四川省泸县第四中学2022届高三下学期高考适应性考试数学（理）试题

这是一份四川省泸县第四中学2022届高三下学期高考适应性考试数学（理）试题，共28页。试卷主要包含了已知集合，集合，则，已知，，，则a，b，c的大小为，设椭圆C等内容，欢迎下载使用。

四川省泸县第四中学2022届高三下学期高考适应性考试数学（理）试题
第I卷（选择题）
评卷人
得分



一、单选题
1．已知集合，集合，则（       ）
A． B． C． D．
2．已知复数满足，其中为虚数单位，则复数在复平面内所对应的点在（       ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．已知数列，都是等差数列，，，且，则的值为（       ）
A．-17 B．-15 C．17 D．15
4．北京时间2021年6月17日9时22分，搭载神舟十二号载人飞船的长征二号遥十二运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火发射成功.此次航天飞行任务中，火箭起到了非常重要的作用.在不考虑空气动力和地球引力的理想情况下，火箭在发动机工作期间获得速度增量（单位：千米/秒）可以用齐奥尔科夫斯基公式来表示，其中，（单位：千米/秒）表示它的发动机的喷射速度，（单位：吨）表示它装载的燃料质量，（单位：吨）表示它自身（除燃料外）的质量.若某型号的火箭发动机的喷射速度为5千米/秒，要使得该火箭获得的最大速度v达到第一宇宙速度（7.9千米/秒），则火箭的燃料质量与火箭自身质量之比约为（       ）

A． B．
C． D．
5．已知侧棱和底面垂直的三棱柱的所有棱长均为3，为侧棱的中点，为侧棱上一点，且，为上一点，且平面，则的长为（       ）
A．1 B．2 C． D．
6．已知，，，则a，b，c的大小为　　
A． B． C． D．
7．现要安排六名志愿者去四个不同的场馆参加活动，每名志愿者只能去一个场馆.且每个场馆最少安排一名志愿者，则不同的分配方法有（        ）
A．种 B．种
C．种 D．种
8．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，书中有关于“堑堵”的记载，“堑堵”即底面是直角三角形的直三棱柱.已知某“堑堵”被一个平面截去一部分后，剩下部分的三视图如图所示，则剩下部分的体积是

A．50 B．75 C．25.5 D．37.5
9．已知函数的部分图象如图所示，下列关于函数的表述正确的是（       ）

A．函数的图象关于点对称
B．函数在上递减
C．函数的图象关于直线对称
D．函数的图象上所有点向左平移个单位得到函数的图象
10．设椭圆C：(a>0，b>0)的左､右焦点分别为，，离心率为.P是C上一点，且⊥.若的面积为4，则a=
A．1 B．2 C．4 D．8
11．在中，角，，的对边分别为，，，若，，则的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
12．设函数的定义域为，，，当时，，则函数在区间上的所有零点的和为（       ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分



二、填空题
13．已知的展开式中的系数为40，则___________.
14．已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 满足，则的最大值是_________．
15．已知Sn是正项数列{an}的前n项和，且满足a1＝4，6Sn＝an2+3an+λ（n∈N*，λ∈R），设bn＝（n﹣μ）an，若b2是数列{bn}中唯一的最小项，则实数μ的取值范围是_____.
16．关于函数有如下四个命题：
①的图象关于轴对称.
②的图象关于原点对称.
③的图象关于直线对称.
④的图象关于点对称.
其中所有真命题的序号是__________.
评卷人
得分



三、解答题
17．共享单车进驻城市，绿色出行引领时尚．某市有统计数据显示，2020年该市共享单车用户年龄等级分布如图1所示，一周内市民使用单车的频率分布扇形图如图2所示．若将共享单车用户按照年龄分为“年轻人”（20岁－39岁）和“非年轻人”（19岁及以下或者40岁及以上）两类，将一周内使用的次数为6次或6次以上的称为“经常使用单车用户”，使用次数为5次或不足5次的称为“不常使用单车用户”．已知在“经常使用单车用户”中有是“年轻人”．

（1）现对该市市民进行“经常使用共享单车与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为200的样本，请你根据图表中的数据，补全下列列联表，并根据列联表的独立性检验，判断是否有85%的把握认为经常使用共享单车与年龄有关？

年轻人
非年轻人
合计
经常使用单车用户


120
不常使用单车用户


80
合计
160
40
200

使用共享单车情况与年龄列联表
（2）将（1）中频率视为概率，若从该市市民中随机任取3人，设其中经常使用共享单车的“非年轻人”人数为随机变量，求的分布列与期望．
参考数据：独立性检验界值表

0.15
0.10
0.050
0.025
0.010

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635

其中，，
18．已知函数.
（1）若关于的方程在上有解，求实数的取值范围；
（2）设的内角满足，若，求边上的高长的最大值．
19．在几何体中，如图，四边形为平行四边形，，平面平面，平面，，.

（1）求证：；
（2）求二面角的余弦值.
20．已知为坐标原点，圆：，定点，点是圆上一动点，线段的垂直平分线交圆的半径于点，点的轨迹为．
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）不垂直于轴且不过点的直线与曲线相交于两点，若直线、的斜率之和为0，则动直线是否一定经过一定点？若过一定点，则求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
21．已知函数f（x）＝（x﹣1）ex+ax2（a∈R）.
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若函数f（x）有两个零点x1，x2（x1＜x2），证明：x1+x2＜0.
22．以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，并且在两种坐标系中取相同的长度单位.若将曲线（为参数）上每一点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），然后将所得图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到曲线C.直线l的极坐标方程为.
（1）求曲线C的普通方程；
（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，与x轴交于点P，线段AB的中点为M，求.
23．已知函数f（x）＝|x﹣2|+|x+1|．
（1）解关于x的不等式f（x）≤5；
（2）若函数f（x）的最小值记为m，设a，b，c均为正实数，且a+4b+9c＝m，求的最小值．

参考答案：
1．B
【解析】
【分析】
根据一元二次不等式的解法，解得或，结合集合补集和交集的运算，即可求解.
【详解】
由不等式，可化为，解得或，
即集合或，所以，
又由，所以.
故选：B.
2．D
【解析】
【分析】
设，，利用复数乘法化简并求出，根据复数相等判断的符号，即可知复数对应的象限.
【详解】
令，，则，
又，则，
∴，即，
∴，则复数在复平面内所对应的点在第四象限.
故选：D
3．D
【解析】
【分析】
结合等差数列的通项公式可求得，进而可求出结果.
【详解】
因为数列，都是等差数列，设数列，的公差分别为，
又，，且，则，
即，所以，
故选：D.
4．C
【解析】
【分析】
由题设得，应用将对数化为指数形式即可得.
【详解】
由题设，，则.
故选：C
5．B
【解析】
【分析】
通过构造面面平行，得到平面，再利用三角形相似，求得的长度.
【详解】
如图，取上一点，，延长至点，使，连接，使，，连接，
，四边形是平行四边形，
平面，平面，
，同理平面，且，
平面平面，平面，平面，
，，
又，

故选：B
6．A
【解析】
【分析】
利用幂函数的单调性、对数函数的单调性即可得出．
【详解】
因为，，
则的大小为：．故选A．
【点睛】
对数或指数的大小比较，可通过寻找合适的单调函数来构建大小关系，如果底数不统一，可以利用对数或指数的运算性质统一底数（或指数）.不同类型的数比较大小，应找一个中间数，通过它实现大小关系的传递.
7．C
【解析】
【分析】
先对志愿者进行分组，然后安排到四个场馆，由此计算出正确答案.
【详解】
根据题意，若名志愿者以形式分为四个服务小组，
共有种分配方法；
若名志愿者以形式分为四个服务小组，
共有种分配方法.
故共有种分配方法.
故选：C
8．D
【解析】
【详解】
由题意得，根据给定的三视图可知，原几何体是在直三棱柱的基础上，
截去一个四棱锥，所得的几何体，
所以截去后剩余的几何体的体积为，故选D.

9．B
【解析】
【分析】
根据图象依次求得的值，从而求得，结合函数的单调性、单调性、三角函数图象变换的知识对选项进行分析，由此确定正确选项.
【详解】
根据函数的部分图象知，
最小正周期为，
；
又，，
，；
又，故；
，
函数；
时，，
的图象不关于点对称，
故A错误；
当时，，
在上单调递减，
故B正确；
当时，，
的图象不关于直线对称，
故C错误；
的图象上所有点向左平移个单位，
得的图象，
不是函数的图象，
故D错误．
故选：B
10．C
【解析】
【分析】
利用椭圆的定义，勾股定理和面积公式进行整理计算即可得到答案.
【详解】
，，由椭圆定义，，
由⊥得，
的面积为4，则，即，
，即,解得，即，
故选：C.
【点睛】
本题考查椭圆的定义，离心率以及勾股定理的应用，考查学生分析推理能力，属于基础题.
11．A
【解析】
【分析】
利用三角恒等变换及正弦定理将进行化简，可求出的值，再利用边化角将化成角，然后利用辅助角公式及角的范围即可得到答案.
【详解】
由题知，

即
由正弦定理化简得










即
故选：.
【点睛】
方法点睛：边角互化的方法
（1）边化角：利用正弦定理（为外接圆半径）得，，；
（2）角化边：   
①利用正弦定理：，，
②利用余弦定理：
12．A
【解析】
推导出函数是周期为的周期函数，作出函数与函数在区间上的图象，结合对称性可求得函数在区间上所有零点之和.
【详解】
由于函数的定义域为，，，
所以，，则函数是周期为的周期函数，且该函数的图象关于直线对称.
对于函数，
，
所以，函数的图象关于直线对称.
令，可得，则问题转化为函数与函数在区间上所有交点的横坐标之和.
作出函数与函数在区间上的图象，如下图所示：

设函数与函数在区间上所有交点的横坐标由大到小依次为、、、、、、，
由图象可得，且，
因此，函数在区间上的所有零点的和为.
故选：A.
【点睛】
方法点睛：在求解函数零点和的问题时，一般将问题转化为两个函数的交点问题，结合图象的对称性来求解.
13．5
【解析】
【分析】
首先写出展开式的通项，依题意得到方程，解得即可；
【详解】
解：由二项式定理可得的展开式的通项为，所以展开式中含的项为，所以解得或（舍去）.
故答案为：
14．
【解析】
【分析】
由题意可设的坐标，设，利用求得的终点的轨迹方程，即可求得答案.
【详解】
因为是平面内两个互相垂直的单位向量，
故不妨设，设，
由得：，
即，即，
则的终点在以为圆心，半径为的圆上，
故的最大值为，
故答案为：
15．（，）
【解析】
【分析】
先根据数列满足,,求出其通项公式,进而求出的通项公式,再结合是数列中唯一的最小项,即可求出实数的取值范围.
【详解】
∵Sn是正项数列{an}的前n项和,且满足a1=4,6Sn=an2+3an+λ(n∈N*,λ∈R),
∴6×4=42+3×4+λ⇒λ=﹣4,
∴6Sn=an2+3an﹣4,①
6Sn﹣1=an﹣12+3an﹣1﹣4,②
①﹣②⇒6an=an2+3an﹣4﹣(an﹣12+3an﹣1﹣4)⇒(an+an﹣1)(an﹣an﹣1﹣3)=0,
∵an>0⇒an﹣an﹣1﹣3=0⇒数列{an}是首项为4,公差为3的等差数列,
∴an=4+3(n﹣1)=3n+1,
∴bn=(n﹣μ)an=(n﹣μ)(3n+1)=3n2+(1﹣3μ)n﹣μ;
∵b2是数列{bn}中唯一的最小项,
∴其对称轴∈(,)⇒.
故答案为:(,).
【点睛】
本题主要考查数列通项公式的求法以及二次函数性质的应用,属于中档题.
16．①④
【解析】
【分析】
根据余弦函数的性质，由题中条件，逐项判断，即可得出结果.
【详解】
对于①，定义域为，显然关于原点对称，
且，所以的图象关于y轴对称，命题①正确；
对于②，，，则，所以的图象不关于原点对称，命题②错误；
对③，，，则，所以的图象不关于对称，命题③错误；
对④，，，
则，命题④正确.
故答案为：①④.
【点睛】
本题主要考查判定与三角函数有关命题的真假，熟记熟记余弦函数的性质即可，属于常考题型.
17．（1）列联表见解析，有的把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关；（2）分布列见解析，数学期望为．
【解析】
【分析】
（1）补全的列联表，利用公式求得，即可得到结论；
（2）由（1）的列联表可知，经常使用单车的“非年轻人”的概率，即可利用独立重复试验求解随机变量取每个数值的概率，列出分布列，求解数学期望.
【详解】
（1）补全的列联表如下：

年轻人
非年轻人
合计
经常使用共享单车
100
20
120
不常使用共享单车
60
20
80
合计
160
40
200

于是，，，，
∴，
即有的把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关．
（2）由（1）的列联表可知，
经常使用共享单车的“非年轻人”占样本总数的频率为，
即在抽取的用户中出现经常使用单车的“非年轻人”的概率为0.1，
∵，
∴，
，，
∴的分布列为

0
1
2
3

0.729
0.243
0.027
0.001．

∴的数学期望．
【点睛】
方法点睛：本题主要考查了列联表,独立性检验，二项分布，二项分布的期望，解题方法如下：
（1）根据题意，找出对应数据，补全列联表，求得的值，对比数据，得出结论；
（2）根据题意，得到经常使用单车的“非年轻人”的概率，之后利用独立重复试验，结合二项分布的相关公式求得结果.
18．（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）利用三角恒等变换思想化简函数的解析式为，求出函数在区间上的值域，可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围；
（2）由结合角的取值范围可求得角的值，由可得出，，利用余弦定理结合基本不等式可求得，再利用三角形的面积公式可求得长的最大值.
【详解】
（1）

，
又，所以，则，
所以在区间上的值域为.
由可得，
所以，即；
（2）由，即，可得，
，，则或，解得或．
由，即，所以，则，
由余弦定理，得，
由三角形的面积公式可得，
即．所以．
所以边上的高长的最大值为.
【点睛】
求函数在区间上值域的一般步骤：
第一步：三角函数式的化简，一般化成形如的形式或的形式．
第二步：由的取值范围确定的取值范围，再确定（或）的取值范围；
第三步：求出所求函数的值域（或最值）.
19．（1）见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）由，得到平面，平面，根据平面平面，由面面平行的性质定理得到，进而得到四边形为平行四边形，再根据平面，得到，由，得到，同理得到，由线面垂直的判定定理得到平面得证.
（2）由（1）可知，直线、、两两垂直.以为坐标原点，以、、为坐标轴建立的空间直角坐标系，设，则，，分别求得平面和平面的一个法向量，代入求解.
【详解】
（1）证明：由，
可知、、、四点确定平面，、、、四点确定平面.
∵平面平面，且平面平面，
平面平面，
∴，四边形为平行四边形.
同理可得，四边形为平行四边形，四边形为平行四边形.
∵平面，平面，
∴，
而，于是.
由，，
则.
由，平面，平面.
∴平面，而平面，
∴.
（2）由（1）可知，直线、、两两垂直.以为坐标原点，以、、为坐标轴建立的空间直角坐标系.

不妨设，则，.
∴，，，，，
则，，，
设平面的一个法向量为，
则，则，
令，则，，
∴平面的一个法向量为.
设平面的一个法向量为，
则，则，
令，则，，
∴平面的一个法向量为.
∴二面角的余弦值为.
【点睛】
本题主要考查线线平行，线面平行，面面平行的转化，线线垂直与线面垂直的转化以及向量法求二面角问题，还考查了转化化归的思想和逻辑推理、运算求解的能力，属于中档题.
20．（1）（2）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由垂直平分线性质与椭圆的定义可知点Q的轨迹为椭圆，长轴长等于半径,点F、点N分别为左右焦点，由椭圆参数的性质可求得椭圆方程；
（Ⅱ）由题意假设直线l的方程与交点坐标，与椭圆联立，由斜率公式，表示出两直线斜率，由斜率之和为0列式可求得参数的等量关系，代入直线，即可求得恒过某点.
【详解】
（Ⅰ）由题意可知，又，由椭圆的定义知动点的轨迹是为焦点的椭圆，故，即所求椭圆的方程为
（Ⅱ）设直线的方程为，点，，联立曲线与直线的方程得
，

由已知，直线、的斜率之和为，
，
即有：，化简得：
直线的方程为，所以直线过过定点．
【点睛】
本题综合考察直线与圆锥曲线的知识，若求轨迹方程时与圆有关，则一般会根据圆的半径列等式，证明恒过某点需要将直线表示出来，说明参数对某个点的取值无影响即可.
21．（1）答案不唯一，具体见解析（2）证明见解析
【解析】
【分析】
(1)对函数求导,根据的取值进行分情况讨论,判断函数的单调性;
(2)先判断函数有两个零点时的取值范围为,再利用极值点偏移法,构造函数,,证明即可.
【详解】
(1)f(x)=(x﹣1)ex+ax2,
f′(x)=x(ex+2a),
①当a≥0时,ex+2a>0,
故当x∈(﹣∞,0)时,f'(x)<0,当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,
所以函数f(x)在(﹣∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增;
②当a<0时,由f'(x)=x(ex+2a)=0,得x=0,或x=ln(﹣2a),
i当﹣2a>1即a时,ln(﹣2a)>0,
故当x∈(﹣∞,0),(ln(﹣2a),+∞)时,f'(x)>0,f(x)递增,当x∈(0,ln(﹣2a))时,f'(x)<0,f(x)递减;
ii当0<﹣2a<1即a<0时,ln(﹣2a)<0,
故当x∈(﹣∞,ln(﹣2a)),(0,+∞)时,f'(x)>0,f(x)递增,当x∈(ln(﹣2a),0)时,f'(x)<0,f(x)递减;
iii当﹣2a=1即a,ln(﹣2a)=0,f'(x)≥0,f(x)在R上递增;
(2)函数f'(x)=x(ex+2a),由(1)可知:
①当a=0时,函数f(x)=(x﹣1)ex只有一个零点,不符合题意;
②当a<时,f(x)的极大值为f(0)=﹣1,f(x)极小值为,
故最多有一个零点,不成立;
③当a<0时,f(x)的极大值为f(ln(﹣2a)=[ln(﹣2a)﹣1]eln(﹣2a)+aln2(﹣2a)=a[ln2(﹣2a)﹣2ln(﹣2a)+2]=a[(ln(﹣2a)﹣1)2+1]<0,
故最多有一个零点,不成立;
④当a时,f(x)在R上递增,
故最多有一个零点不成立;
③当a>0,函数f(x)在(﹣∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.
又f(0)=﹣1,f(1)=a>0,故在(0,1)存在一个零点x2,
因为x<0,所以x﹣1<0,0x﹣1,
所以f(x)>ax2+x﹣1,
取x0,显然x0<0且f(x0)>0,
所以f(x0)f(0)<0,故在(x0,0)存在一个零点x1,
因此函数f(x)有两个零点,且x1<0 要证x1+x2<0,即证明x1<﹣x2<0,
因为f(x)在(﹣∞,0)单调递减,故只需f(x1)=f(x2)>f(﹣x2)即可,
令g(x)=f(x)﹣f(﹣x),x>0,
g'(x)=x(ex+2a)﹣xe﹣x﹣2ax=x(ex﹣e﹣x)>0,
所以g(x)在上单调递增,
又g(0)=0,所以g(x)>0,
故f(x1)=f(x2)>f(﹣x2)成立,
即x1+x2<0成立.
【点睛】
本题考查导数法判断函数的单调性,考查函数的零点,极值点偏移问题,难度较大,综合性较强.
22．（1）；（2）.
【解析】
（1）根据题意得到（为参数）后，消去参数即可得到曲线C的普通方程；
（2）将直线的方程化为参数方程的标准形式并代入到圆的方程，利用参数的几何意义可解得结果.
【详解】
（1）将曲线（为参数）上每一点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到， 然后将所得图像向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到（为参数），消去参数得圆C的普通方程为.
（2）由得，即，因为，所以，
即直线l的直角坐标方程为：，倾斜角为，点，
设直线l的参数方程为，代入圆C的普通方程并整理得：，
因为，设、两点对应的参数分别为，，则点对应的参数为，
由韦达定理得，，
则.
【点睛】
本题考查了图象变换、参数方程化普通方程，考查了极坐标方程化直角坐标方程，考查了直线参数方程中参数的几何意义，属于基础题.
23．（1）{x|﹣2≤x≤3}；（2）3．
【解析】
【分析】
（1）将f（x）写为分段函数的形式，然后根据f（x）≤5，利用零点分段法解不等式即可；
（2）利用绝对值三角不等式求出f（x）的最小值m，然后由a+4b+9c＝m，根据（a+4b+9c），利用基本不等式求出的最小值．
【详解】
（1）f（x）＝|x﹣2|+|x+1|．
∵f（x）≤5，
∴或﹣1≤x≤2或，
∴﹣2≤x≤3，
∴不等式的解集为{x|﹣2≤x≤3}．
（2）∵f（x）＝|x﹣2|+|x+1|⩾|（x﹣2）﹣（x+1）|＝1
∴f（x）的最小值为1，即m＝3，
∴a+4b+9c＝3．


3，
当且仅当 时等号成立，
∴ 最小值为3．
【点睛】
本题考查了绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式和利用基本不等式求最值，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．