数学选择性必修 第三册5.3.1 等比数列导学案

等比数列

【课时安排】

3课时

【第一课时】

【学习目标】

1．理解等比数列的定义，能够利用定义判断一个数列是否为等比数列；

2．掌握等比数列的通项公式并能简单应用；

【学习重难点】

1．等比数列和等差中项的概念及等比数列通项公式的推导和应用

2．等比数列通项公式的推导及应用。

【学习过程】

一、温故知新

什么叫等差数列？通项公式是什么？什么叫等差中项？

二、探求新知

1．研究下面三个数列并回答问题

①1．2．4．8…；②1．-1．1．-1…③1．、、…

问题1：上面数列都是等差数列吗？

问题2：以上数列后项与前项的比有何特点？

2．等比数列的定义

一般地，如果一个数列从第_______项起，每一项与它的前一项的______都等于______常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的______，通常用字母______表示。

3．等比数列的通项公式的推导过程

设等比数列，的公比为

方法1：（归纳法）

  ，   ，   ，……  

方法2：（累乘法）

根据等比数列的定义，可以得到____，____，____，…，____。以上共有____等式，把以上____个等式左右两边分别相乘得____，即

____，即得到等比数列的通项公式。

4．等比数列的通项公式________

三、通过预习掌握的知识点

1．等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（q≠0），即：=q（q≠0）。

（1）“从第二项起”与“前一项”之比为常数q；

｛｝成等比数列=q（，q≠0）。

（2）隐含：任一项。

（3）q=1时，{}为常数。

2．等比数列的通项公式1： __________________________。

3．等比数列的通项公式2：___________________________。

4．等比中项：若A．B．C成等比数列。则__________________。

5．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列

四、预习检查：

1．判断下列数列是否为等比数列

（1）2，2，2，2，…；

（2）-1，1，2，4，8，…；

（3）lg3，lg6，lg12，…；

（4）；

（5）已知数列的通项公式为。

（6）已知数列的通项公式为

2．已知数列1，-2，4，-8，16…，它的公比是_____________，通项公式是__________。

3．已知数列1，—，，—…则—是它的第_______项。

4．一个等比数列的第9项是，公比是－，求它的第1项

5．一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项与第4项…

五、导学探疑

例题：在等比数列{}中，

1．已知＝3，q=-2，求；

2．已知=20，=160，求；

归纳方法：

六、固学思疑：

1．等比数列中，则为（  ）。

A．3   B．4   C．5   D．6

2．与，两数的等比中项是（  ）

A．1   B．－1   C．   D．

3．等比数列中，求。

4．在等比数列中，若则为_________。

5．已知数列满足（n>1，n），则通项=_____________。

【第二课时】

【学习目标】

1．灵活应用等比数列的定义及通项公式；深刻理解等比中项概念；

2．熟悉等比数列的有关性质，并系统了解判断数列是否成等比数列的方法。

【学习过程】

一、温故知新

1．等比数列的定义：___________________________

2．等比数列的通项公式_______=_______。

公比q满足的条件是______________。

3．等差数列有何性质？_______________________________________________

4．等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么称这个数G称为a与b的等比中项。即G=_______（a，b同号）。

二、新课导学

1．学习探究

（1）在等比数列{}中，是否成立呢？

（2）是否成立？你据此能得到什么结论？

（3）是否成立？你又能得到什么结论？

2．等比数列的性质

在等比数列中，若m+n=p+q，则。

试一试：在等比数列，已知，那么_______。

三、例题

例1在等比数列{}中，已知，且，公比为整数，求。

练习1．在等比数列{}中，已知，则_______。

练习2．在7和56之间插入、，使7．、、56成等比数列，若插入、，使7、、、56成等差数列，求＋＋＋的值。

变式：三个数成等比数列，它们的积等于27，它们的平方和等于91，求这三个数。

例2．已知是项数相同的等比数列，仿照下表中的例子填写表格，从中你能得出什么结论？证明你的结论。

变式：项数相同等比数列{}与{}，数列{}也一定是等比数列吗？证明你的结论。

小结：两个等比数列的积和商仍然是等比数列。

【学习小结】

1．等比中项定义；

2．等比数列的性质。

3．公比为q的等比数列具有如下基本性质：

（1）数列，，，，等，也为等比数列，公比分别为。若数列为等比数列，则，也等比。

（2）若，则。 当m=1时，便得到等比数列的通项公式。

（3）若，，则。

（4）若各项为正，c>0，则是一个以为首项，为公差的等差数列。 若是以d为公差的等差数列，则是以为首项，为公比的等比数列。 当一个数列既是等差数列又是等比数列时，这个数列是非零的常数列

【达标检测】

1．在为等比数列中，，，那么（  ）。

A．±4   B．4   C．2   D．8

2．若－9，a1，a2，－1四个实数成等差数列，－9，b1，b2，b3，－1五个实数成等比数列，则b2(a2－a1)＝（  ）。

A．8   B．－8    C．±8    D．

3．若正数a，b，c依次成公比大于1的等比数列，则当x>1时，，，（  ）。

A．依次成等差数列 B．各项的倒数依次成等差数列

C．依次成等比数列 D．各项的倒数依次成等比数列

4．在两数1，16之间插入三个数，使它们成为等比数列，则中间数等于_______。

5．在各项都为正数的等比数列中，=9，则log3+ log3+…+ log3_______。

6．在为等比数列中，，，求的值。

7．已知等差数列的公差d≠0，且，，成等比数列，求。

【第三课时】

【学习目标】

1．掌握等比数列的前n项和公式；

2．会用公式解决有关等比数列的中知道三个数求另外两个数的一些简单问题。

【学习过程】

一、学习探究

等比数列的前n项和

新知：等比数列的前n项和公式

设等比数列它的前n项和是，公比为q≠0，

公式的推导方法一：

则

______________当时，______________①或______________②

当q=1时，______________

公式的推导方法二：

由等比数列的定义，，有，

即。

∴（结论同上）

公式的推导方法三：

＝

＝＝。

∴（结论同上）

试试：求等比数列，，，…的前8项的和。

二、例题

例1已知a1=27，a9=，q<0，求这个等比数列前5项的和。

练习1：，。 求此等比数列的前5项和。

练习2：等比数列中，

例2．等比数列中，，，求。

变式：在等比数列中，已知，求。

例3．数列的前n项和（a≠0，a≠1），试证明数列是等比数列。

变式：数列的前项和为，，则______________。

【达标检测】

1．等比数列中，，，则

2．在等比数列中，若，则公比q＝______________。

3．在等比数列中，，，，则q＝______________，n＝_______。

4．等比数列的前n项和，求通项。

5．（13湖北理18）已知等比数列满足：，。

则数列的前六项的和______________。