衡水金卷先享题考前悟题—— 理数

理科数学

1.已知，，，则（  ）

A． B．

C． D．

2.为支援上海抗击新冠疫情，某医院派出含甲、乙2名医生在内的6名医生前往上海.现将这6名医生分配到3所方舱医院，要求每所方舱医院至少1人，则甲、乙2人在同一所方舱医院的不同分配方案有______种.（用数字作答）

3.(开放题)写出一个同时满足下列性质①②③的函数：=__________.

①的最大值为2022；②；③.

4.为迎接2022年9月杭州亚运会，亚组委志愿者部对众多报名参加志愿者工作的人员以线上方式进行了首场通用培训，并进行了通用培训在线测试，不合格者不得被正式录用.现在所有测试成绩中分别随机抽取了男、女预录用志愿者各50名的测试成绩（满分100分），将他们的成绩分为4组：，，，，并整理得到如下频数分布表：

规定成绩不低于80分为通用培训合格，否则为不合格．

（1）完成下面2×2列联表，并判断是否有99％的把握认为预录用志愿者测试成绩合格与性别有关？

（2）现按性别用分层抽样从这100名预录用志愿者成绩在的人中随机抽取10人，再从这10人中随机抽取3人参加试课，其中参加试课的预录用男志愿者的人数为，求的分布列与数学期望.

附：，其中.

5.已知函数.

（1）若曲线在点处的切线的斜率为0，求的极值；

（2）若不等式对任意恒成立，证明：．

参考答案：

1.B【解析】令，则，在上单调递增，，即，，，即；令，则，当时，；当时，，在上单调递增，在上单调递减，，

（当且仅当时取等号），，即（当且仅当时取等号），，即.综上所述，.故选B.

2.150【解析】将甲、乙视为同一个元素，问题转化为将5个不同的元素分给3所方舱医院，可分以下两类：(1)这3所方舱医院分配到的元素个数分别为1，1，3，此时不同的分配方案有种；(2)这3所方舱医院分配到的元素个数分别为2，2，1，此时不同的分配方案有种.故甲、乙2人在同一所方舱医院的不同分配方案有种.

3.（答案不唯一）【解析】由可知的图象关于点(1,0)对称；由，可知的图象关于直线对称，故是以4为周期的周期函数，又的最大值为2022,故可取.

4.解：（1）2×2列联表如下：

,

故没有99％的把握认为预录用志愿者测试成绩合格与性别有关．

（2）由题得这10人中，预录用男、女志愿者的人数分别为4，6，则可能的取值为，

所以，，

，，

所以的分布列为

所以

5.解：（1），由题得

即，，

又，且当时，，当时，，

所以当时，单调递增，

当时，单调递减，

所以的极大值为，无极小值.

（2）法一：由题意得对任意恒成立.

设，，

所以，

设，，

则，

所以在上单调递增，故.

当时，，所以在上单调递增，

所以，

所以满足题意.

当时，因为，，

所以存在，使得，

故，即，

令，解得；令，解得，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，

所以，即，

解得，即，

易知在上单调递减，

所以，所以.

综上所述，．

法二：由题意得在上恒成立，

即在上恒成立，

即.

设，

则.

由得，

由得，

所以在上单调递增，在上单调递减，

.

所以.