初中数学4 探索三角形相似的条件第4课时教学设计及反思

第4课时  黄金分割

教学目标

（一）教学知识点

1.知道黄金分割的定义.

2.会找一条线段的黄金分割点.

3.会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点.

（二）能力训练要求

通过找一条线段的黄金分割点，培养学生的理解与动手能力.

（三）情感与价值观要求

理解黄金分割的意义，并能动手找到和制作黄金分割点和图形，让学生认识数学与人类生活的密切联系对人类历史发展的作用.

教学重点

了解黄金分割的意义，并能运用.

教学难点

找黄金分割点和画黄金矩形.

教学过程

Ⅰ.创设问题情境，引入新课

［师］生活中我们见到过许许多多的图形，形态各异，美观大方.那么这些漂亮的图形你能画出来吗？比如，右图是一个五角星图案，如何找点C把AB分成两段AC和BC，使得画出的图形匀称美观呢？本节课就研究这个问题.

Ⅱ.讲授新课

［师］在五角星图案中，大家用刻度尺分别度量线段AC、BC的长度，然后计算、,它们的值相等吗？

［生］相等.

［师］所以.

1.黄金分割的定义

一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果,那么称线段AB被点C黄金分割（golden section）,点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.其中≈0.618.

2. 计算黄金比.

解：由= ，得∴AC2=AB·BC.

设AB=1,AC=x,则BC=1- x.

∴x2=1×（1－x）

∴x2+ x －1=0

解这个方程，得

x1=或x2=（不合题意，舍去），

所以，黄金比=≈0.618。

3.作一条线段的黄金分割点.

如图，已知线段AB，按照如下方法作图：

（1）经过点B作BD⊥AB，使BD=AB.

（2）连接DA，在DA上截取DE=DB.

（3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点.

［师］你知道为什么吗？

若点C为线段AB的黄金分割点，则点C分线段AB所成的两条线段AC、BC间须满足.下面请大家进行验证.自己有困难时可以互相交流.为了计算方便，可设AB=1.

证明：∵AB=1,AC=x,BD=AB=

∴AD=x+

在Rt△ABD中，由勾股定理，得

（x+）2=12+（）2

∴x2+x+=1+

∴x2=1－x

∴x2=1·（1－x）

∴AC2=AB·BC

即：

即点C是线段AB的一个黄金分割点，

在x2=1－x中

整理，得x2+x－1=0

∴x=

∵AC为线段长，只能取正

∴AC=≈0.618

∴≈0.618

∴黄金比约为0.618.

3.想一想

古希腊时期的巴台农神庙（Parthenom Temple）.把它的正面放在一个矩形ABCD中，以矩形ABCD的宽AD为边在其内部作正方形AEFD，那么我们可以惊奇地发现，,点E是AB的黄金分割点吗？矩形ABCD的宽与长的比是黄金比吗？

［师］请大家互相交流.

［生］因为四边形AEFD是正方形，所以AD=BC=AE,又因为,所以,即,因此点E是AB的黄金分割点，矩形ABCD宽与长的比是黄金比.

［师］在上面这个矩形中，宽与长的比是黄金比，这个矩形叫做黄金矩形.你学会作了吗？

Ⅲ.课时小结

本节课学习了：1.黄金分割点的定义及黄金比.

2.如何找一条线段的黄金分割点，以及会画黄金矩形.

3.能根据定义判断某一点是否为一条线段的黄金分割点.

Ⅳ.课后作业

习题4.8

Ⅴ.活动与探究

要配制一种新农药，需要兑水稀释，兑多少才好呢？太浓太稀都不行.什么比例最合适，要通过试验来确定.如果知道稀释的倍数在1000和2000之间，那么，可以把1000和2000看作线段的两个端点，选择AB的黄金分割点C作为第一个试验点，C点的数值可以算是1000+（2000－1000）×0.618=1618.试验的结果，如果按1618倍，水兑得过多，稀释效果不理想，可以进行第二次试验.这次的试验点应该选AC的黄金分割点D，D的位置是1000+（1618－1000）×0.618，约等于1382，如果D点还不理想，可以按黄金分割的方法继续试验下去.如果太浓，可以选DC之间的黄金分割点；如果太稀，可以选AD之间的黄金分割点，用这样的方法，可以较快地找到合适的浓度数据.

这种方法叫做“黄金分割法”.用这样的方法进行科学试验，可以用最少的试验次数找到最佳的数据，既节省了时间，也节约了原材料.

●板书设计