甘肃省武威市凉州区2021-2022学年八年级（下）期中数学试卷（含解析）

甘肃省武威市凉州区2021-2022学年八年级（下）期中数学试卷

一．选择题（本题共10小题，共30分）

1. 化简的结果正确的是

A.  B.  C.  D.

2. 若二次根式有意义，则的取值范围是

A.  B.  C.  D.

3. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是

A.  B.  C.  D.

4. 将一个直角三角板和一把直尺按如图所示的方式摆放，若，则的度数为

A.
B.
C.
D.

5. 下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

6. 若一直角三角形两边长为和，则第三边长为

A.  B.  C. 或 D. 不确定

7. 如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是

A. 当时，它是菱形
B. 当时，它是菱形
C. 当时，它是矩形
D. 当时，它是正方形
 

8. 如图，在中，，是的垂直平分线，，，则

A.
B.
C.
D.

9. 是整数，正整数的最小值是

A.  B.  C.  D.

10. 下列给出的条件中，不能判断四边形是平行四边形的是

1. ， B. ，
   C. ， D. ，

二．填空题（本题共9小题，共32分）

11. 如果，那么的值是______ ．
12. ______．
13. ______．
14. 如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中的一张，重合的部分构成了一个四边形，这个四边形是______ ．
     

15. 如果一个直角三角形斜边上的中线与斜边所成的锐角为，那么这个直角三角形的较小内角的度数为______．
16. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，正方形，，的面积分别是，，，则正方形的面积是_____．
     

17. 若直角三角形的两直角边长分别为和，则斜边上的中线长为______．
18. 如图所示，在数轴上点所表示的数为，则的值为______ ．

19. 如图，在平行四边形中，于，于，，且，则平行四边形的周长等于______．

三．解答题（本题共6小题，共58分）

20. 计算
    ；
    ；
    ．

21. 如图，在▱中，点，分别在、上，且，连接，交于点求证：．

22. 在数学课上，老师提出如下问题，尺规作图：过直线外一点作已知直线的垂线．
    已知：如图，直线及其外一点求作：的垂线，使它经过点．
    小云的作法如下：
    在直线上任取一点，连接．
    以为圆心，线段的长度为半径作弧，交直线于点．
    分别以、为圆心，线段的长度为半径作弧，两弧相交于点．
    作直线直线即为所求如图．
    请证明：直线．
    若，，求四边形的周长．
23. 如图，矩形的对角线，相交于点，，求证：四边形是菱形．
    
    
     

24. 如图，在中，，，垂足为点，是外角的平分线，，垂足为点．
    求证：四边形为矩形；
    当满足什么条件时，四边形为正方形？给出证明．
     

25. 如图，在长方形中，，，点从点出发，以秒的速度沿向点运动，设点的运动时间为秒：
    ______用的代数式表示
    当为何值时，≌？
    当点从点开始运动，同时，点从点出发，以 秒的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：原式
．
故选：．
根据计算即可．
本题考查了二次根式的性质与化简：．
 

2.【答案】

【解析】解：由题意得：，
解得：，
故选：．
根据二次根式有意义的条件可得，再解不等式即可．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式的被开方数是非负数．
 

3.【答案】

【解析】解：、，与不是同类二次根式；
B、与不是同类二次根式；
C、，与是同类二次根式；
D、，与不是同类二次根式；
故选：．
根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可．
本题考查的是同类二次根式的概念、二次根式的化简，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
 

4.【答案】

【解析】解：如图，

两直线平行，内错角相等，
对顶角相等，
，
．
故选：．
由两直线平行，内错角相等及三角形内角和作答．
本题考查平行线的性质及三角形内角和定理，解题关键是熟练掌握平行线的性质及三角形内角和定理．
 

5.【答案】

【解析】解：、，不符合勾股定理的逆定理，故正确；
B、，符合勾股定理的逆定理，故错误；
C、，符合勾股定理的逆定理，故错误；
D、，符合勾股定理的逆定理，故错误．
故选：．
根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形．
本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
 

6.【答案】

【解析】解：当是直角边时，则第三边；
当是斜边时，则第三边．
综上所述，第三边的长是或．
故选：．
由于直角三角形的斜边不能确定，故应分是直角边或是斜边两种情况进行讨论．
本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
 

7.【答案】

【解析】

【分析】
此题主要考查学生对正方形的判定、平行四边形的性质、菱形的判定和矩形的判定的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，学生答题时容易出错．
根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据所给条件可以证出邻边相等；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形；根据对角线相等的平行四边形是矩形．
【解答】
解： 、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形 是平行四边形，当 时，它是菱形，故 A 选项正确；
B 、 四边形 是平行四边形，设 和 交于 点， ， ， ， ，
， 四边形 是菱形，故 B 选项正确；
C 、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故 C 选项正确；
D 、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当 时，它是矩形，不是正方形，故 D 选项错误；
综上所述，符合题意是 选项；
故选： ．   

8.【答案】

【解析】解：是的垂直平分线，
，，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
．
故选：．
根据角所对的直角边等于斜边的一半得出，根据线段垂直平分线的性质得出，根据含度角的直角三角形的性质得出，那么．
本题考查了含度角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，求出与的长度是解题的关键．
 

9.【答案】

【解析】解：是整数，
正整数的最小值为，
故选B
根据为整数，为正整数，确定出的最小值即可．
此题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式定义是解本题的关键．
 

10.【答案】

【解析】解：平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．能判断，
平行四边形判定定理，两组对角分别相等的四边形是平行四边形；能判断；
平行四边形判定定理，两组对边分别相等的四边形是平行四边形；能判定；
平行四边形判定定理，对角线互相平分的四边形是平行四边形；
平行四边形判定定理，一组对边平行相等的四边形是平行四边形；
故选：．
直接根据平行四边形的判定定理判断即可．
此题是平行四边形的判定，解本题的关键是掌握和灵活运用平行四边形的个判断方法．
 

11.【答案】

【解析】解：，
，
故答案为：．
根据二次根式的运算法则即可求出答案．
本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．
 

12.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了二次根式的性质与化简： 也考查了绝对值的意义．
根据简 得到原式 ，然后根据绝对值的意义去绝对值即可．
【解答】
解：原式 ．
故答案为 ．   

13.【答案】

【解析】解：原式．
故答案为：．
先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可得出答案．
此题考查了二次根式的加减运算，属于基础题，解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并．
 

14.【答案】菱形

【解析】解：过点分别作，边上的高为，，
四边形是用两张等宽的纸条交叉重叠地放在一起而组成的图形，
，，
四边形是平行四边形对边相互平行的四边形是平行四边形；
，，
两纸条相同，纸条宽度相同，
，
，
四边形是菱形，
故答案为：菱形．
首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条纸条宽度相同；再由平行四边形的等积转换可得邻边相等，则四边形为菱形．所以根据菱形的性质进行判断．
本题考查了菱形的判定与性质．关键是掌握邻边相等的平行四边形是菱形．菱形的面积底高．
 

15.【答案】

【解析】解：如图，是斜边上的中线，
，
，
斜边上的中线与斜边所成的锐角为，即，
，
解得，
另一个锐角，
这个直角三角形的较小内角的度数为．
故答案为：．
作出图形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到等腰三角形，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键，作出图形更形象直观．
 

16.【答案】

【解析】

【分析】
此题主要考查了勾股定理．

根据勾股定理有 ， ， ，等量代换即可求正方形 的面积．

【解答】
解：根据勾股定理可知，

，
，
，
．
正方形 的面积
故答案为： ．   

17.【答案】

【解析】解：直角三角形两直角边长为和，
斜边，
此直角三角形斜边上的中线的长．
故答案为：．
根据勾股定理可求得直角三角形斜边的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．
此题主要考查勾股定理及直角三角形斜边上的中线的性质；熟练掌握勾股定理，熟记直角三角形斜边上的中线的性质是解决问题的关键．
 

18.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了数轴和实数，勾股定理的应用，能求出 的长是解此题的关键．根据勾股定理求出直角三角形的斜边，即可得出答案．
【解答】
解：如图：

由勾股定理得： ，
即 ，
，
故答案为 ．

  19.【答案】

【解析】解：，
，
，
，，
设，则，
在中，根据勾股定理可得：
，
同理：，
平行四边形的周长．
故答案为：．
由于，于，，得的度数，在平行四边形中，证得与是等腰直角三角形，进而可以解决问题．
此题考查了平行四边形的性质以及等腰直角三角形性质．注意证得与是等腰直角三角形是关键．
 

20.【答案】解：原式

；
原式
；
原式
．

【解析】根据二次根式的乘法法则和除法法则运算；
先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
利用平方差公式和完全平方公式计算．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的乘除法法则和乘法公式是解决问题的关键．
 

21.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
，
在和中，
，
≌，
．

【解析】利用证得≌后即可证得结论．
本题考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定与性质，解题的关键是证得和全等，难度不大．
 

22.【答案】证明：由作法得，，
四边形为菱形，
，
即直线．
解：与相交于点，如图，
四边形为菱形，
，，
在中，，
四边形的周长．

【解析】利用基本作图得到，，则可判断四边形为菱形，根据菱形的性质得到结论；
与相交于点，如图，根据菱形的性质得到，，然后利用勾股定理计算出，从而得到四边形的周长．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线也考查了菱形的判定与性质．
 

23.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
，
四边形是菱形．

【解析】此题主要考查了矩形的性质以及菱形判定方法，正确掌握相关四边形判定与性质是解题关键．
直接利用平行四边形的判定方法得出四边形是平行四边形，再利用矩形的性质以及菱形的判定方法得出答案．
 

24.【答案】证明：在中，，，
，
是外角的平分线，
，
，
又，，
，
四边形为矩形．
当满足时，四边形是一个正方形．
理由：，
，
，
，
，
四边形为矩形，
矩形是正方形．
当时，四边形是一个正方形．

【解析】根据矩形的有三个角是直角的四边形是矩形，已知，，所以求证，可以证明四边形为矩形．
根据正方形的判定，我们可以假设当，由已知可得，，由的结论可知四边形为矩形，所以证得，四边形为正方形．
本题是以开放型试题，主要考查了对矩形的判定，正方形的判定，等腰三角形的性质，及角平分线的性质等知识点的综合运用．
 

25.【答案】；
当时，≌，
当时，，
，
在和中，
，
≌；



当，时，≌，
，
，
，
，
解得：，
，
，
解得：；
当，时，≌，
，
，
，
解得：，
，
，
解得：．
综上所述：当或时与全等．

【解析】

解： 点 从点 出发，以 秒的速度沿 向点 运动，点 的运动时间为 秒时， ，
则 ；

见答案；

见答案．
【分析】
根据 点的运动速度可得 的长，再利用 即可得到 的长；
当 时， ≌ ，根据三角形全等的条件可得当 时，再加上 ， 可证明 ≌ ；
此题主要分两种情况 当 ， 时， ≌ ；当 ， 时， ≌ ，然后分别计算出 的值，进而得到 的值．
此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形全等的条件，找准对应边．