2021-2022学年河北省石家庄市赞皇县八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年河北省石家庄市赞皇县八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共16小题，共42分）

1. 若二次根式有意义，则的取值范围是

A.  B.  C.  D.

2. 下列各式中，正确的是

A.  B.
C.  D.

3. 下列语句中正确的是

A. 四边形都相等的四边形是矩形
B. 顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形
C. 菱形的对角线相等
D. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形

4. 下列二次根式中，最简二次根式是

A.  B.  C.  D.

5. 如图，在平行四边形中，平分，，则

A.
B.
C.
D.

6. 如图，直线，垂足为，线段，，以点为圆心，的长为半径画弧，交直线于点则的长为

A.
B.
C.
D.

7. 估计的值在

A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间

8. 已知直角三角形的两条边长分别是和，那么这个三角形的第三条边的长为

A.  B.  C.  D. 或

9. 在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用如图图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是

A. 统计思想 B. 分类思想 C. 数形结合思想 D. 函数思想

10. 如图，矩形中，、相交于点，若，，则的长为

A.
B.
C.
D.

11. 一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形：
    两组对边分别相等
    一组对边平行且相等
    一组邻边相等
    一个角是直角
    顺次添加的条件：
    则正确的是

A. 仅 B. 仅 C.  D.

12. 如图，两根木条钉成一个角形框架，且，，将一根橡皮筋两端固定在点，处，拉展成线段，在平面内，拉动橡皮筋上的一点，当四边形是菱形时，橡皮筋再次被拉长了

A.  B.  C.  D.

13. 如图，，、相交于，、分别为、的中点，若，，则的长是

A.
B.
C.
D.

14. 如图，某自动感应门的正上方处装着一个感应器，离地米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高米的学生正对门，缓慢走到离门米的地方时米，感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离等于

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

15. 如图，在四边形中，，，点是边上一点，，，下列结论：≌；；四边形的面积是；；该图可以验证勾股定理．其中正确的结论个数是

A.  B.  C.  D.

16. 如图，四边形中，，，，是上一点，且，点从点出发以的速度向点运动，点从点出发，以的速度向点运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为，则当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，的值是

A.  B.  C. 或 D. 或

二、填空题（本大题共3小题，共12分）

17. 当 ______ 时，代数式取最小值为______ ．
18. 勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了，，三地的坐标，数据如图单位：笔直的铁路经过，两地，则，间的距离为______，到的距离为______．
     

19. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是，、、、均落在格点上．
    ：______；
    点为的中点，过点作直线，过点作于点，过点作于点，则矩形的面积为______．

三、计算题（本大题共1小题，共8分）

20. 计算：
    ；
    ．

四、解答题（本大题共6小题，共58分）

21. 先化简，再求值：，其中．
    如图是小亮和小芳的解答过程．
    
    ______的解法是错误的；
    错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：______；
    先化简，再求值：，其中．
22. 如图，点，在▱的边，上，，，连接，．
    求证：四边形是平行四边形．
23. 如图是超市的儿童玩具购物车，图为其侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，求点到的距离．结果保留整数

24. 如图，在中，，点在斜边上，、分别在直角边、上，且，．
    求证：四边形是矩形；
    连接，若到的距离是，求的最小值．

25. 在进行二次根式简化时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可将其进一步简化：
    ；一
    ；二
    ；三
    以上这种化简的步骤叫做分母有理化
    还可以用以下方法化简：
    ；四
    化简 ______  ______ ．
    请用不同的方法化简．
    参照三式得 ______ ；
    步骤四式得 ______ ．
    化简：
    ．
26. 已知在菱形中，点在上，连接．
    在上取点，使得，
    如图，当于点时，线段与之间的数量关系是______ ．
    如图，当与不垂直时，判断中的结论是否仍然成立，若成立，请给出证明，若不成立，则需说明理由．
    在的延长线取点，使得，
    根据描述在图中补全图形．
    若，，，求此时线段的长．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：，
，
故选：．
根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数即可得出答案．
本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件：被开方数是非负数是解题的关键．
 

2.【答案】

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意．
故选：．
根据二次根式的性质和立方根的概念即可求出答案．
本题考查二次根式的性质与化简、立方根，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．
 

3.【答案】

【解析】解：、四边都相等的四边形是菱形，不是矩形，故不符合题意；
B、顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形，正确，故符合题意；
C、矩形的对角线相等，错误，故不符合题意；
D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，错误，故不符合题意；
故选：．
利用矩形、正方形、菱形的判定定理及菱形和矩形的性质分别判断后即可确定正确的选项．
本题考查了命题与定理，中点四边形的知识，解题的关键是了解矩形、正方形、菱形的判定定理及菱形的性质，难度不大．
 

4.【答案】

【解析】解：、是最简二次根式，符合题意；
B、，不符合题意；
C、，不符合题意；
D、，不符合题意．
故选：．
利用最简二次根式定义判断即可．
此题考查了最简二次根式，被开方数不含指数大于等于的因式，被开方数不含分母，分母中不含根号，这样的式子称为最简二次根式．
 

5.【答案】

【解析】解：平分，
，
▱中，，
，
，
故选：．
根据角平分线的定义以及两直线平行，内错角相等求出，
本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，准确识图并熟练掌握性质是解题的关键．
 

6.【答案】

【解析】解：，
，
，，
，
，
．
故选：．
由垂直的定义得到，根据勾股定理得到，得到，即可得到结论．
本题考查了勾股定理，圆的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
 

7.【答案】

【解析】解：，
，
故选：．
直接利用，进而得出答案．
此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出的取值范围是解题关键．
 

8.【答案】

【解析】解：当和都是直角边时，第三边长为：；
当是斜边长时，第三边长为：．
故选：．
分两种情况：当和都是直角边时；当是斜边长时；分别利用勾股定理计算出第三边长即可．
本题考查的是勾股定理，直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．
 

9.【答案】

【解析】解：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，它体现的数学思想是数形结合思想，
故选：．
根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想．
本题考查了勾股定理的证明，掌握根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想．
 

10.【答案】

【解析】解：四边形是矩形，
，
，
是等边三角形，
，
，
故选：．
利用矩形的性质结合条件证明是等边三角形即可解决问题．
本题考查矩形的性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，发现是等边三角形是突破点，属于中考常考题型．
 

11.【答案】

【解析】解：由得到两组对边分别相等的四边形是平行四边形，添加即一组邻边相等的平行四边形是菱形，再添加即一个角是直角的菱形是正方形，故正确；
由得到一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，添加即有一个角是直角的平行四边形是矩形，再添加即一组邻边相等的矩形是正方形，故正确；
由得到两组对边分别相等的四边形是平行四边形，添加得到一组对边平行且相等的平行四边形仍是平行四边形，再添加即一组邻边相等的平行四边形是菱形，不能得到四边形是正方形，故不正确；
故选：．
由条件可得到四边形是平行四边形，添加得到平行四边形是菱形，再添加得到菱形是正方形，正确；
由条件得到四边形是平行四边形，添加平行四边形是矩形，再添加矩形是正方形，正确；
由和都可得到四边形是平行四边形，再添加得到平行四边形是菱形，不能得到四边形是正方形，不正确．
本题主要考查了正方形的判定，熟练掌握正方形的判定方法是解决问题的关键．
 

12.【答案】

【解析】解：连接，交于，

四边形是菱形，，，
，，，
，
，
橡皮筋再次被拉长了，
故选：．
根据菱形的性质得出，进而解答即可．
此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的性质得出的长解答．
 

13.【答案】

【解析】解：连接并延长，交于，
，
，
为的中点，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，，
，
故选：．
连接并延长，交于，证明≌，根据全等三角形的性质得到，，进而求出，根据三角形中位线定理定理计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
 

14.【答案】

【解析】解：如图，过点作于点，
米，米，米，
米．
在中，由勾股定理得到：米
故选：．
过点作于点，构造，利用勾股定理求得的长度即可．
本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求得线段的长度．
 

15.【答案】

【解析】解：，，
，
．
在和中，
，
≌，
，．
，
．
，
，
故正确；
，，
四边形的面积是；
故正确；
梯形的面积直角三角形的面积两个直角三角形的面积，
，
．
故都正确．
故选：．
证明≌，由全等三角形的性质可得出，由图形的面积可得出正确．
本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的证明，垂直的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
 

16.【答案】

【解析】解：当点在线段上，时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，
则有，解得，
当在线段上，时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，
则有，解得，
综上所述，或时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形．
故选：．
分两种情形由平行四边形的判定列出方程即可解决问题．
本题考查平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
 

17.【答案】 

【解析】解：代数式取最小值，
，
解得：，
故当时，代数式取最小值为：．
故答案为：，．
直接利用非负数的性质得出的值，进而得出答案．
此题主要考查了非负数的性质，正确得出的值是解题关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：由、两点的纵坐标相同可知：轴，
；
过点作于点，
则，
故答案为：，．
根据两点的纵坐标相同即可求出的长度；由垂线段最短即可求得到的距离．
本题考查了坐标确定位置，解题的关键是根据、、三点的坐标求出相关线段的长度，本题属于中等题型．
 

19.【答案】：；
  

【解析】解：由题意得：，，，
：：，
：：；
故答案为：：；

如图所示：
点为的中点，直线，
是的中位线，，
四边形是矩形，
，
，
，
，，
，
∽，
，即，
解得：，
矩形的面积；
故答案为：．
由题意得：，，，由三角形面积公式得出：：，得出：：即可；
证出，由勾股定理求出，证明∽，得出，解得：，由矩形面积公式即可得出矩形的面积
本题考查了矩形的性质、勾股定理、三角形面积公式、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解题的关键．
 

20.【答案】解：


．





．

【解析】利用绝对值、立方根与算术平方根化简计算即可答出答案．
利用完全平方公式与平方差公式计算即可．
本题考查绝对值、立方根、算术平方根、完全平方公式与平方差公式，要熟练掌握．
 

21.【答案】小亮 

【解析】解：小亮的解法是错误的，
错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：，
故答案为：小亮；；
原式，
，
原式．
根据二次根式的性质判断即可；
根据二次根式的性质把原式化简，把代入计算即可．
本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质：是解题的关键．
 

22.【答案】解：四边形是平行四边形，
，，
，，
，
，
四边形是平行四边形．

【解析】根据平行四边形的性质得出，，进而得出，利用平行四边形的判定解答即可．
此题主要考查了平行四边形的判定与性质，关键是掌握平行四边形两直线平行和两线段相等；对边平行且相等的四边形是平行四边形．
 

23.【答案】解：过点作于点，则的长即点到的距离，
在中，，，，
，，
，
为直角三角形，即，
，
，即，
，
答：点到的距离约为．

【解析】过点作于点，则的长即点到的距离，根据勾股定理的逆定理得到为直角三角形，即，根据三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了勾股定理的应用，三角形的面积公式，勾股定理的逆定理，正确的识别图形是解题的关键．
 

24.【答案】证明：，，
，
，
，
，
四边形是矩形；
解：连接，如图所示：
由可知，四边形是矩形，
，
当有最小值时，的值最小，
当时，有最小值，
时，有最小值，
到的距离是，即点到的垂直距离为，
的最小值为，
的最小值为．

【解析】由三个角是直角的四边形是矩形可证四边形是矩形；
连接，由矩形的性质可得，当时，有最小值，即有最小值，即可得出结论．
本题考查了矩形的判定和性质以及最小值问题，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
 

25.【答案】；；
；．
原式

．

【解析】

解： ， ．
故答案为： ， ；

原式 ．
故答案为： ；

原式 ．
故答案为： ；

见答案．
【分析】
根据题中所给出的例子把分母化为完全平方式的形式即可；
根据步骤 三 把分母乘以 即可；
根据步骤 四 把分子化为 的形式即可；
把各式的分母有理化，找出规律即可得出结论．
本题考查的是分母有理化，根据题意得出分母有理化的规律是解答此题的关键．   

26.【答案】

【解析】解：．
四边形是菱形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
故答案为：；
中的结论仍然成立．
证明：如图中，过点作于，于．

四边形是菱形，，，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
≌，
．
补全图形如下：

如图，过点作于点，
，
，
，
四边形是菱形，，
，，
，
，
，
．
由菱形的性质得出，，证明，由菱形的面积公式可得出答案；
过点作于，于证明≌，由全等三角形的性质可得出答案；
按题意画出图形即可；
过点作于点，由直角三角形的性质求出，的长，则可得出答案．
本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．