学而思 高一数学 暑假 尖子班预科讲义（人教版）

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指数
与指数函数
第5讲

函数6级
对数及其运算
满分晋级





函数5级
指数与指数函数
函数4级
函数的奇偶性

新课标剖析






当前形势
函数概念与指数函数、对数函数、幂函数在近五年北京卷(理)中考查5～15分
高考
要求
内容
要求层次
具体要求
A
B
C
有理数指数幂的含义

√

理解有理指数幂的含义
实数指数幂的含义
√


通过具体实例了解实数指数幂的意义
幂的运算


√
掌握幂的运算
指数函数的概念及其性质

√

通过具体实例（如，细胞的分裂，考古中所用的14C的衰减，药物在人体内残留量的变化等），了解指数函数模型的实际背景;
理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点;
在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型

北京
高考
解读
2008年
2009年
2010年（新课标）
2011年（新课标）
2012年（新课标）
第2题 5分
第13题 5分
第3题5分
第13题5分
第6题 5分
第14题 5分
第6题 5分
第8题 5分
第13题 5分
第14题 5分



指数引入
在初中的时候我们学习了一些特殊的函数，如一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数，而且根据前几节课的学习，我们能够把这些函数的性质更完整的表述出来.那在高中我们又会学习哪些特殊的函数呢？这些函数具有什么样的性质呢？就是今天包括后边几天我们要学习的内容.今天我们先学习一个指数函数，其实这个函数我们在初中就接触过，比如，等，只不过当时我们没有给它规定具体的名字，那在高中阶段我们将给它取个具体的名字，就跟每个人都要有自己的名字一样.那在讲指数之前我们先来看一个有趣的故事：
在古印度，有个名叫西萨的人，发明了国际象棋，当时的印度国王大为赞赏，对他说：我可以满足你的任何要求．西萨说：请给我棋盘的个方格上，第一格放粒小麦，第二格放粒，第三格放粒，往后每一格都是前一格的两倍，直至第格．国王觉得这事挺好办，欣然同意．
计数麦粒的工作开始了，第一格内放粒，第二格内放粒，第三格内放粒，，还没有到第二十格，一袋麦子已经空了，一袋又一袋的麦子被扛到国王面前来，但是，麦粒数一倍接一倍飞快增长着，国王很快就看出，即便拿出全国的粮食，也兑换不了他对西萨的诺言.
这到底有多少粒小麦呢，我们可以估算一下：方格中有的小麦数依次为：，
最后一格中有粒小麦，，，也就是百亿亿，那就是八百亿亿．这还不包括前面个格子的．其中，我们归纳一下求个和，知道小麦数一共是，大约是一千六百亿亿．这大概是全世界两千年所产的小麦的总和．
再直观一点，给这么多小麦建一个宽四米，高四米的粮仓，这个粮仓可以绕地球赤道圈．如果把这些小麦堆放在一间教室（平）里，堆到太阳上，也才堆了一半！这个故事一定会让你吃惊，开始微不足道的数字，两倍两倍的增长，会变得这么巨大！事实的确如此，因为国王碰到了“指数爆炸”.一种事物如果成倍成倍地增大（如），则它是以指数形式增大，这种增大的速度就像“大爆炸”一样，非常惊人.
那么到底什么是指数函数呢？指数函数具有哪些的性质？我们先来看一下指数幂.

5.1指数与指数幂的运算



知识点睛





1．整数指数
在初中我们就学过正整数指数幂，如，等，并且我们也知道，，那么在这些整指数幂中叫做什么？又叫做什么呢？它的运算法则又是什么呢？下面我们就来具体回忆一下正整数指数幂.
⑴ 正整数指数幂：，是个连乘的缩写（），叫做的次幂，叫做幂的底数，叫做幂的指数，这样的幂叫做正整数指数幂．
⑵ 正整数指数幂的运算法则：
① ；②；③；④

【整数指数幂引入】刚刚我们说的正整数指数幂要求指数必须是正整数，但是我们的数系不仅仅是正整数，我们现在学到的最大数系是实数，等到我们上高二的时候我们还会把实数扩大到复数，所以万一某一天我们遇到的指数幂的指数不是正整数，而是负整数、分数那我们应该怎么办呢？所以我们先来取消法则③中的限制，则正整数指数幂就推广到整数幂.例如，当时，有，，这些结果不能用正整数幂的定义来解释.但我们知道，，.这就启示我们，如果规定，则上述运算就合理了.于是，我们得出如下的整数指数幂：
⑶ 整数指数幂：，．
【教师备案】①如此规定的零指数幂和负整数指数幂，就把正整数指数幂推广到整数指数幂，并且正整数指数幂的运算法则对整数指数幂运算仍然成立.
②对于整数指数幂的要求是“底数不等于”.为什么底数不等于，因为分母不等
于
③老师可以给学生举一些小例子，例如，；；；
；；；
；；

我们已经把正整数指数幂成功的引申到整数指数幂了，那由整数指数幂到分数指数幂又有什么样的变化呢？分数指数幂具有什么样的运算性质呢？我们来看一下分数指数幂：

2．分数指数
在讲分数指数幂之前我们先来看一下初中就学过的一个东西——根式：
⑴根式
① 次方根：如果存在实数，使得，那么叫做的次方根．
② 求的次方根，叫做开次方，称做开方运算．
ⅰ）当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数．这时，的
次方根用符号表示．
ⅱ）当是偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数．正数的正、负次方根分别表示为：，，可以合并写成．
③ 正数的正次方根叫做的次算术根．负数没有偶次方根．
的任何次方根都是，记作．
④ 当有意义的时候，式子叫做根式，叫做根指数，叫做被开方数．

【根式性质引入】根式具有什么样的性质呢？比如和有什么区别？它们分别等于什么？下面我们来举几个例子说明一下：
1.是实数的次方根的次幂，其中实数的取值范围由的奇偶性来决定：
①当为大于的奇数时，.例如，，，；
②当为大于的偶数时，.例如，，，；若，式子无意义，例如，，均无意义，也就不能说它们的值了.
因此只要有意义，其值恒等于，即
2.是实数的次方根，是一个恒有意义的式子，不受的奇偶性限制，.但是这个式子的值受的奇偶性限制：
①当为大于的奇数时，其值为，即，例如，，；
②当为大于的偶数时，其值为，即.例如，，.
由此当为奇数时，；当为偶数时，
所以，我们得到根式具有如下的性质：
⑤ 根式具有的性质：
；
当为奇数时，；当为偶数时，．



【分数指数幂引入】下面我们再来看一下分数指数幂.例如，，.显 然，这些运算都不能用整数指数幂的定义来解释.但是如果规定，，则上述分数指数幂的运算就能像整数指数幂那样运算了.
为避免讨论，如不特别说明，我们约定底数，于是分数指数幂定义为：
⑵ 分数指数幂
① 正分数指数幂：
；．
② 负分数指数幂：


⑶ 整数指数幂推广到有理指数幂，有理指数幂的运算法则：
① ；
② ；
③

【教师备案】①整数指数幂的运算性质，比如，对分数指数幂仍然适用.注意讲解时，由学生熟悉的整数指数幂的概念性质逐渐推广到有理数指数幂，让学生知道新的概念与法则与已有的概念与法则是相容的．
②分数指数幂是学生新接触的一个概念，所以在讲完分数指数幂后一定要给学生举几个例子，例如，；；
；；
；；
；.


【无理指数幂引入】通过上面分数指数幂的学习，我们将指数的取值范围由整数推广到了有理数，那么当指数是无理数时，我们又应当如何理解它？比如．在这里还不能给出无理指数幂严格的定义，只有一个感性的认识和相关结论．通过下面的分析让学生体会“用有理数逼近无理数”的思想，感受“逼近”的过程．观察（课件中“无理指数幂引入”中有下图）：










由上表不难发现：
当的过剩近似值从大于的方向逼近时，的近似值从大于的方向
逼近；
当的不足近似值从小于的方向逼近时，的近似值从小于的方向
逼近；
所以我们得到如下的无理指数幂：
3．无理数指数幂
⑴ 无理指数幂是无理数）是一个确定的实数．
⑵ 有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
⑶ 一般地，当，为任意实数值时，实数指数幂都有意义．
对实数指数幂，上述有理指数幂的运算法则仍然成立

【教师备案】建议老师把指数幂按照由正整数指数幂到无理指数幂按顺序讲完，讲完以后就可以让学生做例1和例2，例1主要是进行简单的根式与幂运算.学生会很快做完，但是学生很容易出现计算上的错误，所以老师一定要强调让学生细心算.例2是对指数幂进行化简与求值，难度高于例1，其主要目的还是要锻炼学生熟练掌握指数幂运算法则.
经典精讲



考点1：利用分数指数幂进行根式与幂运算
【例1】 ⑴细心算一算
① _______；② ________； ③ _______；
④ _________（其中）；⑤ __________；
⑥ _______；⑦ ________；⑧ ______________．
⑵计算下列各式
①； ② ③．
【解析】 ⑴ ①；　②；　③；　④；　⑤ ．⑥；⑦； ⑧.
⑵ ① ； ②；③ ．

考点2：化简与求值问题
【例2】 ⑴若，，则的值为（ ）
A． B. C. D.
⑵已知，求，，的值
【解析】 ⑴C
⑵；；

【备选】已知，则的值为 ．
【解析】




若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】
【点评】学生在做本题时最容易犯的错误就是认为，所以老师在讲本题时，一定要给学生说明不一定等于，就跟不一定等于一样.


指数幂我们已经非常清楚了，那到底什么是指数函数呢？所以下边我们来看一下指数函数以及它具有的性质：

5.2指数函数及其性质



我们先来看一下指数函数的定义：
考点3：指数函数的定义
知识点睛




我们规定如下的函数为基本初等函数：
⑴ 常值函数（也称常数函数）（其中为常数）
⑵ 指数函数
⑶ 对数函数
⑷ 幂函数 （）
⑸ 三角函数：（其中包括六种三角函数：正弦，余弦，正切，余切，正割，余割）
⑹ 反三角函数：（其中包括四种反三角函数：反正弦，反余弦，反正切，反余切；关于反正割，反余割一般不用．注意：反三角函数目前高考中不考．）
所谓初等函数就是由基本初等函数经过有限次的四则运算和复合而成的函数．

既然我们说指数函数就是基本初等函数，所以我们就来看一下指数函数：

指数函数：一般地，函数且，叫做指数函数.

在指数函数中我们要注意以下3点：
【注意】1.在这个函数中，自变量出现在指数的位置上.
2.底数是一个大于且不等于的常量.
3.指数函数的形式必须是纯粹的.

【教师备案】1.指数函数中为什么规定底数且？
①若，则对于的某些数值，可使无意义.如，当等等，
在实数范围内函数无意义
②若，则当时，；当时，无意义
③若，则对于任何，是一个常量，没有研究的必要性
为了避免上述各种情况，所以规定且，这样对于任何，都有意义
2.为什么函数的形式必须是纯粹的，不能为（其中是常数，且
）？
紧扣指数函数的定义来分析.指数函数的定义：一般地，函数且，叫做指数函数.则指数函数的解析式中的系数是且指数位置仅有自变量，而函数的解析式不符合指数函数解析式的这些特征，故不是指数函数.例如，都不是指数函数，但是指数函数，因为

【教师备案】老师在讲完指数函数并给学生强调指数函数应该注意的问题后就可以让学生做例3了.例3主要就是判断是否为指数函数和如果是指数函数求参数的值.

经典精讲



【例3】 ⑴指出下列函数中哪些是指数函数
①；②；③；④；⑤；⑥；
⑦（且，为常数）
⑵①函数（是常数）是指数函数，则 ．
②函数（是常数）是指数函数，则 ．
【解析】 ⑴①⑦
⑵①；②



现在我们已经知道了什么是指数函数，那指数函数的图象又怎么画呢？所以接下来我们来看一下指数函数的图象：
考点4：指数函数的图象与性质
知识点睛




指数函数图象与性质：
图象


定义域

值域

性质
⑴ 过定点，即时，
⑵ 在上是减函数
⑵ 在上是增函数
【教师备案】上图是一个总的图，老师可以按照下边的方法一个一个拆分讲解，并且为了建立更直观的感觉，可以让学生自己动手画函数的图象，如：
①先画，




















从这个图象上让学生体会指数函数的增长速度特别快.老师可以举个例子，如在讲义开始的那个象棋问题，刚开始第个格子放粒麦子，到第格就放了粒麦子，总共所有的格一共放了粒麦子，可见增长的速度相当快；如果学生认为这个数不大，老师可以再举个汉诺塔的例子，一位法国数学家曾编写过一个印度的古老传说：在世界中心贝拿勒斯（在印度北部）的圣庙里，一块黄铜板上插着三根宝石针.印度教的主神梵天在创造世界的时候，在其中一根针上从下到上地穿好了由大到小的片金片，这就是所谓的汉诺塔.不论白天黑夜，总有一个僧侣在按照下面的法则移动这些金片：一次只移动一片，不管在哪根针上，小片必须在大片上面.僧侣们预言，当所有的金片都从梵天穿好的那根针上移到另外一根针上时，世界就将在一声霹雳中消灭，而梵塔、庙宇和众生也都将同归于尽.不管这个传说的可信度有多大，如果考虑一下把片金片，由一根针上移到另一根针上，并且始终保持上小下大的顺序.这需要多少次移动呢?这里需要递推的方法.假设有片，移动次数是.显然，，.此后不难证明.时， ，假如每秒钟移动一次，共需多长时间呢？一个平年天有秒，闰年天有秒，平均每年秒，计算一下，年.这表明移完这些金片需要亿年以上，而地球存在至今不过亿年，太阳系的预期寿命据说也就是数百亿年.真的过了亿年，不说太阳系和银河系，至少地球上的一切生命，连同梵塔、庙宇等，都早已经灰飞烟灭.所以说是个很庞大的数，所以我们会发现这条曲线后面的增长会越来越快.并且从图象上看出函数的定义域为，值域为，且过定点.

②让学生再画一个
































比较这两个图象.可以发现，当时，越大，第一象限图象离轴越远

③由②的结论老师可以提问，若，则图象应该则么样？那我们可以先取个函数
试试































观察发现，与的图象关于轴对称，所以与的图象也关于轴对称，如图，所以当时，越大，第一象限图象离轴越远.




老师按照上面的方式讲完指数函数的图象之后，就可以让学生做下面的练习：
练习1：如图若曲线，，，是指数函数，，，的
图象，则，，，分别代表哪个指数函数？
【解析】 由图象可以直接看出，，，或者也可以作直线，则与四条曲线的交点就是指数函数的底数.

【教师备案】做完上边的练习之后，就可以进一步得出：
①所有的指数函数分为两类：和
②指数函数的单调性：时，是增函数；时，是减函数，而且越大，第一象限的图象离轴越远
③指数函数的奇偶性：非奇非偶

【教师备案】老师在讲完指数函数的图象并让学生做了上边的练习之后，就可以让学会做下边的例4，例4主要考察指数函数的图象.例4①与前边的练习一样，例4②主要考察讨论底数范围，例4③虽然乍看一眼有点难，但是读完题之后就比较简单了，尤其画完图象之后就更简单了.

经典精讲




【例4】 ⑴曲线，，，分别是指数函数，，，的图象，判断，，，，的大小关系是 ．
⑵函数与的图象大致是（ ）

⑶用表示，，三个数中的最小值，设
，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【解析】 ⑴．
⑵ C
⑶ C


我们在上边的讲解中都一直在强调指数函数的图象，所以我们要在直观上认清图象，比如：根据图象要会求指数函数在不同区间上的值域问题，即例5，根据图象要能够判断两个幂的大小，即例6.下面我们先来看一下区间上的值域问题，即例5：
考点5：区间上的值域问题
【例5】 ⑴已知函数，①当时，函数值域为____________；
②当时，函数值域为____________；
③当时，函数值域为____________.
⑵已知函数，①当时，函数值域为_____________；
②当时，函数值域为______________；
③当时，函数值域为______________；
【解析】 ⑴ ①；②；③.
⑵ ①；②；③.

下面我们再来看一下幂的比较大小：
考点6：幂的比较大小
如果给咱们两个幂，比如与，这时你肯定知道谁大谁小，但是你并不是根据指数函数得出的，那对于一个一般的幂我们应该如何比较大小呢？老师就可以把下边的铺垫给学生讲解一下，并由铺垫得出对于底相同指不同应该如何比较大小，对于底不同指相同应该如何比较大小，对于底、指都不相同又应该如何比较大小.讲完铺垫以后，就可以让学生自己做一下例6了.
【铺垫】比较下列各题中两个值的大小
①，；②，；③，
【解析】 ①；
②
③

【方法总结】幂的大小比较的方法
比较大小常用方法有：⑴比差（商）法：⑵函数单调性法；⑶中间值法：要比较与的大小，先找一个中间值，再比较与、与的大小，由不等式的传递性得到与之间的大小.
在比较两个幂的大小时，除了上述一般方法之外，还应注意：
⑴ 对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断．
⑵ 对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可利用指数函数图象的变化规律来判断或第8讲中幂函数的单调性来判断．
⑶ 对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，则应通过中间值来比较．
⑷ 对于三个（或三个以上）数的大小比较，则应根据值的大小（特别是与0、1的大小）进行分组，再比较各组数的大小即可．

【例6】 ⑴比较下列各题中两个值的大小：
① ，；② ，； ③ ，，④，．
⑵设，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【解析】 ⑴ ①；②；③，④．
⑵ A


在前边我们已经讲了复合函数，那与指数相关的复合函数是什么样子的呢?这样的复合函数的性质又是
什么样子的？所以本讲只讲外层是指数函数的复合函数，对于内层是指数函数的复合函数我们将在同
步的时候再具体讲解.
5.3指数函数性质的应用


经典精讲




考点7：与指数函数相关的复合函数的定义域、值域及单调性问题
老师可以用下边的铺垫给学生讲一下外层是指数函数的复合函数的性质，讲完性质后就可以让学生做例7了.
【铺垫】求下列函数的定义域、值域和单调区间
⑴；⑵．
【解析】 ⑴定义域为；值域为；单调增区间为．
⑵定义域为；值域为；单调减区间为．


【例7】 求下列函数的定义域、值域和单调区间．
⑴　 ； ⑵　； ⑶； ⑷．
【解析】 ⑴ 定义域为；值域为；单调减区间为和
⑵ 定义域为；值域为；单调增区间为，单调减区间为
⑶ 定义域为；值域为；单调增区间为，单调减区间为
⑷定义域为；值域为；单调增区间为，单调减区间为．



实战演练







【演练1】 等于（ ）
. . . .
【解析】

【演练2】下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥.其中一定为指数函数的有（ ）
A．个 B. 个
C. 个 D. 个
【解析】

【演练3】设，，，则（ ）
. . . .
【解析】

【演练4】如图若曲线，，，是指数函数，，，的
图象，则，，，分别代表哪个指数函数？
【解析】 ，，，

【演练5】函数的单调增区间是________．
【解析】 ．


概念要点回顾




⑴___ ；⑵____；⑶_____；
⑷______________；⑸_______；⑹_____________；
⑺___________；⑻______________；
⑼______________；⑽______________．
⑾



图象


定义域

值域

性质
⑴过定点：
⑵单调性：


答案：
⑴；⑵；⑶；⑷当为奇数时，；当为偶数时，．
⑸；⑹；⑺；⑻；⑼；⑽
⑾



图象


定义域

值域

性质
⑴ 过定点：，
⑵单调性： 当时，在上是增函数；
当时，在上是减函数