湖南省2022年普通高中学业水平考试数学模拟试卷（四）

湖南省2022年普通高中学业水平考试

数学模拟试卷（四）

本试卷包括选择题、填空题、和解答题三部分。时量90分钟，满分100分

一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知角a=15，则a的弧度数为

A、          B、           C、          D、

2、一组样本数据按从小到大的顺序排列为13，14，19，x，23，27，28，31，其中位数为22，则x等于

A、21            B、22             C、20               D、23

3、简谐运动 y=4sin(5x－）的相位与初相分别是

A、5x－，          B、5x－，4           C、5x－，－           D、4，

4、若A，B为对立事件，则下列式子中成立的是

A、P(A)＋ P(B)1    B、P(A)＋ P(B)1     C、P(A)＋ P(B)=0    D、P(A)＋ P(B)1

5、若复数Z=3－4i的模为a，虚部为b，则a＋b等于

A、5＋4i        B、5－4i           C、1         D、9

6、10名工人某天生产同一零件，生产的件数分别是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有

A、abc       B、bca      C、cab         D、cba 

7、函数f(x)=5-x在区间[－3,－2]上的最大值是

A、125           B、25           C、         D、

8、已知Z1=2＋i，Z2=1－2i，则复数Z=Z2－Z1对应的点位于

A、第一象限        B、第二象限         C、        D、第四象限

9、袋内装的红、白、黑球分别有3，2，1个，从中任取两个球，则互斥而不对立的事件是

A、至少一个白球；都是白球                    B、至少一个白球；至少一个黑球       

C、至少一个白球；一个白球，一个黑球          D、至少一个白球；红球、黑球各一个  

10、函数y=sinx－|sinx|的值域是

A、0       B、[－1，1]          C、[0，1]         D、[－2，0]

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分。

11、函数f(x)=lnx的定义域是             

12、甲、乙、丙3人站成一排，则甲恰好站在中间的概率为               

13、某学习小组有2男5女共7名同学，从中随机抽取1人进行演讲同，则抽到女生的概率是      

14、如果正ΔABC的边长为1，那么·等于           

15、棱长均为4的三棱锥的表面积是         

三、解答题：本大题共4个小题，满分40分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 。

16、（本小题满分10分）

目前，新冠病毒引发的肺炎疫情在全球肆虐，为了解新冠肺炎传播途径，采取有效防控措施，某医院组织专家统计了该地区1000名患者新冠病毒潜伏期的相关信息，数据经过汇总整理得到如图所示的频率分布直方图.潜伏期低于平均数的患者，称为“短潜伏者”，潜伏期不低于平均数的患者，称为“长潜伏者”.

（1）求这1000名患者潜伏期的众数、平均数；

（2）并计算出这1000名患者中“短潜伏者”的人数.

17、（本小题满分10分）

已知函数f(x)=sin2x＋1.

（1）求函数f(x)的最小正周期和最大值；

（2）求函数f(x)的单调减区间.

18、（本小题满分10分）

某交通路段限速70km/h，现对通过该路段的n辆汽车车速进行检测、统计，并绘制成频率分布直方图（如图）.

（1）若这n辆汽车中，速度在60km/h～70km/h之间的车辆有150辆，求n的值；

（2）根据频率分布直方图，估计汽车在该路段超速的概率.

19、（本小题满分10分）

已知函数f(x)=a|x|，g(x)=a-|x|，其中a0，且a≠1.

（1）判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由；

（2）若不等式f(x)≥g(x)对xR都成立，求a的取值范围；

（3）设f(1)=2，直线y=t1与y=f(x)的图象交于A，B两点，直线y=t2与g(x)的图象交于C，D两点，得到四边形ABCD.证明：存在实数t1，t2，使四边形ABCD为正方形.

参考答案

一、选择题

1—5  D A C  D C       6—10  DA C  D D

二、填空题

11、(0，+∞)   12、    13、    14、   15.16

三、解答题

16.解：(1)由频率分布直方图可得众数为7，平均数=0.02×2×1+0.08×2×3+0.15×2×5+0.18×2×7+0.03×2×9+0.03×2×11+0.01×2×13=6.

所以这1000名患者潜伏期的众数为7，平均数为6.

(2)由频率分布直方图可知，小于6的频率为(0.02+0.08+0.15)×2=0.5，所以这1000名患者中“短潜伏者”的人数为1000×0.5=500.

17.解：（1）函数的最小正周期为T= =，当sin2x=1时最大值为2；

（2）令＋2k≤2x≤＋2k（kZ），所以＋k≤x≤＋k（kZ），

∴f(x)单调递减区间是[＋k，＋k]（kZ）.

18.解：(1)由直方图可知，车速在60km/h～70km/h之间的频率为0.3，所以= 0.3.得n = 500.

(2)由直方图可知，车速在70km/h～80km/h之间的频率为0.28，车速在80km/h～90km/h之间的频率为0.1，所以可以估计汽车在该路段超速的概率为0.28＋0.1=0.38

19.解：（1）因为x∈R，且f(-x)=f(x)，所以函数f(x)为偶函数

（2）当a＞1时，因为|x|≥－|x|，y=ax在R上是增函数，所以a|x|≥a-|x|，

即不等式f(x)≥g(x)对x∈R都成立；当0＜a＜1时，因为|x|≥－|x|，y=ax在R上是减函数，所以a|x|≤a-|x|，与已知矛盾，综上所述，a的取值范围为(1，＋∞).

（3）由f(1)=2，得a=2.令2|x|=t1，则t1＞1，且x=±log2t1，故|AB|=2log2t1，

令2-|x|=t2，则0＜t2＜1，且x=±log2t2，故|CD|=－2log2t2，

由|AB|=|CD|，得2log2t1=-2log2t2，故t1t2=1.又因为|AB|=|BC|=t1－t2，得2log2t1=t1－t2=t1－ .

令h(x)=x－-－2log2x(x＞1)，由h(2)=-＜0，h(8)=＞0，

得h(2)·h(8)＜0，故h(x)在(2，8)上存在零点，记为工x0 .

令t1=x0，t2=，所以存在实数t1，t2，使四边形ABCD为正方形，即原命题成立.