小升初数学思维训练题,含知识解析及教案（中）

这是一份小升初数学思维训练题,含知识解析及教案（中），共82页。试卷主要包含了棱二等内容，欢迎下载使用。




小升初数学思维训练题及教程












二〇二二 年



目 录

第7讲 几何（一） 平面图形 88
第8讲 几何（二） 曲线图形 112
第9讲 几何（三） 立体图形 127
第10讲 典型应用题（一）和差倍、年龄、植树问题 140
第11讲 典型应用题（二）鸡兔同笼、盈亏、平均数问题 149
第12讲 牛吃草问题 159


第7讲 几何（一） 平面图形
一、 知识地图

二、 基础知识
小学奥数的平面几何问题，是以等积变形为主导思想，结合五大模型的变化应用，交织而成。攻克奥数平面几何，一定要从等积变形开始。
1、等积变形。
等积变形，它的特点是利用面积相等而进行相互转换，面积相等的两个图形我们就称之为等积形。我们所研究的等积变形，更多的是三角形的等积变形，三角形等积变形的中心思想是等底等高，因为三角形的面积=底×高÷2，所以说等底等高的两个三角形面积相等。另外，等底等高的平行四边形、梯形（梯形等底应理解为两底和相等）的面积也相等。在实际中，我们经常用到的与等积变形相关的性质主要有以下几点：
﹙1﹚直线平行于，可知；
反之，如果，则可知直线平行于。

（因为平行线间的距离是处处相等的哦！，聪明的你想到了吗？）
﹙2﹚两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；
两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；
特别地，我们有 等腰三角形底边上的高线平分三角形面积
三角形一边上的中线平分这个三角形的面积。
平行四边形的对角线平分它的面积

﹙3﹚共边定理：若△和△的公共边所在直线与直线交于，则；

﹙4﹚共角定理：在△和△中，若或，则。

﹙5﹚过矩形内部的一点引两条直线分别与两组边平行，所分得的四个小矩形，其面积满足：。

﹙6﹚E为矩形ABCD内部的任意一点，则
；当E落在矩形的某条边上时，也成立。
特别地，（5）（6）两条性质对于平行四边形同样成立。


2、五大模型。
我们把学习中经常遇到的问题归纳为五个基本的模型，总的来说，这五个基本模型都是用来解决三角形边与面积之间关系互相转换的问题。让我们一起来感受一下模型的魅力吧！
模型一：在同一三角形中，相应面积与底成正比关系：
即：两个三角形高相等，面积之比等于对应底边之比。
或：两个三角形底相等，面积之比等于对应的高之比。

S1︰S2 =a︰b ；

拓展： 等分点结论（“鸟头定理”）

如图，三角形AED占三角形ABC面积的×=

鸟头定理是对模型一的一个拓展，有兴趣的话，你可以试着证明一下哦！

模型二：任意四边形中的比例关系 （“蝴蝶定理”）

①S1︰S2=S4︰S3 或者S1×S3=S2×S4
②AO︰OC=（S1+S2）︰（S4+S3）
蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。构造模型，一方面我们可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系，另一方面，我们也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。




模型三：梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”）

①S1︰S3=a2︰b2
②S1︰S3︰S2︰S4= a2︰b2︰ab︰ab ；
③S的对应份数为（a+b）2





梯形蝴蝶定理，给我们提供了解决梯形面积与上下底之间关系互相转换的渠道。构造模型，直接应用结论，往往有事半功倍的效果。

模型四：相似三角形性质
_
h
_
h
_
H
_
c
_
b
_
a
_
C
_
B
_
A
_
a
_
c
_
b
_
H
_
C
_
B
_
A
_
S1
_
S2

① ；
②S1︰S2=a2︰A2
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形，（只要其形状不改变，不论大小怎样改变他们都相似），与相似三角形相关，常用的性质及定理如下：
﹙1﹚相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
﹙2﹚相似三角形的一切对应线段（对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于它们的相似比。
﹙3﹚相似三角形周长的比等于它们的相似比。
﹙4﹚相似三角形面积的比等于它们相似比的平方。 
﹙5﹚特别的，连接三角形两边中点的线段我们叫做三角形的中位线。关于三角形的中位线我们有这样一个结论：
三角形中位线定理：三角形的中位线长等于他所对应的底边长的一半。
对于梯形，我们也有类似的结论。连接梯形两腰得到的线段我们叫做梯形的中位线。
梯形的中位线长等于它上下底边之和的一半。
﹙6﹚那么如何判断三角形是不是相似呢？我们一般有三种方法：
a：三个角对应相等的三角形相似，（事实上只要有两个角相等就可以了）。
b：有两边对应成比例且其两条边的夹角相等的三角形相似。
c：三边分别对应成比例的三角形相似。
注意：在小学奥数里，最多出现的情况是因为两条平行线而出现相似三角形，如模型四。
相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具。


模型五：燕尾定理

S△ABG：S△AGC＝S△BGE：S△EGC＝BE：EC；
S△BGA：S△BGC＝S△AGF：S△FGC＝AF：FC；
S△AGC：S△BCG＝S△ADG：S△DGB＝AD：DB；

燕尾定理因为图形类似燕尾而得名，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径。

3、计算过程中连接辅助线的四个原则。

几何作为数形结合的学科，图形的运用往往在解题过程中起到至关重要的作用。在小学阶段的平面几何学习中，我们在运用图形连接辅助线时一般遵循以下四个原则：
﹙1﹚ 把四边形或者多边形变为三角形，例如：

﹙2﹚ 连接等分点，例如：

﹙3﹚ 构造模型，例如：

﹙4﹚做高线，构造直角三角形

三、经典透析
【例1】（☆☆☆）如下左图。将三角形ABC的BA边延长1倍到D，CB边延长2倍到E，AC边延长3倍到F。如果三角形ABC的面积等于1，那么三角形DEF的面积是_____。


审题要点： 题目中给出的已知条件都是边的倍比关系，其余的条件中只有一个三角形ABC的面积是已知，要想办法使已知条件能够相互关联，使边的倍比关系可以转化为面积之比，可以选择模型一应用。
详解过程：
解：连结AE、BF、CD（如上右图）
由EB=2BC，得S△ABE=2。
同理可得S△AED=2
S△BEF=2×S△CBF =6。
S△CFD =3×S△ACD =3。
所以 S△DEF= 1+2+3+1+2+6+3=18。
专家点评：这是北京市第一届“迎春杯”刊赛第32题，非常经典。解题过程中通过连接AE、BF、CD，使题目中所给的边的倍比关系可以构造模型一相互关联，再通过共高三角形面积与相应底边之间的对应比例关系求解。


【例2】（☆☆☆）设，，，如果三角形的面积为19平方厘米，那么三角形的面积是_________平方厘米。

审题要点：和【例1】类似，题目已知条件中边的倍比关系比较多，可以考虑应用模型一。
解：


S△ABC=(++) S△ABC+19
∴
专家点评：这是2004年小学数学奥林匹克A卷的，其实竞赛题不一定都是很难，尤其是平面几何部分，但他们十之八九都是很巧妙的，拿这道题来说，图形长得很普通，而题目当中又给了那么多的倍比关系，那我们是不是可以考虑构造模型一呢？整体看，，除了，其余三个我们可以直接用“鸟头定理”。鸟头定理也是本题的一个中心考点。


【例3】（☆☆☆）四边形的对角线与交于点（如图）所示。如果三角形的面积等于三角形的面积的，且，，那么的长度是的长度的_________倍。

审题要点：在本题中四边形ABCD为任意四边形，且出现S△ABD：S△BCD=1：3。联想模型二蝴蝶定理结论。
详解过程：

解法一：
∴
∴

解法二：
∵
∴
∴
∴
∴
∴


专家点评：本题是2003北京市第十九届小学生“迎春杯”数学竞赛的试题。在本题中，三角形和三角形的面积之比如何转化是关键。方法一直接应用模型二蝴蝶定理的结论，而我们也可以不应用蝴蝶定理，那么观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，我们需要一个中介，于是做垂直于H，于，面积比转化为高之比。再应用模型一的结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出AO=CO。






【例4】：（☆☆☆☆）如下图所示，AE︰EC＝1︰2，CD︰DB＝1︰4，BF︰FA＝1︰3，
三角形ABC的面积等于1，那么四边形AFHG的面积是__________。

审题要点：四边形AFHG的面积可以看作是三角形ABC的面积减去三角形BEC的面积再分别减去三角形BFH和三角形AGE的面积得到的。如何把三角形边的倍比关系和要求的面积相联系，是这道题的重点问题。
详解过程：
以下各图为了强调相关部分，暂去掉另外线条。
解： 如下图所示，我们分别求出BFH、AGE的面积问题也就解决。

如上图，我们设BFH＝x，则AFH＝3x；设AHE＝y，则CEH＝2y；
于是有ABE＝4x+y＝
ACF＝3y+3x＝
有，则9x＝，所以x＝；
如下图，我们设AEG＝a，则CEG＝2a；

设CDG＝b，则BDG＝4b；


于是有ACD＝3a+b＝
BCE＝2a+5b＝

有，则13a＝，所以a＝；
这样，AFHG＝ABE－BFH－AEG＝－－＝。

专家点评： 求四边形，可由三角形的面积减去三角形的面积，再分别减去三角形BFH和三角形AGE的面积。而三角形的面积可从三角形面积与底边的比例关系得到，于是问题转化为如何求及。与可由二元一次方程组分别解得。

解法二：

BH：HE=S△BFC：S△EFC=︰（×）=1︰2
所以S△BFH=S△ABE×（×）=×（×）=
同理：

AG︰GD=S△ABE︰S△BDE=︰（×）=5︰8
所以，S△AGE=S△ADC×（×）=×（×）=
AG︰AD=5︰（5+8）=5︰13
所以，
S四边形AFHG＝S△ABE－S△BFH－S△AEG
＝－－
=

专家点评： 本题解法二应用的考点比较多，基本解题思路和解法一差不多，都是由S△FHG= S△ABE- S△BFH- S△AEG得出，而解法二首先应用蝴蝶定理，先求线段BH与HE的比例关系，再利用鸟头定理解出及，最后求出S四边形AFHG。比解法一略显简洁，而且计算上也比较方便。
注意考点： 鸟头定理和蝴蝶定理的应用
【例5】（☆☆☆）设正方形的面积为1，下图中E、F分别为AB、BD的中点，GC=FC。求阴影部分面积。

审题要点：阴影部分为三角形，知道底边为正方形边长的一半，只要求出高，便可解出面积。
解： 作FH垂直BC于H；GI垂直BC于I
根据相似三角形定理 CG︰CF=CI︰CH=1︰3
又∵CH=HB
∴CI︰CB=1︰6即BI︰CB=（6-1）︰6=5︰6
S△BGE=××=。
专家点评：本题考查模型四，利用三角形相似的性质，求出三角形对应边的比例关系及长度，从而确定阴影部分的面积。

【例6】（☆☆☆☆）ABCD是平行四边形，面积为72平方厘米，E、F分别为AB，BC的中点，则图中阴影部分的面积为＿＿平方厘米。

审题要点：题目中出现E、F分别为边的中点， 可以考虑应用中位线定理。
解：设G、H分别为AD、DC的中点，
连接GH、EF、BD。
可得 S△AED=S平行四边形ABCD
对角线BD被EF、AC、GH平均分成四段，

DO︰ED= BD︰ BD=2︰3
OE︰ED=（ED-OD）︰ED=（3-2）︰3=1︰3
所以 S△AE0=×S平行四边形ABCD=××72=6
S△ADO= 2×S△AEO=12。
同理可得S△CFM=6，S△CDM=12。
所以 S△ABC- S△AEO- S△CFM=24
于是 阴影部分的面积=24+12+12=48
专家点评： 这道题是2000年小学数学奥林匹克竞赛A卷中的一道题。连接EF，BD，根据模型4以及三角形的中位线定理，判断出O，M分别是其所在线段的三等分点，由此求出S△AEO及S△CFM，最后得出阴影部分的面积。
注意：本题应用了三角形的中位线定理以及平行线的相关性质。

【例7】（☆☆☆）如图，矩形ABCD被分成9个小矩形，其中5个小矩形的面积如图所示，矩形ABCD的面积为＿＿。

审题要点：矩形被分割成9个小矩形，马上可以联想到矩形等积变形的两个重要结论。
解：矩形PFMD中，矩形OHND的面积等于2×4÷3=8/3
矩形ABCD中，矩形IBLH的面积等于（1+2）×（16+4）÷（8/3）=45/2
所以 矩形ABCD的面积=1+2+4+16+（8/3）+（45/2）=289/6
专家点评：本题是南京市第三届兴趣杯的原题，难度不大，主要是考察对矩形等积变形两个重要结论之一： “过矩形内部的一点引两条直线分别与两组边平行，所分得的四个小矩形，其面积满足：。”的应用。先求出矩形OHND的面积，再求出矩形IBLA的面积，而矩形ABCD的面积由矩形OHND和矩形IBLA以及题目中所给的其他4个已知矩形的面积和求得。
读者可以自行通过求各边比例方法进行验证，进一步加深对定理的理解。

【例8】（☆☆☆）如图，在梯形ABCD中，AB与CD平行，且CD=2AB，
点E、F分别是AD和BC的中点，已知阴影四边形EMFN的面积是54
平方厘米，则梯形ABCD的面积是 平方厘米。


审题要点：阴影部分的面积可以分解为两个三角形的面积之和，而E、F又是梯形两腰的中点，连接EF，对上下两个梯形分别应用蝴蝶定理。
解法一：如图，设上底为a，则下底为2a，梯形的高为h，
连接EF，则EF=（a+2a）=a；
所以 AB︰EF=a︰ a=2︰3，EF︰DC=a︰2a=3︰4；
所以 h1=×h=h；
h2=×h=h；
阴影部分=S△EFM+S△EFN=×a×h+×a×h=ah
即ah=54，ah=140
梯形ABCD的面积=×（1+2）ah=ah=×140=210（平方厘米）
专家点评：阴影部分可以看为两个同底三角形的面积之和，根据梯形的面积公式，求出两个三角形的高和底，进一步求出梯形面积，思考方法很简单，但要注意计算的准确性。
解法二：如图，设上底为a，则下底为2a，梯形的高为h，
连接EF，则EF=（a+2a）=a；
所以 AB︰EF=a︰ a=2︰3，EF︰DC=a︰2a=3︰4；
所以 h1=×h=h；
h1=×h=h；
所以S△EFM︰S△EFN= h1 ︰h1=h︰h=7︰5

根据梯形中的面积关系，得下图。

因为9x︰9y=x︰y=7︰5
且x+y=54÷9=6（平方厘米）
所以x=6×=3.5（平方厘米），y=6-3.5=2.5（平方厘米）；
所以梯形ABCD的面积=3.5×25+2.5×49=210（平方厘米）。
专家点评：连接EF以后，我们也可以把它看成是两个梯形叠放在在一起，应用模型三梯形蝴蝶定理，可以确定各个小的三角形之中的比例关系，应用比例即可求出梯形ABCD面积。
注意：应用梯形蝴蝶定理时注意比的运算。
【例9】（☆☆☆）如图，在平行四边形ABCD中，BE=EC，CF=2FD。
求阴影面积与空白面积的比。

审题要点：题目中阴影部分不规则，但是有边的倍比关系，BE=EC，CF=2FD可以考虑将边的倍比关系转化为为面积之间的关系。

解法：连接CG，CH，AC交BD于O，设S△BEG=a，
根据燕尾定理S△BEG=S△EGC=S△ABG=S△AGC
S△DHF=S△CFH=S△AHD=S△ACH
又因为S△AGC=S△ACH 所以S△BEG=3S△DHF
S△AGO=S△CGO=S△ABG
S△AOH=S△HOC=S△AHD
所以S□ABCD=4S△ABO=4×（a+2a）=12a
阴影面积：S△BEG+ S△AGH+ S△DFH=a+2.5a+0.5a=4a
空白面积：12a-4a=8a
所以阴影面积与空白面积的比4a︰8a=1︰2

另解：设S△BEG=a，则S△ECG=S△GCO=S△AGO=a, S△ABG=2a;
设S△HFD=b,则S△HFC=2b,
设S△HCO=x,则S△AHO=S△HCO=x
==

专家点评： 连接CG，CA，CH，构造模型五，应用燕尾定理，分别求出三个阴影三角形面积，再求出平行四边形ABCD的面积，用四边形面积减去三个阴影三角形面积即为空白面积。亦可得到阴影面积与空白部分的面积之比。
注意：本题考点：燕尾定理的应用。
拓展训练：
1、（宁波小学数学竞赛1999），如图所示，已知三角形中，，，，连结、BZ和，三条线段分别交于，，。若（面积是1平方米，那么阴影的面积是多少平方米？

初级提示： 连接AM2，BM3，CM1。
深度点拨： 设、的面积分别为，，，
分别解出，，
全解过程： 连结，，。
设、、的面积分别为，，，
得

所以有
同理有


AEB=+=+4=
=+=3+3=

∴阴影部分面积为



2、如图，四边形的面积是66平方米，，
，，，求四边形的面积。







初级提示：连接DB、AC，构造模型一。
深度点拨：找出四边形ABCD与四边形EFGH的面积关系。
全解过程： 连接。设
∵，
∴，
又∵，
∴，
同理，
∴
连接AC，同理
∴，
（平方米）。


3、如图，在梯形ABCD中，AD︰BE=4︰3，BE︰EC=2︰3，且△BOE
的面积比△AOD的面积小10平方厘米。梯形ABCD的面积是 平方
厘米。

初级提示：应用模型一求出三角形ABD的面积
深度点拨：求出三角形BCD的面积
全解过程： AD︰BE︰EC=8︰6︰9，

-=-=10，
=10，=40。




4、如图，在一个边长为6正方形中，放入一个边长为2的正方形，
保持与原长正形的边平行，现在分别连接大正方形的一个顶点与小正方形
的两个顶点，形成了图中的阴影图形，那么阴影部分的面积为 。


初级提示：将小正方形的四个顶点分别与大正方形的四个顶点连接
深度点拨：应用梯形蝴蝶定理求出空白部分面积
全解过程：
解法一：设任意一个梯形（如图），上底为a，下底为b，则阴影
部分的面积可以表示为
S1、S2、S3的和，而S3︰S4=S1︰S2=（S1+S3）︰（S2+S4）=a︰b，同理
S1︰S3=S2︰S4=a︰b，所以：S1︰S2︰S3︰S4=a2︰ab︰ab︰b2，所以阴影
部分的面积等于。
连接两个正方形的对应顶点，则可以得到四个梯形，运用这条结论，
每个梯形中阴影部分的面积都占到了，所以阴影
部分面积是两个正方形之间的面积的，阴影部分的面积为
，

解法二：取特殊值，使得两个正方形中心相重合，由上右图可知，
A、B、C、D均为相邻两格点的中点，则图中四个空白处的三角形的高为
1.5，因此空白处的总面积为
，阴影部分的面积是。

5、如图所示，三角形BDF、三角形CEF、三角形BCF的面积分别是2、3、4，问四边形ADFE的面积是多少？


初级提示：连接AF，构造模型一

深度点拨：应用三角形面积之比等于底边之比求出三角形AFD和三角形AFE的面积
全解过程：设S△AFD=a，S△AFE=b
2a=3+b
4b=3（2+a）
a= b=
S四边形ADFE=a+b=

6、如图，在△ABC中，延长BD=AB，CE=BC，
F是AC的中点，若△ABC的面积是2，则△DEF的面积是多少？

初级提示：连接CD，构造模型一
深度点拨：S△DCF=S△DCA=2
S△FCE=S△BCF=
S△DEC=S△DCB=1

全解过程：
解法一：S△DCF=S△DCA=2
S△FCE=S△BCF=
S△DEC=S△DCB=1
S△DEF=S△DCF+S△FCE+S△DEC=
解法二：本题还可以用共角定理“当两个三角形有一个角相等或互补时，
这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”。
∵在△ABC和△CFE中，∠ACB与∠FCE互补，
∴
又；
∴
同理可得：
∴


7.如图，长方形ABCD中，E为AD中点，AF与BE、
BD分别交于G、H，已知AH=5cm，HF=3cm，求AG。

初级提示：三角形AHB和三角形DHF相似
深度点拨：作OE垂直AD，交AF于O
全解过程：根据三角形相似的性质
AB︰DF=AH︰HF=5︰3
又因为E为AD中点
OE︰DF=1︰2
所以AB︰OE=10︰3
AG︰GO=10︰3


所以AG=AO=




8.在边长为1的正方形ABCD中，BE=2EC，DF=2FC；
求四边形ABGD的面积。


初级提示：连接EF、BD

深度点拨：应用梯形蝴蝶定理
全解过程：等腰梯形四部分面积比为1︰3︰3︰9
所以等腰梯形的面积=

所以

得
9、如图，正方形ABCD面积为1，M是AD边上的中点，求图中阴影部分的面积。

初级提示： 构造梯形蝴蝶定理。
深度点拨：S△AMG： S△AGB： S△MCG： S△GCB=1︰2︰2︰4
全解过程：

∵梯形AMCB中各个三角形面积比 1︰2︰2︰4
∴阴影面积占梯形面积（2+2）/（1+2+2+4）=

∴
本题还可有其他解法（如下）
解法二：连结、，设与交于，。
∵

∴
又∵
∴==x
∴
∴
得，又，所以，。
∴。

解法三：做
则，，，
连接
∵
∴
又∵
∴
∴

解法四：∵与等底等高
∴
∴
作，
设


∴


解法五： ∵

∴
∴
∵

∴==
∴+=+=

10：（07年仁华学校试题）已知四边形ABCD，CHFG为正方形，S甲︰S乙=1︰8，a与b是两个正方形的边长，求a︰b=？


初级提示：连接EO，AF，应用燕尾定理。
深度点拨：做OM⊥AE，ON⊥EF，
全解过程：
如图，根据燕尾定理：
S△AOF︰ S△AOE=b︰a （1），
S△AOF︰ S△FO
E=a︰b （2）
所以 S△AOE ︰ S△FOE=a2︰b2
作OM⊥AE，ON⊥EF，
∵AE=EF，
∴OM︰ON= a2︰b2
∴S△AOD︰ S△HOF=a3︰b3=1︰8
∴a︰b=1︰2

第8讲 几何（二） 曲线图形
一、 知识地图


二、 基础知识
小学数学当中，我们学习了一些简单的几何图形，充分掌握这些图形的性质特点及周长和面积的计算方法是我们解决奥数平面几何问题的重要前提。

﹙1﹚组合图形的面积
在求解组合图形的面积时，中心思想只有一个：把不规则的变为规则的，把不可求的变为可以求的，把不熟悉的变为我们熟悉的。在小学奥数的几何问题中，这个思想不单单可以在求组合图形面积的时候应用，求解立体图形的表面积和体积问题时候一样也是解决问题的法宝，甚至可以说是全部小学奥数几何问题的思想精髓。
在求解组合图形的面积时，我们通常可以通过以下思考方法把图形转化我们所熟知的图形。
1、 加减法
把要求的图形转化为几个规则图形相加或者相减的形式，这种解决图形补问题的方法，称为加减法。
2、 割补法
把要求的图形通过切割再拼补成规则图形，这种方法称为割补法。
3、 旋转平移法。
图形的一部分通过旋转或者平移，正好可以和图形的其他部分拼成规则图形，这种方法称为旋转平移法。
4、 重叠法
要求的组合图形可以看作是几个规则图形的重叠部分，可以应用容斥原理求得图形的面积，这种方法称为重叠法。
5、 比例法
把要求的图形分成几个部分，通过寻找各个部分之间的比例关系求解的方法称为比例法。
﹙2﹚图形旋转的问题
在这里，我们主要研究的是平面图形在平面旋转所产生的问题。一般情况下，我们所能遇到的有以下两种问题：
1、求图形一边扫过的面积
在遇到这类问题时，我们只要先找到要求的是哪条边扫过的面积，再看这条边是以哪个点为圆心运动，首先你让这条边以这个点为圆心按照题目的要求转动，旋转停止后，这条边旋转所得的面积就是你要求的图形一边扫过的面积。
2、求图形扫过的面积
在求图形一边扫过的面积的基础之上，要注意，图形中最长处旋转时所成图形，我们在旋转的图形一边停止旋转时，在相应的位置补上图形的其他部分就可以很容易的找到整个图形扫过的部分。
﹙3﹚几个特殊问题
1、活动范围的问题
让我们先来看看下面几个问题：
A、假设茫茫的草原上有一个木桩，桩子上用一根30米的绳子栓着一只羊，问羊能吃到的草的面积是多大？
B、草场的主人因为业务发展，准备建羊圈，但是因为资金短缺，所以只先建了一道墙，于是把羊还是用30米的绳子栓在了墙角边，问羊这个时候能吃到草的面积是多大？
C、羊圈建成了，羊在平时被栓在羊圈的西北角，羊圈长20米，宽10米，问羊这个时候能吃到的草的面积是多大？
你注意到了吗？栓着羊的绳子在碰到墙拐角的地方运动的圆心在变化，羊所能吃到草的范围活动的半径也在跟着变化。
那么，我们说看变化，找规律，是解决羊吃草一类问题重要思想。另外，数学源自生活，通过想象生活中的情景，比照数学题，寻找变化的规律也是一种不错的方法。
2、滚硬币的问题
请你一起动手来做一做：把两个一角钱的硬币挨放在一起，固定其中一个，把另一个延着其周围滚动。当滚动回到硬币原来的位置时，想一想滚动的那个硬币它自己自转了多少周？
注意观察，滚动的硬币绕着不动的硬币走一周的距离实际上是以两个硬币的半径为半径的一个圆周长，而硬币自转的周长是以自身为半径，前者是后者的几倍，即是硬币自转了几周。
这也是一切硬币滚动类问题的特点。常见的还有齿轮，滑轮等。
经典回顾
【例1】（☆☆☆）图是由正方形和半圆形组成的图形。其中P点为半圆周的中点，Q点为正方形一边的中点。已知正方形的边长为10，那么阴影部分面积是多少？（π取3.14。）
审题要点：整个图形由正方形和半圆组成。P为中点，则PD=PC，要 求阴影部分的面积，可以考虑我们前面讲的几种方法。

解法一：阴影面积=整个面积-空白面积=（正方形ABCD+半圆）—（三角形+梯形）
=（10×10+π×5×5÷2）-[15×5÷2+（5+15）×5÷2]
=51.75

专家点评：阴影面积的“加减法”。因为阴影部分面积不是正规图形，所以通过整个面积减去空白部分面积来求解。过P点向AB作垂线，这样空白部分面积分成上面的三角形和下面的梯形。

解法二： S1=小正方形-圆=5×5-×π×5×5
上面阴影面积=三角形APE-S1=15×5÷2-5×5+×π×5×5
下面阴影面积=三角形QPF-S2=10×5÷2-（5×5-×π×5×5）
所以阴影面积=（15×5÷2-5×5+×π×5×5）+（10×5÷2-5×5+×π×5×5）=51.75

专家点评：面积的“加减法”和“切割法”综合运用，思路出现正方形，出现弧线时，注意两个考点：1.半叶形 2、圆，所以我们可以先把面积补上再减去补上的面积。

解法三： 半叶形S1=圆-小正方形=×π×5×5-×5×5
上面阴影面积=三角形ADP+S1=10×5÷2+×π×5×5-×5×5
下面阴影面积=三角形QPC+S2=5×5÷2+×π×5×5-×5×5
阴影面积=（10×5÷2+×π×5×5-×5×5）+（5×5÷2+×π×5×5-×5×5）=51.75

专家点评：面积的“切割法”出现正方形，出现弧线时，注意两个考点：1.半叶形 2. 圆，这样可以考虑把阴影面积切成几个我们会算的规则图形。这道题是迎春杯真题。

【例2】（☆☆☆）如图，ABCG是4×7的长方形，DEFG是2×10的长方形，那么，三角形BCM的面积与三角形DCM的面积之差是多少？
审题要点：要求两个三角形的面积之差，题目没有给出可以直接求出两个三角形面积的条件，那么我们只能考虑应用差不变原理。



解法一： GC=7，GD=10推出HE=3；BC=4，DE=2
阴影BCM面积-阴影MDE面积=（BCM面积+空白面积）-（MDE面积+空白面积）=三角形BHE面积-长方形CDEH面积=3×6÷2-3×2=3。
专家点评：加减思想的应用，小升初中的常用方法，而找出公共部分是本题的解题关键。公共部分要与两个三角形都可以构成规则可求的图形才可以。

解法二：GC=7，GD=10 知道CD=3；
BC=4，DE=2 知道BC︰DE=CM︰DM
所以CM=2，MD=1。
阴影面积差为：4×2÷2-1×2÷2=3
专家点评：画阴影的两个三角形都是直角三角形，而BC和DE均为已知的，所以关键问题在于求CM和DM。这两条线段之和CD的长是易求的，所以只要知道它们的长度比就可以了，这恰好可以利用平行线BC与DE截成的比例线段求得。另外本题还可以构造如下解法，如图：

解法三：连接BD


【例3】（☆☆☆）求右图中阴影部分的面积。（取3）
审题要点：△ABC可以看出为等腰直角三角形。
解法一：我们只用将两个半径为10厘米的四分之一圆减去空白的①、②部分面积和即可，其中①、②面积相等。易知①、②部分均是等腰直角三角形，但是①部分的直角边AB的长度未知。单独求①部分面积不易，于是我们将①、②部分平移至一起，如下右图所示，则①、②部分变为一个以AC为直角边的等腰直角三角形，而AC为四分之一圆的半径，所以有AC=10。两个四分之一圆的面积和为150，而①、②部分的面积和为1/2×10×10=50，所以阴影部分的面积为150-50=100（平方厘米）。
解法二：欲求图（1）中阴影部分的面积，可将左半图形绕B
点逆时针方向旋转180°，使A与C重合，从而构成如右图
（2）的样子，此时阴影部分的面积可以看成半圆面积减去中间等腰直角三角形的面积。
专家点评：本题考点 旋转平移法。图形通过旋转，得到阴影部分的面积=半圆的面积-等腰直角三角形的面积。
【例4】（☆☆☆）如图，已知三角形GHI是边长为26厘米的正三角形，圆O的半径为15厘米，∠AOB=∠COD=∠EOF=90°。求阴影部分的面积。
审题要点：题中每一条阴影部分面积可以看做是两个大小弓形的面积之差。
解法： 设J为弧GI的中点，则可知GJIO是菱形，GOJ是正三角形，
所以，三角形GOI的面积=
所以大弓形的面积： SGJI

小弓形的面积：SFJE

所以，总阴影面积=（138-64.125）×3=221.625（平方厘米）

专家点评： 本题难度在于判断四边形GJIO为菱形，圆中等长的弧所对的弦也是相等的，所以三角形GOJ为正三角形，其实三个阴影部分选择哪一个作为解题的模型都可以。基本上还是加减思想的应用。
总阴影面积=每块阴影面积×3=（大弓形－小弓形）×3
关键在于大弓形中三角形的面积。
总结：本题考点 加减法。
【例5】（☆☆☆）如图，ABCD是一个长为4，宽为3。对角线长为5的正方形，它绕C点按顺时针方向 旋转90，分别求出四边扫过图形的面积。（取3）
审题要点：要求边扫过的面积，只需分别看一边旋转所得图形。

分析：1、容易发现，DC边和BC边旋转后扫过的图形都是以线段
长度为半径的圆的，如右图：
因此DC边扫过图形的面积为4平方厘米，BC边扫过图形的面积为平方厘米。

2、研究AB边的情况。
在整个AB边上，距离C点最近的点是B点，最远的点是A点，因此整条线
段所扫过部分应该介于这两个点所扫过弧线之间，见右图中阴影部分：

下面来求这部分的面积。
观察图形可以发现，所求阴影部分的面积实际上是：
扇形ACA,面积+三角形ABC面积-三角形ABC面积-扇形BCB,面积+三角形A,B,C,面积＝扇形ACA,面积一扇形BCB,面积
；
3、研究AD边扫过的图形。
由于在整条线段上距离C点最远的点是A，最近的点是D，所以我们可以画出AD边扫过的图形，如下图阴影部分所示：

用与前面同样的方法可以求出面积为：

专家点评：本题是祖冲之杯竞赛的一道试题。
旋转图形的关键，是先从整体把握一下“变化过程”，即它是通过什么样的基本图形经过怎样的加减次序得到的。先不去考虑具体数据，一定要把思路捋清楚。最后你会发现，所有数据要么直接告诉你，要么就“藏”在那儿，一定会有。
我们可以作进一步的思考，比如平行四边形的旋转问题、一般三角形的旋转问题等等，此类问题的解决对提高解决几何图形问题的能力是非常有益的。





【例6】（☆☆☆）求圆中阴影部分与大圆的面积之比和周长之比。

审题要点：阴影部分可以看作一个整体，那么大圆由四个阴影部分组成。
解法：把阴影看作一个特殊图形，而大圆的面积恰好是4个这种特殊图形
所以 阴影面积︰大圆面积=1︰4
设小圆半径为x，则大圆半径为2x
阴影周长=小圆周长+小圆周长+小圆周长+大圆周长
=小圆周长+大圆周长
=×2x+×2×2x
=x
大圆周长=2×2x=4x
所以 周长之比=x︰ 4x=7︰8
专家点评：应用图形比例关系求解图形，也是整体考虑问题思想的典型代表。
【例7】（☆☆☆）如图，半圆半径=40CM，BM=CN=DP=22，每个阴影部分的弧长为半圆弧长的，求阴影部分面积？（=3）


审题要点：图中上半部分的三个阴影图形并非真正的扇形，所以不能用扇形面积公式来解，只能应用加减法，把图形分解。那么每个阴影部分面积等于1/3半圆面积减去一大一小两个相似三角形面积。
解法：∵△ABO为等边三角形
又∵∠AMB=120度
∴∠MAE=30度 ∴∠BAM=30度
∴△BMA为等腰三角形即
根据正三角形性质 得BM=2EM
∴BE=22+11=33（cm）
阴影部分面积=3×（×40×40-×20×33-×20×11）
=3×（800-330-110）
=3×360=1080（平方厘米）

专家点评：应用加减法，把图形化为我门常用的图形来解题是这道题的关键所在。另一个难点是如何求出三角形的高，其实M，N，P分别是它们所在正三角形的中心。中心将其所在线段分为两部分的比为1︰2，知道这一性质，便可应用面积公式求出阴影面积。
【例8】（☆☆☆）如图，哨所门前的两个正三角形哨台拴了两条狼狗，拴狼狗的铁链子长为10米，每个哨台的面积为42.5平方米现在要绿化哨所所在地（哨所面积忽略不计，把其看做一点，在其周围20米范围内铺上草地）为了防止狼狗践踏，则绿化的实际面积为多大合适？（=3）

审题要点：首先确定两条狼狗的活动范围，利用加减法把活动范围为一个菱形+两个半圆，两个半圆即一个整圆。 实际绿化面积=大圆面积-（菱形+小圆面积+2×哨所面积）
解法：可以看出菱形面积为2倍的哨所面积，菱形面积=2×42.5=85
实际绿化面积=×20×20-（85+×10×10+2×42.5）
=1200-（85+300+85）
=1200-470=730（平方米）
专家点评：本题属于活动范围题，注意确定狼狗的活动范围为两个5/6圆减去其重合部分，即一个菱形+一个圆，另外哨台也是未绿化部分，注意以上两点本题就不难求解。
【例9】（☆☆☆☆）如图，15枚相同的硬币排成一个长方形，一个同样大小的硬币沿着外圈滚动一周，回到起始位置。问：这枚硬币自身转动了多少圈？

审题要点：注意硬币滚动时圆心的轨迹。

解法一：当硬币在长方形的一条边之内滚动一次时，由于三个硬币的圆心构成一个等边三角形，所以这枚硬币的圆心相当于沿着半径为硬币2倍的圆旋转了180º-60º-60º=60º。而硬币上的每一点都是半径等于硬币的圆旋转，所以硬币自身旋转了120º。
当硬币从长方形的一条边滚动到另一条边时，这枚硬币的圆心相当于沿着半径为硬币2倍的圆旋转了360º-60º-60º-90º=150º。而硬币上的每一点都是半径等于硬币的圆旋转，所以硬币自身旋转了300º。
长方形的外圈有12个硬币，其中有4个在角上，其余8个在边上，所以这枚硬币滚动一圈有8次是在长方形的一条边之内滚动，4次是从长方形的一条边滚动到另一条边。
120×8+300×4=2160，所以这枚硬币转动了2160º，即自身转动了6圈。

解法二：通过计算圆心轨迹的长度，每走一个2即滚动了一周。

对于同样是12个硬币，所转动的圆心轨迹其实分为两部分，一是在“角”上的转动，一是在“边”上的滚动。
抓住关键方法：圆心轨迹长度÷2=自身转动圈数。
专家点评：此题来源于小学数学ABC。圆运动的轨迹分两种，一种所谓的“跨圆”运动；另一种所谓的“绕圆”运动。掌握“跨圆”运动一次30+60+30=120度；“绕圆”一次180度。角上4次“绕圆”，边上12次“跨圆”，这样结果便一目了然。

拓展训练
1、如图，四边形是平行四边形，，，，高CH=4cm, 、分别以、为半径，弧、分别以、为半径，阴影部分面积是多少平方厘米？

初级提示：

深度点拨： =10×4=40()
全解过程： =-
=(2-)-(-2)



2、下图中，四边形ABCD都是边长为1的正方形，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点；请计算图中两个阴影图形的面积比。









初级提示： 左图阴影可用加减法 即正方形面积减去4个边上的三角形面积。
深度点拨： 右图阴影面积可先看小正方形里的阴影面积为2个小三角形面积之和，而每个小三角形面积恰好是它所在直角三角形面积的三分之二，只要求出直角三角形面积，阴影面积便不难求出了，直角三角形面积为大正方形面积的十六分之一。
全解过程： 左图阴影面积=正方形面积-4个等腰三角形面积
=1×1-4×××1
=1-=
右图阴影面积=8个小三角形面积
=8×（×××）
=8×=
所以 左：右=：=3：2


3、（2004第二届“走进美妙的数学花园”中国青少年数学论坛趣味数学解题技能展示大赛3），如图，在平行四边形中，已知三角形、的面积分别是73、100，求三角形的面积。

初级提示：+=
深度点拨：
全解过程：
4、下图中除大圆外，所有的弧线都是半圆，且，图中有上、下两块阴影区域，如果上面的阴影区域面积为100平方厘米，那么下面的阴影域面积为________平方厘米。


初级提示：分析题意本题用割补法。
深度点拨：阴影面积可分为四部分，分别求之。
全解过程：设AB=1，则AC=3，AD=6，AE=10，DE=4，CE=7，BE=9。
上块阴影面积=（S半圆AE-S半圆AD）+S半圆DE
=（1/2×25-1/2×9）+1/2×4
=8+2=10
下块阴影面积=（S半圆AC-S半圆AB）+（S半圆BE-S半圆CE）
=（1/2×9/4-1/2×1/4）+（1/2×81/4-1/2×49/4）
=+4=5
因为上块阴影面积=100 所以下块阴影面积=50
5． 如图，∠1=15°，圆的周长为62.8厘米，平行四边形的面积为100平方厘米。求阴影部分面积？

初级提示：连接AO，AB，作BC的垂线AD交BC于D
深度点拨：S△ABC=S△ABE
全解过程：
则∠ACO=∠OAC=15°
∴∠ACO=150°, ∠AOB=30°

∴=102×3.14×=
=5

所以 阴影部分面积=50-（-25）=（平方厘米）
6、五环图由内径为4cm，外径为5 cm的5个圆环组成，其中阴影部分的面积都相等。已知5个圆环盖住的总面积是122.5平方厘米。求每个阴影部分的面积。

初级提示：注意重叠部分。
深度点拨：五个圆环总面积-五环面积=阴影面积
全解过程：5×（5×5-4×4）=45=141.3
141.3-122.5=18.8
18.8÷5=2.35

7、（04年华罗庚金杯数学邀请赛）如右图，一个半径为1厘米的小圆盘沿着一个半径为4厘米的大圆盘外侧做无滑动的滚动，当小圆盘的中心围绕大圆盘中心转动90度后，小圆盘运动过程中扫过的面积是多少平方厘米？（取3）







初级提示：小圆盘运动过程中扫过的面积由两部分组成，即两半圆加扇形环。
深度点拨：扇形面积可由半径为4+2、圆心角为90度的大扇形减去半径为4、圆心角为90度的小扇形。
全解过程：第一部分是半径为6厘米、中心角为90度的扇形减去半径为4厘米、中心角为90度的扇形，面积为；第二部分是半径为1厘米的2个半圆，总面积是3。
所以扫过的面积为15+3=18平方厘米。






8、 有一个边长分别为4cm的等边三角形木块。现将三角板沿水平线翻滚，如下图，那么从B点开始到结束所经过的总长度为多少？

初级提示：三角形为等边三角形。
深度点拨：在翻滚过程中，B划过了两条圆弧，每段圆弧的圆心角大小都为120°。
全解过程： （120°+120°） 360°=
2×4×= （cm）
9、 如下图所示，直角三角形ABC的斜边AB长为10厘米，∠ABC=60，此时BC长5厘米。以点B为中心，将△ABC顺时针旋转120，点A，C分别到达点E，D的位置。求AC边扫过的图形即图中阴影部分的面积。（取3）








初级提示：如右下图所示，本图为扇形和三角形的组合图形。
深度提示：将图形I移补到图形II的位置，则阴影部分为一圆环的。
全解过程：面积为 （AB一BC）÷3=（10一5）÷3 =75×3÷3=75（平方厘米）。

10、如图所示，两条线段相互垂直，全长为30厘米。圆紧贴直线从一端滚动到另一端（没有离开也没有滑动）。在圆周上设一个定点P，点P从圆开始滚动时是接触直线的，当圆停止滚动时也接触到直线，而在圆滚动的全部过程中点P是不接触直线的。那么，圆的半径是多少厘米？（设圆周率为3.14，除不尽时，请四舍五入保留小数点后两位。如有多种答案请全部写出）



初级提示：两线段垂点附近，圆不能到达（隐含的在题中的已知条件），即有四分之一的圆未接触线段，圆滚动的实际距离只有圆周长的四分之三或四分之七，利用圆周长公式算出半径。

深度点拨：因为在圆滚动的全部过程中点P是不接触直线的。所以这个圆的运动情况有两种可能。

全解过程： 一种是圆滚动了不足一圈，根据P点的初始位置和终止位置，可知圆滚动了270º。另一种是圆在第一条直线上滚动了将近一圈，在第二条直线上又滚动了将近一圈，根据P点的初始位置和终止位置，可知圆滚动了270º+360º=630º。
因为两条线段共长30厘米，所以270º的弧长或者630º的弧长是30厘米。
30÷÷3.14÷2=6.37（厘米），30÷÷3.14÷2=2.73（厘米），所以圆的半径是6.37厘米或2.73厘米。
两线段垂点附近，圆不能到达，即有四分之一的圆未接触线段，圆滚动的实际距离只有圆周长的四分之三或四分之七，利用圆周长公式算出半径。



第9讲 几何（三） 立体图形
一、 知识地图

二、 基础知识
万丈高楼平地起。我们可以这样说：把平面图形从平面拎到空间，让平面图形在空间上产生高度就形成了这一讲我们要研究的立体图形。在现阶段，我们主要研究的立体图形有以下几种：



立体图形
表面积
体积














注：是母线，即从顶点到底面圆上的线段长。









特别的：关于球体还有这样一个结论：
如果一个球体的直径与一个圆柱的直径与高都相等，那么：
球体的体积等于以球大圆为底球的直径为高的圆柱体积的三分之二；
球体的表面积等于以球大圆为底球的直径为高的圆柱的侧面积；
球体的体积还等于以球大圆为底，球的半径为高的圆锥的体积的4倍。
这个图就是有名的阿基米德圆柱容球。
二、求立体图形的表面积和体积
规则立体图形的表面积和体积我们可以直接应用公式进行计算。
不规则的立体图形的表面积和体积，一方面，我们可以应用和平面图形相同思考的方法来考虑把它转化为规则的立体图形进行计算；而另一方面，我们更注重的是观察图形从规则变为不规则的变化过程，通常这个过程我们需要以图形整体考虑为出发点。
这也就是我们求解此类问题常用方法的思想基础：、
方法一：阳光照面
阳光照面法从图形整体考虑出发，观察图形表面积特点。
方法二：与时俱进
图形的变化，是从整体的变到不变的过程，找到变化的规律，注意图形的变化过程，观察求解，与时俱进，就是解决问题的秘籍宝典。
方法三：面包切片
我们都有这样的经验：一个大的桃李早餐面包，从上向下切一刀，横截面是一个正方形。如果是奶黄夹心面包，则横截面是一个环正方形。同样道理，解题过程中你可以想象，把图形切开，横截面的特点可以帮助我们了解图形内部结构，达到解题的目的。
方法四：借来还去
这里的借来还去可以说是平面几何加减思想的一种变形。可以这样解释，把一部分借来与原来的组成一个规则可以求得图形，再把借来的部分从规则中拿去。借来还去的思想在解决求解不规则立体图形的表面积和体积的问题中经常可以用到。
例如：
三、最短路线和展开图的形状
立体图形的展开图形状总结如下：
对于不规则的立体图形的展开图就要充分发挥我们的想象，用“脱衣服”方法，层层剥离展开。在解决这类问题的时候，要注意培养自己的空间想象能力，必要时可以借用纸片等辅助工具帮助想想理解。
例如：




和立体图形的展开图结合最为紧密的是图形侧面的最短路线问题。你需要把握的重要一点是：两点之间永远直线线段最短。

四、染色问题
﹙1﹚奥数的经典问题，重要的是掌握几个关于染色问题的数据，其余的问题需要具体问题具体分析，把握好什么地方染到了颜色，什么地方没有染到颜色是解决此类问题的关键。
对于由n3块小正方体构成的n×n×n正方体，三面涂有红色的有8块，两面涂有红色的有12×（n－2）块，一面涂有红色的有6×（n－2）2块，没有涂色的有（n-2）3块。
例如： 右图是4×5×6正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、二面、三面被涂成红色的小正方体各有多少块？
分析：三面涂红色的只有8个顶点处的8个立方体；
两面涂红色的在棱长处，共（4-2）×4+（5-2）×4+（6-2）×4=36块；
一面涂红的表面中间部分：
（4-2）×（5-2）×2+（4-2）×（6-2）×2+（5-2）×（6-2）×2=52块。
没涂红色的小方块有：（4-2）×（5-2）×（6-2）=24块。
三面——顶点
二面——棱
一面——面
0面——芯
一句话：“角三 棱二 面唯一。”
﹙2﹚欧拉公式
严格的说，欧拉公式和我们这里所讲的染色问题关系不是很密切。但这个公式却是和多面体密切相关的完美公式。
首先请同学们观察下面的几个图形的顶点数，面数和棱数之间的关系：

顶点V
面F
棱E
V-E+F=2
正四面体
4
4
6
2
正六面体
8
6
12
2
正八面体
6
8
12
2
正十二面体
20
12
30
2
正二十面体
12
20
30
2
通过观察，我们发现了多面体的顶点数，面数，棱数之间存在着如下的关系：
V+F-E=2
那么这个公式也就给我们提供了一种解决染色或者多面体问题的思考方法——分类思考
由欧拉公式，我们可以很自然的想到，在解决如上问题的时候，我们思考问题可以从立体图形的顶点数，面数和棱数的角度出发，分类思考。

经典透析：
【例1】（☆☆☆）一个由125个同样的小正方体组成的大正方体，从这个大正方体中抽出若干个小正方体，把大正方体中相对的两面打通，下图就是抽空的状态。右图中剩下的小正方体有多少个？









解法一：（用“容斥原理”来解）由正面图形抽出的小正方体有5×5=25个，由侧面图形抽出的小正方体有5×5=25个，由底面图形抽出的小正方体有4×5=20个，正面图形和侧面图形重合抽出的小正方体有1×2+2×1+2×2=8个，正面图形和底面图形重合抽出的小正方体有1×3+2×2=7个，底面图形和侧面图形重合抽出的小正方体有1×2+1×1+2×2=7个，三个面的图形共同重合抽出的小正方体有4个。根据容斥原理，25+25+20-8-7-7+4=52，所以共抽出了52个小正方体。
125-52=73，所以上图中剩下的小正方体有73个。
注意这里的三者共同抽出的小正方体是4个，必须知道是哪4块，这是最让人头疼的事。
但你可以先构造空的两个方向上共同部分的模型，再由第三个方向来穿过“花墙”。
这里，化虚为实的思想方法很重要。
解法二：（用“切片法”来解）
可以从上到下切五层，得：
（1） 从上到下五层，如图：

（2） 或者从右到左五片，如图：

请注意这里的挖空的技巧是：先认一种方向。
比如：从上到下的每一层，首先都应该有第一层的空四块的情况，即——
如果挖第二层：第（1）步，把中间这些位置的四块挖走如图：

第（2）步，把从右向左的两块成线地挖走。（请注意挖通的效果就是成线挖去），如图：

第（3）步，把从前向后的一块（请注意跟第二层有关的只是一块！）挖成线！如图：

总结一下“切片法”：全面打洞（例如本题，五层一样）
挖块成线（例如本题，在前一次的基层上，一条线一条线地挖）。
这里体现的思想方法是：化整为零，有序思考！

【例2】（☆☆☆）如图，在一个正方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞，在上下底面的中心打通一个圆柱形的洞。已知正方体边长为10厘米，侧面上的洞口是边长为4厘米的正方形，上下侧面的洞口是直径为4厘米的圆，求此立体图形的表面积和体积。
审题要点：大正方形减去右边图形就是我们要求的体积。







解法：外侧表面积为：6×10×10-4×4×4-×22×2=536-8。
内侧表面积为：16×4×3+2×（4×4-×22）+2×2×2×3=192+32-8+24=224+16。
总表面积=224+16+536-8=760+8=785.12（平方厘米）。
计算体积时将挖空部分的立体图形取出，如图，只要求出这个几何体的体积即可。
挖出的几何体体积为：4×4×4×3+4×4×4+2××22×3=192+64+24=256+24。
所求几何体体积为：10×10×10- （256+24）=668.64（立方厘米）。
专家点评：打通部分可看为两个小圆柱，两个小长方形和一个大长方形共五部分组成，这样计算体积非常容易，但在计算表面积时要考虑公共面。 这道题是人大附中分班考试题目。
总结：本题考点 不规则图形的表面积及体积。

【例3】（☆☆☆）一个酒瓶里面深30cm，底面内直径是10cm，瓶里酒深15cm。把酒瓶塞紧后使其瓶口向下倒立这时酒深25cm。酒瓶的容积是多少？


审题要点：观察前后，酒瓶中酒的总量没变，即瓶中液体体积不变。
解法： 酒的体积：15π× （10/2） ×（10/2）=375π
瓶中剩余空间的体积（30-25） π×（10/2）×（10/2）=125π
酒瓶容积：375π+125π=500π=1500（ml）
专家点评：当酒瓶倒过来时 酒深25cm，因为酒瓶深30cm，这样所剩空间为高5cm的圆柱，再加上原来15cm高的酒即为酒瓶的容积。

注意：本题考点立体图形的等积变形。




【例4】（☆☆☆☆）如图，ABCD是矩形，BC=6cm，AB=10cm，对角线AC，BD相交0.图中的阴影部分以CD为轴旋转一周，则阴影部分扫出的立体的体积是多少立方厘米？
审题要点：以CD为轴确定阴影部分旋转后的形状。


解法：设三角形BCO以CD为轴旋转一周所得到的立体的体积是V，V等于高为10厘米，底面半径是6厘米的圆锥的体积减去2个高为5厘米，底面半径是3厘米的圆锥的体积。
即：（立方厘米），
专家点评：这个立体图形可看为两个圆锥削掉上半部然后叠加，但还要减去两个小圆锥，才是阴影部分扫出的立体图形的真实体积。 可以考虑多种方法，比如应用容斥原理或者加减的思想都是不错的选择。。
总结：本题考点 平面图形旋转为立体图形的体积问题。

【例5】（☆☆☆）左下图是一个正方体，四边形APQC表示用平面截正方体的截面。请在右下方的展开图中画出四边形APQC的四条边。
审题要点：把空间图形表面的线条画在平面展开图上，只要抓住四边形APQC四个顶点所在的位置这个关键，再进一步确定四边形的四条边所在的平面就可容易地画出。






解法：（1）考虑到展开图上有六个顶点没有标出，可想象将展开图折成立体形，并在顶点上标出对应的符号，见左下图。






　　（2）根据四边形所在立体图形上的位置，确定其顶点所在的点和棱，以及四条边所在的平面：
　　顶点：A—A，C—C，P在EF边上，Q在GF边上。边AC在ABCD面上，AP在ABFE面上，QC在BCGF面上，PQ在EFGH面上。
（3）将上面确定的位置标在展开图上，并在对应平面上连线。需要注意的是，立体图上的A，C点在展开图上有三个，B，D点在展开图上有二个，所以在标点连线时必须注意连线所在的平面。连好线的图形如右上图
专家点评：对照立体图形展开图上，线的位置，取点确定。
总结：本题考点展开图的形状。


【例6】（☆☆☆☆）一个3×3×3的正方体。用红、黄、蓝三种颜色去染这些小正方形，要求有公共边的正方形染不同的颜色，那么，用红色染的正方形最多有多少个？
审题要点：涂色与图形结合，首先确定染色范围。
解法：一个面最多有5个方格可染成红色（见左下图）。因为染有5个红色方格的面不能相邻，可以相对，所以至多有两个面可以染成5个红色方格。

其余四个面中，每个面的四个角上的方格不能再染成红色，至多能染4个红色方格（见上中图）。因为染有4个红色方格的面也不能相邻，可以相对，所以至多有两个面可以染成4个红色方格。最后剩下两个相对的面，每个面最多可以染2个红色方格（见右上图）。所以，红色方格最多有5×2+4×2+2×2=22（个）。
专家点评：注意，单面最多只能为五个，与其对称的面也可为五个，与其相邻的面最多为四个，相邻面的对称面也为四个，剩下的两个对称面每面最多为2个，总计22个。


【例7】（☆☆☆☆）将一个棱长为整数的（单位：分米）的长方体6个面都涂上红色，然后把它全部切成棱长为1分米的小正方体。在这些小正方体中，6个面都没有涂红色的有12块，仅有两个面涂红色的有28块，仅有一面涂红色的有____块。原来长方体的体积是____立方分米。
审题要点：芯是本题的关键 从芯入手。
解法： 12被3个整数整拆只有4种情况
1×1×12 1×2×6 1×3×4 2×2×3
两面涂红的有28块， 因为正方体长，宽，高都有4条，所以长宽高之和为
284=7 符合条件的 只有2+2+3=7 所以芯为2×2×3的长方体
一面涂红的为 （2×2+2×3+2×3） ×2=32（个）
原体积 （2+2） ×（3+2） ×（2+2）=80（立方分米）
专家点评：无色必为芯，根据已知12个芯，确定芯的大小，应用“角三，棱二，面唯一”计算出三面、二面、一面的数量。原体积为芯的长宽高各加2再相乘。 这道题是第八届小学生数学报数学竞赛决赛的题。
注意：染不到颜色的地方只能在里面哦！

【例8】（☆☆☆）如下图，用若干块单位正方体积木堆成一个立体，小明正确地画出了这个立体的正视图、俯视图和侧视图，问：所堆的立体的体积至少是多少？
审题要点：整体观察 发挥想象。



解法：本题还原的技巧在于反用“切片法”，根据俯视图，最底层必有这么十一个，这是不能再少的。
第二步，不妨先根据正视图，再在一侧加上7块，
第三步，再根据侧视图，说明另一侧至少要加上一块，
最后，注意“最少”，把“躲”在后面的去掉，即成如图所示。



当然，这里的形状不唯一。

专家点评：以俯视图为标准，三行当中，中间行至少有2块，上行至少6块，下行至少10块,此时才能满足正视图和侧视图。
注意：本题考点 切片法。
【例9】（☆☆☆）现有一个棱长为1cm的正方体，一个长宽各为1cm，高为2cm的长方体，三个长宽各为1cm，高为3cm的长方体。下列图形是把这五个图形合并成某一立体图形时，从上面、前面、侧面所看到的图形。试利用下面三个图形把合并成的立体图形（如例）的样子画出来，并求出其表面积。

审题要点：用阳光照面的方法展开图形。
　　


解法：立体图形的形状如下图所示。（此题十分经典）
　　从上面和下面看到的形状面积都为9cm2，共18cm2；
　　从两个侧面看到的形状面积都为7cm2，共14cm2；
　　从前面和后面看到的形状面积都为6cm2，共12cm2；
　　隐藏着的面积有2cm2。
一共有18＋16＋12＋2＝48（cm2）。
专家点评：画法可先横后竖。表面积可根据上、下、左、右、前、后分别求，最后再作和。
注意：本题考点是不规则立体图型表面积和空间想象力。

真题实战
1、（2004，第二届走进美妙的数学花园”中国青少年数学论坛趣味数学解题技能展示大赛）将NNN（N是正整数）正方体的一些面涂上颜色以后，再将它切割成111的小正方体。已知至少有一面涂色的小正方体恰好占总数的52%，N是多少？
初级提示：一个正整数×52%=另一个正整数， 那么这个正整数必须能被25整除。
深度点拨：那么N必须能被5整除。
全解过程：当N取最小 N=5 正方体有5×5×5=125个小正方体
涂色的小正方体5×5×5×52%=65（个）
不可能被涂色的小正方体 3×3×3=27（个） 27+65小于125 成立
当N=2×5=10时 ， 正方体有10×10×10=1000个小正方体
涂色的小正方体10×10×10×52%=520（个）
不可能被涂色的小正方体 8×8×8=512（个） 512+520大于1000 不成立
同理N大于10都不成立
所以 N=5

2、小红的生日舞会，做了一顶圆锥形帽子，要将帽子涂成红色和蓝色，O点为顶点，BC为底面圆直径30cm，A点是OB的下三分之一处，OB=30cm，从A点出发，CA之间最短的距离之上涂成红色，下边涂成蓝色。那么小红的帽子有多大地方涂的是蓝色？（=3）


初级提示：底面周长为圆锥展开后 扇形的弧长
深度点拨：蓝色面积=圆锥侧面积-红色面积
全解过程： 底面周长=30×=30×3=90
侧面展开后扇形所在圆的周长=2××30=180
所以侧面展开图为半圆
蓝色面积=×30×30×-×（20+20） ×30
=1350-600=750（平方厘米）

3、一个正方形纸盒中恰好能放入一个体积为628立方厘米的圆柱，纸盒的容积有多大？（=3.14）
初级提示：设纸盒棱长为
深度点拨：圆柱体积=
全解过程：整理上边式子得 即为纸盒容积。


4、图中的立体图形是由14个棱长为5cm的立方体组成的，求这个立体图形的表面积？

初级提示：用透视法观察 上、下两个面的面积相等
深度点拨：4个侧面的每个侧面面积为6个小正方形面积
全解过程： 底面棱长5×3=15 上、下两个面的面积=15×15×2=450
4个侧面面积=4×6×5×5=600
总面积=450+600=1050（平方厘米）

5、圆柱形的售报亭的高和底面直径相等（如图），开一个边长等于底面半径的正方形售报窗口。问窗口处挖去的圆柱部分的面积占圆柱形侧面积的几分之几？

初级提示：窗口上下的弧长为底面圆周长的六分之一
深度点拨：窗口的高为圆柱的高的二分之一
全解过程： 挖去的圆柱部分的面积占圆柱形侧面积的×=

6、（北京市第十二届迎春杯）一个正方体木块，棱长是15。从它的八个顶点处各截去棱长分别是1、2、3、4、5、6、7、8的小正方体。这个木块剩下部分的表面积最少是多少？

初级提示：截去一个小正方体，表面积不变。

深度点拨：只有在截去的小正方体的面相重合时，表面积才会减少。

全解过程：所以要使木块剩下部分的表面积尽可能小，应该在同一条棱的两端各截去棱长7与8的小正方体（如图所示），这时剩下部分的表面积比原正方体的表面积减少最多。
剩下部分的表面积最小是： 15×15×6-7×7×2=1252。想想为什么不是15×15×6-7×7-8×8 ？

7、如下图，一个正方体形状的木块，棱长1米，沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4长条，每条又锯成5小块，共得到大大小小的长方体60块。那么，这60块长方体表面积的和是多少平方米？

初级提示：我们知道每切一刀，多出的表面积恰好是原正方体的2个面的面积。
深度点拨：现在一共切了（3-1）+（4-1）+（5-1）=9刀，而原正方体一个面的面积1×1=1（平方米），所以表面积增加了9×2×1=18（平方米）。原来正方体的表面积为6×1=6（平方米）。
全解过程：所以现在的这些小长方体的表积之和为6+18=24（平方米）。

8、下图是一个棱长为2厘米的正方体，在正方体上表面的正中，向下挖一个棱长为1厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中向下挖一个棱长为1/2厘米的正方形小洞，第三个正方形小洞的挖法和前两个相同，棱长为1/4厘米，那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？

初级提示：俯视图发现上表面积就是大正方体的一个面的面积
深度点拨：表面积为大正方体表面积加上3个小正方体的侧面积
全解过程： 2×2×6+1×1×4+××4+××4
= 24+4+1+
=29.25（平方厘米）

9、（2006年香港数学奥林匹克竞赛）如下图给出了一个立体图形的正视图、左视图和俯视图，图中单位为厘米。
立体图形的体积（　　　　）立方厘米。
(A) 2 （B）2.5 （C）3 （D）3.5







初级提示：首先确定此图形为“不完整的圆柱”，先求出圆柱体积，再求出缺失的半个小圆柱，最后作差。
深度点拨：如图，从给定的正视图、左视图和俯视图可以看出，该立体图形由一个半径为1厘米、高为1厘米的圆柱和一个半径为1厘米、高为2厘米的半圆柱组成。。
全解过程：×1×1×（1+2）-×1×1×2=2
这里的要点在于还原，还原的技巧在于先补全，再细雕刻

10、把一个棱长为2CM正方体在同一平面的边的中点用线段连接起来，如图。然后把正方体顶点上的三角锥锯掉，请问最后所得的立体图形的表面积的多少平方厘米？（1.732×1.732=3）



初级提示： 所得立体图形表面为6个正方形和8个等边三角形

深度点拨：勾股定理 等边三角形的高的平方=底边的平方-半个底边的平方=底边的平方

全解过程：6个正方形面积=6×（1×1+1×1）=6×2=12
等边三角形的高的平方=×2=
等边三角形的高的平方×底边的平方=×2=3
所以等边三角形的高×底边=1.732， 等边三角形的面积=1/2×1.732=0.866
立体图形的表面积=12+8×0.866=18.928


第10讲 典型应用题（一）和差倍、年龄、植树问题
一、 知识地图

典型应用题

二、 基础知识
（一） 和差问题：已知两个数的和及两个数的差，求这两个数。
方法①：（和－差）÷2＝较小数，和-较小数=较大数
方法②：（和＋差）÷2＝较大数，和-较大数=较小数

例如：两个数的和是15，差是5，求这两个数。
方法：（15-5）÷2＝5，（15+5）÷2＝10。


（二） 和倍问题：已知两个数的和及这两个数的倍数关系，求这两个数。
方法：和÷（倍数＋1）＝1倍数（较小数）
1倍数（较小数）×倍数＝几倍数（较大数）
或 和－1倍数（较小数）＝几倍数（较大数）

例如：两个数的和为50，大数是小数的4倍，求这两个数。
方法：50÷（4＋1）＝10 10×4＝40



（三）差倍问题：已知两个数的差及两个数的倍数关系，求这两个数。
方法：差÷（倍数－1）＝1倍数（较小数）
1倍数（较小数）×倍数＝几倍数（较大数）
或 和－1倍数（较小数）＝几倍数（较大数）

例如：两个数的差为80，大数是小数的5倍，求这两个数。
方法：80÷（5－1）＝20 20×5＝100


（四）年龄问题
关键①：年龄差不变

例如：今年爸爸比儿子大30岁，明年爸爸比儿子大几岁？
答：还是30岁，爸爸长1岁，儿子也长1岁。
明年父子年龄差＝明年爸爸的年龄－明年儿子的年龄
＝（今年爸爸的年龄＋1）－（今年儿子的年龄+1）
＝今年爸爸的年龄＋1－今年儿子的年龄－1
＝今年爸爸的年龄－今年儿子的年龄
＝30（岁）

关键②：年龄的倍数关系是变化的。

例如：今年父亲的年龄是儿子年龄的3倍，明年父亲的年龄还是儿子年龄的3倍吗？
答：不是，设今年儿子10岁，设今年父亲30岁，那么明年儿子11岁，父亲31岁， 31÷11＝2…9，不是3倍。

（五）植树与方阵问题
一、 不封闭型（直线）植树问题
（1） 直线两端植树： 棵数=段数+1=全长÷株距+1；
全长=株距×（棵数-1）；
株距=全长÷（棵数-1）；

例如：学而思学校附近有一条2000米的公路，在路两边每相隔50米种一棵树，两端都种，需要多少棵树？
分析：（2000÷50+1）×2=82（棵）


（2） 直线一端植树： 全长=株距×棵数；
棵数=全长÷株距；
株距=全长÷棵数；

例如：小熊家门口有一条小路长50米，从门口开始在小路的一旁每隔5米栽一棵树，问一共栽了多少棵树？
分析：门口不可能植树，所以这是一个一端种树一端不种的情况，棵树等于段数，所以一共栽树：50÷5=10（棵）。
（3） 直线两端都不植树： 棵数=段数-1=全长÷株距-1；
株距=全长÷（棵数+1）；

例如：学而思学校两栋教学楼之间有一排白杨树，一共有18棵，每两棵树之间以及树与教学楼的距离都是3米，请问这两栋教学楼之间的距离是多少米？

分析：因为两端就是教学楼，不可能种树，所以教学楼之间一共有19个间隔，所以这两栋教学楼之间的距离是3×19＝57（米）。


二、 封闭型（圆、三角形、多边形等）植树问题
棵数＝总距离÷棵距；
总距离＝棵数×棵距；
棵距＝总距离÷棵数。

例如：小同家有一个圆形果园，周长是1500米，沿圆周每隔6米栽一棵苹果树，每两棵苹果树之间栽一棵桃树，问：果园周围共栽种果树多少棵？

分析：果园一周全长1500米，每隔6米栽一颗苹果树，说明果园的圆周以6米为一段，可以分成1500÷6＝250（段），由于是圆形，首尾两棵重合，所以段数等于棵数，苹果树有250棵；每两棵苹果树之间栽种一棵桃树，也就是有250棵桃树，所以，苹果树与桃树一共有：250+250=500（棵）。


3． 方阵问题
在方阵问题中，横的排叫做行，竖的排叫做列，如果行数和列数都相等，则正好排成一个正方形，就是所谓的“方阵”。

例如：某校五年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为60人。问方阵外层每边有多少人？这个方阵共有五年级学生多少人？
分析：每边人数=四周人数÷4+1，
方阵最外层每边人数：60÷4＋1=16（人），
整个方阵共有学生人数：16×16=256（人）。


经典透析
【例1】 （☆☆☆）一个小数的小数点向右移一位与向左移一位所得两数的和624.18，则原来的小数是多少？

[审题要点] 本题属于和倍问题。关键是抓住小数点向左移一位，原数就缩小10倍；小数点向右移一位，原数就扩大10倍。
[详解过程] 小数点向右移一位所得数是向左移一位所得数的100倍，有624.18÷（100＋1）＝6.18，6.18×10＝61.8，即原数是61.8。
【例2】 （☆☆☆）某校原来参加室外活动的人数比室内的人数多480人，现在把室内活动的50人改为室外活动，这样室外活动的人数正好是室内人数的5倍，参加室内，室外活动的一共有多少人？

[审题要点] 本题属于差倍问题
[详解过程] 为了清晰地反映数量的变化及倍数关系，我们画出线段图如下：

把室内50人调到室外，则室外人数比室内人数多480＋50×2＝580（人），又因为室外人数是室内人数的5倍，也就是多4倍，所以现在室内人数为580÷（5－1）＝145（人），一共有145×（1＋5）＝870（人）。


【例3】 （☆☆☆）小新用20元钱买了5支圆珠笔和12本练习本，剩下的钱若买一支圆珠笔少4角；若买一本练习本还少6角，问一支圆珠笔的价钱是 。

[审题要点] 和倍、差倍问题的综合运用
[详解过程] 练习本和圆珠笔的差价为2角。而20元加上4角能买6只圆珠笔和12本练习本。所以如果用20+0.4+0.2×6=21.6元能买18本练习本，每本的价钱为21.6÷18=1.2元，所以圆珠笔的价钱为1.2-0.2=1元。

【例4】 （☆☆☆）四个人年龄之和是87岁，最小的一个12岁，他与最大的人年龄之和比另外两个人年龄之和大7岁，那么这四个人中年龄最大的一个年龄是多少？

[审题要点] 把年龄最小的人与年龄最大的人的年龄之和看成一个数，把另外两个人年龄之和也看成一个数。问题就转化为典型的和差同题。
[详解过程] 最小的一个与最大的人年龄之和是：（87＋7）÷2＝47（岁）。最小的12岁，因此最大的年龄：47－12＝35（岁）。


【例5】 甲对乙说：“我在你这么大岁数的时候，你的岁数是我今年岁数的一半。”乙对甲说：“我到你这么大岁数的时候，你的岁数是我今年岁数的2倍减7。”问：甲、乙二人现在各多少岁？

[审题要点] 甲乙年龄差不变、从已知条件中看出甲比乙年龄大。
[详解过程] 为了清晰地反映等量关系，我们画出线段图如下：

从图中可以得到年龄差是7岁，所以，乙现在年龄： 7×3＝21（岁），甲现在年龄： 7×4＝28（岁）。

【例6】 老陈有几个儿子，老陈的年龄是儿子们年龄和的4.5倍，而1年前，老陈的年龄是他的几个儿子年龄和的7倍，4年后，老陈的年龄就只有他几个儿子的年龄和的2倍，那么老陈有几个儿子？

[审题要点] 借助于方程法解决
[详解过程] 设老陈有n个儿子，则今年老陈的年龄是儿子们平均年龄的4.5n倍，而1年前老陈的年龄是儿子们平均年龄的7n倍，4年后，老陈的年龄是他的几个儿子的平均年龄的2n倍，由于老陈的年龄与儿子们的平均年龄之差是固定的，所以我们以老陈的年龄与儿子们的平均年龄之差为标准，设为，则今年儿子们平均年龄，4年后儿子们的平均年龄，得到方程式：-=（-），解得。

另解：老陈有n个儿子今年儿子们的年龄和为k岁，则4.5k-1=（k-n）×7 ⑴
4.5k+4=（k+4 n）×2 ⑵， 解得：k=8，n=3。


【例7】 在学而思学校内一条小路的一侧植树，每隔5米种一棵，共种了21棵，这条路有多长？后来小路又加长了30米，仍然每隔5米种一棵树，一共补种了多少棵？

[审题要点] 加长部分、求得是补种几棵树
[详解过程] 小路原来的长度：5×（21－1）＝100（米）， 加长后一侧应种的树的棵数：（100＋30）÷5＋1＝27（棵），应补的棵数：27－21＝6（棵）。

【例8】 把50枚黑棋子排列在正五边形的五条边上，每条边上的黑棋子个数相等，且每个角上有一枚。然后在所有相邻的两枚黑棋子间放两枚白棋子。问：每条边上白棋子有多少枚？

[审题要点] 每个角上有一枚，求出实际每条边几枚
[详解过程] 一共有50枚棋子，放在5条边上，所以平均每条边上放50÷5=10枚黑棋子，又因为每个角上都有一枚棋子，所以实际上每条边上有10+1=11枚黑棋子。11枚黑棋子之间有10个间隔，所以白棋子数是10×2=20（枚）。


【例9】 一个实心正六边形阵，每条边有16人，那么一共有 人；最外面一层有 人；从外向内数第2层每条边有 人，共 人；最外面三层有 人；每条边增加1人，这一层增加 人；原正六边形方阵再增加一层能增加 人；

[审题要点] 找规律
[详解过程] 从内往外，第一层1人，第二层每边2人，共6人；第三层每边3人，共12人；第四层每边4人，共18人；…；第十四层每边14人，共78人；第十五层每边15人，共84人；第十六层每边16人，共90人。原实心正方形阵共有1+6+12+…+90=721人。
从外往内数第二层就是从内往外数第十五层，每边15人，共（15-1）×6=84人。
最外面三层有90+84+78=252人。每条边增加1人，这一层增加6人。原六边形方阵再增加一层能增加（17-1）×6=96人。


三、 拓展训练

1. 姐姐做自然科学练习，比妹妹做算术练习多用48分钟，比妹妹做英语练习多用42分钟，妹妹做算术，英语两门练习共用了44分钟，那么妹妹做英语练习用了多少分钟？

[初级点拨] 本题属于典型的和差问题，只是“差”没有直接告诉我们，绕了个小弯。
[深度提示] 根据条件，做英语的时间大于算术的时间。
[全解过程] 因为“姐姐做自然科学练习，比妹妹做算术练习多用48分钟，比妹妹做英语练习多用42分钟”，所以妹妹做英语比算术多用了48－42＝6（分钟）。画线段图：

（44－6）÷2＝19（分钟） 算术
（44＋6）÷2＝25（分钟） 英语
答：妹做英语用25分钟。


2. 在一次期中考试中，小强的英语成绩和数学成绩之和是194分，他的数学成绩和语文成绩之和是186分，而语文成绩和英语成绩之和是180分，那么，小强的英语、数学和语文成绩到底各是多少？

[初级点拨] 由条件知：英语成绩+数学成绩=194，数学成绩+语文成绩=186，语文成绩+英语成绩=180，
[深度提示] 将三个式子相加
[全解过程] 由条件知：英语成绩+数学成绩=194，数学成绩+语文成绩=186，语文成绩+英语成绩=180，将三个式子相加，2（英语成绩+数学成绩+语文成绩）=560（分），所以英语成绩+数学成绩+语文成绩=560÷2=280（分），用总成绩减去英语成绩和数学成绩之和就是语文成绩：280-194=86（分），同理，英语成绩：280-186=94（分），数学成绩：280-180=100（分）


3. 某学校计划栽种杨树、柳树和槐树共200棵，当种了一半的杨树和10棵柳树之后，又临时运来了6棵槐树，这时剩下的三种树的棵树恰好相等，问原计划要栽种这三种树各多少棵？

[初级点拨] 如果没有栽种之前运走10棵柳树，并且运来6棵槐树，那么树的总数就是：200-10+6=196（棵）。
[深度提示] 柳树的数量等于槐树的数量等于杨树数量的一半。
[全解过程] 为了清晰地反映数量关系，我们画出线段图如下：

树的总数就是：200-10+6=196（棵），柳树的数量等于槐树的数量等于杨树数量的一半，令杨树的一半为一倍数，即为：195÷（2+1+1）=196÷4=49（棵），所以计划种杨树：49×2=98（棵），柳树：49+10=59（棵），槐树：49-6=43（棵）。




4. 今年爷爷78岁，三个孙子的年龄分别是27岁，23岁，16岁，经过几年后爷爷的年龄等于三个孙子年龄的和？

[初级点拨] 今年爷爷与三个孙子的年龄差
[深度提示] 每过一年三个孙子的年龄和比爷爷的年龄增加几岁
[全解过程] 三个孙子年龄的和为27＋23＋16＝66（岁），爷爷比他们三人的年龄的和多78－66＝12（岁），每过一年三个孙子的年龄和比爷爷的年龄多增加3－1＝2（岁）。因而，经过12÷2＝6（年）后，爷爷的年龄是三个孙子年龄的和。



5. 甲对乙说：“当我的岁数是你现在的岁数的时候，你才5岁。”乙对甲说：“当我的岁数是你现在的岁数的时候，你将50岁。”问：甲、乙二人现在各多少岁？

[初级点拨] 年龄差不变
[深度提示] 每一次两人变化的年龄都相等，且是年龄差
[全解过程] 根据题意画出示意图：

因为年龄差是不变的量，甲乙二人的年龄差=（50-5）÷3=15（岁），乙现在的岁数是：15+5=20（岁），甲现在的岁数是：20+15=35（岁）

6. 全家4口人，父亲比母亲大3岁，姐姐比弟弟大2岁。四年前他们全家的年龄和为58岁，而现在是73岁。问：现在各人的年龄是多少？

[初级点拨] 年龄差不变
[深度提示] 为什么少了1岁？
[全解过程] 73－58＝15≠4×4，四个人四年应该增长4×4＝16岁，但实际上只增长了15岁，为什么少了1岁呢？因为在4年前，弟弟还没有出生，所以弟弟今年应该是3岁。姐姐是3＋2＝5岁，父母今年的年龄和是73－3－5＝65岁，根据和差问题，就可以得到父亲是（65＋3）÷2＝34岁，母亲是65－34＝31岁。



7. “重阳节”那天，延龄茶社来了25位老人品茶，他们的年龄恰好是25个连续自然数，两年以后，这25位老人的年龄之和正好是2000，其中年龄最大的老人今年多少岁？


[初级点拨] 求出两年之后25位老人的平均年龄
[深度提示] 奇数个数的平均数是中间数
[全解过程] 两年之后25位老人的平均年龄为2000÷25=80（岁），其中年龄最大的老人为80+12=92（岁），年龄最大的老人今年的岁数为92-2=90（岁）。


8.大头儿子和小头爸爸两个人比赛跑楼梯，他们从一层开始比赛，大头儿子到四层时，小头爸爸到三层，如此算来，大头儿子到16层时，小头爸爸跑到了几层？

[初级点拨] 不封闭型植树问题
[深度提示] “两端都种树”，间隔数=棵树-1
[全解过程] 大头儿子跑了三个楼层间隔，爸爸跑了两个楼层间隔，到16层需要跑15个楼层间隔，所以小头爸爸跑了15÷3×2+1＝10＋1＝11（层）。


9.如图是某个小区的街道图，街道将整个小区划分为相同的4块正方形，每个正方形的边长为110米，街道的宽为10米，现在要在所有的街道两边每隔10米栽种一棵树，每个拐角都栽树，求这个小区一共要栽树多少棵？

[初级点拨] 分解图形
[深度提示] 每个拐角都栽树
[全解过程] 整个小区种植的树实际上可看成4个边长为110米的小正方形和一个边长为10+110+10+110+10=250米的正方形。所以一共需要栽树（110×4÷10）×4+（250×4÷10）=276棵树。


10.正方形操场四周栽了一圈树，四个角上都栽了树，每两棵树相隔5米。甲、乙从一个角上同时出发，向不同的方向走去（如右图），甲的速度是乙的2倍，甲在拐了两个弯之后的第5棵树与乙相遇（把角上的树看作第一棵树）。操场四周栽了多少棵树？

[初级点拨] 封闭型植树问题
[深度提示] 时间一定，路程比等于速度比
[全解过程] 甲走了两个边长加上4个间距，乙走了两个边长减去4个间距，所以甲比乙多走了8个间距，而甲的速度是乙的2倍，所以走的路程也是乙的两倍，所以乙走了8个间距，所以一圈一共有8+8×2=24个间距，所以操场一圈一共有24个间距。操场四周一共栽了24棵树。

11.北京市国庆节参加游行的总人数有60000人，这些人平均分为25队，每队又以12人为一排列队前进。排与排之间的距离为1米，队与队之间的距离是4米，游行队伍全长多少米？

[初级点拨] 不封闭型植树问题
[深度提示] 相当于已知树的棵数，树间的距离，求树列的全长
[全解过程] 相当于植树问题中已知树的棵数，树间的距离，求树列的全长相当。注意段数比树的株数少1。所以，
（1）每队的人数是：　　 60000÷25＝2400（人）
　　 （2）每队可以分成的排数是：　 　2400÷12＝200（排）
　　 （3）200排的全长米数是：　　 1×（200-1）＝199（米）
　　 （4）25个队的全长米数是：　　 199×25＝4975（米）
　　 （5）25个队之间的距离总米数是：4×（25-1）＝96（米）
　　 （6）游行队伍的全长是： 　　4975＋96＝5071（米）


第11讲 典型应用题（二）鸡兔同笼、盈亏、平均数问题

一、 知识地图



二、 基础知识
公元855年唐朝，我国举行最早的数学选拔赛，题目如下：
一批强盗在树林里商议怎样瓜分抢来的布匹。若每人分6匹，多5匹；每人分7匹，少8匹，问几个强盗？几匹布？

（一） 鸡兔同笼问题
1． 假设全是鸡

例如：鸡兔同笼，头共46，足共128，鸡兔各几只？
分析：假设全是鸡，则有2×46=92（足），而实际上是128足，少了128-92=36（足），为什么少了36足呢？因为我们把一只兔当作一只鸡来算时，就少算了2足，所以有36÷2=18（只）兔被我们当作鸡来算，所以有鸡46-18=28（只）。

2． 假设全是兔

例如：鸡兔同笼，头共46，足共128，鸡兔各几只？
分析：假设全是兔，则有4×46=184（足），而实际上是128足，多了184-128=56（足），为什么多了56足呢？因为我们把一只鸡当作一只兔来算时，就多算了2足，所以有56÷2=28（只）鸡被我们当作兔来算，所以有兔46-28=18（只）。



3． “砍足法”

例如： 鸡兔同笼，头共46，足共128，鸡兔各几只？
分析：假如砍去每只鸡、每只兔一半的足，则鸡就变成了“独脚鸡”，兔就变成了“双脚兔”，则鸡和兔足的总数就由128变成了64，而且有一只兔子，则足的总数就比头的总数多1，所以足的总数64与总头数46的差，就是兔子的只数，即64－46＝18（只），则鸡的只数就是46－18＝28（只）。


（二） 盈亏问题
盈亏问题，顾名思义有剩余就叫盈，不够分就叫亏，不同的方法分配物品时，经常会产生这种盈亏现象。盈亏问题的关键是抓住两次分配时盈亏总量的变化，我们把盈亏问题分为三类：“一盈一亏”、“两盈”、“两亏” 。
1.“盈亏”型

例如：学而思学校提高班的同学分糖果，如果每人分4粒就多9粒，如果每人分5粒则少6粒，问：有多少位同学分多少粒糖果？
分析：为什么第一次多9粒，而第二次还少6粒呢？因为两次分配数量不一样，第二次分配时不仅把第一次多出来的9粒分了，还要再添6粒才够分，也就是说按第二种分配方案比第一次总共要多分9+6=15（粒），那为什么会有这种变化产生呢？因为第二次比第一次每人多分了5-4=1（粒），那么要分15粒，就需要有15÷1=15（人），共有15×4+9=69（粒）。


2.“盈盈”型

明明过生日，同学们给他买蛋糕，如果每人出8元，就多出了8元；每人出7元，就多出了4元。那么有多少个同学？蛋糕的价钱是多少？
分析：为什么第一次多8元，第二次就只多4元了呢？因为两次分配数量不一样，第二次分配时每人少出1元，也就是在第一次分配的基础上给每个人退了1元钱，总共退回了8-4=4（元），所以共有4÷1=4（人），蛋糕价钱是8×4－8＝24（元）。


3.“亏亏”型

学而思学校新近一批书，将它们分给几位老师，如果每人发10本，还差9本，每人发9本，还差2本，请问有多少老师？多少本书？
分析：为什么第一次差9本，第二次就只差2本了呢？因为两次分配数量不一样，第二次分配时每人少发1本，也就是在第一次分配的基础上从每个人那里拿回了1本书，总共拿回了9-2=7（本）书，所以共有7÷1=7（人），书有7×10－9＝61（本）。



（三） 平均数问题

（1）平均数=总数÷参与平均的事物个数
平均数增量=总数增量÷参与平均的事物个数
平均数减量=总数减量÷参与平均的事物个数
（2）平均数问题最基本的原理是“移多补少”
几个数的平均数一定比其中最大的一个小且比其中最小的一个大


三、 经典透析
【例1】 从前有座山，山里有个庙，庙里有许多小和尚，两个小和尚用一根扁担一个桶抬水，一个小和尚用一根扁担两个桶挑水，共用了38根扁担和58个桶，那么有多少个小和尚抬水？多少个挑水？

[审题要点] 鸡兔同笼问题，假设法
[详解过程] 假设全是抬水，38根扁担应担38个桶，而实际上是58个桶，为什么少了58-38=20（个）桶呢？因为当我们把一个挑水的当作抬水的就会少算2－1＝1（个）桶，所以有20÷1=20（人）在挑水，抬水的扁担数是38－20＝18（根），抬水的人数是18×2＝36人。
专家点评：
可以结合分析工具矩形图，来看鸡兔同笼问题：

左图假设全是抬水： （58-38×1）÷（2-1）=20（根） ……20（人）挑水
（38 -20）×2=36（人） ……36（人）抬水
右图假设全是挑水： （38×2-58）÷（2-1）=18（根） ……18×2=36（人）抬水
38-18=20（根）…… 20（人）挑水


【例２】某旅游点有儿童票、成人票两种规格的门票卖， 儿童票的价格为30元，成人票的价格为40元，如果是团体还可以买平均32元一位的团体票，一个由8个家庭组成的旅游团（每个家庭由两位大人，或两个大人、一个小孩组成）来景点旅游，如果他们买团体票可以比他们各买各的少花120元，问这个旅游团一共有多少人？

[审题要点] 鸡兔同笼问题的变形题
[详解过程] 每个三口之家可以少花30+40+40-32×3=14元，每个二口之家可以少花40+40-64=16元，如果这8个家庭都是三口之家，那么一共少花14×8=112元，所以这8个家庭中有（120-112）÷（16-14）=4个家庭是二口之家，所以这个旅游团一共有4×2+（8-4）×3=20人。
专家点评：
这道题，首先要考虑的是，怎么理解“少花120元”？跟单位少花情况有关，这里的单位：可以不同家庭为单位，也可以成人与小孩为单位。
一方面，我们可以对两种家庭的“少花”情况进行计算并比较，可以如题所解；
另一方面，我们不妨以成人与孩子的“少花”情况进行计算并比较，可以另解如下：
8个家庭，成人必有16人，则每个成人将“少花”40-32=8元。
所以应该总共少花 16×8=128（元）
而实际少花相差 128-120=8（元）
是因为每个小孩多花了32-30=2（元）
所以，8÷2=4（人） ……小孩人数
16+4=20（人）……旅游团一共人数
还有一点值得强调的是，我们在使用假设法的过程中，所采用的比较思想非常重要，在一种证明方法——反证法中，假设法会又一次充当主角。


【例３】蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀。现有蜘蛛、蜻蜓和蝉三种小虫16只，共有110条腿和14对翅膀，每种小虫各有几只？

[审题要点] 经典鸡兔同笼问题，用两次假设法
[详解过程] 因为有三种动物，没有办法直接用鸡兔同笼解，所以我们想转化为两种动物就可以直接用了。我们先来看腿，发现蜻蜓和蝉有个共同点——都是6条腿，那我们就把蜻蜓和蝉合并在一起，分为两种动物：一种是6条腿，一种是8条腿。
假设全是6条腿的，共有腿6×16=96（条），而实际上是110条，为什么少了110-96=14（条）腿呢？因为当我们把8条腿的蜘蛛当作6条腿算的，有一只蜘蛛就少算2条腿，所以有蜘蛛14÷2=7（只），所以蜻蜓和蝉有16-7=9（只）；
我们再来看翅膀： 假设这9只全是蜻蜓，则应该有9×2=18（对）翅膀，比实际多了18-14=4（对），所以有蝉4÷1=4（只），则蜻蜓9-4=5（只）。
专家点评：
如果我们感觉这样的算术解法有点烦，不妨看看美丽的方程：
设：蜘蛛有只，蜻蜓有y只，蝉有z只，得：

（1）×6：

（2）-（4）：
2=14
=7
代入（1）式：
y+z=9…（5）
（3）-（5）：
y=5。
代入（5）式：
z=4。
很多时候，我们发现清晰的等量关系，一定要用，从而可以减少“算理”的思考量，把这种思考量转嫁给方程演算。
对于方程演算，不需要掌握太多的技巧，就能轻松把握。请参见本书第十九讲《方程》。

【例４】老师给同学们分苹果，每人分10个，就多出8个，每人分11个则正好分完，那么一共有多少名学生？多少个苹果？

[审题要点] 盈亏问题
[详解过程] 为什么第一次多8个，第二次不多也不少了呢？因为第二次每人多分了1个，所以有8÷1=8（人），苹果8×10+8=88（个）。
专家点评：请注意体会差量分析的应用。这是两种方案之间的差异，而假设法是实际与假设之间的差异，两者有着异曲同工之妙。

【例５】皮皮从家到学校，如果每分钟走50米，上课就要迟到3分钟；如果每分钟60米，就可以比上课时间提前2分钟到校，那么皮皮家距离学校多远？

[审题要点] 需要转化条件的盈亏问题
[详解过程] 根据题意，每分钟走50米，迟到3分钟，实际上就是还差50×3=150（米）到校；如果每分钟60米，提前2分钟到校，即到校后还可以多走60×2=120（米），第一次与第二次相差150+120＝270（米），也就是第二次比第一次多走了270米，所以皮皮从家到学校所用时间是270÷（60-50）=27（分钟），皮皮家到学校的距离是50×（27+3）=50×30=1500（米）。
专家点评：两种方案，除了速度差，更要感受到路程差，从而看到，这里的数量关系，竟然就是追及关系。从中体会一下“柳暗花明又一村”的数学美感吧。数学是好玩的！


【例６】国庆节快到了，学而思学校的少先队员去摆花盆。如果每人摆5盆花，还有3盆没人摆；如果其中2人各摆4盆，其余的人各摆6盆，这些花盆正好摆完。问有多少少先队员参加摆花盆活动，一共摆多少花盆？
　　
[审题要点] 需要转化条件的盈亏问题
[详解过程] 我们可以把第二个条件转化为如果每人摆6盆花，还缺4盆，那么就是简单的“一盈一亏”。
人数： [3＋（6－4）×2]÷（6－5）＝7（人），盆数：5×7＋3＝38（盆）或6×7－4＝38（盆）。
专家点评：
转化思想似乎有点玄，为什么我一定会想到：“把第二个条件转化为如果每人摆6盆花，还缺4盆”？答案在于，我们应该在大方向上有感觉，这道题“每人摆5盆，还有3盆没人摆；每人摆6盆，还……”，“还”字后面的下文怎么接？接上了，转化成功！
记住：转化的关键在于我需要什么样的条件！
现有条件能否转化为我要的条件？

【例７】有四个数，每次去掉一个数，将其余三个数求平均数，这样算了四次，得下面四个数：36.4，47.8，46.2，41.6，那么原来四个数的平均数是多少？

[审题要点] 平均数问题
[详解过程] 设这四个数分别为A、B、C、D，根据条件则有：

所以

[专家点评] 实际上，本题的情境可以换成“小明语文、数学、英语等几门功课的平均分”，也可以换成“某四个小朋友称体重，每三个人称一次”，数量关系不变。
这里要注意所求问题，不一定最后求平均数，也可能求这四个数各是多少。只要用四数总和与三数之和求差就行。


【例８】某次数学竞赛原定一等奖10人，二等奖20人，现在将一等奖中最后4人调整为二等奖，这样得二等奖的学生的平均分提高了1分，得一等奖的学生的平均分提高了3分，那么原来一等奖平均分比二等奖平均分多________分。

[审题要点] 平均数增量
[详解过程] 第一眼看这样的图，可能有点不够清楚。别急，我们来慢慢欣
赏！首先从总体来看，矩形横向长度表示人数，竖向长度表示平均分，面积
表示总分。请注意一下：d与e分别表示调整前的一等奖与二等奖的平均分；
而a表示一等奖后4名同学的平均分。b与c表示调整后一等奖与二等奖的平
均分。我们要求的量是de之间的平均分之差！
我们要想一想，为什么这么一调整，一等奖的平均分高上去了，同时二等奖的平均分也高上去了呢？原因在于：前6名的 cd之间的面积移补到一等奖后4名da之间的面积部分了。根据面积相等，长与宽成反比关系，可知：cd之间的高度差︰da之间的高度差=4︰6=2︰3即3︰da之间的平均分之差=2︰3。所以 da之间的平均分之差=4.5（分），也就是说，这是后4名现在从原来的d降了4.5分。同理，后4人ab之间的面积=20人be之间的面积；所以 ab之间的高度差︰be之间的高度差=20︰4=5︰1所以 ab之间的平均分之差︰1=5︰1，ab之间的平均分之差=5（分）
所以de之间的平均分之差为4.5+5+1=10.5（分）
[专家点评]对于平均数增量问题，用矩形图，数形结合去分析，应该很舒服！要注意平均数问题最基本的原理是“移多补少”，另外要注意所要移补的是总量，而不是平均量。也就是平均分差量与人数的乘积。这段话请结合上面的图形和分析理解，重要！！



【例９】设四个不同的正整数构成的数组中，最小的数与其余三数的平均值之和为17，而最大的数与其余三数的平均值之和为29。在满足上述条件的所有数组中，其最大数的最大值是多少？


[审题要点] 平均数与最值问题
[详解过程] 设这四个数从大到小依次为a、b、c、d，根据题意有
。 ①
　，　　　　　　　　②
用②式减去①式，得
，
即a-d=18，a=18+d。
因为b、c 分别至少比d大2和1，由①式得

7+2d≤17，
d≤5。
由此得a=18+d≤23。所以a的最大值23，且当a、b、c、d依次为23，7，6，5时符合题意。
专家点评：
这里的所谓平均数，直接应用为表示3个数的总和。这是平均数关系中知道几个数时最常用的思路。
另外，对于不等式的求解，建议大家在理解了方程的恒等关系后，一并了解方程的恒不等关系。
不等式两边同时加上相同的数或者同时减去相同的数，或者同时乘以相同的正整数或者同时除以相同的正整数，其不等关系不变。（原来是什么符号，不用变号）
如果是乘以或者除以一个相同的负数，则符号正好变反。这到初中会常用到。
例如：7+2d≤17，
两边同减7，得：
2d≤10，
两边同除以2，得：
d≤5。


四、 拓展训练
1. 鸡、兔共笼，鸡比兔多26只，足数共274只，问鸡、兔各几只？

[初级点拨] 鸡兔同笼问题，假设法
[深度提示] 设鸡与兔只数一样多
[全解过程] 设鸡与兔只数一样多：274-2×26=222（只），每一对鸡、兔共有足：2+4=6（只），
鸡兔共有对数（也就是兔子的只数）：222÷6=37（对），则鸡有 37+26=63（只）。

2. 100个和尚140个馍，大和尚1人分3个馍，小和尚1人分1个馍。问：大、小和尚各有多少人？

[初级点拨] 鸡兔同笼问题，假设法
[深度提示] 将大和尚、小和尚分别看作鸡和兔，馍看作腿
[全解过程] 本题即中国古算名题“百僧分馍问题”。如果将大和尚、小和尚分别看作鸡和兔，馍看作腿，那么就成了鸡兔同笼问题，可以用假设法来解。
假设100人全是大和尚，那么共需馍300个，比实际多300—140=160（个）。现在以小和尚去换大和尚，每换一个总人数不变，而馍就要减少3—1=2（个），因为160÷2=80，故小和尚有80人，大和尚有100—80=20（人）。

3. 有两次自然测验，第一次24道题，答对1题得5分，答错（包含不答）1题倒扣1分；第二次15道题，答对1题8分，答错或不答1题倒扣2分，小明两次测验共答对30道题，但第一次测验得分比第二次测验得分多10分，问小明两次测验各得多少分？

[初级点拨] 需要转化的鸡兔同笼问题，找相同点转化
[深度提示] 如果小明第一次测验24题全对
[全解过程] 如果小明第一次测验24题全对，得5×24=120（分）。那么第二次只做对30-24=6（题）得分是8×6-2×（15-6）=30（分）。两次相差120-30=90（分）。比题目中条件相差10分，多了80分。说明假设的第一次答对题数多了，要减少。第一次答对减少一题，少得5+1=6（分），而第二次答对增加一题不但不倒扣2分，还可得8分，因此增加8+2=10分。两者两差数就可减少6+10=16（分）。（90-10）÷（6+10）=5（题）。因此，第一次答对题数要比假设（全对）减少5题，也就是第一次答对19题，第二次答对30-19=11（题）。第一次得分5×19-1×（24- 19）=90。第二次得分8×11-2×（15-11）=80。


4. 学而思学校提高班的同学去划船。他们算了一下，如果增加一条船，正好每条船坐6人；如果减少一条船，正好每条船坐9人。问：这个班共有多少同学？

[初级点拨] 盈亏问题，先增加一条船
[深度提示] 先增加一条船，那么正好每条船坐6人。然后去掉两条船，就会余下6×2＝12（名）同学。
[全解过程] 先增加一条船，那么正好每条船坐6人。然后去掉两条船，就会余下6×2＝12（名）同学。改为每条船9人，也就是说，每条船增加9－6＝3（人），正好可以把余下的12名同学全部安排上去，所以现在还有12÷3＝4（条）船，而全班同学的人数是9×4＝36（人）。


5. 学而思学校给参加秋游的同学租了几辆大轿车，若每辆车乘28人则有13名同学上不了车，若每辆车乘32人则还有3个空座。问：有多少名同学？多少辆车？

[初级点拨] 需要转化的盈亏问题，“每辆车乘28人则有13名同学上不了车”转化为盈还是亏呢？
[深度提示] 已知若每辆车乘28人则有13名同学上不了车，可转化为：每辆车乘28人多出13名同学；若每辆车乘32人则还有3个空座，可转化为：每辆车乘32人少3人。
[全解过程] 这种类型的题目要将其中的一个条件转化，使之转化为基本的盈亏问题。
已知若每辆车乘28人则有13名同学上不了车，可转化为：每辆车乘28人多出13名同学；若每辆车乘32人则还有3个空座，可转化为：每辆车乘32人少3人，问有多少名学生多少辆车？所以，车数：（13+3）÷（32-28）=4（辆），学生有：28×4+13=125（人）。


6. 钢笔与圆珠笔每支相差1元2角，小明带的钱买5支钢笔差1元5角，买8支圆珠笔多6角。问小明带了多少钱？

[初级点拨] 需要转化的盈亏问题，要么都转换成钢笔，要么都转换成圆珠笔。
[深度提示] 都转换成钢笔；买5支钢笔差15角，买8支钢笔差（12×8－6）=90角，这是双亏：分差是8-5=3支，总差是90-15=75角，就是说多买3支，就多差75角；
[全解过程] 此题的关键在于条件的转换，要么都转换成钢笔，要么都转换成圆珠笔。
（法一）都转换成钢笔；买5支钢笔差15角，买8支钢笔差（12×8－6）=90角，这是双亏：分差是8-5=3支，总差是90-15=75角，就是说多买3支，就多差75角；这样就可求出1支钢笔多少钱；继而求出小明带了多少钱。
　 钢笔的价钱： ［（12×8－6）－15］÷（8－5）＝75÷3＝25（角）
　 小明带的钱数：25×5－15＝125－15＝110（角）＝11（元）
（法二）都转换成圆珠笔；买5支圆珠笔多12×5－15=45角，买8支圆珠笔多6角。
圆珠笔的价钱［（12×5－15）－6］÷（8－5）＝39÷3＝13（角）
小明带的钱数13×8＋6＝104＋6＝110（角）＝11（元）。


7. 某一筐水果中有苹果和梨若干个。若每次拿出1个苹果和1个梨，则拿到没有苹果时，还剩下50个梨；若每次拿走1个苹果和3个梨，则拿到没有梨时，苹果还剩下50个。那么这筐水果共有 个。

[初级点拨] 需要转化的盈亏问题
[深度提示] 若每次拿走1个苹果和3个梨，则拿到没有梨时，苹果还剩下50个。由这个条件可以转化为如果要苹果全部拿走，梨还差50×3=150个，所以梨的个数比苹果多50个，比苹果的3倍少150个。
[全解过程] 若每次拿走1个苹果和3个梨，则拿到没有梨时，苹果还剩下50个。由这个条件可以转化为如果要苹果全部拿走，梨还差50×3=150个，所以梨的个数比苹果多50个，比苹果的3倍少150个，所以苹果的两倍是150+50=200个，所以苹果有100个，那么梨的个数是150个，所以苹果和梨的总个数为250个。


8. 从5开始的一串连续的自然数5，6，7，8，…，拿走其中一个数，余下的数的平均数是10.75，那么拿走的数是_______。

[初级点拨] 平均数问题
[深度提示] 5至17这十三个连续自然数的平均数是11
[全解过程] 因为（5+17）÷2=11，所以5至17这十三个连续自然数的平均数是11。还有12个数，拿走的数是（11一10.75）×12+11=14。


9. A、B、C、D、E是五个不同的自然数，从小到大依次排列，它们的平均数是23，前四个数的平均数是21，后四个数的平均数是24，C是偶数，求D是多少？

[初级点拨] 平均数问题与不定方程
[深度提示] A=23×5-24×4=19，
E=23×5-21×4=31，
B+C+D=21×4-19=65。
[全解过程] 依题意得
A=23×5-24×4=19，
E=23×5-21×4=31，
B+C+D=21×4-19=65。
因为＞21，所以D应大于21。而A20。又C为偶数，因此若C=22，此时D至少为23。若D=23，此时则B=65-22-23=20。若D>23，则B<19，不符合题意。故D=23。


10. 马小哈同学使用计算器计算2000个数的平均数之后，不小心把所求出的平均数与原先的2000个数混在一起。有趣的是，这2001个数的平均数恰好是2001。原来这2000个数的平均数是多少？

[初级点拨] 平均数与方程法
[深度提示] 我们可以设这2000个数的和是S，平均数为
[全解过程] 设2000个数的和是S，平均数为，则，这2001个数的平均数为

第12讲 牛吃草问题
一、知识地图：

二、基础知识：
英国科学家牛顿在他的《普通算术》一书中，有一道关于牛在牧场上吃草的问题，即牛在牧场上吃草，牧场上的草在不断的、均匀的生长。后人把这类问题称为牛吃草问题或叫做“牛顿问题”，类似的还有抽水问题等。我们具体来看一道典型的牛吃草问题：
牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长。这片牧场可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天。供25头牛可吃几天？
分析：要想知道这些草供25头牛可吃几天，必须知道草的总量和每头牛每天吃草的量。然而题目当中并没有告诉我们这样的条件。因此我们可以假设1头牛1天吃1份的草，那么10头牛20天可以吃10×20=200份草。15头牛10天可以吃15×10=150份草，有同学可能会奇怪了，同样都是把牧场的草吃完了，为什么吃草的总量不一样啊？你们明白为什么吗？
聪明的同学可能已经明白了，对，因为每天都会有新的草长出来， ，所以草的总量并不是固定不变的。吃的时间越长，长的草越多，草的总量也就多了。由刚才的计算我们可以看出，吃20天的草的总量比10天要多，原因就在于此。我们来看看下面这幅图：

从上面的图可以看出：草的总量可以分成两部分，一部分是原有的草，还有一部分是新长的草。10头牛20天吃的总草量比15头牛10天吃的总草量多，多出部分相当于10天新生长出的草量。设1头牛1天吃1份草，则10头牛20天比15头牛10天多吃份，则这块牧场每天新长份牧草。
在第一种情况中，20天一共新长了份牧草，而牛一共吃了份，说明原来有牧草份。
因为每天长5份的草，因此我们可以这样考虑，安排5头牛专门吃新长的草，剩下的牛吃原有的草，什么时候才能把草吃完呢？当牛把原有的草吃完的时候，草就不再生长了，也就是把所有的草全都吃完了。
25头牛中安排5头牛吃新草，剩下的20头牛去吃原有的草，那么原有牧草可维持5天，即可供25头牛吃5天。

解答牛吃草问题通常设每头牛每日吃掉的草量为单位“1”，解题关键在于通过对题中条件的分析比较，求出牧场上原有的草量，单位时间生长的草量。我们对于基本的牛吃草问题可以做如下总结，我们称之为＂五步法＂：
1. 求出两个总量。
2. 总量的差÷时间差=每天长草量=安排去吃新草的牛数
3. 每天长草量×天数=总共长出来的草
4. 草的总量－总共长出来的草＝原有的草
5. 原有的草÷吃原有草的牛＝能吃多少天（或原有的草÷能吃多少天＝吃原有草的牛）
当然，牛吃草问题的变化还比较多，因此以上＂五步法＂只能作为参考，切不可生搬硬套。
上面是从算术方法的角度，提供一种分析问题的思路。
我们应该在解题中时刻把握“牛吃草问题”的核心是：
牛吃草总量=草场原有草量+新长草量
这种关系，在实际题目中，一般会出现两种方案，对这两种方案的进行比较，是获得解题思路的捷径。
这种比较主要看两种方案“总草量”之差，这对应着两种方案的“时间差”。
具体来看这里的关系：
牛的头数×吃的天数=草场原有草量+每天长草量×吃的天数
由此可知，一般牛吃草问题，首先要把两个关键的量求出来：
（1）每天长草量
（2）草场原有草量

请“奥数研究生”们在下面的例题中揣摩这两个量的求解方法。

经典透析

【例1】有一牧场，已知养牛27头，6天把草吃尽，养牛23头，9天把草吃尽。如果养牛21头，那么几天能把草吃尽呢？
分析：同学们可以试着用＂五步法＂来解决一下这道题。注意要求出每天长草量和原有草量。
　　　设1头牛1天吃1份的草，
1.求两个总量，27×6＝162　　　23×9＝207
2.总量的差÷时间差=每天长草量=安排去吃新草的牛数
　　（207－162）÷（9－6）＝15
3.每天长草量×天数=总共长出来的草
　　　15×6＝90
4.草的总量－总共长出来的草＝原有的草
　　　162－90＝72
5.原有的草÷吃原有草的牛＝能吃多少天
　　　72÷（21－15）＝12
所以如果养牛21头，那么12天能把草吃尽

点评：对于比较基本的牛吃草问题，五步法还是很好用的。

【例２】由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以均匀的速度减少。经计算，牧场上的草可供20头牛吃5天，或可供16头牛吃6天。那么，可供11头牛吃几天？

分析：很显然，这道题和我们上一道题是有区别的，上一题每天的草量在增加，而这道题却是草量每天减少。那么该怎么处理这个问题呢？上一道题我们安排了一部分牛去吃新长的草，那么这道题能不能把每天减少的草想象成是有一些牛来帮忙吃了呢？

设1头牛1天吃1份牧草，则20头牛5天吃掉20×5=100份牧草，16头牛6天吃掉16×6=96份牧草，说明6-5=1天牧场上的牧草减少100-96=4份，我们可以假设有4头牛来帮忙把这部分草给吃了。牧场上的原有草量是：100+4×5=120份。原来有11头牛，现在又有4头牛来帮忙吃，所以可维持120÷（11+4）=8天。

点评：这道题的关键在于要把每天减少的草假设成有若干头牛来帮忙吃，如果理解了这个问题，那么剩下的步骤和最基本的牛吃草问题就一样了，我们也可以用＂五步法＂来解决。

【例３】有一个水池，池底有一个打开的出水口，用5台抽水机20小时可将水抽完，用8台抽水机15小时可将水抽完。如果仅靠出水口出水，那么多长时间能把水漏完？
分析：这道题表面上看好象和牛吃草没有什么关系，但是仔细想想，我们可以把抽水机当作牛，把水当作草，把出水口看成是来帮忙吃草的牛。大家可以试试用＂五步法＂来解答一下。
设1台抽水机1小时抽出1单位的水，那么5台抽水机20小时抽出5×20=100单位的水，8台抽水机15小时抽出8×15=120单位的水，说明池底的出水口20-15=5小时漏出120-100=20单位的水，则出水口的出水速度是每小时20÷5=4单位，水池中原有100+4×20=180单位的水，如果仅靠出水口出水，需要180÷4=45小时。

点评：牛吃草问题有一些变例，其中比较典型的就是＂抽水问题＂，我们只需要弄清楚它与牛吃草问题的联系，把里面的关系理顺，还是可以用牛吃草问题很容易的加以解决。



【例４】有一牧场，17头牛30天可将草吃完，19头牛则24天可将草吃完。现有牛若干头，吃6天后卖了4头，余下的牛再吃2天便将草吃完，问有牛多少头（草每日匀速生长）？
分析：根据＂五步法＂，我们其实很容易完成前几步的操作。
设1头牛1天吃1份草，则牧草每天的生长量：　份；原有草量：份。
做到这里的时候出现一个问题了，本题的一个变化是牛的数量减少了，那么我们该如何处理呢？我们能不能假设这4头牛没卖？如果不卖，草肯定不够吃了，要保证这4头牛在最后两天有草吃，我们必须增加4×2＝8份的草才可以。这样就相当于所有的牛都吃了8天的草，如果能理解这一点，那么剩下的问题就好解决了。
假设牛的数量保持不变，连续吃6+2=8天，共需要牧草240＋9×8＋4×2=320份，因此有牛320÷8=40头。
　
点评：牛吃草问题的一个变化就是牛的数量的改变，对于牛减少了或者增加了，我们应该假设牛没有减少或增加，相应的增加或减少一部分草的总量，然后就可以按照基本的牛吃草问题来处理了。


【例５】一块草地，每天生长的速度相同。现在这片牧草可供16头牛吃20天，或者供80只羊吃12天。如果一头牛一天的吃草量等于4只羊一天的吃草量，那么10头牛与60只羊一起吃可以吃多少天？
分析：这道题又有一个新的变化，不是只有牛了，而是有牛又有羊，表面上看起来很复杂，但是冷静的分析一下，因为题目告诉我们1头牛一天的吃草量等于4只羊一天的吃草量，因此我们可以把4只羊换成1头牛，这样就只剩一种动物了。
80只羊可以换成20头牛，60只羊可以换成15头牛，然后就可以用我们的“五步法”来操作了。
设1头牛1天吃1份牧草，那么16头牛20天一共吃了16×20=320份草，20头牛12天吃了240份草，每天长草量为（320-240）÷（20-12）=10份草，原有的草量为320-10×20=120份草，现在有10+15=25头牛，其中吃原有草的牛有25-10=15头，那么可以吃120÷15=8天。

点评：不论是有几种动物，只要他们之间互相有联系，那么都可以把它们转化成一种动物来操作。

【例６】有三块草地，面积分别是4公顷、8公顷和10公顷，草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草地可供24头牛吃6周，第二块草地可供36头牛吃12周。问：第三块草地可供50头牛吃几周？
分析：之前我们讲的所有的牛吃草问题都是在同一块草地上，也就是说草地的面积是固定不变的。然而这道题却有三块面积不同的草地，该怎么办呢？
虽然三块草地的面积不同，但是我们可以把它变成相同的，方法是分别转化成1公顷然后再进行计算。
设1头牛1周吃1份牧草。24头牛6周吃掉24×6=144份，说明每公顷草地6周提供144÷4=36份牧草；36头牛12周吃掉36×12=432份，说明每公顷草地12周提供432÷8=54份牧草。每公顷草地12-6=6周多提供54-36=18份牧草，说明每公顷草地每周的牧草生长量是18÷6=3份，原有草量是36-3×6=18份。10公顷草地原有18×10=180份牧草，每周新增3×10=30份，可供50头牛吃180÷（50-30）=9周。

点评：对于面积不同的情况，我们先把它转化成面积相同，通常的做法是将所有的面积都转化成单位面积然后进行计算。


【例７】有三块草地，面积分别为5公顷、15公顷和24公顷。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草地可供10头牛吃30天，第二块草地可供28头牛吃45天。问：第三块草地可供多少头牛吃80天？
分析：这道题和上一道题其实是同一种类型的，这里提供几种解法给大家参考一下。
（方法一）设1头牛1天吃草量为“1”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析
10头牛30天吃掉10×30＝300份，说明：
1公顷牧场30天提供300÷5＝60份草：1公顷原有草量＋30天1公顷新生草量
28头牛45天吃掉28×45＝1260份，说明
1公顷牧场45天提供1260÷15＝84份草：1公顷原有草量＋45天1公顷新生草量

每公顷牧场45－30＝15天多提供84－60＝24份草，说明1公顷牧场1天的草生长量为24÷15＝1.6份， 1公顷原有草量＝60－1.6×30＝12。1天24公顷新生草＝1.6×24＝38.4；24公顷原有草＝12×24＝288
那么80天24公顷可提供草： 288＋38.4×80＝3360；所以共需要牛的头数是：3360÷80＝42（头）牛。
（方法二）除了按照最小公倍数统计外也可以统计为单位量“1”
原条件： 5公顷 10头牛 30天
15公顷 28头牛 45天
可转化为：相当于把 5公顷草地分割成 5块每块一公顷有2头牛来吃，所以吃的时间不变
相当于把15公顷草地分割成15块每块一公顷有头牛来吃，所以吃的时间不变
1公顷 2头牛 30天 2×30＝60：1公顷原有草量＋30天1公顷新生草量
1公顷 头牛 45天 ×45＝84：1公顷原有草量＋45天1公顷新生草量
从上易得：1天1公顷新生草量＝（84－60）÷（45－30）＝1.6；1公顷原有草量＝60－30×1.6＝12；
那么80天24公顷可提供草： 12×24＋1.6×24×80＝3360；所以共需要牛的头数：3360÷80＝42（头）。
（方法三）现在是3块面积不同的草地，解决这个问题，只需将3块草地的面积统一起来就可以了！
[5，15，24]=120 ，设1头牛1天的吃草量为“1”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析，
原条件： 5公顷 10 头牛 30天
15公顷 28 头牛 45天
可转化为：120公顷 240头牛 30天 240×30＝7200 ：120公顷原有草量＋30天120公顷新生草量
120公顷 224头牛 45天 224×45＝10080：120公顷原有草量＋45天120公顷新生草量
从上易得：1天120公顷新生草量＝192；120公顷原有草量＝7200－30×192＝1440；
则1天24公顷新生草量＝192÷5＝38.4，24 公顷原有草量＝1440÷5＝288；
那么80天24公顷可提供草： 288＋38.4×80＝3360；所以共需要牛的头数是：3360÷80＝42（头）牛。


【例８】有甲，乙两块匀速生长的草地，甲草地的面积是乙草地面积的三倍。30头牛12天能吃完甲草地上的草，20头牛4天能吃完乙草地的草。问几头牛10天能同时吃完两块草地上的草？

分析：这道题又有一个变化，两块草地的面积不同，但是没有具体告诉我们面积是多少，只是告诉我们面积的倍数关系。在前面我们讲过，如果有好几种动物，各种动物之间有倍数关系，我们可以转化为同一种动物来计算，那么这道题我们能不能把两块草地转化为一块草地来计算呢？同学们试试就可以发现答案是肯定的，具体操作如下：
设1头牛1天的吃草量为“1”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析，根据甲的面积是乙的3倍可以将关系（将乙看成1份，则甲就是3份）进行转化。
甲： 30头牛 12天 30×12＝360：甲原有草量＋12天甲地自然增加的草量
甲转化为：10 头牛 12天 10×12＝120：乙原有草量＋12天乙地自然增加的草量
乙： 20头牛 4天 20×4 ＝ 80：乙原有草量＋ 4天乙地自然增加的草量
从上表中可以看出（12－4）＝8天乙地长草量为（120－80）＝40，即1天乙地长草量为40÷8＝5；
乙地的原有草量为：120－5×12＝60；则甲、乙两地1天的新生草为：5×（3+1）＝20，原有草量为：60×（3+1）＝240；
10天甲、乙两地共提供青草为：240＋20×10＝440，需要：440÷10＝44（头）牛。

点评：面积有倍数关系和动物的食量有倍数关系本质上是相同的，我们都要把它们转化为单一的面积或动物后再进行计算。


【例９】一片草地每天长的草一样多，现有牛、羊、鹅各一只，且羊和鹅吃草的总量正好是牛吃草的总量。如果草地放牧牛和羊，可以吃45天；如果放牧牛和鹅，可吃60天：如果放牧羊和鹅，可吃90天。这片草地放牧牛、羊、鹅，可以供它们吃多少天？

分析：这道题有三种动物，但是不知道每种动物之间的数量关系，因此转化成同一种动物比较困难，这里我们要借助三元一次方程的思想，最终的目的还是要转化为单一动物。
设1头牛1天吃草量为“1”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析
牛和羊　　 45天　 45天牛和羊吃草量＝原有草量＋45天新长草量　（1）
牛和鹅　　 60天　 60天牛和鹅吃草量＝原有草量＋60天新长草量　（2）
鹅和羊（相当于1牛）　90天　 90天牛（鹅和羊）吃草量＝原有草量＋90天新长草量　（3）
由（1）×2－（3）可得：　90天羊吃草量＝原有草量　羊每天吃草量＝原有草量÷90；
由（3）分析知道：90天鹅吃草量＝90天新长草量，鹅每天吃草量＝每天新长草量；
将分析的结果带入（2）得：原有草量＝60，带入（3）得90天羊吃草量＝60 羊每天吃草量＝
这样如果牛、羊和鹅一起吃，可以让鹅去吃新生草，牛和羊吃原有草可以吃：60÷（1＋）＝36（天）。


拓展训练：
1.现欲将一池塘水全部抽干，但同时有水匀速流入池塘。若用8台抽水机10天可以抽干；用6台抽水机20天能抽干。问：若要5天抽干水，需多少台同样的抽水机来抽水？


2.12头牛28天可以吃完10公亩牧场上全部牧草，21头牛63天可以吃完30公亩牧场上全部牧草。多少头牛126天可以吃完72公亩牧场上全部牧草（每公亩牧场上原有草量相等，且每公亩牧场上每天生长草量相等）？


3.画展9点开门，但早就有人排队等候入场了。从第一个观众来到时起，每分钟来的观众人数一样多。如果开3个入场口，则9点9分就不再有人排队了，如果开5个入场口，则9点5分就没有人排队了。那么第一个观众到达的时间是8点几分？


4.甲、乙、丙三个仓库，各存放着数量相同的面粉，甲仓库用一台皮带输送机和12个工人，5小时可将甲仓库内面粉搬完；乙仓库用一台皮带输送机和28个工人，3小时可将仓库内面粉搬完；丙仓库现有2台皮带输送机，如果要用2小时把丙仓库内面粉搬完，同时还要多少个工人？（每个工人每小时工效相同，每台皮带输送机每小时工效也相同，另外皮带输送机与工人一起往外搬运面粉）


5.有一桶酒，每天都因桶有裂缝而要漏掉等量的酒，现在这桶酒如果给6人喝，4天可喝完；如果由4人喝，5天可喝完。这桶酒每天漏掉的酒可供几人喝一天？如果桶没有裂缝由4个人来喝需要几天喝完？


6.某建筑工地开工前运进一批砖，开工后每天运进相同数量的砖，如果派15个工人砌砖墙14天可以把砖运完，如果派20个工人，9天可以把砖用完，现在派若干名工人砌了6天后，调走6名工人，其余工人又工作4天才砌完，问原来有多少工人来砌墙？


7.一片匀速生长的牧草，如果让马和牛去吃，15天将草吃尽；如果让马和羊去吃，20天将草吃尽；如果让牛和羊去吃，30天将草吃尽。已知牛和羊每天的吃草量的和等于马每天的吃草量。现在让马、牛、羊一起去吃草，几天可以将这片牧草吃尽？


8.东升牧场南面一块2000平方米的牧场上长满牧草，牧草每天都在匀速生长，这片牧场可供18头牛吃16天，或者供27头牛吃8天。在东升牧场的西侧有一块6000平方米的牧场，可供多少头牛吃6天？


9.120头牛28天吃完10公顷牧场上的全部牧草，210头牛63天吃完30公顷牧场上的全部牧草，如果每公顷牧场上原有的牧草相等，且每公顷每天新生长的草量相同，那么多少头牛126天可以吃完72公顷牧场上的全部牧草？


10.如图，一块正方形的草地被分成完全相等的四块和中间的阴影部分，已知草在各处都是同样速度均匀生长。牧民带着一群牛先在①号草地上吃草，两天之后把①号草地的草吃光。（在这2天内其他草地的草正常生长）之后他让一半牛在②号草地吃草，一半牛在③号草地吃草，6天后又将两个草地的草吃光。然后牧民把的牛放在阴影部分的草地中吃草，另外的牛放在④号草地吃草，结果发现它们同时把草场上的草吃完。那么如果一开始就让这群牛在整块草地上吃草，吃完这些草需要多少时间？


初级点拨：1、这是一道抽水问题，可以用最基本的牛吃草问题的方法来解决。
2、这是一道三块草地牛吃草问题，请参照例6的做法。
3、这是一道入口问题，试着把它转换成牛吃草问题来思考。
4、这道题表面上看起来不是牛吃草问题，其实它是三块草地牛吃草的一个变例。
5、这是一道经典的牛吃草的变例。
6、注意这道题当中人数发生了变化。
7、这是一个多种动物的牛吃草问题，而且还不知道各种动物之间的倍比关系。
8、这是一道两块草地上牛吃草的问题，而且直接给出了两块草地的数量。
9、这是一道三块草地上牛吃草问题。
10、这是一个结合平面图形的牛吃草问题。

深度提示：1、可以使用五步法，注意求出原有草量与每天长草量。
2、注意把三块草地转换成1公亩，然后进行处理。
3、我们可以把人在增加想象成每分钟都在长草，把入口想象成人。
4、我们把甲、乙、丙想象成三块草地，然后参照第2题的做法就可以做出来了。
5、注意每天漏掉的酒相当于草在减少。
6、我们可以假设人数没有变，那么草的总量应该相应增加。
7、可以参照解三元一次方程来处理这道题。
8、注意2000平米与6000平米之间的关系。
9、参照第2题的解法。
10、注意观察平面图形的特征。

全解过程：1、设1台抽水机1天的抽水量为1单位，则池塘每天的进水速度为：（6×20-8×10）÷（20-10）=4单位，池塘中原有水量：6×20-4×20=40单位。若要5天内抽干水，需要抽水机40÷5+4=12台。

2、设1头牛1天吃1份牧草，则每公亩牧场上的牧草每天的生长量：（21×63÷30-12×28÷10）÷（63-28）=0.3（份），每公亩牧场上的原有草量：21×63÷30-0.3×63=25.2（份），则72公亩的牧场126天可提供牧草：（25.2+0.3×126）×72=4536（份），可供养4536÷126=36头牛

3、设一个入口1分钟入场的人数为1份，3个入场口9分钟进入了27份观众，5个入场口5分钟进入了25份观众，说明4分钟来的观众人数是27-25=2份，即每分钟来0.5份。因为9点5分时共来了25份，来25份需要25÷0.5=50分钟，所以第一个观众到达的时间是8点15分。

4、 设1个工人1小时搬1份面粉。甲仓库中12个工人5小时搬了份，乙仓库中28个工人3小时搬了份，说明甲仓库的传送机5－3=2小时多输送了84－60=24份面粉，即每小时输送24÷2=12份，仓库中共有面粉份。
丙仓库中120份面粉需在2小时内搬完，每小时需搬份，因此需要工人名。

5、一桶酒相当于原有“草”，喝酒人相当于“牛”，漏掉酒相当于草在减少，设1人1天喝酒量为“1”
6人 4天 6×4＝24：原有酒－4天自然减少的酒
4人 5天 4×5＝20：原有酒－5天自然减少的酒
从上面看出：1天减少的酒为（24－20）÷（5－4）＝4，可供4人喝一天。
原有酒为：24＋4×4＝40，由4个人来喝需要：40÷4＝10（天）。

6、依题意知开工前运进的砖相当于“原有草”开工后每天运进相同的砖相当于“草的生长速度”工人砌砖相当于“牛在吃草”。所以设1名工人1天砌砖数量为“1”，列表分析得
15人 14天 15×14＝210 ：原有砖的数量＋14天运来砖的数量
20人 9天 20×9 ＝180 ：原有砖的数量＋ 9天运来砖的数量
从上面的表中可以看出（14－9）＝5天运来的砖为（210－180）＝30，即1天运来的砖为30÷5＝6
原有砖的数量为：180－6×9＝126；
假设6名工人不走，则能多砌6×4=24份砖，则砖的总数为126+24+6×（6+4）=210
因为是10天工作完，所以有210÷10=21名工人。
7、设1匹马1天吃草量为“1”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析
马和牛　　 15天　 15天马和牛吃草量＝原有草量＋15天新长草量　（1）
马和羊　　 20天　 20天马和羊吃草量＝原有草量＋20天新长草量　（2）
牛和羊（同马）　30天　 30马（牛和羊）吃＝原有草量＋30天新长草量　（3）
由（1）×2－（3）可得：　30天牛吃草量＝原有草量　牛每天吃草量＝原有草量÷30；
由（3）分析知道：30天羊吃草量＝30天新长草量，羊每天吃草量＝每天新长草量；
讲分析的结果带入（2）得：原有草量＝20，带入（3）30天牛吃草量＝20，得牛每天吃草量＝
这样如果马、牛和羊一起吃，可以让羊去吃新生草，马和牛吃原有草可以吃：20÷（1＋）＝12（天）。

8、设1头牛1天的吃草量为“1”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析
18头牛 16天 18×16＝288 ：原有草量＋16天自然增加的草量
27头牛 8天 27× 8＝216 ：原有草量＋ 8天自然增加的草量
从上看出：2000平方米的牧场上16－8＝8天生长草量＝288－216＝72，即1天生长草量＝72÷8＝9；
那么2000平方米的牧场上原有草量：288－16×9＝144或216－8×9＝144。
则6000平方米的牧场1天生长草量＝9×（6000÷2000）＝27；原有草量：144×（6000÷2000）＝432。
6天里，西侧草场共提供草432＋27×6＝594，可以让594÷6＝99（头）牛吃6天。

9、设1头牛1天吃1份牧草。
120头牛28天吃掉120×28＝3360份，说明每公顷牧场28天提供3360÷10＝336份牧草；
210头牛63天吃掉210×63＝13230份，说明每公顷牧场63天提供13230÷30＝441份牧草；
每公顷牧场63－28＝35天多提供441－336＝105份牧草，说明每公顷牧场每天的牧草生长量为105÷35＝3份，原有草量为336－28×3＝252份。
如果是72公顷的牧场，原有草量为252×72＝18144份，每天新长出3×72＝216份，
126天共计提供牧草18144＋126×216＝45360份，可供45360÷126＝360头牛吃126天。
10、 一群牛，2天，吃了1块+1块2天新长的；一群牛，6天，吃了2块+2块2+6=8天新长的；即3天，吃了1块+1块8天新长的；即1群牛1天吃1块6天新长的；即群牛，1天，吃了1块1天新长的草量。
又因为，的牛放在阴影部分的草地中吃草，另外的牛放在④号草地吃草，它们同时吃完。所以，
③=2阴影部分面积。于是，整个为块地。那么需要群牛吃新长的草，于是=现在。所以需要吃：天。
所以，一开始将一群牛放到整个草地，则需吃30天。