）＞0，i＝1，2，…，n。
则对Ω中的任意事件B，都有B＝BA1＋BA2＋…＋BAn。
2．贝叶斯公式
（1）一般地，当0＜P（A）＜1且P（B）＞0时，有
P（A|B）＝eq \f(PAPB|A,PB)
（2）定理2 若样本空间Ω中的事件A1，A2，…，An满足：
①任意两个事件均互斥，即AiAj＝∅，i，j＝1，2，…，n，i≠j；
②A1＋A2＋…＋An＝Ω；
③1＞P（Ai）＞0，i＝1，2，…，n。
则对Ω中的任意概率非零的事件B，有
P（Aj|B）＝eq \f(PAjPB|Aj,PB)
二、初试身手
1．思考辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）P（A）＝P（B）P（A|B）＋P（eq \(B,\s\up6(－))）P（A|eq \(B,\s\up6(－))）。（ ）
（2）P（B）＝P（A）P（B|A）＋P（A）P（eq \(B,\s\up6(－))|A）。（ ）
（3）P（A|B）＝eq \f(PAB,PB)＝eq \f(PBPA|B,PAPB|A)（ ）
2．已知事件A，B，且P（A）＝eq \f(1,3)，P（B|A）＝eq \f(1,5)，P（B|eq \(A,\s\up6(－))）＝eq \f(2,5)，则P（B）等于（ ）
A．eq \f(3,5)B．eq \f(1,5)
C．eq \f(1,3)D．eq \f(1,15)
3．一袋中装有大小、形状均相同的5个球，其中2个黑球，3个白球，从中先后不放回地任取一球，则第二次取到的是黑球的概率为________。
4．对以往数据分析结果表明，当机器调整得良好时，产品的合格率为98%，而当机器发生某种故障时，其合格率为55%。每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为95%。则已知某日早上第一件产品是合格时，机器调整得良好的概率约是________。
三、合作探究
【例1】甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品。
（1）从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率；
（2）若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率。
【例2】一项血液化验用来鉴别是否患有某种疾病。在患有此种疾病的人群中，通过化验有95%的人呈阳性反应，而健康的人通过化验也会有1%的人呈阳性反应。某地区此种病的患者仅占人口的0.5%。若某人化验结果为阳性，问此人确实患有此病的概率是多大？
【例3】假定具有症状S＝{S1，S2，S3，S4}的疾病有d1，d2，d3三种，现从20 000份患有疾病d1，d2，d3的病历卡中统计得到下列数字：
试问当一个具有S中症状的病人前来要求诊断时，他患有疾病的可能性是多少？在没有别的资料可依据的诊断手段情况下，诊断该病人患有这三种疾病中哪一种较合适？
【学习小结】
1．全概率公式P（B）＝eq \(∑,\s\up8(n),\s\d6(i＝1))P（Ai）P（B|Ai）在解题中体现了化整为零的转化化归思想。
2．贝叶斯概率公式反映了条件概率P（B|A）＝eq \f(PAB,PA)，全概率公式P（A）＝eq \(∑,\s\up8(n),\s\d6(i＝1))P（Bi）P（A|Bi）及乘法公式P（AB）＝P（B）P（A|B）之间的关系。
即P（Bj|A）＝eq \f(PBjA,PA)＝eq \f(PBjPA|Bj,PA)
【精炼反馈】
1．有朋自远方来，乘火车、船、汽车、飞机来的概率分别为0.3，0.2，0.1，0.4，迟到的概率分别为0.25，0.3，0.1，0.则他迟到的概率为（ ）
A．0.65B．0.075
C．0.145D．0
2．两台机床加工同样的零件，第一台的废品率为0.04，第二台的废品率为0.07，加工出来的零件混放，并设第一台加工的零件是第二台加工零件的2倍，现任取一零件，则它是合格品的概率为（ ）
A．0.21B．0.06
C．0.94D．0.95
3．某小组有20名射手，其中一、二、三、四级射手分别有2、6、9、3名。又若选一、二、三、四级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概率分别为0.85、0.64、0.45、0.32，今随机选一人参加比赛，则该小组在比赛中射中目标的概率为________。
4．袋中有10个黑球，5个白球。现掷一枚均匀的骰子，掷出几点就从袋中取出几个球。若已知取出的球全是白球，则掷出3点的概率为________。
5．设甲、乙、丙三个地区爆发了某种流行病，三个地区感染此病的比例分别为eq \f(1,7)，eq \f(1,5)，eq \f(1,4)现从这三个地区任抽取一个人。
（1）求此人感染此病的概率；
（2）若此人感染此病，求此人来自乙地区的概率。类型1
乘法公式及其应用
类型2
乘法公式的推广及应用
类型3
乘法公式的综合应用
类型1
全概率公式及其应用
类型2
贝叶斯公式及其应用
类型3
全概率公式与贝叶斯公式的综合应用
疾病
人数
出现S症状人数
d1
7 750
7 500
d2
5 250
4 200
d3
7 000
3 500