江苏省13市2021年九年级中考数学真题按题型难易度分层分类汇编：10解答题提升题&解答题压轴题

这是一份江苏省13市2021年九年级中考数学真题按题型难易度分层分类汇编：10解答题提升题&解答题压轴题，共72页。试卷主要包含了解答题提升题，解答题压轴题，由题意得等内容，欢迎下载使用。
10解答题提升题&解答题压轴题
（真题来源于苏州卷，南京卷，南通卷，镇江卷，无锡卷，常州卷，盐城卷，淮安卷，徐州卷，宿迁卷，扬州卷，泰州卷，连云港卷）

四、解答题提升题
36．（2021•镇江）如图，点A和点E（2，1）是反比例函数y＝（x＞0）图象上的两点，点B在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，分别过点A，B作y轴的垂线，垂足分别为点C，D，AC＝BD，连接AB交y轴于点F．
（1）k＝　 　；
（2）设点A的横坐标为a，点F的纵坐标为m，求证：am＝﹣2；
（3）连接CE，DE，当∠CED＝90°时，直接写出点A的坐标：　 　．

37．（2021•淮安）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（5，0），顶点为点D，动点M、Q在x轴上（点M在点Q的左侧），在x轴下方作矩形MNPQ，其中MQ＝3，MN＝2．矩形MNPQ沿x轴以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，运动开始时，点M的坐标为（﹣6，0），当点M与点B重合时停止运动，设运动的时间为t秒（t＞0）．
（1）b＝　 　，c＝　 　．
（2）连接BD，求直线BD的函数表达式．
（3）在矩形MNPQ运动的过程中，MN所在直线与该二次函数的图象交于点G，PQ所在直线与直线BD交于点H，是否存在某一时刻，使得以G、M、H、Q为顶点的四边形是面积小于10的平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
（4）连接PD，过点P作PD的垂线交y轴于点R，直接写出在矩形MNPQ整个运动过程中点R运动的路径长．

38．（2021•南通）如图，正方形ABCD中，点E在边AD上（不与端点A，D重合），点A关于直线BE的对称点为点F，连接CF，设∠ABE＝α．

（1）求∠BCF的大小（用含α的式子表示）；
（2）过点C作CG⊥直线AF，垂足为G，连接DG．判断DG与CF的位置关系，并说明理由；
（3）将△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBH，点E的对应点为点H，连接BF，HF．当△BFH为等腰三角形时，求sinα的值．
39．（2021•徐州）如图1，正方形ABCD的边长为4，点P在边AD上（P不与 A、D重合），连接PB、PC．将线段PB绕点P顺时针旋转90°得到PE，将线段PC绕点P逆时针旋转90°得到PF，连接EF、EA、FD．
（1）求证：
①△PDF的面积S＝PD2；
②EA＝FD；
（2）如图2，EA、FD的延长线交于点M，取EF的中点N，连接MN，求MN的取值范围．

40．（2021•无锡）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数y＝ax2+2x+c的图象过B、C两点，且与x轴交于另一点A，点M为线段OB上的一个动点，过点M作直线l平行于y轴交BC于点F，交二次函数y＝ax2+2x+c的图象于点E．
（1）求二次函数的表达式；
（2）当以C、E、F为顶点的三角形与△ABC相似时，求线段EF的长度；
（3）已知点N是y轴上的点，若点N、F关于直线EC对称，求点N的坐标．

41．（2021•盐城）学习了图形的旋转之后，小明知道，将点P绕着某定点A顺时针旋转一定的角度α，能得到一个新的点P′，经过进一步探究，小明发现，当上述点P在某函数图象上运动时，点P′也随之运动，并且点P′的运动轨迹能形成一个新的图形．
试根据下列各题中所给的定点A的坐标、角度α的大小来解决相关问题．
【初步感知】
如图1，设A（1，1），α＝90°，点P是一次函数y＝kx+b图象上的动点，已知该一次函数的图象经过点P1（﹣1，1）．
（1）点P1旋转后，得到的点P1′的坐标为 　 　；
（2）若点P′的运动轨迹经过点P2′（2，1），求原一次函数的表达式．
【深入感悟】
如图2，设A（0，0），α＝45°，点P是反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上的动点，过点P′作二、四象限角平分线的垂线，垂足为M，求△OMP′的面积．
【灵活运用】
如图3，设A（1，﹣），α＝60°，点P是二次函数y＝x2+2x+7图象上的动点，已知点B（2，0）、C（3，0），试探究△BCP′的面积是否有最小值？若有，求出该最小值；若没有，请说明理由．

42．（2021•南京）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣2，1），（2，﹣3）两点．
（1）求b的值；
（2）当c＞﹣1时，该函数的图象的顶点的纵坐标的最小值是 　 　．
（3）设（m，0）是该函数的图象与x轴的一个公共点．当﹣1＜m＜3时，结合函数的图象，直接写出a的取值范围．
43．（2021•宿迁）已知正方形ABCD与正方形AEFG，正方形AEFG绕点A旋转一周．
（1）如图①，连接BG、CF，求的值；
（2）当正方形AEFG旋转至图②位置时，连接CF、BE，分别取CF、BE的中点M、N，连接MN、试探究：MN与BE的关系，并说明理由；
（3）连接BE、BF，分别取BE、BF的中点N、Q，连接QN，AE＝6，请直接写出线段QN扫过的面积．

44．（2021•苏州）如图，二次函数y＝x2﹣（m+1）x+m（m是实数，且﹣1＜m＜0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），其对称轴与x轴交于点C．已知点D位于第一象限，且在对称轴上，OD⊥BD，点E在x轴的正半轴上，OC＝EC，连接ED并延长交y轴于点F，连接AF．
（1）求A、B、C三点的坐标（用数字或含m的式子表示）；
（2）已知点Q在抛物线的对称轴上，当△AFQ的周长的最小值等于时，求m的值．

45．（2021•苏州）如图，在矩形ABCD中，线段EF、GH分别平行于AD、AB，它们相交于点P，点P1、P2分别在线段PF、PH上，PP1＝PG，PP2＝PE，连接P1H、P2F，P1H与P2F相交于点Q．已知AG：GD＝AE：EB＝1：2，设AG＝a，AE＝b．
（1）四边形EBHP的面积 　 　四边形GPFD的面积（填“＞”、“＝”或“＜”）
（2）求证：△P1FQ∽△P2HQ；
（3）设四边形PP1QP2的面积为S1，四边形CFQH的面积为S2，求的值．

46．（2021•扬州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C．
（1）b＝　 　，c＝　 　；
（2）若点D在该二次函数的图象上，且S△ABD＝2S△ABC，求点D的坐标；
（3）若点P是该二次函数图象上位于x轴上方的一点，且S△APC＝S△APB，直接写出点P的坐标．

47．（2021•扬州）在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单：
已知线段BC＝2，使用作图工具作∠BAC＝30°，尝试操作后思考：
（1）这样的点A唯一吗？
（2）点A的位置有什么特征？你有什么感悟？
“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A的位置不唯一，它在以BC为弦的圆弧上（点B、C除外），…．小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）．
（1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决．
①该弧所在圆的半径长为 　 　；
②△ABC面积的最大值为 　 　；
（2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们记为A′，请你利用图1证明∠BA′C＞30°．
（3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形ABCD的边长AB＝2，BC＝3，点P在直线CD的左侧，且tan∠DPC＝．
①线段PB长的最小值为 　 　；
②若S△PCD＝S△PAD，则线段PD长为 　 　．

48．（2021•连云港）在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．
（1）△ABC是边长为3的等边三角形，E是边AC上的一点，且AE＝1，小亮以BE为边作等边三角形BEF，如图1．求CF的长；

（2）△ABC是边长为3的等边三角形，E是边AC上的一个动点，小亮以BE为边作等边三角形BEF，如图2．在点E从点C到点A的运动过程中，求点F所经过的路径长；
（3）△ABC是边长为3的等边三角形，M是高CD上的一个动点，小亮以BM为边作等边三角形BMN，如图3．在点M从点C到点D的运动过程中，求点N所经过的路径长；
（4）正方形ABCD的边长为3，E是边CB上的一个动点，在点E从点C到点B的运动过程中，小亮以B为顶点作正方形BFGH，其中点F、G都在直线AE上，如图4．当点E到达点B时，点F、G、H与点B重合．则点H所经过的路径长为　 　，点G所经过的路径长为　 　．
五、解答题压轴题
49．（2021•镇江）将一张三角形纸片ABC放置在如图所示的平面直角坐标系中，点A（﹣6，0），点B（0，2），点C（﹣4，8），二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A，B，该抛物线的对称轴经过点C，顶点为D．
（1）求该二次函数的表达式及点D的坐标；
（2）点M在边AC上（异于点A，C），将三角形纸片ABC折叠，使得点A落在直线AB上，且点M落在边BC上，点M的对应点记为点N，折痕所在直线l交抛物线的对称轴于点P，然后将纸片展开．
①请作出图中点M的对应点N和折痕所在直线l；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
②连接MP，NP，在下列选项中：A．折痕与AB垂直，B．折痕与MN的交点可以落在抛物线的对称轴上，C.＝，D.＝，所有正确选项的序号是 　 　．
③点Q在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上，当△PDQ∼△PMN时，求点Q的坐标．

50．（2021•镇江）如图1，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F＝90°，AB，FE，DC为铅直方向的边，AF，ED，BC为水平方向的边，点E在AB，CD之间，且在AF，BC之间，我们称这样的图形为“L图形”，记作“L图形ABCDEF”．若直线将L图形分成面积相等的两个图形，则称这样的直线为该L图形的面积平分线．
【活动】
小华同学给出了图1的面积平分线的一个作图方案：如图2，将这个L图形分成矩形AGEF、矩形GBCD，这两个矩形的对称中心O1，O2所在直线是该L图形的面积平分线．
请用无刻度的直尺在图1中作出其他的面积平分线．（作出一种即可，不写作法，保留作图痕迹）

【思考】
如图3，直线O1O2是小华作的面积平分线，它与边BC，AF分别交于点M，N，过MN的中点O的直线分别交边BC，AF于点P，Q，直线PQ　 　（填“是”或“不是”）L图形ABCDEF的面积平分线．

【应用】
在L图形ABCDEF形中，已知AB＝4，BC＝6．
（1）如图4，CD＝AF＝1．
①该L图形的面积平分线与两条水平的边分别相交于点P，Q，求PQ长的最大值；
②该L图形的面积平分线与边AB，CD分别相交于点G，H，当GH的长取最小值时，BG的长为 　 　．
（2）设＝t（t＞0），在所有的与铅直方向的两条边相交的面积平分线中，如果只有与边AB，CD相交的面积平分线，直接写出t的取值范围 　 　．
51．（2021•淮安）【知识再现】
学完《全等三角形》一章后，我们知道“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简称‘HL’定理）”是判定直角三角形全等的特有方法．
【简单应用】
如图（1），在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别在边AC、AB上．若CE＝BD，则线段AE和线段AD的数量关系是 　 　．

【拓展延伸】
在△ABC中，∠BAC＝α（90°＜α＜180°），AB＝AC＝m，点D在边AC上．
（1）若点E在边AB上，且CE＝BD，如图（2）所示，则线段AE与线段AD相等吗？如果相等，请给出证明；如果不相等，请说明理由．
（2）若点E在BA的延长线上，且CE＝BD．试探究线段AE与线段AD的数量关系（用含有α、m的式子表示），并说明理由．
52．（2021•泰州）如图，在⊙O中，AB为直径，P为AB上一点，PA＝1，PB＝m（m为常数，且m＞0）．过点P的弦CD⊥AB，Q为上一动点（与点B不重合），AH⊥QD，垂足为H．连接AD、BQ．
（1）若m＝3．
①求证：∠OAD＝60°；
②求的值；
（2）用含m的代数式表示，请直接写出结果；
（3）存在一个大小确定的⊙O，对于点Q的任意位置，都有BQ2﹣2DH2+PB2的值是一个定值，求此时∠Q的度数．

53．（2021•常州）【阅读】
通过构造恰当的图形，可以对线段长度、图形面积大小等进行比较，直观地得到一些不等关系或最值，这是“数形结合”思想的典型应用．
【理解】
（1）如图1，AC⊥BC，CD⊥AB，垂足分别为C、D，E是AB的中点，连接CE．已知AD＝a，BD＝b（0＜a＜b）．
①分别求线段CE、CD的长（用含a、b的代数式表示）；
②比较大小：CE　 　CD（填“＜”、“＝”或“＞”），并用含a、b的代数式表示该大小关系．
【应用】
（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点M、N在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，横坐标分别为m、n．设p＝m+n，q＝，记l＝pq．
①当m＝1，n＝2时，l＝　 　；当m＝3，n＝3时，l＝　 　；
②通过归纳猜想，可得l的最小值是 　 　．请利用图2构造恰当的图形，并说明你的猜想成立．

54．（2021•常州）在平面直角坐标系xOy中，对于A、A′两点，若在y轴上存在点T，使得∠ATA′＝90°，且TA＝TA′，则称A、A′两点互相关联，把其中一个点叫做另一个点的关联点．已知点M（﹣2，0）、N（﹣1，0），点Q（m，n）在一次函数y＝﹣2x+1的图象上．
（1）①如图，在点B（2，0）、C（0，﹣1）、D（﹣2，﹣2）中，点M的关联点是 　 　（填“B”、“C”或“D”）；
②若在线段MN上存在点P（1，1）的关联点P′，则点P′的坐标是 　 　；
（2）若在线段MN上存在点Q的关联点Q′，求实数m的取值范围；
（3）分别以点E（4，2）、Q为圆心，1为半径作⊙E、⊙Q．若对⊙E上的任意一点G，在⊙Q上总存在点G′，使得G、G′两点互相关联，请直接写出点Q的坐标．

55．（2021•常州）如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y＝kx（k≠0）和二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象都经过点A（4，3）和点B，过点A作OA的垂线交x轴于点C．D是线段AB上一点（点D与点A、O、B不重合），E是射线AC上一点，且AE＝OD，连接DE，过点D作x轴的垂线交抛物线于点F，以DE、DF为邻边作▱DEGF．
（1）填空：k＝　 　，b＝　 　；
（2）设点D的横坐标是t（t＞0），连接EF．若∠FGE＝∠DFE，求t的值；
（3）过点F作AB的垂线交线段DE于点P若S△DFP＝S▱DEGF，求OD的长．

56．（2021•无锡）已知四边形ABCD是边长为1的正方形，点E是射线BC上的动点，以AE为直角边在直线BC的上方作等腰直角三角形AEF，∠AEF＝90°，设BE＝m．

（1）如图，若点E在线段BC上运动，EF交CD于点P，AF交CD于点Q，连接CF，
①当m＝时，求线段CF的长；
②在△PQE中，设边QE上的高为h，请用含m的代数式表示h，并求h的最大值；
（2）设过BC的中点且垂直于BC的直线被等腰直角三角形AEF截得的线段长为y，请直接写出y与m的关系式．
57．（2021•南京）在几何体表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短？
（1）如图①，圆锥的母线长为12cm，B为母线OC的中点，点A在底面圆周上，的长为4πcm．在图②所示的圆锥的侧面展开图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径，并标出它的长（结果保留根号）．

（2）图③中的几何体由底面半径相同的圆锥和圆柱组成．O是圆锥的顶点，点A在圆柱的底面圆周上，设圆锥的母线长为l，圆柱的高为h．
①蚂蚁从点A爬行到点O的最短路径的长为 　 　（用含l，h的代数式表示）．
②设的长为a，点B在母线OC上，OB＝b．圆柱的侧面展开图如图④所示，在图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径的示意图，并写出求最短路径的长的思路．

58．（2021•宿迁）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C．连接AC，BC，点P在抛物线上运动．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图①，若点P在第四象限，点Q在PA的延长线上，当∠CAQ＝∠CBA+45°时，求点P的坐标；
（3）如图②，若点P在第一象限，直线AP交BC于点F，过点P作x轴的垂线交BC于点H，当△PFH为等腰三角形时，求线段PH的长．

59．（2021•苏州）如图①，甲、乙都是高为6米的长方体容器，容器甲的底面ABCD是正方形，容器乙的底面EFGH是矩形．如图②，已知正方形ABCD与矩形EFGH满足如下条件：正方形ABCD外切于一个半径为5米的圆O，矩形EFGH内接于这个圆O，EF＝2EH．
（1）求容器甲、乙的容积分别为多少立方米？
（2）现在我们分别向容器甲、乙同时持续注水（注水前两个容器是空的），一开始注水流量均为25立方米/小时，4小时后，把容器甲的注水流量增加a立方米/小时，同时保持容器乙的注水流量不变，继续注水2小时后，把容器甲的注水流量再一次增加50立方米/小时，同时容器乙的注水流量仍旧保持不变，直到两个容器的水位高度相同，停止注水．在整个注水过程中，当注水时间为t时，我们把容器甲的水位高度记为h甲，容器乙的水位高度记为h乙，设h乙﹣h甲＝h，已知h（米）关于注水时间t（小时）的函数图象如图③所示，其中MN平行于横轴，根据图中所给信息，解决下列问题：
①求a的值；
②求图③中线段PN所在直线的解析式．








【参考答案】
四、解答题提升题
36．（2021•镇江）如图，点A和点E（2，1）是反比例函数y＝（x＞0）图象上的两点，点B在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，分别过点A，B作y轴的垂线，垂足分别为点C，D，AC＝BD，连接AB交y轴于点F．
（1）k＝　2　；
（2）设点A的横坐标为a，点F的纵坐标为m，求证：am＝﹣2；
（3）连接CE，DE，当∠CED＝90°时，直接写出点A的坐标：　（，）　．

【解析】解：（1）∵点E（2，1）是反比例函数y＝（x＞0）图象上的点，
∴＝1，
解得k＝2，
故答案为：2；
（2）在△ACF和△BDF中，
，
∴△ACF≌△BDF（AAS），
∴S△BDF＝S△ACF，
∵点A坐标为（a，），则可得C（0，），
∴AC＝a，OC＝，
即a×（﹣m）＝a×（+m），
整理得am＝﹣2；
（3）设A点坐标为（a，），
则C（0，），D（0，﹣），
∵E（2，1），∠CED＝90°，
∴CE2+DE2＝CD2，
即22+（1﹣）2+22+（1+）2＝（+）2，
解得a＝﹣2（舍去）或a＝，
∴A点的坐标为（，）．
37．（2021•淮安）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（5，0），顶点为点D，动点M、Q在x轴上（点M在点Q的左侧），在x轴下方作矩形MNPQ，其中MQ＝3，MN＝2．矩形MNPQ沿x轴以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，运动开始时，点M的坐标为（﹣6，0），当点M与点B重合时停止运动，设运动的时间为t秒（t＞0）．
（1）b＝　　，c＝　　．
（2）连接BD，求直线BD的函数表达式．
（3）在矩形MNPQ运动的过程中，MN所在直线与该二次函数的图象交于点G，PQ所在直线与直线BD交于点H，是否存在某一时刻，使得以G、M、H、Q为顶点的四边形是面积小于10的平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
（4）连接PD，过点P作PD的垂线交y轴于点R，直接写出在矩形MNPQ整个运动过程中点R运动的路径长．

【解析】解：（1）把A（﹣3，0）、B（5，0）代入y＝x2+bx+c，
得，解得，
故答案为：，.
（2）∵y＝x2x＝（x﹣1）2﹣4，
∴该抛物线的顶点坐标为D（1，﹣4）；
设直线BD的函数表达式为y＝mx+n，
则，解得，
∴y＝x﹣5．
（3）存在，如图1、图2．
由题意得，M（t﹣6，0），Q（t﹣3，0），
∴G（t﹣6，t2t+），H（t﹣3，t﹣8）；
∵QM•QH＜10，且QH≠0，点M、B重合时停止运动，
∴，解得＜t≤11，且t≠8；
∵MG∥HQ，
∴当MG＝HQ时，以G、M、H、Q为顶点的四边形是平行四边形，
∴|t2t+|＝|t﹣8|；
由t2t+＝t﹣8得，t2﹣18t+65＝0，
解得，t1＝5，t2＝13（不符合题意，舍去）；
由t2t+＝﹣t+8得，t2﹣10t+1＝0，
解得，t1＝5+2，t2＝5﹣2（不符合题意，舍去），
综上所述，t＝5或t＝5+2．
（4）由（2）得，抛物线y＝x2x的对称轴为直线x＝1，
过点P作直线x＝1的垂线，垂足为点F，交y轴于点G，
如图3，点Q在y轴左侧，此时点R在点G的上方，
当点M的坐标为（﹣6，0）时，点R的位置最高，
此时点Q与点A重合，
∵∠PGR＝∠DFP＝90°，∠RPG＝90°﹣∠FPD＝∠PDF，
∴△PRG∽△DPF，
∴，
∴RG＝＝＝6，
∴R（0，4）；
如图4，为原图象的局部入大图，
当点Q在y轴右侧且在直线x＝1左侧，此时点R的最低位置在点G下方，
由△PRG∽△DPF，
得，，
∴GR＝；
设点Q的坐标为（r，0）（0＜r＜1），则P（r，﹣2），
∴GR＝＝r2+r＝（r﹣）2+，
∴当r＝时，GR的最大值为，
∴R（0，）；
如图5，为原图象的缩小图，
当点Q在直线x＝1右侧，则点R在点G的上方，
当点M与点B重合时，点R的位置最高，
由△PRG∽△DPF，
得，，
∴GR＝＝＝28，
∴R（0，26），
∴4++26+＝，
∴点R运动路径的长为．




38．（2021•南通）如图，正方形ABCD中，点E在边AD上（不与端点A，D重合），点A关于直线BE的对称点为点F，连接CF，设∠ABE＝α．

（1）求∠BCF的大小（用含α的式子表示）；
（2）过点C作CG⊥直线AF，垂足为G，连接DG．判断DG与CF的位置关系，并说明理由；
（3）将△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBH，点E的对应点为点H，连接BF，HF．当△BFH为等腰三角形时，求sinα的值．
【解析】解：（1）如图1，连接BF，

∵点A关于直线BE的对称点为点F，
∴AB＝BF，BE⊥AF，
∴∠ABE＝∠EBF＝α，
∴∠CBF＝90°﹣2α，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，
∴BF＝BC，
∴∠BCF＝＝45°+α；
（2）DG∥CF，
理由如下：如图2，连接AC，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACD＝45°，∠ADC＝90°，
∵CG⊥AF，
∴∠CGA＝∠ADC＝90°，
∴点A，点D，点G，点C四点共圆，
∴∠AGD＝∠ACD＝45°，
∵AB＝BF，∠ABF＝2α，
∴∠AFB＝＝90°﹣α，
∴∠AFC＝135°，
∴∠CFG＝45°＝∠DGA，
∴DG∥CF；
（3）∵BE＞AB，
∴BH＞BF，
∴BH≠BF；
如图3，当BH＝FH时，过点H作HN⊥BF于N，

∵将△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBH，
∴△ABE≌△CBH，∠EBH＝90°＝∠ABC，
∴AE＝CH，BE＝BH，∠ABE＝∠CBH＝α＝∠FBE，AB＝BC，
∴∠HBF＝90°﹣α，
∵BH＝FH，HN⊥BF，
∴BN＝NF＝BF＝AB，∠BNH＝90°＝∠BAE，
∴∠BHN＝α，
∴∠ABE＝∠BHN，
∴△ABE≌△NHB（ASA），
∴BN＝AE＝AB，
∴BE＝＝AE，
∴sinα＝＝，
当BF＝FH时，
∴∠FBH＝∠FHB＝90°﹣α，
∴∠BFH＝2α＝∠ABF，
∴AB∥FH，
即点F与点C重合，则点E与点D重合，
∵点E在边AD上（不与端点A，D重合），
∴BF＝FH不成立，
综上所述：sinα的值为．
39．（2021•徐州）如图1，正方形ABCD的边长为4，点P在边AD上（P不与 A、D重合），连接PB、PC．将线段PB绕点P顺时针旋转90°得到PE，将线段PC绕点P逆时针旋转90°得到PF，连接EF、EA、FD．
（1）求证：
①△PDF的面积S＝PD2；
②EA＝FD；
（2）如图2，EA、FD的延长线交于点M，取EF的中点N，连接MN，求MN的取值范围．

【解析】（1）证明：如图1，作FG⊥AD，交AD的延长线于点G，作EH⊥AD，交DA的延长线于点H.
①由旋转得，PF＝CP，∠CPF＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠PDC＝90°，
∵∠FPG+∠DPC＝90°，∠PCD+∠DPC＝90°，
∴∠FPG＝∠PCD，
∵∠G＝∠PDC＝90°，
∴△FPG≌△PCD（AAS），
∴FG＝PD，
∴△PDF的面积S＝PD•FG＝PD2．
②由①得，△FPG≌△PCD，
∴PD＝FG，PG＝CD＝4，
同理，△EPH≌△PBA，
∴EH＝AP，PH＝BA＝4，
∵AH＝4﹣AP＝PD，
∴AH＝FG；
∵AP＝4﹣PD＝DG，
∴EH＝DG；
∵∠H＝∠G＝90°，
∴△EAH≌△DFG（SAS），
∴EA＝FD．
（2）如图2，在图1的基础上，作FL⊥EH于点L，则∠FLE＝∠FLH＝90°，
∴四边形HLFG是矩形，
∴LH＝FG＝AH，FL＝GH＝4+4＝8；
∵EH＝PA，AH＝PD，
∴EH+AH＝PA+PD＝AD＝4；
设PD＝m，EL＝n，（m＞0，n≥0），则LH＝AH＝m，
∴n＝4﹣2m；
∵EF2＝EL2+FL2＝n2+82＝n2+64，
∴EF＝，
∴EF随n的增大而增大；
由n＝4﹣2m可知，n随m的增大而减小，
当m＝2时，n最小＝0，此时，EF最小＝＝8；
若m＝0，则n最大＝4，此时，EF最大＝＝4，
∵点P不与点A、D重合，
∴m＞0，
∴n＜4，EF＜4，
∴EF的取值范围是8≤EF＜，
∴4≤EF＜；
∵∠ADM＝∠GDF＝∠HEA，∠DAM＝∠HAE，
∴∠ADM+∠DAM＝∠HEA+∠HAE＝90°，
∴∠EMF＝90°；
∵N是EF的中点，
∴MN＝EF，
∴MN的取值范围是4≤MN＜．


40．（2021•无锡）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数y＝ax2+2x+c的图象过B、C两点，且与x轴交于另一点A，点M为线段OB上的一个动点，过点M作直线l平行于y轴交BC于点F，交二次函数y＝ax2+2x+c的图象于点E．
（1）求二次函数的表达式；
（2）当以C、E、F为顶点的三角形与△ABC相似时，求线段EF的长度；
（3）已知点N是y轴上的点，若点N、F关于直线EC对称，求点N的坐标．

【解析】解：（1）在y＝﹣x+3中，令x＝0得y＝3，令y＝0得x＝3，
∴B（3，0），C（0，3），
把B（3，0），C（0，3）代入y＝ax2+2x+c得：
，解得，
∴二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）如图：

在y＝﹣x2+2x+3中，令y＝0得x＝3或x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），
∵B（3，0），C（0，3），
∴OB＝OC，AB＝4，BC＝3，
∴∠ABC＝∠MFB＝∠CFE＝45°，
∴以C、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，B和F为对应点，
设E（m，﹣m2+2m+3），则F（m，﹣m+3），
∴EF＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，CF＝＝m，
①△ABC∽△CFE时，＝，
∴＝，
解得m＝或m＝0（舍去），
∴EF＝，
②△ABC∽△EFC时，＝，
∴＝，
解得m＝0（舍去）或m＝，
∴EF＝，
综上所述，EF＝或．
（3）连接NE，如图：

∵点N、F关于直线EC对称，
∴∠NCE＝∠FCE，CF＝CN，
∵EF∥y轴，
∴∠NCE＝∠CEF，
∴∠FCE＝∠CEF，
∴CF＝EF＝CN，
由（2）知：
设E（m，﹣m2+2m+3），则F（m，﹣m+3），EF＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，CF＝＝m，
∴﹣m2+3m＝m，解得m＝0（舍去）或m＝3﹣，
∴CN＝CF＝m＝3﹣2，
∴N（0，3+1）．
41．（2021•盐城）学习了图形的旋转之后，小明知道，将点P绕着某定点A顺时针旋转一定的角度α，能得到一个新的点P′，经过进一步探究，小明发现，当上述点P在某函数图象上运动时，点P′也随之运动，并且点P′的运动轨迹能形成一个新的图形．
试根据下列各题中所给的定点A的坐标、角度α的大小来解决相关问题．
【初步感知】
如图1，设A（1，1），α＝90°，点P是一次函数y＝kx+b图象上的动点，已知该一次函数的图象经过点P1（﹣1，1）．
（1）点P1旋转后，得到的点P1′的坐标为 　（1，3）　；
（2）若点P′的运动轨迹经过点P2′（2，1），求原一次函数的表达式．
【深入感悟】
如图2，设A（0，0），α＝45°，点P是反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上的动点，过点P′作二、四象限角平分线的垂线，垂足为M，求△OMP′的面积．
【灵活运用】
如图3，设A（1，﹣），α＝60°，点P是二次函数y＝x2+2x+7图象上的动点，已知点B（2，0）、C（3，0），试探究△BCP′的面积是否有最小值？若有，求出该最小值；若没有，请说明理由．

【解析】解：【初步感知】
（1）如图1，∵P1（﹣1，1），A（1，1），
∴P1A∥x轴，P1A＝2，
由旋转可得：P1′A∥y轴，P1′A＝2，
∴P1′（1，3）；
故答案为：（1，3）；
（2）∵P2′（2，1），
由题意得P2（1，2），
∵P1（﹣1，1），P2（1，2）在原一次函数图象上，
∴设原一次函数解析式为y＝kx+b，
则，
解得：，
∴原一次函数解析式为y＝x+；
【深入感悟】
设双曲线与二、四象限角平分线交于N点，则：
，
解得：，
∴N（﹣1，1）．
①当x≤﹣1时，
过点P作PQ⊥x轴于Q，连接AP，过点P′作P′M⊥AN于点M，如图2，
∵∠QAM＝∠POP′＝45°，
∴∠PAQ＝∠P′AN，
∵P′M⊥AM，
∴∠P′MA＝∠PQA＝90°，
∴在△PQA和△P′MA中，
，
∴△PQA≌△P′MA（AAS），
∴S△P′MA＝S△PQA＝＝，
即S△OMP′＝．
②当﹣1＜x＜0时，
过点P作PH⊥y轴于点H，过点P′作P′M⊥AN于点M，如图3，
∵∠POP′＝NOH＝45°，
∴∠PON＝∠P′OH，
∴∠MP′O＝90°﹣∠MOH﹣∠P′OH＝45°﹣∠P′OH，
∵∠POH＝∠POP′﹣∠P′OH＝45°﹣∠P′OH，
∴∠POH＝∠MP′O，
在△POH和△OP′M中，
，
∴△POH≌△OP′M（AAS），
∴S△P′MO＝S△PHO＝＝，
综上所述，△OMP′的面积为．
【灵活运用】
△BCP′的面积有最小值，
如图4，连接AB，AC，将B，C绕点A逆时针旋转60°得B′，C′，作AH⊥x轴于点H，
∵A（1，﹣），B（2，0），C（3，0），
∴OH＝BH＝1，BC＝1，
∴OA＝AB＝OB＝2，
∴△OAB为等边三角形，此时B′与O重合，即B′（0，0），
连接C′O，∵∠CAC′＝∠BAB′＝60°，
∴∠CAB＝∠C′AB′，
在△C′AO和△CAB中，
，
∴△C′AO≌△CAB（SAS），
∴C′O＝CB＝1，∠C′OA＝∠CBA＝120°，
∴作C′G⊥y轴于G，
在Rt△C′GO中，∠C′OG＝90°﹣∠C′B′C＝30°，
∴C′G＝OC′＝，
∴OG＝，
∴C′（，），此时OC′的函数表达式为：y＝x，
设过P且与B′C′平行的直线l解析式为y＝x+b，
∵S△BCP′＝S△B′C′P，
∴当直线l与抛物线相切时取最小值，
则，
即x+b＝x2+2x+7，
∴x2+x+7﹣b＝0，
当Δ＝0时，得b＝，
∴y＝x+，
设l与y轴交于点T，连接C′T，
∵S△B′C′T＝S△BCP′，
∴S△BCP′＝×B′T×C′G＝××＝．




42．（2021•南京）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣2，1），（2，﹣3）两点．
（1）求b的值；
（2）当c＞﹣1时，该函数的图象的顶点的纵坐标的最小值是 　1　．
（3）设（m，0）是该函数的图象与x轴的一个公共点．当﹣1＜m＜3时，结合函数的图象，直接写出a的取值范围．
【解析】解：（1）把（﹣2，1），（2，﹣3）代入y＝ax2+bx+c中，
得：，
两式相减得﹣4＝4b，
∴b＝﹣1；
（2）把b＝﹣1代入①得：1＝4a+2+c，
∴a＝，
∴顶点的纵坐标，
∵c＞﹣1，
∴c+1＞0，
下面证明对于任意的正数，a，b，都有a+b≥，
∵，
∴a+b，当a＝b时取等号，
∴＝1，
∴该函数的图象的顶点的纵坐标的最小值是 1．
（3）方法一、由题意得：am2﹣m+c＝0，
且c＝﹣1﹣4a，
∴am2﹣m﹣1﹣4a＝0，
△＝1﹣4a（﹣1﹣4a）＝1+4a+16a2，
若﹣1＜m＜2，
则经过（﹣2，1），（2，﹣3），（m，0）的二次函数的图象开口向下，
∴a＜0，且，
解得a＜0，
∴a＜0，
若2＜m＜3，
则经过（﹣2，1），（2，﹣3），（m，0）的二次函数的图象开口向上，
∴a＞0，且，
解得a，
方法二、由题意可得：或，
解得：a＞或a＜0，
综上 a＜0或．
43．（2021•宿迁）已知正方形ABCD与正方形AEFG，正方形AEFG绕点A旋转一周．
（1）如图①，连接BG、CF，求的值；
（2）当正方形AEFG旋转至图②位置时，连接CF、BE，分别取CF、BE的中点M、N，连接MN、试探究：MN与BE的关系，并说明理由；
（3）连接BE、BF，分别取BE、BF的中点N、Q，连接QN，AE＝6，请直接写出线段QN扫过的面积．

【解析】解：（1）如图①，连接AF，AC，

∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，
∴AC＝AB，AF＝AG，∠CAB＝∠GAF＝45°，∠BAD＝90°，
∴∠CAF＝∠BAG，，
∴△CAF∽△BAG，
∴＝；
（2）BE＝2MN，MN⊥BE，
理由如下：如图②，连接ME，过点C作CH∥EF，交直线ME于H，连接BH，设CF与AD交点为P，CF与AG交点为R，

∵CH∥EF，
∴∠FCH＝∠CFE，
∵点M是CF的中点，
∴CM＝MF，
又∵∠CMH＝∠FME，
∴△CMH≌△FME（ASA），
∴CH＝EF，ME＝HM，
∴AE＝CH，
∵CH∥EF，AG∥EF，
∴CH∥AG，
∴∠HCF＝∠CRA，
∵AD∥BC，
∴∠BCF＝∠APR，
∴∠BCH＝∠BCF+∠HCF＝∠APR+∠ARC，
∵∠DAG+∠APR+∠ARC＝180°，∠BAE+∠DAG＝180°，
∴∠BAE＝∠BCH，
又∵BC＝AB，CH＝AE，
∴△BCH≌△BAE（SAS），
∴BH＝BE，∠CBH＝∠ABE，
∴∠HBE＝∠CBA＝90°，
∵MH＝ME，点N是BE中点，
∴BH＝2MN，MN∥BH，
∴BE＝2MN，MN⊥BE；
（3）如图③，取AB中点O，连接ON，OQ，AF，

∵AE＝6，
∴AF＝6，
∵点N是BE的中点，点Q是BF的中点，点O是AB的中点，
∴OQ＝AF＝3，ON＝AE＝3，
∴点Q在以点O为圆心，3为半径的圆上运动，点N在以点O为圆心，3为半径的圆上运动，
∴线段QN扫过的面积＝π×（3）2﹣π×32＝9π．
44．（2021•苏州）如图，二次函数y＝x2﹣（m+1）x+m（m是实数，且﹣1＜m＜0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），其对称轴与x轴交于点C．已知点D位于第一象限，且在对称轴上，OD⊥BD，点E在x轴的正半轴上，OC＝EC，连接ED并延长交y轴于点F，连接AF．
（1）求A、B、C三点的坐标（用数字或含m的式子表示）；
（2）已知点Q在抛物线的对称轴上，当△AFQ的周长的最小值等于时，求m的值．

【解析】解：（1）令y＝x2﹣（m+1）x+m＝0，解得x＝1或m，
故点A、B的坐标分别为（m，0）、（1，0），
则点C的横坐标为（m+1），即点C的坐标为（，0）；

（2）由点C的坐标知，CO＝＝CE，
故BC＝OB﹣CO＝1﹣（m+1）＝，
∵∠BDC+∠DBC＝90°，∠BDC+∠ODC＝90°，
∴∠DBC＝∠ODC，
∴tan∠DBC＝tan∠ODC，即CD2＝CO•BC＝（m+1）（1﹣m）＝，
∵点C是OE中点，则CD为三角形EOF的中位线，
则FO2＝（2CD）2＝4CD2＝1﹣m2，
在Rt△AOF中，AF2＝AO2+OF2＝m2+1﹣m2＝1，
∵点B是点A关于函数对称轴的对称点，连接FB交对称轴于点Q，则点Q为所求点，

理由：△AFQ的周长＝AF+FQ+AQ＝1+QF+BQ＝1+BF为最小，
即1+BF＝，
则BF2＝OF2+OB2＝1﹣m2+1＝（﹣1）2，解得m＝，
∵﹣1＜m＜0，
故m＝﹣．
45．（2021•苏州）如图，在矩形ABCD中，线段EF、GH分别平行于AD、AB，它们相交于点P，点P1、P2分别在线段PF、PH上，PP1＝PG，PP2＝PE，连接P1H、P2F，P1H与P2F相交于点Q．已知AG：GD＝AE：EB＝1：2，设AG＝a，AE＝b．
（1）四边形EBHP的面积 　＝　四边形GPFD的面积（填“＞”、“＝”或“＜”）
（2）求证：△P1FQ∽△P2HQ；
（3）设四边形PP1QP2的面积为S1，四边形CFQH的面积为S2，求的值．

【解析】解：（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝90°，
∵GH∥AB，
∴∠B＝∠GHC＝90°，∠A＝∠PGD＝90°，
∵EF∥AD，
∴∠PGD＝∠HPF＝90°，
∴四边形PFCH为矩形，
同理可得，四边形AGPE、GDFP、EPHB均为矩形，
∵AG＝a，AE＝b，AG：GD＝AE：EB＝1：2，
∴PE＝a，PG＝b，GD＝PF＝2a，EB＝PH＝2b，
∴四边形EBHP的面积＝PE•PH＝2ab，四边形GPFD的面积＝PG•PF＝2ab，
故答案为：＝；
（2）∵PP1＝PG，PP2＝PE，
由（1）知PE•PH＝2ab，PG•PF＝2ab，
∴PP2•PH＝PP1•PF，
即＝，
又∵∠FPP2＝∠HPP1，
∴△PP2F∽△PP1H，
∴∠PFP2＝∠PHP1，
∵∠P1QF＝∠P2QH，
∴△P1FQ∽△P2HQ；
（3）连接P1P2、FH，
∵＝＝，＝＝，
∴＝，
∵∠P1PP2＝∠C＝90°，
∴△PP1P2∽△CFH，
∴＝＝，＝（）2＝，
由（2）中△P1FQ∽△P2HQ，得＝，
∴＝，
∵∠P1QP2＝∠FQH，
∴△P1QP2∽△FQH，
∴＝（）2＝，
∵S1＝+，S2＝S△CFH+S△FQH，
∴S1＝S△CFH+S△FQH＝S2，
∴＝．

46．（2021•扬州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C．
（1）b＝　﹣2　，c＝　﹣3　；
（2）若点D在该二次函数的图象上，且S△ABD＝2S△ABC，求点D的坐标；
（3）若点P是该二次函数图象上位于x轴上方的一点，且S△APC＝S△APB，直接写出点P的坐标．

【解析】解：（1）∵点A和点B在二次函数y＝x2+bx+c图象上，
则，解得：，
故答案为：﹣2，﹣3；
（2）连接BC，由题意可得：
A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），y＝x2﹣2x﹣3，
∴S△ABC＝＝6，
∵S△ABD＝2S△ABC，设点D（m，m2﹣2m﹣3），
∴|yD|＝2×6，即×4×|m2﹣2m﹣3|＝2×6，
解得：m＝或，代入y＝x2﹣2x﹣3，
可得：y值都为6，
∴D（，6）或（，6）；

（3）设P（n，n2﹣2n﹣3），
∵点P在抛物线位于x轴上方的部分，
∴n＜﹣1或n＞3，
当点P在点A左侧时，即n＜﹣1，
可知点C到AP的距离小于点B到AP的距离，
∴S△APC＜S△APB，不成立；
当点P在点B右侧时，即n＞3，
∵△APC和△APB都以AP为底，若要面积相等，
则点B和点C到AP的距离相等，即BC∥AP，
设直线BC的解析式为y＝kx+p，
则，解得：，
则设直线AP的解析式为y＝x+q，将点A（﹣1，0）代入，
则﹣1+q＝0，解得：q＝1，
则直线AP的解析式为y＝x+1，将P（n，n2﹣2n﹣3）代入，
即n2﹣2n﹣3＝n+1，
解得：n＝4或n＝﹣1（舍），
n2﹣2n﹣3＝5，
∴点P的坐标为（4，5）．

47．（2021•扬州）在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单：
已知线段BC＝2，使用作图工具作∠BAC＝30°，尝试操作后思考：
（1）这样的点A唯一吗？
（2）点A的位置有什么特征？你有什么感悟？
“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A的位置不唯一，它在以BC为弦的圆弧上（点B、C除外），…．小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）．
（1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决．
①该弧所在圆的半径长为 　2　；
②△ABC面积的最大值为 　　；
（2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们记为A′，请你利用图1证明∠BA′C＞30°．
（3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形ABCD的边长AB＝2，BC＝3，点P在直线CD的左侧，且tan∠DPC＝．
①线段PB长的最小值为 　　；
②若S△PCD＝S△PAD，则线段PD长为 　　．

【解析】解：（1）①设O为圆心，连接BO，CO，
∵∠BAC＝30°，
∴∠BOC＝60°，又OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB＝OC＝BC＝2，即半径为2；
②∵△ABC以BC为底边，BC＝2，
∴当点A到BC的距离最大时，△ABC的面积最大，
如图，过点O作BC的垂线，垂足为E，延长EO，交圆于D，
∴BE＝CE＝1，DO＝BO＝2，
∴OE＝，
∴DE＝，
∴△ABC的最大面积为＝；

（2）如图，延长BA′，交圆于点D，连接CD，
∵点D在圆上，
∴∠BDC＝∠BAC，
∵∠BA′C＝∠BDC+∠A′CD，
∴∠BA′C＞∠BDC，
∴∠BA′C＞∠BAC，即∠BA′C＞30°；

（3）①如图，当点P在BC上，且PC＝时，
∵∠PCD＝90°，AB＝CD＝2，AD＝BC＝3，
∴tan∠DPC＝，为定值，
连接PD，设点Q为PD中点，以点Q为圆心，PD为半径画圆，
∴当点P在优弧CPD上时，tan∠DPC＝，连接BQ，与圆Q交于P′，
此时BP′即为BP的最小值，过点Q作QE⊥BE，垂足为E，
∵点Q是PD中点，
∴点E为PC中点，即QE＝CD＝1，PE＝CE＝PC＝，
∴BE＝BC﹣CE＝3﹣＝，
∴BQ＝，
∵PD＝，
∴圆Q的半径为，
∴BP′＝BQ﹣P′Q＝，即BP的最小值为；

②∵AD＝3，CD＝2，S△PCD＝S△PAD，
则，
∴△PAD中AD边上的高＝△PCD中CD边上的高，
即点P到AD的距离和点P到CD的距离相等，
则点P到AD和CD的距离相等，即点P在∠ADC的平分线上，如图，
过点C作CF⊥PD，垂足为F，
∵PD平分∠ADC，
∴∠ADP＝∠CDP＝45°，
∴△CDF为等腰直角三角形，又CD＝2，
∴CF＝DF＝，
∵tan∠DPC＝，
∴PF＝，
∴PD＝DF+PF＝．

解法二：如图，作直径DG，连接PG，

∵△CDF为等腰直角三角形，又CD＝2，
∴∠CDF＝∠CED＝45°，
∴CD＝CE＝2，
∴DE＝2，
∵∠DPC＝∠GDC，
∴tan∠DGC＝tan∠DPC＝＝，
∴CG＝1.5，EG＝0.5，
∵DG是直径，
∴∠DPG＝∠EPG＝90°，
∴PE＝EG＝，
∴PD＝DE﹣PE＝2﹣＝．
48．（2021•连云港）在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．
（1）△ABC是边长为3的等边三角形，E是边AC上的一点，且AE＝1，小亮以BE为边作等边三角形BEF，如图1．求CF的长；

（2）△ABC是边长为3的等边三角形，E是边AC上的一个动点，小亮以BE为边作等边三角形BEF，如图2．在点E从点C到点A的运动过程中，求点F所经过的路径长；
（3）△ABC是边长为3的等边三角形，M是高CD上的一个动点，小亮以BM为边作等边三角形BMN，如图3．在点M从点C到点D的运动过程中，求点N所经过的路径长；
（4）正方形ABCD的边长为3，E是边CB上的一个动点，在点E从点C到点B的运动过程中，小亮以B为顶点作正方形BFGH，其中点F、G都在直线AE上，如图4．当点E到达点B时，点F、G、H与点B重合．则点H所经过的路径长为　　，点G所经过的路径长为　π　．
【解析】解：（1）如图，∵△ABC和△BEF是等边三角形，
∴BA＝BC，BE＝BF，∠ABC＝∠EBF＝60°，
∴∠ABE+∠CBE＝∠CBF+∠CBE，
∴∠ABE＝∠CBF，
∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴CF＝AE＝1；
（2）如图2，连接CF，

由（1）△ABE≌△CBF，
∴CF＝AE，∠BCF＝∠BAE＝60°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BCF＝∠ABC，
∴CF∥AB，
又点E在点C处时，CF＝AC，
点E在A处时，点F与点C重合．
∴点F运动的路径长＝AC＝3．
（3）如图3，取BC的中点H，连接HN，

∴BH＝BC，
∴BH＝AB，
∵CD⊥AB，
∴BD＝AB，
∴BH＝BD，
∵△ABC和△BMN是等边三角形，
∴BM＝BN，∠ABC＝∠MBN＝60°，
∴∠DBM+∠MBH＝∠HBN+∠MBH，
∴∠DBM＝∠HBN，
∴△DBM≌△HBN（SAS），
∴HN＝DM，∠BHN＝∠BDM＝90°，
∴NH⊥BC，
又点M在C处时，HN＝CD＝，
点M在D处时，点N与点H重合．
∴点N所经过的路径的长＝CD＝；
（4）如图，连接AC，BD，相交于点O，取AB的中点M，BC的中点N，连接MF，NH，

∴MF＝BM＝BN＝AB，
点F的运动轨迹为以点M为圆心，BM长为半径的圆上；
∵∠ABC＝∠FBH＝90°，
∴∠ABC﹣∠FBC＝∠FBH﹣∠FBC，即∠ABF＝∠CBH，
∴△MBF≌△NBH（SAS），
∴NH＝MF＝BM＝BN，
∴点H在以点N为圆心，BN长为半径的圆上；
∴当点E在B处时，点F，B，H重合，点G和点B重合；
当点E在点C处时，点F和点O重合，点G与点C重合；
连接CH，OG，

由上证明可得，NH＝NB＝NC，
∴∠BHC＝90°，
∴点C，G，H三点共线，
∴∠AGC＝90°，
∵点O是AC的中点，
∴OG是Rt△AGC斜边中线，
∴点G在以点O为圆心，OB长为半径的圆上；
∴点H所经过的路径长＝＝π；
点G所经过的路径长＝＝．
故答案为：，．
五、解答题压轴题
49．（2021•镇江）将一张三角形纸片ABC放置在如图所示的平面直角坐标系中，点A（﹣6，0），点B（0，2），点C（﹣4，8），二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A，B，该抛物线的对称轴经过点C，顶点为D．
（1）求该二次函数的表达式及点D的坐标；
（2）点M在边AC上（异于点A，C），将三角形纸片ABC折叠，使得点A落在直线AB上，且点M落在边BC上，点M的对应点记为点N，折痕所在直线l交抛物线的对称轴于点P，然后将纸片展开．
①请作出图中点M的对应点N和折痕所在直线l；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
②连接MP，NP，在下列选项中：A．折痕与AB垂直，B．折痕与MN的交点可以落在抛物线的对称轴上，C.＝，D.＝，所有正确选项的序号是 　A，D　．
③点Q在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上，当△PDQ∼△PMN时，求点Q的坐标．

【解析】解（1）由题意得：，
解之得：a＝，b＝，c＝2，
∴y＝+，
∴当x＝﹣4时，y＝＝﹣，
∴D（﹣4，﹣）．

（2）①如图1中，点N，直线l即为所求．


②如图2中，设线段MN的垂直平分线交抛物线对称轴于P，交MN于点Q，过点M作MH⊥CD，过点Q作QJ⊥CD于J，QT⊥MH于T．
由题意A（﹣6，0），B（0，2），C（﹣4，8），

∴直线AC的解析式为y＝4x+24，直线AB的解析式为y＝x+2，直线BC的解析式为y＝﹣x+2，
∵MN∥AB，
∴可以假设直线MN的解析式为y＝x+t，
由，解得，
∴M（，），
由．解得，
∴N（，），
∴Q（，），
∵QJ⊥CD，QT⊥MH，
∴QJ＝+4＝，QT＝﹣＝，
∴QJ＝QT，
∵∠PJQ＝∠MTQ＝90°，∠QPJ＝∠QMT，QJ＝QT，
∴△PJQ≌△MTQ（AAS），
∴PQ＝MQ，
∵∠PQM＝90°，
∴∠PMN＝∠MPQ＝45°，
∵PM＝PN，
∴∠PMN＝∠PNM＝45°，
∴∠MPN＝90°，
∴△PMN是等腰直角三角形，
∴＝，故选项D正确，B，C错误，
∵将三角形纸片ABC折叠，使得点A落在直线AB上，且点M落在边BC上，
∴折痕与AB垂直，故选项A正确，
故答案为：A，D．

③设P（﹣4，m）．

∵△PDQ∽△PMN，△PMN是等腰直角三角形，
∴△PDQ是等腰直角三角形，
∴∠DPQ＝90°，DP＝PQ＝m+，
∴Q（﹣4+m+，m），即Q（﹣+m，m），
把Q的坐标代入y＝+，得到，m＝（﹣+m）2+（﹣+m）+2，
整理得，9m2﹣42m﹣32＝0，
解得m＝或﹣（舍弃），
∴Q（2，），
根据对称性可知Q′（﹣10，）也满足条件，
综上所述，满足条件的点Q的坐标为（2，）或（﹣10，）．
50．（2021•镇江）如图1，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F＝90°，AB，FE，DC为铅直方向的边，AF，ED，BC为水平方向的边，点E在AB，CD之间，且在AF，BC之间，我们称这样的图形为“L图形”，记作“L图形ABCDEF”．若直线将L图形分成面积相等的两个图形，则称这样的直线为该L图形的面积平分线．
【活动】
小华同学给出了图1的面积平分线的一个作图方案：如图2，将这个L图形分成矩形AGEF、矩形GBCD，这两个矩形的对称中心O1，O2所在直线是该L图形的面积平分线．
请用无刻度的直尺在图1中作出其他的面积平分线．（作出一种即可，不写作法，保留作图痕迹）

【思考】
如图3，直线O1O2是小华作的面积平分线，它与边BC，AF分别交于点M，N，过MN的中点O的直线分别交边BC，AF于点P，Q，直线PQ　是　（填“是”或“不是”）L图形ABCDEF的面积平分线．

【应用】
在L图形ABCDEF形中，已知AB＝4，BC＝6．
（1）如图4，CD＝AF＝1．
①该L图形的面积平分线与两条水平的边分别相交于点P，Q，求PQ长的最大值；
②该L图形的面积平分线与边AB，CD分别相交于点G，H，当GH的长取最小值时，BG的长为 　　．
（2）设＝t（t＞0），在所有的与铅直方向的两条边相交的面积平分线中，如果只有与边AB，CD相交的面积平分线，直接写出t的取值范围 　t＞　．
【解析】解：【活动】如图1，直线O1O2是该L图形的面积平分线；

【思考】如图2，∵∠A＝∠B＝90°，

∴AF∥BC，
∴∠NQO＝∠MPO，
∵点O是MN的中点，
∴ON＝OM，
在△OQN和△OPM中，
，
∴△OQN≌△OPM（AAS），
∴S△OQN＝S△OPM，
∵S梯形ABMN＝SMNFEDC，
∴S梯形ABMN﹣S△OPM＝SMNFEDC﹣S△OQN，
即SABPON＝SCDEFQOM，
∴SABPON+S△OQN＝SCDEFQOM+S△OPM，
即S梯形ABPQ＝SCDEFQP，
∴直线PQ是L图形ABCDEF的面积平分线．
故答案为：是；
【应用】
（1）①如图3，当P与B重合时，PQ最大，过点Q作QH⊥BC于H，

L图形ABCDEF的面积＝4×6﹣（4﹣1）×（6﹣1）＝9，
∵PQ是L图形ABCDEF的面积平分线，
∴梯形CDQP的面积＝×（DQ+BC）×CD＝，
即×（DQ+6）×1＝，
∴DQ＝CH＝3，
∴PH＝6﹣3＝3，
∵QH＝CD＝1，
由勾股定理得：PQ＝＝；
即PQ长的最大值是；
②如图4，当GH⊥AB时GH最短，过点E作EM⊥AB于M，

设BG＝x，则MG＝1﹣x，
根据上下两部分面积相等可知，6x＝（4﹣1）×1+（1﹣x）×6，
解得x＝，即BG＝；
故答案为：；
（2）∵＝t（t＞0），
∴CD＝tAF，
在所有的与铅直方向的两条边相交的面积平分线中，只有与边AB，CD相交的面积平分线，
如图5，直线DE将图形分成上下两个矩形，当上矩形面积小于下矩形面积时，在所有的与铅直方向的两条边相交的面积平分线中，只有与边AB，CD相交的面积平分线，
延长DE交AB于G，延长FE交BC于H，

只需要满足S矩形AGEF＜S矩形EHCD，
即S矩形ABHF＜S矩形CDGB，
∴6CD＞4AF，
∴＞，
∴t＞．
故答案为：t＞．
51．（2021•淮安）【知识再现】
学完《全等三角形》一章后，我们知道“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简称‘HL’定理）”是判定直角三角形全等的特有方法．
【简单应用】
如图（1），在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别在边AC、AB上．若CE＝BD，则线段AE和线段AD的数量关系是 　AE＝AD　．

【拓展延伸】
在△ABC中，∠BAC＝α（90°＜α＜180°），AB＝AC＝m，点D在边AC上．
（1）若点E在边AB上，且CE＝BD，如图（2）所示，则线段AE与线段AD相等吗？如果相等，请给出证明；如果不相等，请说明理由．
（2）若点E在BA的延长线上，且CE＝BD．试探究线段AE与线段AD的数量关系（用含有α、m的式子表示），并说明理由．
【解析】【简单应用】解：如图（1）中，结论：AE＝AD．

理由：∵∠A＝∠A＝90°，AB＝AC，BD＝CE，
∴Rt△ABD≌Rt△ACE（HL），
∴AD＝AE．
故答案为：AE＝AD．

【拓展延伸】解：①结论：AE＝AD．

理由：如图（2）中，过点C作CM⊥BA交BA的延长线于M，过点B作BN⊥CA交CA的延长线于N．
∵∠M＝∠N＝90°，∠CAM＝∠BAN，CA＝BA，
∴△CAM≌△BAN（AAS），
∴CM＝BN，AM＝AN，
∵∠M＝∠N＝90°，CE＝BD，CM＝BN，
∴Rt△CME≌Rt△BND（HL），
∴EM＝DN，
∵AM＝AN，
∴AE＝AD．

②如图（3）中，结论：AE﹣AD＝2m•cos（180°﹣α）．

理由：在AB上取一点E′，使得BD＝CE′，则AD＝AE′．过点C作CT⊥AE于T．
∵CE′＝BD，CE＝BD，
∴CE＝CE′，
∵CT⊥EE′，
∴ET＝TE′，
∵AT＝AC•cos（180°﹣α）＝m•cos（180°﹣α），
∴AE﹣AD＝AE﹣AE′＝2AT＝2m•cos（180°﹣α）．
52．（2021•泰州）如图，在⊙O中，AB为直径，P为AB上一点，PA＝1，PB＝m（m为常数，且m＞0）．过点P的弦CD⊥AB，Q为上一动点（与点B不重合），AH⊥QD，垂足为H．连接AD、BQ．
（1）若m＝3．
①求证：∠OAD＝60°；
②求的值；
（2）用含m的代数式表示，请直接写出结果；
（3）存在一个大小确定的⊙O，对于点Q的任意位置，都有BQ2﹣2DH2+PB2的值是一个定值，求此时∠Q的度数．

【解析】解：（1）①连接OD，如图：

∵m＝3即PB＝3，AP＝1，
∴AB＝AP+PB＝4，
∴OA＝OD＝AB＝2，
∴OP＝OA﹣AP＝1＝AP，
∴P是OA中点，
又CD⊥AB，
∴CD是OA的垂直平分线，
∴AD＝OD＝OA＝2，即△AOD是等边三角形，
∴∠OAD＝60°；
②连接AQ，如图：

∵AB是⊙O直径，
∴∠AQB＝90°，
∵AH⊥DQ，
∴∠AHD＝90°，
∴∠AQB＝∠AHD，
∵＝，
∴∠ADH＝∠ABQ，
∴△ADH∽△ABQ，
∴＝，
由①知：AB＝4，AD＝2，
∴＝2；
（2）连接AQ、BD，如图：

∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADB＝∠APD，
又∠PAD＝∠DAB，
∴△APD∽△ADB，
∴＝，
∵AP＝1，PB＝m，
∴AB＝1+m，＝，
∴AD＝，
与（1）中②同理，可得：＝，
∴＝＝；
（3）由（2）得＝，
∴BQ＝•DH，即BQ2＝（1+m）•DH2，
∴BQ2﹣2DH2+PB2＝（1+m）•DH2﹣2DH2+m2＝（m﹣1）•DH2+m2，
若BQ2﹣2DH2+PB2是定值，则（m﹣1）•DH2+m2的值与DH无关，
∴当m＝1时，BQ2﹣2DH2+PB2的定值为1，此时P与O重合，如图：

∵AB⊥CD，OA＝OD＝1，
∴△AOD是等腰直角三角形，
∴∠OAD＝45°，
∵＝，
∴∠BQD＝45°，
故存在半径为1的⊙O，对Q的任意位置，都有BQ2﹣2DH2+PB2是定值1，此时∠BQD为45°．
53．（2021•常州）【阅读】
通过构造恰当的图形，可以对线段长度、图形面积大小等进行比较，直观地得到一些不等关系或最值，这是“数形结合”思想的典型应用．
【理解】
（1）如图1，AC⊥BC，CD⊥AB，垂足分别为C、D，E是AB的中点，连接CE．已知AD＝a，BD＝b（0＜a＜b）．
①分别求线段CE、CD的长（用含a、b的代数式表示）；
②比较大小：CE　＞　CD（填“＜”、“＝”或“＞”），并用含a、b的代数式表示该大小关系．
【应用】
（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点M、N在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，横坐标分别为m、n．设p＝m+n，q＝，记l＝pq．
①当m＝1，n＝2时，l＝　　；当m＝3，n＝3时，l＝　1　；
②通过归纳猜想，可得l的最小值是 　1　．请利用图2构造恰当的图形，并说明你的猜想成立．

【解析】解：（1）①如图1中，

∵AC⊥BC，CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠CDB＝∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠A＝90°，∠A+∠B＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
∴△ADC∽△CDB，
∴＝，
∴CD2＝AD•DB，
∵AD＝a，DB＝b，CD＞0，
∴CD＝，
∵∠ACB＝90°，AE＝EB，
∴EC＝AB＝（a+b），

②∵CD⊥AB，
∴根据垂线段最短可知，CD＜CE，即（a+b）＞，
∴a+b＞2，
故答案为：＞．

（2）①当m＝1，n＝2时，l＝；当m＝3，n＝3时，l＝1，
故答案为：，1．

②猜想：l的最小值为1．
故答案为：1．
理由：如图2中，过点M作MA⊥x轴于A，ME⊥y轴于E，过点N作NB⊥x轴于B，NF⊥y轴于F，连接MN，取MN的中点J，过点J作JG⊥y轴于G，JC⊥x轴于C，则J（，），

∵当m≠n时，点J在反比例函数图象的上方，
∴矩形JCOG的面积＞1，
当m＝n时，点J落在反比例函数的图象上，矩形JCOG的面积＝1，
∴矩形JCOG的面积≥1，
∴•≥1，
即l≥1，
∴l的最小值为1．
54．（2021•常州）在平面直角坐标系xOy中，对于A、A′两点，若在y轴上存在点T，使得∠ATA′＝90°，且TA＝TA′，则称A、A′两点互相关联，把其中一个点叫做另一个点的关联点．已知点M（﹣2，0）、N（﹣1，0），点Q（m，n）在一次函数y＝﹣2x+1的图象上．
（1）①如图，在点B（2，0）、C（0，﹣1）、D（﹣2，﹣2）中，点M的关联点是 　B　（填“B”、“C”或“D”）；
②若在线段MN上存在点P（1，1）的关联点P′，则点P′的坐标是 　（﹣2，0）　；
（2）若在线段MN上存在点Q的关联点Q′，求实数m的取值范围；
（3）分别以点E（4，2）、Q为圆心，1为半径作⊙E、⊙Q．若对⊙E上的任意一点G，在⊙Q上总存在点G′，使得G、G′两点互相关联，请直接写出点Q的坐标．

【解析】解：（1）如图1中，

①如图1中，取点T（0，2），连接MT，BT，
∵M（﹣2，0），B（2，0），
∴OT＝OM＝OB＝2，
∴△TBM是等腰直角三角形，
∴在点B（2，0）、C（0，﹣1）、D（﹣2，﹣2）中，点M的关联点是点B，
故答案为：B．
②取点T（0，﹣1），连接MT，PT，则△MTB是等腰直角三角形，
∴线段MN上存在点P（1，1）的关联点P′，则点P′的坐标是 （﹣2，0），
故答案为：（﹣2，0）．

（2）如图2﹣1中，当M，Q是互相关联点，设Q（m，﹣2m+1），△MTQ是等腰直角三角形，

过点Q作QH⊥y轴于H，
∵∠QHT＝∠MOT＝∠MTQ＝90°，
∴∠MTO+∠QTH＝90°，∠QTH+∠TQH＝90°，
∴∠MTO＝∠TQH，
∵TM＝TQ，
∴△MOT≌△THQ（AAS），
∴QH＝TO＝﹣m，TH＝OM＝2，
∴﹣2m+1＝2﹣m，
∴m＝﹣1．

如图2﹣2中，当N，Q是互相关联点，△NOQ是等腰直角三角形，此时m＝0，

观察图象可知，当﹣1≤m≤0时，在线段MN上存在点Q的关联点Q′，

如图2﹣3中，当N，Q是互相关联点，△NTQ是等腰直角三角形，设Q（m，﹣2m+1），

过点Q作QH⊥y轴于H，同法可证△NOT≌△THQ（AAS），
∴QH＝TO＝m，TH＝ON＝1，
∴1﹣2m+1＝m，
∴m＝．

如图2﹣4中，当M，Q是互相关联点，△MTQ是等腰直角三角形，同法可得m＝1，

观察图象可知，当≤m≤1时，在线段MN上存在点Q的关联点Q′，
解法二：在MN上任取一点Q'，然后作出Q‘的两个关联点Q1和Q2，其中Q1在第二象限，Q2在第四象限，则可以求出Q'的坐标是分别是（m﹣1，0）、（1﹣3m，0），再根据﹣2≤x≤﹣1可以求出m的取值范围．
综上所述，满足条件的m的值为﹣1≤m≤0或≤m≤1．
（3）如图3﹣1中，由题意，当点Q，点E是互为关联点时，满足条件，过点Q作QH⊥y轴于H，过点E作EK⊥OH于K．设Q（t，﹣2t+1）．

∵∠QHT＝∠EKT＝∠QTE＝90°，
∴∠QTH+∠ETK＝90°，∠ETK+∠KET＝90°，
∴∠HTQ＝∠KET，
∵TQ＝TE，
∴△THQ≌△EKT（AAS），
∴QH＝TK＝﹣t，TH＝EK＝4，
∵OH＝﹣2t+1，OK＝2，
∴﹣2t+1﹣4＝2+t，
∴t＝﹣，
∴Q（﹣，）．

如图3﹣2中，由题意，当点Q，点E是互为关联点时，满足条件，过点Q作QH⊥y轴于H，过点E作EK⊥OH于K．
设Q（t，﹣2t+1）．

∵∠QHT＝∠EKGT＝∠QTE＝90°，
∴∠QTH+∠ETK＝90°，∠ETK+∠EKT＝90°，
∴∠HTQ＝∠KET，
∵TQ＝TE，
∴△THQ≌△EKT（AAS），
∴QH＝TK＝t，TH＝EK＝4，
∵OH＝2t﹣1，OK＝2，
∴2t﹣1﹣4＝t﹣2，
∴t＝3，
∴Q（3，﹣5）．
综上所述，满足条件的点Q的坐标为（﹣，）或（3，﹣5）．

55．（2021•常州）如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y＝kx（k≠0）和二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象都经过点A（4，3）和点B，过点A作OA的垂线交x轴于点C．D是线段AB上一点（点D与点A、O、B不重合），E是射线AC上一点，且AE＝OD，连接DE，过点D作x轴的垂线交抛物线于点F，以DE、DF为邻边作▱DEGF．
（1）填空：k＝　　，b＝　1　；
（2）设点D的横坐标是t（t＞0），连接EF．若∠FGE＝∠DFE，求t的值；
（3）过点F作AB的垂线交线段DE于点P若S△DFP＝S▱DEGF，求OD的长．

【解析】解：（1）∵正比例函数y＝kx（k≠0）经过A（4，3），
∴3＝4k，
∴k＝，
∵二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象经过点A（4，3），
∴3＝﹣×42+4b+3，
∴b＝1，
故答案为：，1．

（2）如图1中，过点E作EP⊥DF于P，连接EF．

∵四边形DEGF是平行四边形，
∴∠G＝∠EDF
∵∠EGF＝∠EFD，
∴∠EFD＝∠EDF，
∴EF＝ED，
∵EP⊥DF，
∴PD＝PF，
∵D（t，t），
∴OD＝AE＝t，
∵AC⊥AB，
∴∠OAC＝90°，
∴tan∠AOC＝，
∵OA＝＝5，
∴AC＝OA•tan∠AOC＝，OC＝AC÷＝，
∴EC＝AC﹣AE＝﹣t，
∵tan∠ACO＝，
∴点E的纵坐标为3﹣t，
∵F（t，﹣t2+t+3），PF＝PD，
∴＝3﹣t，
解得t＝或（舍弃）．
∴满足条件的t的值为．

（3）如图2中，因为点D在线段AB上，S△DFP＝S▱DEGF，所以DP＝2PE，观察图象可知，点D只能在第一象限，

设PF交AB于J，
∵AC⊥AB，PF⊥AB，
∴PJ∥AE，
∴DJ：AJ＝DP：PE＝2，
∵D（t，t），F（t，﹣t2+t+3），
∴OD＝t，DF＝﹣t2+t+3﹣t＝﹣t2+t+3，
∴DJ＝DF＝﹣t2+t+，AJ＝DJ＝﹣t2+t+，
∵OA＝5，
∴t﹣t2+t+﹣t2+t+＝5，
整理得9t2﹣59t+92＝0，
解得t＝或4（4不合题意舍弃），
∴OD＝t＝．
56．（2021•无锡）已知四边形ABCD是边长为1的正方形，点E是射线BC上的动点，以AE为直角边在直线BC的上方作等腰直角三角形AEF，∠AEF＝90°，设BE＝m．

（1）如图，若点E在线段BC上运动，EF交CD于点P，AF交CD于点Q，连接CF，
①当m＝时，求线段CF的长；
②在△PQE中，设边QE上的高为h，请用含m的代数式表示h，并求h的最大值；
（2）设过BC的中点且垂直于BC的直线被等腰直角三角形AEF截得的线段长为y，请直接写出y与m的关系式．
【解析】解：（1）①过F作FG⊥BC于G，连接CF，如图：

∵四边形ABCD是正方形，∠AEF＝90°，
∴∠BAE＝90°﹣∠AEB＝∠FEG，∠B＝∠G＝90°，
∵等腰直角三角形AEF，
∴AE＝EF，
在△ABE和△EGF中，
，
∴△ABE≌△EGF（AAS），
∴FG＝BE＝，EG＝AB＝BC，
∴EG﹣EC＝BC﹣EC，即CG＝BE＝，
在Rt△CGF中，CF＝＝；
②△ABE绕A逆时针旋转90°，得△ADE'，过P作PH⊥EQ于H，如图：

∵△ABE绕A逆时针旋转90°，得△ADE'，
∴△ABE≌△ADE'，∠B＝∠ADE'＝90°，∠BAE＝∠DAE'，∠AEB＝∠E'，AE＝AE'，BE＝DE'，
∴∠ADC+∠ADE'＝180°，
∴C、D、E'共线，
∵∠BAE+∠EAD＝90°，
∴∠DAE'+∠EAD＝90°，
∵∠EAF＝45°，
∴∠EAF＝∠E'AF＝45°，
在△EAQ和△E'AQ中，
，
∴△EAQ≌△E'AQ（SAS），
∴∠E'＝∠AEQ，EQ＝E'Q，
∴∠AEB＝∠AEQ，EQ＝DQ+DE'＝DQ+BE，
∴∠QEP＝90°﹣∠AEQ＝90°﹣∠AEB＝∠CEP，即EF是∠QEC的平分线，
又∠C＝90°，PH⊥EQ，
∴PH＝PC，
∵∠BAE＝∠CEP，∠B＝∠C＝90°，
∴△ABE∽△ECP，
∴＝，即＝，
∴CP＝m（1﹣m），
∴PH＝h＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+，
∴m＝时，h最大值是；
（2）①当0≤m≤时，如图：

∵∠BAE＝90°﹣∠AEB＝∠HEG，∠B＝∠HGE＝90°，
∴△ABE∽△EGH，
∴＝，即＝，
∴HG＝﹣m2+m，
∵MG∥CD，G为BC中点，
∴MN为△ADQ的中位线，
∴MN＝DQ，
由（1）知：EQ＝DQ+BE，
设DQ＝x，则EQ＝x+m，CQ＝1﹣x，
Rt△EQC中，EC2+CQ2＝EQ2，
∴（1﹣m）2+（1﹣x）2＝（x+m）2，
解得x＝，
∴MN＝，
∴y＝NH＝MG﹣HG﹣MN
＝1﹣（﹣m2+m）﹣
＝1﹣m﹣+m2，
②当m＞时，如图：

∵MG∥AB，
∴＝，即＝，
∴HG＝，
同①可得MN＝DQ＝，
∴HN＝MG﹣HG﹣MN
＝1﹣﹣
＝，
∴y＝，
综上所述，y＝．
57．（2021•南京）在几何体表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短？
（1）如图①，圆锥的母线长为12cm，B为母线OC的中点，点A在底面圆周上，的长为4πcm．在图②所示的圆锥的侧面展开图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径，并标出它的长（结果保留根号）．

（2）图③中的几何体由底面半径相同的圆锥和圆柱组成．O是圆锥的顶点，点A在圆柱的底面圆周上，设圆锥的母线长为l，圆柱的高为h．
①蚂蚁从点A爬行到点O的最短路径的长为 　l+h　（用含l，h的代数式表示）．
②设的长为a，点B在母线OC上，OB＝b．圆柱的侧面展开图如图④所示，在图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径的示意图，并写出求最短路径的长的思路．

【解析】解：（1）如图②中连接AO，AC，AB．设∠AOC＝n．

∵的长＝4π，
∴＝4π，
∴n＝60°，
∴∠COA＝60°，
∵OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
∵OB＝BC＝6，
∴AB⊥OC，
∴AB＝＝＝6．
最短的路径是线段AB，最短路径的长为6．

（2）①蚂蚁从点A爬行到点O的最短路径的长为母线的长加圆柱的高，即为h+l．
故答案为：h+l．

②蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径的示意图如图④，最短路径为AB，
思路：
Ⅰ、过点O作OF⊥AD于F，交AB于G，此时，点G在扇形的弧上，
Ⅱ、连接AB，当点G在AB上时，路径最短，最短是AB；
Ⅲ、设CG＝x，则的长为x，进而求出∠BOG的度数，
Ⅳ、再过点B作BE⊥OF于E，用三角函数求出OE，BE，得出FH，即可求出AH，
Ⅴ、求出EF，进而求出BH，
Ⅵ、在Rt△ABH中，利用勾股定理建立AB关于x的方程，求解最小值．

58．（2021•宿迁）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C．连接AC，BC，点P在抛物线上运动．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图①，若点P在第四象限，点Q在PA的延长线上，当∠CAQ＝∠CBA+45°时，求点P的坐标；
（3）如图②，若点P在第一象限，直线AP交BC于点F，过点P作x轴的垂线交BC于点H，当△PFH为等腰三角形时，求线段PH的长．

【解析】解：（1）∵A（﹣1，0），B（4，0）是抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的两个交点，且二次项系数a＝，
∴根据抛物线的两点式知，y＝．
（2）根据抛物线表达式可求C（0，2），即OC＝2．
∴＝＝2，
∵∠AOC＝∠COB＝90°，
∴△AOC∽△COB，
∴∠ACO＝∠CBO，
∴∠QAB＝∠QAC+∠CAO＝∠CBA+45°+∠CAO＝∠ACO+∠CAO+45°＝135°，
∴∠BAP＝180°﹣∠QAB＝45°，
设P（m，n），且过点P作PD⊥x轴于D，则△ADP是等腰直角三角形，
∴AD＝PD，即m+1＝﹣n①，
又∵P在抛物线上，
∴②，
联立①②两式，解得m＝6（﹣1舍去），此时n＝﹣7，
∴点P的坐标是（6，﹣7）．
（3）设PH与x轴的交点为Q1，P（a，），
则H（a，），PH＝，
若FP＝FH，则∠FPH＝∠FHP＝∠BHQ1＝∠BCO，
∴tan∠APQ1＝tan∠BCO＝2，
∴AQ1＝2PQ1，
即a+1＝2（），
解得a＝3（﹣1舍去），此时PH＝．
若PF＝PH，过点F作FM⊥y轴于点M，

∴∠PFH＝∠PHF，
∵∠CFA＝∠PFH，∠Q1HB＝∠PHF，
∴∠CFA＝∠Q1HB，
又∵∠ACF＝∠BQ1H＝90°，
∴△ACF∽△BQ1H，
∴CF＝AC＝，
在Rt△CMF中，MF＝1，CM＝，
F（1，），
∴AF：，
将上式和抛物线解析式联立并解得x＝（﹣1舍去），
此时 PH＝．
若HF＝HP，过点C作CE∥AB交AP于点E（见上图），
∵∠CAF+∠CFA＝90°，
∠PAQ+∠HPF＝90°，
∠CFA＝∠HFP＝∠HPF，
∴∠CAF＝∠PAQ1，
即 AP平分∠CAB，
∴CE＝CA＝，
∴E（，2），
∴AE：，
联立抛物线解析式，解得x＝5﹣（﹣1舍去）．
此时 PH＝．
∴当FP＝FH时，PH＝；
当PF＝PH时，PH＝；
当HF＝HP时，PH＝；

59．（2021•苏州）如图①，甲、乙都是高为6米的长方体容器，容器甲的底面ABCD是正方形，容器乙的底面EFGH是矩形．如图②，已知正方形ABCD与矩形EFGH满足如下条件：正方形ABCD外切于一个半径为5米的圆O，矩形EFGH内接于这个圆O，EF＝2EH．
（1）求容器甲、乙的容积分别为多少立方米？
（2）现在我们分别向容器甲、乙同时持续注水（注水前两个容器是空的），一开始注水流量均为25立方米/小时，4小时后，把容器甲的注水流量增加a立方米/小时，同时保持容器乙的注水流量不变，继续注水2小时后，把容器甲的注水流量再一次增加50立方米/小时，同时容器乙的注水流量仍旧保持不变，直到两个容器的水位高度相同，停止注水．在整个注水过程中，当注水时间为t时，我们把容器甲的水位高度记为h甲，容器乙的水位高度记为h乙，设h乙﹣h甲＝h，已知h（米）关于注水时间t（小时）的函数图象如图③所示，其中MN平行于横轴，根据图中所给信息，解决下列问题：
①求a的值；
②求图③中线段PN所在直线的解析式．

【解析】解：（1）如图②中，连接FH，

∵正方形ABCD外切于一个半径为5米的圆O，
∴AB＝10米，
∴容器甲的容积＝102×6＝600（立方米），
∵∠FEH＝90°，
∴FH为直径，
在Rt△EFH中，EF＝2EH，FH＝10米，
∴EH2+4EH2＝100，
∴EH＝2（米），EF＝4（米），
∴容器乙的容积＝2×4×6＝240（立方米）．

（2）①当t＝4时，h＝﹣＝1.5，
∵MN∥t轴，
∴M（4，1.5），N（6，1.5），
∵6小时后的高度差为1.5米，
∴﹣＝1.5，
解得a＝37.5．

②当注水t小时后，由h乙﹣h甲＝0，可得﹣＝0，
解得t＝9，即P（9，0），
设线段PN所在的直线的解析式为h＝kt+m，
∵N（6，1.5），P（9，0）在直线PN上，
∴，
解得，
∴线段PN所在的直线的解析式为h＝﹣t+．