2021-2022学年吉林省长春市南关区解放大路学校八年级（下）月考数学试卷（4月份）（含解析）

2021-2022学年吉林省长春市南关区解放大路学校八年级（下）月考数学试卷（4月份）

一、选择题（本大题共8小题，共24分）

1. 下列各点中，在第四象限且到轴的距离为个单位长度的点是

A.  B.  C.  D.

2. 下列各图能表示是的函数的是

A.  B.
C.  D.

3. 下列函数中，是正比例函数的是

A.  B.  C.  D.

4. 若平行四边形的一边长为，则它的两条对角线长可以是

A. 和 B. 和 C. 和 D. 和

5. 若一次函数的图象不经过第一象限，则的取值范围是

A.  B. 且
C.  D.

6. 如图，平行四边形的对角线和相交于点，过点的直线分别交和于点，，若设该平行四边形的面积为，则图中阴影部分的面积为

A.  B.  C.  D. 无法确定

7. 如图，在▱中，，，于点，则等于

A.  B.  C.  D.

8. 如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于、两点，是线段上任意一点不包括端点，过点分别作两坐标轴的垂线，与两坐标轴围成的矩形的周长为，则线段的最小值为

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

9. 在函数中，自变量的取值范围是______．
10. 把直线向上平移个单位长度，则平移后所得直线的解析式为______．
11. 如图，直线过原点分别交反比例函数于、，过点作轴，垂足为，则的面积为______．
    
    
    
     

12. 如图，▱沿对角线折叠，使点落在处，其中，则的度数为______．

13. ▱一内角的平分线与边相交并把这条边分成，的两条线段，则▱的周长是______．
14. 如图，在矩形中，，，点为边上任意一点，过点作，，垂足分别为、，则______．
     

三、解答题（本大题共10小题，共78分）

15. 计算；
    解不等式组：．
16. 先化简，再求值：，其中．
17. 已知点及在第一象限的动点，且，的面积为求：
    关于的函数表达式：______．
    直接写出的取值范围为______；
    当时，求点的坐标．
18. 自年新型冠状病毒疫情发生以来，物资运输压力剧增，无人接触配送需求爆发，国产无人机大量进入快递行业．现有甲、乙两种型号的无人机都被用来运送快件，甲型机比乙型机平均每小时多运送件快件，甲型机运送件所用时间与乙型机运送件所用时间相等，两种无人机平均每小时分别运送多少件快件？
19. 如图，是等腰底边上的高．是的中点，延长到点，使，连结，．
    求证：四边形是平行四边形；
    若，，则四边形的面积为______．
    
    
     

20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、．
    求反比例函数和一次函数的表达式；
    结合图象，不等式的解集为______；
    若点为轴上一点，的面积为，满足条件的点有______个，点的坐标分别为______．

21. 图，图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为，点、点均在格点上，在给定的网格中用无刻度直尺按要求画图，所画图形的顶点均为格点．
    
    在图中，以、、为顶点画一个等腰直角三角形．
    在图中，以、、、为顶点画出一个面积为的平行四边形．
22. 甲、乙两车分别从、两地沿同一路线同时出发，相向而行，以各自速度匀速行驶，甲车行驶到地停止，乙车行驶到地停止，甲车比乙车先到达终点．设甲、乙两车之间的路程为，乙车行驶的时间为，与之间的函数图象如图所示．
    甲车行驶的速度为______；乙车行驶的速度为______．
    图中______
    求甲车到达地后，与之间的函数表达式，并写出的取值范围．
    当两车之间的路程为时，请直接写出乙车行驶的时间．

23. 问题呈现：如图，在一次数学活动课的折纸活动中，有一张矩形纸片，点在上，点在上，小丽同学将这张矩形纸片沿翻折得到四边形，交于点，小丽认为是等腰三角形，你认为小丽的判断正确吗？______填“正确”或“错误”
    问题拓展：如图，在“问题呈现”的条件下，当点的对应点落在上时，已知，，，写出、、满足的数量关系，并证明你的结论．
    问题应用：如图，在▱中，，将▱沿对角线翻折得到，交于若点为的中点，则▱的面积为______．

24. 如图，是等腰直角三角形，，动点从点出发，沿以每秒个单位的速度向终点运动，过点作交于点点不与点、重合，点绕点沿逆时针方向旋转至点，连结，，设点的运动时间为秒．

(1) ______，______用含的代数式表示

当点落在线段上时，求的值；
设与重叠部分面积为，用含的代数式表示；
当线段的垂直平分线经过一边中点时，直接写出的值．
答案和解析

1.【答案】

【解析】解：在第三象限，故此选项不合题意；
B.在第四象限，到轴的距离为个单位，故此选项符合题意；
C.在第二象限，故此选项不合题意；
D.在第四象限，到轴的距离为个单位，故此选项不符合题意；
故选：．
首先确定各点所在象限，再根据到轴的距离为个单位可得此点的纵坐标的绝对值为，进而可得答案．
此题主要考查了点的坐标，关键是掌握四个象限内点的坐标符号．
 

2.【答案】

【解析】解：、对每一个的值，不是有唯一确定的值与之对应，不能表示是的函数；
B、对每一个的值，不是有唯一确定的值与之对应，不能表示是的函数；
C、对每一个的值，都有唯一确定的值与之对应，能表示是的函数；
D、对每一个的值，不是有唯一确定的值与之对应，不能表示是的函数；
故选：．
根据函数的定义可知，满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可得到结论．
本题主要考查了函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量，，对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，则是的函数，叫自变量．
 

3.【答案】

【解析】解：、为的反比例函数，所以选项不符合题意；
B、是的一次函数，所以选项不符合题意；
C、为的正比例函数，所以选项符合题意；
D、是的二次函数，所以选项不符合题意．
故选：．
根据正比例函数的定义解答即可．
本题考查了正比例函数的定义：一般地，形如是常数，的函数叫做正比例函数，其中叫做比例系数．
 

4.【答案】

【解析】解：如图，过点作，交延长线于点，
四边形为平行四边形，
，
在中：，即，
，
选项中只有中的数据能满足此关系：，
故选B．
作辅助线，再根据三角形的三边关系求出两条对角线的长．
本题通过作辅助线，把平行四边形的两条对角线转化在同一三角形中，利用三角形三边关系求解．
 

5.【答案】

【解析】解：当一次函数的图象经过第二、四象限时，，无解，舍去；
当一次函数的图象经过第二、三、四象限时，，
解得：．
故选：．
分一次函数的图象经过第二、四象限或经过第二、三、四象限两种情况考虑，当一次函数的图象经过第二、四象限时，可得出关于的一元一次不等式及一元一次方程，解之可得出此种情况不存在；当一次函数的图象经过第二、三、四象限时，利用一次函数图象与系数的关系，可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围．
本题考查了一次函数图象与系数的关系，分一次函数的图象经过第二、四象限或经过第二、三、四象限两种情况，找出的取值范围是解题的关键．
 

6.【答案】

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，，
在和中，
，
≌，
，
同理可证：
≌，≌，
，，
阴影部分的面积．
故选：．
根据平行四边形的性质可以证明三角形全等，进而可得阴影部分的面积为平行四边形面积的一半．
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．
 

7.【答案】

【解析】解：，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
．
故选：．
要求，就要先求出，要求出，就要先求出利用，即可求出．
本题考查了平行四边形的性质，解决本题的关键是利用三角形内角和定理，等边对等角等知识得到和所求角有关的角的度数．
 

8.【答案】

【解析】解：设，
矩形的周长为，
根据矩形的对边相等，
，
，
当时，，
当时，，
，，
，，
根据勾股定理，得，
当时，最小，
，
即，
解得．
故选：．
设点坐标，根据矩形的周长表示出点所在直线的解析式，进一步求出，点坐标，再根据面积法求出的值即可．
本题考查了一次函数的几何应用，熟练掌握一次函数的性质，利用数形结合思想是解决本题的关键．
 

9.【答案】

【解析】解：根据题意得：，
解得，．
根据被开方数大于等于可知：，解得的范围．
本题考查的是函数自变量取值范围的求法．
 

10.【答案】

【解析】解：把直线向上平移个单位长度，则平移后所得直线的解析式为，即．
故答案为：．
直接利用一次函数的平移规律进而得出答案．
此题主要考查了一次函数与几何变换，正确掌握平移规律是解题关键．
 

11.【答案】

【解析】解：反比例函数与正比例函数的图象相交于、两点，
、两点关于原点对称，
，
的面积的面积，
又是反比例函数图象上的点，且轴于点，
的面积，
则的面积为，
故答案为．
证明的面积的面积，而的面积，即可求解．
本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，涉及到反比例函数的比例系数的几何意义：反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积的关系，即．
 

12.【答案】

【解析】解：根据翻折可知：
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
根据翻折可得，根据平行四边形可得，所以，从而可得，进而求解．
本题考查了翻折变换、平行四边形的性质，解决本题的关键是利用翻折的性质．
 

13.【答案】或

【解析】解：如图所示：
在平行四边形中，，，，
，
又平分，
，
，
，
当时，平行四边形的周长；
当时，平行四边形的周长；
若点在边上，同理可得▱的周长为或．
综上所述，▱的周长为或．
故答案为：或．
此题注意要分情况讨论：根据角平分线的定义以及平行线的性质，可以发现一个等腰三角形，进而得到平行四边形的周长．
本题主要考查了平行四边形的性质、角平分线的定义，解题的关键是画出图形，分类讨论即可解决问题．
 

14.【答案】

【解析】解：连接，如图：
四边形是矩形，
，，，，
，，
，，，
，
；
故答案为：．
连接由勾股定理得出，可求得，由矩形的性质得出，，，由求得答案．
此题考查了矩形的性质、勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
 

15.【答案】解：

；
，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
故原不等式组的解集是．

【解析】先化简，然后合并同类二次根式即可；
先解出每个不等式的解集，然后即可得到不等式组的解集．
本题考查二次根式的混合运算、解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则和解不等式组的方法是解答本题的关键．
 

16.【答案】解：原式
，
当时，
原式
．

【解析】直接利用整式的混合运算法则化简，再把已知数据代入得出答案．
此题主要考查了整式的混合运算化简求值，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
；
故答案为：；
在第一象限，
，，
解得，
故答案为：；
当时，即，
解得，
．
根据，得，再求的面积即可；
根据在第一象限，得，，即可求出取值范围；
将代入中的函数关系式，即可求出点坐标．
本题考查了一次函数与动点的综合，熟练掌握求三角形面积的方法是解决本题的关键．
 

18.【答案】解：设乙型无人机平均每小时运送件快件，则甲型无人机平均每小时运送件快件，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：甲型无人机平均每小时运送件快件，乙型无人机平均每小时运送件快件．

【解析】设乙型无人机平均每小时运送件快件，则甲型无人机平均每小时运送件快件，根据甲型机运送件所用时间与乙型机运送件所用时间相等，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可求出乙型无人机平均每小时运送快件数量，再将其代入中即可求出甲型无人机平均每小时运送快件的数量．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

19.【答案】

【解析】证明：是的中点，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
是等腰底边上的高，
，
，
四边形是平行四边形；
解：是等腰底边上的高，
，
平行四边形是矩形，
是等腰底边上的高，，，
，，，
由勾股定理得：，
四边形的面积是．
故答案为：．
根据平行四边形的判定解答即可；
求出，根据勾股定理求出，根据矩形的面积公式求出即可．
本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，能综合运用定理进行推理和计算是解此题的关键，比较典型，难度适中．
 

20.【答案】或    或

【解析】解：将点代入反比例函数，
得，
反比例函数，
将代入，
得，
解得，
，
将，点坐标代入一次函数，
得，
解得，
一次函数解析式：．
根据图象可知，不等式的解集是：或．
故答案为：或．
设直线与轴交于点，如图所示：

当时，，
，
，
，
解得，
或．
故答案为：，或．
先将点代入，求出的值，再将点坐标代入反比例函数解析式，求出，即可确定解析式；
根据图象可以确定不等式解集；
先求出直线与轴交点坐标，再根据列方程，求出的长度，进一步求出点坐标．
本题考查了反比例函数的综合，涉及反比例函数解析式，图象与性质，三角形面积等，注意由三角形面积求点坐标要分情况是解题关键．
 

21.【答案】解：如图中，即为所求答案不唯一；
如图中，四边形即为所求．
 

【解析】根据等腰直角三角形的定义画出图形即可；
画一个底为，高为的平行四边形即可．
本题考查作图应用与设计作图，等腰直角三角形的判定和性质，平行四边形的判定等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
 

22.【答案】   

【解析】解：甲车的速度是；乙车的速度是．
故答案为：；．
．
故答案为：．
设与之间的函数关系式为，
由题意，得，
解得，
则．
的取值范围：．
设甲、乙两车相遇之前，乙车行驶的时间为

解得：．
当甲车到达终点后，
令，，
解得：．
答：乙车行驶的时间是小时或小时．
甲车的速度是，再求出乙车的速度是即可．
利用时间路程速度，可列，即得答案．
利用待定系数法即可求出函数解析式．
根据相遇之前和相遇之后分情况，求出的值，即可解答．
本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是准确识图并获取信息．
 

23.【答案】正确 

【解析】解：问题呈现：正确，
四边形是矩形，
，
，
由折叠知，，
，
，
是等腰三角形，
故答案为：正确；
问题拓展：，理由如下：
由折叠知，，，，
由问题呈现知，，
在中，由勾股定理得，，
问题应用：由问题呈现知，，
点为的中点，
，
，
，，
，
，
，，
，
▱的面积为，
故答案为：．
问题呈现：由平行线的性质和翻折的性质可得，则；
问题拓展：由折叠知，，，，由问题呈现知，，再利用勾股定理可得答案；
问题应用：由，可说明，利用勾股定理求出的长，可得答案．
本题主要考查了平行线的性质，翻折的性质，等腰三角形的判定，直角三角形的判定，勾股定理等知识，证明是解题的关键．
 

24.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：，；

如图中，当点落在线段上时，，

，
．

当时，如图中，重叠部分是，．
当时，如图中，重叠部分是四边形，．

综上所述，．

如图中，当的垂直平分线经过的中点时，，

，
．
如图中，当的垂直平分线经过的中点时，，此时，

如图中，当的垂直平分线经过的中点时，

，
，
，
综上所述，满足条件的的值为或或．
利用等腰直角三角形的判定和性质解决问题即可；
如图中，当点落在线段上时，；
当时，如图中，重叠部分是，当时，如图中，重叠部分是四边形，分别求解即可；
分三种情形，分别画出图形，构建方程求解．
本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．